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Área de Matemáticas

Problemas Derivadas Direccionales Matemáticas III

Resuelve los siguientes problemas 1. Hallar la derivada direccional de la función 𝒉(𝒙, 𝒚, 𝒛) = ⃗ 〈𝟏, 𝟐, −𝟏〉 𝒙 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏(𝒚𝒛), en el punto 𝑷(𝟒, 𝟏, 𝟏) en la dirección de 𝒗 2. Supóngase que se está escalando una colina cuya configuración está dada por la ecuación 𝒉(𝒙, 𝒚) = 𝟏𝟎𝟎𝟎 − 𝟎. 𝟎𝟏𝒙𝟐 − 𝟎. 𝟎𝟐𝒚𝟐 y que una persona se encuentra situada en un punto con coordenadas (𝟔𝟎, 𝟏𝟎𝟎, 𝟕𝟔𝟒). Determina en qué dirección debe moverse inicialmente para llegar a la cima de la colina lo más rápidamente posible. 3. Cerca de una boya, la profundidad de un lago en el punto con coordenadas (𝒙, 𝒚) es 𝒛 = 𝟐𝟎𝟎 + 𝟎. 𝟎𝟐𝒙𝟐 − 𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝒚𝟑 , donde x, y y z se miden en metros. Un pescador en un pequeño bote arranca en el punto (𝟖𝟎, 𝟔𝟎) y avanza hacia la boya, que está situada en (𝟎, 𝟎). ¿El agua bajo el bote se hace más profunda o menos profunda cuando arranca? Argumenta tu respuesta. 4. La superficie de un lago está representada por una región D en el plano xy de manera que la profundidad (en metros) bajo el punto correspondiente a (𝒙, 𝒚) es 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝟑𝟎𝟎 − 𝟐𝒙𝟐 − 𝟑𝒚𝟐 . Una niña está en el agua en el punto (𝟒, 𝟗). ¿En qué dirección debe nadar para que la profundidad del agua bajo ella disminuya más rápidamente? ¿En qué dirección permanecerá constante la profundidad? 5. Supón que en cierta región de espacio el potencial eléctrico V está dado por 𝑽(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝟓𝒙𝟐 − 𝟑𝒙𝒚 + 𝒙𝒚𝒛. a) Encuentra la rapidez de cambio del potencial en el punto 𝑷(𝟑, 𝟒, 𝟓) en la dirección del vector 𝒗 = 𝒊 + 𝒋 − 𝒌. b) ¿En qué dirección cambia V con mayor rapidez en P ? c) ¿Cuál es la máxima rapidez de cambio en P ?

Mtro. Alejandro Narváez Herazo

Área de Matemáticas

Problemas Derivadas Direccionales Matemáticas III 𝒙

𝟐

6. La función de error definida por 𝒆𝒓𝒇(𝒙) = (𝟐/√𝝅) ∫𝟎 𝒆−𝒗 𝒅𝒗 es importante en matemáticas aplicadas. Muestra que 𝒖(𝒙, 𝒕) = 𝑨 + 𝑩[𝒆𝒓𝒇(𝒙/√𝟒𝒌𝒕)], con A y B constantes, satisfacen la ecuación de difusión unidimensional: (sugerencia utiliza el Teorema Fundamental del Cálculo al derivar 𝒆𝒓𝒇(𝒙)) 𝝏𝟐 𝒖 𝝏𝒖 𝒌 𝟐= 𝝏𝒙 𝝏𝒕 7. La temperatura en el punto (𝒙, 𝒚) de una placa metálica se modela −[

(𝒙𝟐 +𝒚𝟐 )⁄ 𝟐]

mediante la función 𝑻(𝒙, 𝒚) = 𝟒𝟎𝟎 𝒆 para 𝒙 > 𝟎, 𝒚 > 𝟎. a) Representa la gráfica de la distribución de temperaturas utilizando algún graficador. b) Hallar las direcciones, sobre la placa en el punto (𝟑, 𝟓), en las que no hay cambio de calor. c) Halla la dirección del mayor incremento de calor en el punto (𝟑, 𝟓). Recopilación de varios textos, entre ellos: Larson (9ª Ed.), Stewart (7ª Ed.), Zill (4ª Ed.) y Swokowski (2ª Ed.).

Mtro. Alejandro Narváez Herazo