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17.1 Derivadas direccionales y gradientes

1249

DERIVADAS DIRECCIONALES Y GRADIENTES Ahora generalizamos la definición de derivada parcial para obtener la tasa de vut h• ción de una función respecto a cualquier dirección. Esto lleva al concepto de derivll

da direccional. Seafuna función de dos variables x y y, y sea P(x, y) un punto en el plano xy Supongamos que U es el vector unitario que forma un ángulo fJ (radianes) con el lado positivo del eje x. Entonces U= cos Oi + sen Oj La Figura 1 muestra la representación de U que tiene su punto inicial en el punto P(x, y).

1t 1.1 DEFINICIÓN

Duf, está dada por f(x + h cosO, y + h sen 8) - f(x, y)

Z.

co

m

Sea f una función de dos varia bles x y y . Si U es el vector unitario cos Oi + sen 8j , entonces la derivada direccional de f en la dirección de U, representada por

os

Duf(x, y ) == lim

br

h-0

.L i

si este límite existe.

w w

w

La derivada direccional da la de los valores funcionales f(x, y ) con respecto a lu dirección del vector unitario U. Esto se ilustra en la Figura 2. La ecuación de la "" perficie S en la figura es z = f(x, y); P0 (x0 , y 0 , z 0) es un punto en la superficie Y los puntos R(x , y , O) y Q(x0 + h cos (J, Yo + h sen(/, O) están en el plano xy . H plano que pasa0por0 R y Q, paralelo al eje z, forma un ángulo 8 con la dirección pos\

Las derivadas parciales J¡ (x ) f . valores fu ncionalesj(x y)• en' Y la dY. 2(x•. ~) dm•den las intensidades de variación de . ' lreCCIOn e los ej· es . va as dtreccionales que se est d. 1 S ., x Yy, respectivamente. Las d · u •an en a ecc1on 17 1 · e van ación de dichos valores en l . . . , proporciOnan las intensi cua qUJer d1recc·' El · d . an •za en-la Sección 17 1 ind•·ca l d" "ó IOn. gradtente, que también . al · • a 1recc1 n en la qu 1 f .. tasa e van ación. Este concepto se ap l"•ca en la Se · ·e a17 unc10n presenta su ma . 2 d tangentes Y normales de supe .r . cc•on . aJ estudiO de los .

rJICieS.

z

1/

la m•smaYmanera . narDemáximos mínimosque de se r utilizó . ladpnmera Yla segunda derivadas para detcr . unciOnes e una sol · b como se aplican las derivadas a . J a van a le, en la Sección 17 3 se P rc1a es para obte 1 1 · nes de dos variables. Las aplicaciones de est ?~r .os va ores extremos de fu ncio cuadrados. En la Sección 17 4 s . d . a seccton mcluyen el m étodo de mlnimrJI · · e mtro ucen los tr r d Sirven para calcular los extremos de una fun .. mu tp ~ca ores de Lagrange, qu Los gradientes vuelven a aparecer en 1 S c!?n sometJda a una restricción. ner una f unción a partir de su grad· a EecciOn 17 .5.' ~onde se indica cómo obto el análisi~ para determinar si una ex~~::~n ~~; pro~edimJento está relacionado COit de ecuactones diferenciales exactas. erenc•al es exacta, Ycon la resolución 1248 www.LibrosZ.com

h

n ----------------------~ X tlOURA 1

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Q(xo +}¡cosO, yo +11 sena O)

FIGURA 2

y sea u = cos (J i +

tiva del eje x. Este plano corta la superficie S en la curva C. La derivada d lr Duf, evaluada en P0 , es la pendiente de la recta tangente a la curva C en 1 plano de R, Q y P 0 . Si U = i, ento nces cos () = 1 y sen ()= O, y de la Definición 17.1.1 ,

g'(O)

DJ(x, y) = lím .f(x + h, y) - f(x, y) 11-0 h

1

(l'(t)

=J¡(X + t COSe, y + t sen 8)

lím 3x2

+ !J3hj2 - (y + ! h)2 + 4(x + !J3h) -

+ 3J)hx + ~~~2 -

+ 4x)

•-o = lím (3J)x

+ 4x + 2.)3h -

3x2

+ y2

h

+ !h2 -

hy - !hz

g'(O)

+ f 2(X + t COS 8, Y+ t sen 8)

o(y

+ t sen 0)

t sen 8) COSe+ f2(X + t COS (},Y+ t sen(}) sen 8

y - ih

= Jix, y) cos e + /y(x, y) sen e

I'/ .1.Z TEOREMA Si fe s una función diferenciable de x y y, Y U

f(x, y)

+ 2.)3)

Para la función/y el vector unitario U del Ejem-

plo Ilustrativo 1, obtenemos Duf por el Teorem a 17 ·l. 2 · Como j (x, y = 3x2 - y2 + 4x, fx(x, y) = 6x + 4 y fy(x, y )

= cos t,ni +

+ 2-J)h

= cos Oi + sen Oj, entonces

Du.f( O

fxx(a, b)fyy(a, b) - !t}(a, b)

o o o

Conclusió n

m

b)

co

> O y f,.,.(a, b)
O (o /yy(a,

( - j. 1)

fn 2 2 2

t.

br

(u) f

f xx

{t, 1), y éstos son los puntos críticos de f. Los resultados de la aplicación de la prueba de la segunda derivada en dichos puntos, se resumen en la Tabla l. En el punto (- t. 1), J~x > O y fxxfyy- fx/ > :>;así, del Teorema 17.3.5(i),jtiene un valor mínimo relativo en ( - t, 1).' En (0, 1), fxxfxy - f xl < O; así pues, del Teorema 17 .3.5(iü),j no tiene un extremo relativo en (0, 1). Como fxx > O y fxxfyy - fxl > O en (!, 1), f tiene un valor mínimo relativo ahí debido al Teorema 17.3.5(i). Como f(- 1) = - ~ y j '(t, 1) = - t. concluimos que f tiene un valor mínimo relativo de -t en cada uno de los puntos ( - t, 1) y (!, 1).

S~a f una función de dos variables tal . parciales sean continuas en algú d. q~e f Y su pnmera Y segunda que h,.(a, b) = f.y(a b) - O E nt ISCO abterto B((a, b); r). Supóngase ' - · n onces • (i) f tiene un valo · · r nun•mo relativo en (a, b) SI.· fxx(a, b)!yy(a, b) - ¡; 2(a b) > 0 " ( xy ' Y h .t a, b) tiene un valor máximo 1 . . re attvo en (a, b) si

Punto crítico

(O, 1) (}, 1)

17.3.5 TEOREMA Prueba de la segunda derivada

..

1269

=::

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Para las funciones de una sola variable, se ha demostrado ya el teorema del valor extremo: Si la función/es continua en el intervalo cerrado [a, b], entoncesftiene un valor máximo absoluto en [a, b]. Aprendimos que el extremo absoluto de una función continua en un intervalo cerrado debe ser un extremo relativo o bien un valor de la función en el extremo del intervalo. En las funciones de dos vari~bles se presenta una situación análoga. En el enunciado del teorema del valor extremo para las funciones de dos variables se hablaba de una región cerrada en el plano xy. Por región cerrada se entiende que la región incluye su frontera. En el siguiente ejemplo ilustrativo se incluyen algunas regiones cerradas y se identifica la frontera de cada una.

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17.3 Valores extremos de funciones de dos variables

1270

DERIVADAS DIRECCIONALES. GRADIENTES y APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

Solución

y

f(x, y) = x(lOO- 2x) + y(l 25- 3y)- (12x + 11y + 4xy) = 88x + 114y - 2x 2

o

frontera

o

2

-

4xy

(!)

-0~------------~x

FIGURA 6

FIGURA 7

FIGURA 8

{(x, y) l O~ x ~ SO andO~ y~~} Esta región es rectangular, como se muestra en la Figura 9. La frontera de la región está formada por los bordes del rectángulo. Puesto que/ es polinomial, es continua en todas partes. Por consiguiente, fes continua en su dominio; esto quiere decir que se puede aplicar el teorema del valor extremo. Los puntos críticos de f se obtienen determinando en dónde fx(x, y) == O y /y(x, y) = O.

os

Z.

co

m

~o+------------4x

fx(x, y) = 88- 4x - 4y

br .L i

= O tenemos

2x + 3y =57

X+ y= 22

w w

w

Al resolver simultáneaente estas dos ecuaciones obtenemos x == 9 y y == 13. Para aplicar la prueba de la segunda derivada determinamos las segundas derivadas parciales.

f,,.(x, y)= - 6

fxx(x, y)= - 4

f,.y(x, y)= - 4

En el punto (9, 13),

La demostración del Teorema ¡ 7 . 3 .8 se omite, . por salirse de los objetivos de libro.

fxx(9, 13) = - 4 0

Si fes una función que satisface el Teorema 17 3 . y) existen en todos los puntos de R ent 1 . .8 Y SI tanto fx(x, y) como /y(X, ya sea en el punto (x y) d d, onces os extremos absolutos de/se sobre la frontera de~- 0 ' on e fx 1083, eln/alor Ahora consideramos la Je y. Y E [0, ..t.p). De (2), parte de la frontera que se halla sobre la recta x = 50 con

/( 50• y)= y(ll 4 - 3y) - 600 - 200y Comparando estas dos ecuaciones, •

f(x , O) = x(88 - 2x)

co

y

Z.

4x

os

= 88 -

2x) - ~- ~x

m

[0, 50)

Tenemos entonces g'(x)

= x(88 -

De estas dos ecuaciones podemos deducir que f(x, !p) < f(x, 0). Por consiguiente, como /(9, 13) > f(x, O) para toda x en [0, 50), podemos llegar a la conclusión de que también es mayor que f(x, i.p) para toda x en [0, 50]. Así el valor máximo absoluto no puede producirse sobre la recta y = 1 ·P·. Por Jo tanto, el valor máximo absoluto de f no está en la fromera y entonces se encuentra en el punto (9, 13). Concluimos, entonces, que deberán fabricarse 9 lámparas del primer tipo y 13 del segundo para obtener una utilidad máxima de $1 137.

Sea X E

[0, -'-PJ

De aquí, el valor máximo absoluto de f no ocurre en la recta x = 50. Por último, tenemos la parte de la frontera en la recta y = .LP, con x E [0, 50]. A partir de (2),

/(9, 13) :::: 9(70) + 13(75) - 468

g(x) = 88x - 2x2

E

2V 2V S =xy+ - + y X 1 1 1

1 J

1 1

/(0, y) =·y(114- 3y)

/

/ /

/(50, y)< /(0, y)

}- - --- ----

//

-- --y

X

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FIGU RA 10

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(3)

17.3 Valores extremos de funciones de dos vnrlnhlo'l

DERIVADAS DIRECCIONALES. GRADIENTES Y APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

127!

Al diferenciar,

as

ox

o2 S ax 2

as

2v

-=y- -

x

-

ay

2

4V

='?"

2v

=x- -

oS

yz

iJ 2 S ay 2

2

dyox =

. d O as H ac1en Jx = o y as ay

1

4V

=7

. d O SlmU . 1taneamente, • = o y TCSO1VICO

x 2 y - 2V =O

--------~--------~X X,

2

xy -2V=0 de lo cual se concluye que x

ax = ( if)Y)3

y

=2 >0

a2

?PS S ax 2 . oy 2

-

= {/iV.

( EPS ) oyox

2

Para esros valores de x y

4V

=

. . .em lo la Figura 11 muestra n puntos 'k cales desde los puntos a dicha bnea. Por eJ )P n ~1 i-ésimo punto Y el punto corre~ _ mx + b E l punto (x;, Y; e . . datos y la recta Y · b) L des"iación (o error) entre el1-és1m0 puuto pondiente en la recta es (x;, mx; + · a y la recta se define como d;, donde

1'

4V

(if2V)3. u./2v)3- 1

=3>0

d- = y¡ - (mX¡ + b) La ~urna de los cuadrados de las desviaciones es

m

4V

2

y y

Del feorema 17.3.5(i) sabemos que S tiene un valor mínimo relativo cuando ' y y = :if[V. Recordemos que x y y se encuentran el el intervalo (0, + oo). notemos, de la ecuación (3), que S es m.uy grande cuando x y y están cerca de o bien son muy grandes. PorJ lo tanto, concluimos que el valor mínimo relativo S es un valor mínimo absoluto de S. Cuando x = Y y = {/iV,

co

o2 S

=ifiV

rlllURA 11

br

os

Z.

ifiV

w

.L i

ifiV V ifiV z= - - - - if.W2 - 2

w w

1274

De aquí que la caja debe tener base cuadrada y una profundidad ~ual a la mi de la longitud de uno de los lados de la base.

Una de las aplicaciones de los extremos de funciones de dos variables consiste en obtener la recta de mejor ajuste para un conjunto de puntos. Por ejemplo, supónga se que se desea obtener un modelo matemático para ciertos datos que aparecen como un conjunto de puntos (xt> y 1), (x2 , y¡), ... , (Xn, Yn). En un caso concreto, Y; pue de ser el importe de la utilidad semanal de un fabricante cuando X¡ es el número do unidades vendidas por semana, o Y; puede ser la venta anual total de una compai'lla cuando han pasado X¡ años desde el inicio de operaciones. Se tiene que y¡ podría ser también el número de nuevos casos de una cierta enfermedad cuando X¡ es el núme ro de días desde que se inició la epidemia. El modelo deseado es una relación entro x y y que pueda servir para predicciones futuras. Esta relación se logra a partir de una recta que se "ajuste" a los datos. \ Para obtener una definición adecuada de la recta de mejor aj uste para los datos. primero se indica cuán bien se adapta una cierta recta midiendo las distancias vertí·

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L" d? = L" [y; -

(mx;

+ b)]2

i= 1 ;= 1 . sólo cuando cada d; es cero, en cuyo caso, lntlull que nunca es negativa, Yes nula L recta de mejor ajuste es aquella parn ln~.:•uul los puntos de datos están en la recta. ar la llama también recta de rearc-lllc\11 d-2 es un mínimo absoluto. A esta mea se ¡= l ' l para determinar se le conoce como método de min.moll ''"'' de y en x, y a proceso drados. . . el uso del método de mínimos cua o para todo punto (.\", y) en b); r'), donde ,-' :S r, tal que rf>(x, y) > O y x, que el punto (a + h, IJ 1 k) Clll ~ 8'. Sean h Y k constantes, no ::-mbas cero, ta es en 8' . Entonces, las dos ecuaciOnes

DERIVADAS DIRECCIONALES. GRADIENTES Y APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Pf\11(

l

EJEMPLO S La Tabla 4 corresponde al transcurso de x días desde que ~~~ una epidemia, y y es el número de nuevos casos de la enfermedad en el x•é.~ lrn (a) Obtenga la recta de regresión para los puntQ¡>de datos (x;, Y;). (b) Er11 recta para estimar el número de nuevos casos de la enfermedad en el scxtt•

Solución (a) La recta requerida corresponde a la ecuación y = mx + b. Para detcrml y b primero se evalúan las sumatorias de las ecuaciones (5) y (6) con cálcr sados en la Tabla 5. A partir de esta tabla, S

S

¿

LX¡= 15 i• 1

S

L x/ =55

y 1 = 151

i• l

i• l

i• 1

x1

y1

1

20

1

2 3

74

4 5

35 42

4 9 16

25

¿15

151

55

~~----------

De (6) y (5) con estos valores y n 5(508)- (15)(151) m= 5(55) - (15)(15) = 5.5

30

X¡y¡

20 48

(8) sabemos que f(a + lt, b + k)= f(a, b)

90 140 210 508

= 5 se obtiene

b = ![151 - 5.5(15)]

= 13.7

Por consiguiente, la recta de regresión corresponde a la ecu~ción y= 5.5x

se obtiene

= J(a + h,

b

(8)

+

k), de la ecuación

m

42

co

35

Z.

30

os

_ 3_ _ _ 4 _ __:_5 6

= F(O) + F'(O)t + 2! t2 . s·1 t = 1 en esta ecuación,

donde ~ esta entre O Y t · ) F'(O) + .l.F"(~) 2 F(l) = F(O + donde O < ~ l. Como F(O) = f(a, b) y F( 1)

F'(t)

+ F'(O) + 1-F"(~ (111)

= hf, (a + ht, b + kt) + kfy(a + ht, b + kt)

y

F"(t)

= hlfxx + hkfyx + hkfxy + k2JYY

'

.

+ ht b + kt). Dcl1 CllH: . d parcial esta evaluada en (a ' ' , donde cada segunda den va a - f x< y) para toda (x, y) en B . Asl m a 16.7 .1 concluimos que f xy(x, y) - Y x, (11 F"(t) = h2fxx

+ 13.7

(b) De acuerdo con la ecuación de la recta de regresión, cuando x = 6, y = 46.7. Por tanto, se estima que el número de nuevos casos de la en al sexto día es de 47.

('>)

donde O < ~ < 1;() F"(t) de (7), empleamos la regla de la cadena P ara obtener F t Y

br

24

F(t)

.L i

- 20

O~tS 1

+ kt

F"(~)

S

L X¡y¡ = 508

w

xy_t__1_ _ _2 _

- b Y-

Y

F(t) = f(a + ht, b + kt) Por la fórmula de Taylor (fórmula (2), sección 11.5) tenemos

TABLA S

Table 4

= a + ltt

h b + k) y todo!> ento rectilíneo de (a, b) a (a + ' ' 1 definen todos los puntos en e segml f 'ón de una variable definida por 8' Sea F a uncl estos puntos está n en . (7) x

w w

1278

1279

+ 2flkfxy + kljyy

( donde cada segunda derivada parcial está evaluada en a t por 1 en (11) obtenemos do O porten (lo) Y "

F'(O)

1

+

ht b + kt). SuSIII\IYt'll

'

= lifx(a, b) + kfy(a, b) =0

Se concluye esta sección con la demostración de la primera parte de la prueba la segunda derivada.

y

F"(~) = /¡2J, x + 21lkfxy + k2jyy

h t b 1 At) du11tl1 . rcial está evaluada en (a + ..,, ' donde cada segunda denvada pa d F ' (O) y en (9) se obll~·nl' < ~ < l. Sustituyendo estos valores e ( x

Demostración del Teorema 17.3.5(i)

Por simplicidad de notación, definimoa

(x, y) = fxx(X, y)/y,(x, y) - fxy 2(x, y)

\

Además, rt>(a, b) > O y fxx(a, b) > O, y se desea demostrar que f(a, b) es un mínimo relativo de la función. Como !XX> fxy• y /yy son continuas en B ((a, b); r), cluimos que rf> también es continua en B. Por tanto, existe un disco abierto B'

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rm

f(a

+ h, b + k) -

f(a, b)

= ~(h2fxx + 2hkfxy + k2/yy)

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1280 DERIVADAS DIRECCIONALES. GRADIENTES y APLICACIONES DE LA S DERIVADAS PAH
.,(x, y, z, )..) O equivale a la rest l'ic ción dada por la ecuación V = xyz.

~

=

s ujeta a la restricción de que

Puede demostrarse la validez del método de multiplicadores de Lagrange considera ndo el problema general de la determinación de extremos restringidos. Supóngase que se desea obtener Jos extremos relativos de una función f de tres variables x, y, z, sujetas a la restricción

Fórmese la función F para la cual

F(x , y, z, l.) = f(x , y, z) + 2g(x , y, z) = xy + 2xz + 2 + '( . p . h yz "' xyz - V) a Ja aliar los puntos críticos de F calculamos la . F-e, Y F>.. Y se igualan a cero los valores s cuatro denvadas parciale\ J

g(x, y, z) =O

=0

+ 2z + 2xz = 0 F,(x, y, z, 2): 2x + 2y + A.xy = 0

z

os .L i

br

z 'f: o,

w w

Y como

w

Y=x 1

,.¡ = - -

= h(x, y)

donde h está definida en un disco abierto B ((x0 , y 0 ); r) y f(x, y, h (x, y)) tiene un extremo relativo en (x0 , y 0 , h (x 0 , y 0))). Supóngase además que las primeras derivadas parciales de f, g y h existen en By que g3(x, y, h(x, y))'# O en B. Como /tiene un extremo relativo en (x0 , y 0 , h(x0 , y 0)), las primeras derivadas parciales de/son cero en ese lugar. Calculamos estas primeras derivadas parciales por medio de la regla de la cadena .

(8)

en (xo, Yo• h(xo, Yo)) \

Si en (7) se diferencia implícitamente con respecto a x y luego respecto a y, y si z es la función diferenciable h de x y de y , entonces en un punto (x, y) en el disco abierto B

z

Sustituyendo).. = -1/z en (2) bl resu 1ta x + 2z _ x _ e, pues z está en el inrervalo (0 + oo) S . - 0 ' o sea z = O, lo que es im • · ustHuyendo de (5) en (3) da

2x + 2x

+ 2x2 = 0 x(4 + .tx) =o

Uz

oh

ox =

4 (porque x '# O)

S i en la ecuación (2),/ = - 4/ x, emonces 4

x

+ 2z -

- (xz) = X

o

g, -g3

y

donde los valo res de función de g, g2 y g 3 están en (x, y, h (x, y)) . Si lo1. vuhlll' de 8h/ 8x y 8h/ 8y, se sustituyen en las ecuaciones (8), entonces, en el J)llllto (\ 111 Yo). h (xo. Yo)),

fl

x + 2z- 4z = 0

oh + UJ -::;= O oy

o bien, lo que es igual, como g 3 :/= O en el disco a bierto B, en (x, y) en B

). = - -

+ !3 ( -

:J

=

o y

Además,

X

Z= -

2

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así

m

+ J.z(y - x) = O (y - x)(l + 2z) = O

y - x

Z.

. correspondJemes de la ecuación (2) de los de ( 1), o

con lo cual se tienen las dos ecuaciones

zy

co

F;.(x, y, z, 2): xyz - V=· 0

1

(7)

Supongamos que (7) puede resolverse para determinar

Fy(x, Y, z, 2): x

Restando los miembros

tifV.

t12V)

V

g(x, y, z) = O

Fix, y, z, 4): y + 2z + )yz

1285

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17.4 Multiplicadores de Lagrange

1Z86

DERIVADAS DIRECCIONALES. GRADIENTES Y APLICACIONES DE LAS DERIVADAS I'A

,.

F

Para determinar los puntos cntJcos de

en todo lugar donde 9 3 ~ fAx, y)= 3x 2y

.f..(x, y)

+ xy2

EJEMPLO S Determinar si el siguiente vector es un gradiente Vf(x, y, z), y, si lo es, obtener entonces f(x, y, z):

+eX

(e·' senz

= xJ + x 2y + cos Y

= exsenz + 2rz \/,.t '· y , z) = 2z

f(x, y)

.. presJon en (26) se tiene

w w

+e

w

= =

= x3y + J2 ' x2y2 + ex + sen y+ e_

"J).

·'

+ 2x· 1 , 2 p + ex + .

sen .l'

+ e- == o

e = _2c.

.'vi ..,(x, y. z)

= 2x

1~ ,Xx,

y, z)

,(x, y, z)

+ 2y

= 2x

= N )x. y, z)

M .(x, y, z)

= Rx(x, y, z)

N z(x, y, z) = Ry(x, y, z)

Así pues, el vector dado es un gradiente Vf(x, y, z). Además,

fx( x. y. z)

= e-' sen z + 2yz

(27)

j~(x.

= 2xz + 2y

(28)

y. z)

/;(x. y. z ) = e·' cos z

+ 2xy + 3z 2

(29)

Al integrar ambos miembros de (27) con respecto a x tenemos

= ex sen: + 2xyz + g(y, z)

(30)

z)

= 2xz + gy()·, z)

Igualando los lados derechos de esta ecuación y (28) e obtiene

2xz El Teorema 17 .5 . 1 se pued e

1' . ap ICar a funciones de tres variables .

= 2xz + 2y gy(y, z) = 2y

t- gy(y.

z}

Aho ra, integrando en ambos miembros de esta ecuación con respecto a y obtenemos

17.5.4 TEOREMA

M, N

y, z) =e·' cos z

P or lo tanto,

_(y(x . y,

=- 2x y + x2y,2 + ?t•' ? - + _seny :::: C

g(y, :)

· unciones de tres variables x .. . ~((xu, Yo. ~o); r) en R\ Y ¡\IJ J\11. N . . y, z, delmJdas en una bola abiert " •' 1• IV. R Y R '"On ·' 1 -" , continuas en B. Ento

Sean 1

l~x(x,

+ 3z2

d o nde g (y, z) es independiente de x. Diferenc iamos parcialmente ambos miembros de (30) con respecto a y y o btenemos

3

donde

R(x, y, z) = e·' cos z + 2xy

N _,(x, y,:)= 2z

= ex cos z + 2r

j(x. y . z)

Por lo tamo, la solución general es

+ 2xy + 3z 2)k

l(x, y, z) = 2xz , 2y

m

.L i

Igualando los segundos m. b lem ros d e esta ecuación Y de (25) b . x3 + x2y + o'(y) • se o t1ene 3 2 ·' X + X Y + COS y g'(y ) cos y

br

J

De la s ustitución de esta ex

co Z. os

+ x2y + g'(y)

g(y) ==sen y

I/ .( \'.y. z)

2y)j + (e" cos:

Se aplica el Teorema 17.5.4. Sea

\/(\. )', z)

donde g(y) e · d . . . s m ependlente de x. Al di f (26) con respecto a Y se obtiene erenclar parclalmente ·a mbos miembru ¡;.(x, y) == x3

+ 2yz)i -1 (2xz +

Solución

Al inregrar ambos miembros de (24) con respecto a x se obtiene . ./(x, y)== x Jy + ~x2y2 +e"'+ g(y)

1

1297

y R f

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= y 1 + h(z)

(J 1)

donde 11 es independiente de x y y . Al sustituir (31) en (30) result a

+ 2xyz + y 2 + h(z) www.FisicaA.com

f (x, y. z) =e' senz

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(32)

1298

DERIVADAS DIRECCIONALES. GRADIENTES Y APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PAift

Ahora diferendamos pardalmente con respec!o a fz(x, y, z) == eX cos z + 2xy + h'(z) .f.

Ejercicios de repaso

z, ambos miembros dr 1 . . 16 determine si la expre'•'1 r•jerctctos 13 a ' S. lo es obtenga ;r. ·al exacta. ' '

1'1 una dtJerenct 'o'n sea la dije. , para l a cual/a exprest /lmcton 1111 wtal.

Igualando los lados derechos de esta ecuación y (29) se obtiene

+ 2xy + h'(z) = ex cos z + 2xy + 3z 2

IJq•

1- yz + 1) dx + (x22 + 2xy + x) dy + 6xy)dx + 3(3x z+ 8y)dy ·' + (xe' - x ) dy (t'' - 2xy) (IX 2 d sec y Y (~en 2x - tan Y) dx -

h'(z) = 3z 2 h(z)

1(1~2

= z 3 +e

x

., . 4 determine si la ecuacton ltll ejercictos 17 a~· Í s obtenga la solución ll'ltcial es exacta. ' o e '

3

Sustituyendo z + C por h(z) en (32), se obtiene f(x, y, z) == e·• senz

+ 2xyz + y 2 + z 3 + e

La siguiente definición es la ampliación de la Definición 17.5.2 a funciones variables.

f ¡,

V1' '

2x

-

co

Y_ dx

\ - 1

un~ bola abierta en R 3 si existe una función f

j (.\ y z

os

se denomina exacta en

+ R(x, y, z) dz

Z.

M(x, y, z) dx + N(x, y, z) dy

U •. h

2yz) dx

La expresión

+ (2xz + 2y) dy ..¡.:(ex cos z + 2xy + 3z2)

dz

.L i

w w

• EJEMPLO ILUSTRATIVO 6

j.(x, y, Z) ==

w

f_v(x, y, z) ~ N(x, y, z) en todos los puntos (x, y, z) en B.

es una diferencial exacta 5. debido a que es la diferencial total de la función f que determinó en el ejemplo

EJERCICIOS 17.5 En los ejercicios 1 a 12, determine si el vector es un gradiente. Si lo es, obtenga una función que tenga el gradiente señalado. l. 4xi - 3yj 2. y 2 i + 3x 2j 3. (6x - 5y)i - (5x- 6y 2)j 2 4. (4y 2 + 6xy- 2)i + (3x 2 + 8xy + l)j 2 5. (6x y - 14xy + J)i + (4x 3 y- 7x 2 - 8)j 6. (2x + In y)i +

(y ;) j 2

+

dy

+ " dx ..JC _

1

dx

v2 ,

. . 34 determine si la expreS. lo es obtenga En los ejerctctos 31 a ' d;r. ncial exacta. ' ' IJ erela cua11a expresión dada sea la sión es una para una función

+ 3yz -

32 e= cos x dx

')

-o

2) +y dy-

x2y + 2x) dy =

·

o

xz

11, ( y 2 cos y ) dx - y

y

dy -- y 2 cscl x N. (2y cot x - 3x 2) dx

x+y, k

(y+ z)-

diferencial total.

(1y - X- cos• X +sen-.\ +

X

x-z · -

. 33• z tan Y dx

+ ( ln(2x -

+ 2y) =

.

30. Y+ z • - (y+ z)z J

o

=0

+ 2y) dX + (2y3 -

(dy

br

/r(x, y, z) == M(x, y, z)

+

O

(2y- 5z).1 + (2x + 8z)j - (5x - 8y)k 4 x3i + 9y2j - 2zk k eY sen zi + xe' sen ZJ• ¡. x;,Y cos 3 )'z (2xy + 7z3)i + (x 2 + 2y -2 z ~4 )k + (2 1xz - Y 29. e"(e= - In y)i +(e' In z - e!'.- ')j + (e"+: + e"z )k 25. 26 27.• 28.

31. (4xy

La expresión diferencial

(ex sen z

+ (2y + x) dy =

dy 1' - Y + (x + 3y) dx -

17.5.5 DEFINICIÓN

1

1- y) dx

m

ex cos z

y

OOS X

+ 6xy- 2

.. O determine si el vector es lttlos ejerctcto~ 25 a 3 'bt nga una función que m wadiente; st lo es, o ~ . ll'll}:a el grad 1en t e que se tndtca

)d (2x2 + 3xz - 5z2) dy 2 x: (3xy - .IOyz + 1) dz

+ z sen y dY +(e= scnx-d cos y)dz

+ xz sec2 y dy + x tan (2 _ 3z + 4yz) dy

34. (2y + z) dx +

x

y z

+ (x- 3y + 2yz) dz

35. Demuestre 1a parte "sólo si" del Teorema 17.5.2.

si yesólo 36. Demuestre que V/(x, Y ) -_ ai d+ bj by son sif(x, y)= ax + b:Y +e' don e a, constantes. e una ecuación diferencial de . bies son separables, primer orden cuyas vana es exacta.

37. Demuestre qu

o

ASO DEL CAPÍTULO 17 EJERCICIOS DE REP . f(

7. 8

(x2l + 1). + (1~

. ( -2xy-

2x). J

yz '

(x-x

2

l)·• + - y -) J· y

9. 2x sec 2yi + 2x 2 sec 2y tan 2yj 10. (2xy -y sen x)i + (x 2 + cos x)j JI. (2x cos y - l)i - x 2 senyj 12. (y~ + x)i + (xe" - y)j

www.LibrosZ.com

1299

) = xz _ 2xzy + In x; 1 de la 5 alcule el va or ¡ + sennJ;· po - ( 1• - 2) den4. x, Y /IIIOS 1a ' punto Po de lafun- J u( = cos): xy2z- 3xyz + 2xz2; mdo di,.ceon.n . . , .. _ f(x, y) = 3x 2 - 2xy.3., U = cos !m + sen nJ, . g(x, y) = tan - ' ;Y.· U = Jl3 i - -J13 J; 6

ejerc~CIOS . .

e~

~ierto

~j;

Po =(4, 4) y 2 CQS X' ) - X+ J.h(x,v=e ' p 0 = (0, 3) www.Matematica1.com

3 1

7. p f(x,y) o = ( -=zl· ,n)(x 2+ y2).' u = }i + ! ,{3j; u = ~Ji¡ - ~"r;:;2j: P =( 1,1) www.FisicaA.com 0

DERIVADAS DIRECCIONALES. GRADIENTES y APLICACIONES DEl AS DERIVADAS 1'1\1

7J +7 '

E; '::,ejercicios 21 Y 22, determine 111 re a os de/, si es que existen.

9. f(x, y, z) = xJ + J'J + 2xyz;

U =-..:\,. ¡ _ 2_ . J 14

1

, '14 1 + Ji4

21. f(x, y)= x3 -t YJ + 3xy 22. .f(x. y)= 2x2 - 3xy + 2y2

. k, Po = (2, - 1, O)

E_" ~os ejercicios 23 a 26,

L::n los eje e· · · . ¡o un . r IOO.s. a 13, determine si el vector es .. gradiente. Si lo e.> obtenga una fi te ·' unc10n que . nga e1 gradiente que se indica

10. (cr ta n y- sec y)·

1-

1 l. 2xe"'' In y i

to(s) cm~co(s) de la /lmción que se imht

a.'? restncclón que se seiiala. Determlnt

+ cr' j

23. /(x y) - 5 '

+ scny)j

24. f(x. J'. z) = x2 X

1

2

-

V2

= 1

;-::¡- z j

25. f(x. y: =l = y

((x ~ ·:)2 + ~) k

26

En los ejercicios 14 a 16 obtenga una e 'ó de/ p~ ' CUaCI 11 ano tang~nte Y ecuaciones de la recta normal a la superficie que se indica en el punto dado.

+ •vl + zl

con la '

re.\tr

+ xz - 2xl - y2 -

z2

con la restricción - = '5 _ . . , ,) .\ - y co n la restriccrü 11

· f~·'· y,;) = x=- + J'J X +y·+=!= 1

~tilice el

27.

método de multiplicadorc' grange para determinar la distancia • ta del pu 10 (4 111., ~ • 1, 2) al plano x - y + 2 28. Use el metodo de multiplicadores de 1 para obtener el punto de la supe r· . + 2 + 2 r ICIC, Y que esré más próximo al

44 T= - - - -

br

14. J.~z + 2xy - y2 = 15; (2, 3, 4) 15 · x- + ~.Y + == 8; (2. 1' 2) 16. z = :e + 2xy; ( l. 3, 7)

2 Y con la resrn, 1

17. Obtenga ecuaciones simétricas de la recta tan gente a la curva de inrersección de 1 J'icics . 2 _ ~ as super.x .>xy .¡ y 2 = ;: y 2x2 + y2 _ z 3 + 27 - O en el punro (1, - 2, 11). 18. Obtenga ce · . . uacrones de la recta tangente a la ~rrv~ de rnr ersccción de la superficie z = Jx2 Y .¡ 1 con e l plano x 2 en e! punto (2 - 1, 14). '

=

19. La ecuación de la s uperficie de una moniai'ia es z = 900 - 3xu . ., • d· on d e 1a drstancia se mide en metros, el eje x apunta hacia el oeste Y el eJe Y apunta al s u~. Una alpinista está en el PUJ~to ~orrespo~drcnte a (50, 4, 300). (a) ~Cual es la drrección de la mayor pe d' te? (b) ·L . . n ren. ~ a alprnrsta asciende o desc·e 1 cuando d 1 . ' nc e _s e . esp_aza en la dirección norte? (e) .E ". n que drreccrón recorre una trayecto ria a nrvel? 20 s·¡ 1 • • (x, y, ¡ + .1 ·

w

1300

U lJna caja rectangular sin tapa tendrá un área ~u perficial de 2 16 ¿Cuáles son las dilltens iones de una caja de volumen máximo? 11. Para la caja del ejercicio 42, suponga que en lugar del área superficial de 216 pie2 , la suma de las longitudes de las aristas es 216 pie. ¡,Cuáles son entonces las dimensiones de una caja de volumen máximo? 11. Un trozo de alambre de L pies de longitud se corta en tres. Uno de los trozos se dobla en forma de circunferencia, el segundo se dob la en forma de cuadrado y el tercero se dobla en forma de triángulo equilátero. ¿Cómo debe cortarse el alambre de manera que (a) el área combinada de las tres figuras sea la menor posible y (b) el á rea citada sea la mayor posible?

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pie2 •

45. Determine las dimensiones relativas de una caja rectangu lar sin tapa y que tenga un área superficial específica para que el volumen sea máximo. 46. Obtenga las distancias mayor y menor del origen a la curva de intersección de las superficíes x 2 ""' 2yz y x 2 + 3y2 + 2z 2 = 30. 47. La siguiente tabla proporciona datos de c inco pacientes que se someten a una operación en un cierto hospital, donde x es la edad del paciente y y días es el tiempo de convalecencia en el hospital. ~

X

y

Paciente A

Paciente 8

PacienteC

54 15

46 12

40 9

f>acie11te D Paciente E

36 10

30 8

(a) Obtenga una ecuaciÓn de la recta de regresión para los datos de la tabla. (b) Utilice la recta de regresión para calcular la fotosin tesis neta producida en una región que observa una precipitación a nu a l d e 300 mm. 48. En la tabla siguiente se dan la presión san guínea sistólica de un paciente y el ritmo cardiaco correspondiente, donde x milímetros de mercurio es la presión y y pulsaciones por minuto es el pulso. Pacienle

A

8

e

D

E

F

X

llO

y

70

117 74

133 80

146 65

115 60

127 77

(a) Obtenga una ec ua ción de la recta de regresión para los datos de la tabla. (b) Utilice la recta de regresión para estimar el ritmo cardiaco de un paciente si la presión sistólica es 85 mm de mercu rio. 49. En el desierto, el agua es un factor que limita considerablemente la actividad vegetal. En la siguiente tabla, x es el número de milímetros de precipitación por ai\o en seis regiones diferentes y y es el número de kilogramos por hectárea en la producción neta de fotosíntesis. A X

100

8 200

y

1000

t900

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e

Regió11

400 3200

o

500 4400

E 600 5800

F

640