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• blaxkopm025

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En los siguientes problemas a). Identifique los puntos críticos, b) encuentre los valores máximo y mínimo, absolutos o relativos c) Encuentre los Intervalos creciente-decreciente d). Concavidad y Punto(s) de Inflexión. e). Grafique. (Véase los ejemplos de clase). 1. f(x) = x2 + 4x + 4; I = [-4, 0]; Sol. P.C.(Puntos críticos): - 4, - 2, 0; Max.= 4; Min.= 0. 2. h(x} = x2 + x;

I = [-2, 2]

3. Q(x) = x2 + 3x; I = [-2,1] Sol. P.C.; - 2, -3/2, 1; Max.= 4; Min.= -9/4. 4. G(x) = 1/5 ( 2x3 + 3x2 – 12 ); / = [-3,3] 5. f(x) = x3 - 3x + 1; I =(-2/3, 3) Sugerencia: Elabore la gráfica. Sol. P.C.; - 1, -1; Max No tiene; Min.= -1. 6. f(x) = x3 - 3x +1; / = [-1, 3] 1 I = [ 1, -3 ] 7. h( x ) = ; r Sol. P.C.; - 1, -3; Max. No tiene; Min No tiene 1 8. g ( x ) = ; I = [-3, 1] 1 + x2 1 ; 9. g ( x ) = ( - �, �) ; Sugerencia: Elabore la 1 + x2 gráfica. Sol. P.C.; 0; Max.= 1; Min No tiene. Calcular los máximos y mínimos de cada una funciones siguientes: 10.

y = x3 + 3 x2 - 2.

11.

y = x3- 3 x + 4.

Sol.

de las

Max. = 2 para x= 2 Mín. = - 2 para x = 0. Max. = 6 para x= -1. Mín. = 2 para x = 1.

12. y = 2 x3 - 3 a x2 – a3 (a > 0) 13.

f(x) = 2 + 12x + 3 x2 - 2 x3.

14.

y = 3 x - 2 x2 -

Max. = a3 para x = 0. Mín. = 0 para x = a. Max.= 22 para x = 2. Mín.= - 5 para x = -1.

4 x3 3

Max.= 5/6 para x = 1/2. Mín. = - 9/2 para x = - 3/2.

15.

16.

f(x) = 3 x4 - 4 x3 - 12 x2 + 2.

g(x) = x4 - 4 x2 + 4.

17. h(x) =

ax x + a2 2

Max.= 2 para x = 0. Mín.= - 3 para x = - 1. Mín.= - 30 para x = 2. Max. = 4 para x = 0. Mín.=0 para x = � 2 . Max.= 1/2 para x = a. Mín.= - 1/2 para x = - a.

18. y= x3 + 9 x2 + 27 x + 9. 19. y = 12 x + 9 x2 - 4 x3.

20. H(x) = x2(x - 4)2.. 21. Se quiere construir una caja rectangular de base cuadrada, abierta por arriba. Calcular el volumen de la mayor caja que se puede obtener de 1 200 cm 2 de material. Sol. 4000 cm3 22. Se desea construir un depósito rectangular de base cuadrada, abierto por arriba. Debe tener 125 m 3 de capacidad. Si el costo de las caras laterales es de 2 pesos por m2, y el del fondo es de 4 pesos por m 2, ¿cuáles deben ser las dimensiones para que el costo sea mínimo? Sol. Un cubo de 5 m de lado. 23. Un prado rectangular de un jardín ha de tener 72 m2 de área. Debe rodearse de un paseo de un metro de ancho en los lados y 2 m de ancho en las extremidades. Si el área total del prado y del paseo es mínima, ¿cuáles son las dimensiones del prado? Sol. 12 metros por 6 metros. 24. Se desea cercar un terreno rectangular de área dada, uno de cuyos lados coincide con la orilla de un río. Si no se necesita cerca del lado del río, demuéstrese que se necesitará la mínima cantidad de materiales cuando el largo del terreno sea dos veces el ancho. 25. Se quiete construir una artesa de una larga pieza rectangular de hojalata, doblando los dos bordes hacia arriba de manera que la sección transversal sea rectangular. Si el ancho de la pieza es de 36 cm, ¿cuál debe ser la profundidad de la artesa para que conduzca la mayor cantidad de agua? Sol. 9 cm. 26. Una ventana en forma de un rectángulo coronado de un triángulo equilátero tiene 5 m de perímetro. Calcular sus dimensiones para que deje pasar la cantidad máxima de luz. Sol. El rectángulo debe tener 1,17 m de ancho y 74 cm de alto. 27. Una esfera sólida pesa p Kg. ¿' Cuál es el peso del mayor cilindro circular recto que puede cortarse de la p Kg esfera? SOL. 3 28. El lado (altura oblicua) de un cono circular recto es una constante dada a. Calcular la altura a correspondiente al cono de volumen máximo. SOL. 3 29. Una aceitera tiene la forma de un cilindro coronado de un cono con altura igual a 2/3 del diámetro. Demostrar que para upa capacidad dada, se necesita la mínima cantidad de material si la altura del cilindro es igual a la altura del cono. 30. Dada la parábola y2 = 8 x y el punto P (6, 0) en el eje, calcular las coordenadas de los puntos de la parábola más cercanos a P. Sol. (2, ± 4). 31. La base de un triángulo isósceles dado mide 20 cm y su altura mide 8cm. ¿Cuáles son las dimensiones del mayor paralelogramo inscrito con un ángulo = arc tg 4/3, y con un lado en la base del triángulo? Sol. 10 cm por 5 cm.

32. Un minero desea abrir un túnel desde un punto A hasta un punto B situado 80 m más bajo que A y 240 m al Este de él. Debajo del nivel de A es roca; arriba de este nivel es tierra blanda. Si el costo de la construcción del túnel es 30 pesos por metro lineal en tierra y 78 pesos en roca, hállese el costo del túnel. Sol. 12960 pesos. 33. Según una ordenanza, el área del papel de un cartel no debe ser mayor de 2,25 m 2. Se desea que las márgenes sean de 15 cm arriba y abajo y de 10 cm a la derecha y a la izquierda. ¿Que dimensiones darán la máxima área impresa? Sol. 1,837 m por 1,225 m. 34. Un granjero tiene 80 pies de valla con la cual planea encerrar un corral rectangular a lo largo de un lado de su establo de 100 pies de largo, como se muestra en la figura 1 (el lado a lo largo del establo no necesita valla). ¿Cuáles son las dimensiones del corral que tiene área máxima?

Sol. 20 pies por 40 pies Figura 1 35. El granjero del problema 34 decide hacer tres corrales idénticos con sus 80 pies de valla, como se muestra en la figura 2. ¿Qué dimensiones del área total encerrada hacen que el área de los corrales sea tan grande como sea posible?

Figura 2 36. Suponga que el granjero del problema 34 tiene 180 pies de valla y quiere que el corral quede contiguo a todo el lado del establo de 100 pies, como se muestra en la figura 3. ¿Cuáles deben ser las dimensiones para tener área máxima? Obsérvese que en este caso, 0 �x �40.

figura 5). ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo de este tipo con área máxima?

Sol. 4 por 8 Figura 5 39. Un rectángulo será inscrito en un semicírculo de radio r, como se muestra en la figura 6. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo, si su área debe maximizarse?

Figura 6 40. Encuentre dos números no negativos cuya suma sea 10 y cuyo producto sea máximo. Sugerencia: Si x es un número, 10 - x es el otro. Sol. 5 y 5 41 Erika tiene 200 pies de valla, con la cual planea encerrar un patio rectangular para su perro. Si desea encerrar el área máxima, ¿de qué dimensiones debe ser? Sol. 50 pies por 50 pies 42. Demuestre que para un rectángulo con perímetro dado, K, el de área máxima es un cuadrado. 43. Encuentre el volumen de la caja abierta más grande que puede fabricarse con un pedazo cuadrado de cartón de 24 pulgadas por lado, cortando cuadrados iguales en las esquinas y luego doblando los lados hacia arriba. Sol. 1024 pulg3. 44. Un granjero desea cercar dos .corrales rectangulares idénticos, cada uno con un área de 900 pies cuadrados, como se muestra en la figura 7. ¿Cuáles son los valores de x y y de modo que se requiera la menor cantidad de valla? x = 15

3 pies, y = 20 3 pies

Sol. Sol. 40 pies por 100 pies Figura 3 37. Suponga que el granjero del problema 34 decide utilizar sus 80 pies de valla para construir un corral rectangular que se ajuste a una esquina de 20 por 40 pies, como se muestra en la figura 4 (toda la esquina debe utilizarse y no requiere de valla). ¿Cuáles dimensiones dan el corral con área máxima? Sugerencia: Empiece por decidir sobre los valores admisibles para x.

Figura 4 38. Un rectángulo tiene dos vértices sobre el eje x y los otros dos en la parábola y = 12 - x2, con y � O (véase la

Figura 7 45. Un granjero desea cercar tres corrales rectangulares adyacentes idénticos (véase la figura 8), cada uno con un área de 300 pies cuadrados. ¿Cuál debe ser el ancho y largo de cada corral de modo que se ocupe la menor cantidad de valla?

Figura 8 46. En el problema 45, suponga que la cerca exterior de los corrales requiere de valla más firme que cuesta 3 dólares por pie, pero que las dos particiones internas requiere de valla que cuesta sólo 2 dólares por pie. ¿Qué dimensiones de x y y producirán el costo menos caro para los corrales? Sol. x =

10

5 3

pies, y = 6 15 pies

Tasa de cambio relacionadas. Si una variable y depende del tiempo t, entonces su derivada dy/dt se denomina razón de cambio con respecto al tiempo, o sólo razón de cambio. Por supuesto, si y mide la distancia, entonces esta razón de cambio también se llama velocidad. Estamos interesados en una amplia variedad de tasas de cambio: la tasa a la cual el agua fluye a un depósito, la tasa a la cual el área de un derrame de petróleo está creciendo, la tasa a la cual el valor de una propiedad está aumentando, etcétera. Si y se da de manera explícita en términos de t, el problema es sencillo; sólo derivamos y luego evaluamos la derivada en el instante requerido. Puede ser que, en lugar de conocer a y de manera explícita en términos de t, conozcamos una relación que une a y y a otra variable x, y que también conozcamos algo acerca de dx/dt. Aún podemos ser capaces de encontrar dy/dt, ya que dy/dt y dx/dt son tasas de cambio relacionadas (o razones afines). Por lo regular esto requiere derivación implícita. Prob. 1 Se suelta un pequeño globo en un punto a 150 pies de un observador, quien se encuentra al nivel del piso. Si el globo se eleva en línea recta hacia arriba-a una velocidad de 8 pies por segundo, ¿qué tan rápido está aumentando la distancia del observador al globo cuando el globo esta a 50 pies de altura? (Suponga que el globo se suelta desde el nivel del piso.) Prob. 2. Fluye agua hacia un tanque cónico a una razón de 8 pies cúbicos por minuto. Si la altura del tanque es de 12 pies y el radio de su abertura circular es de 6 pies, ¿qué tan rápido se está elevando el nivel del agua cuando el agua tiene una profundidad de 4 pies? 1. Cada arista de un cubo variable está aumentando a razón de 3 pulgadas por segundo. ¿Qué tan rápido está aumentando el volumen del cubo cuando una arista es de 12 pulgadas de longitud? 2. Suponiendo que una burbuja de jabón mantiene su forma esférica conforme se expande, ¿qué tan rápido aumenta el radio cuando el radio es de 3 pulgadas, si se sopla aire a la burbuja a una razón de 3 pulgadas cúbicas por segundo? 3. Un aeroplano, que vuela horizontalmente a una altitud de una milla, pasa directamente sobre un observador. Si la velocidad constante del aeroplano es de 400 millas por hora, ¿qué tan rápido aumenta su distancia al observador 45 segundos más tarde? Sugerencia: Obsérvese que en �3

1

1

�

= hora �, el aeroplano ha recorrido 45 segundos � �4 60 80 � 5 millas. 4. Un estudiante utiliza un popote para beber de un vaso cónico de papel, cuyo eje es vertical, a razón de 3 centímetros cúbicos por segundo. Si la altura del vaso es de 10 centímetros y el diámetro de su abertura es de 6 centímetros, ¿qué tan rápido está bajando el nivel del líquido cuando la profundidad del líquido es de 5 centímetros?

5. Un aeroplano que vuela hacia el oeste a 300 millas por hora pasa por arriba de la torre de control al mediodía, y un segundo aeroplano que vuela hacia el norte, a la misma altitud, a 400 millas por hora, pasa por la torre una hora después. ¿Qué tan rápido está cambiando la distancia entre los aeroplanos a las 2:00 p.m.? GD 6. Una mujer en un muelle jala una cuerda atada a la proa de un pequeño bote. Si las manos de la mujer está 10*pies por encima del punto en donde la cuerda está sujeta al bote, y si ella está recobrando la cuerda a razón de 2 pies por segundo, ¿qué tan rápido se aproxima el bote al muelle cuando falta por recogerse 25 pies de cuerda? GD 7. Una escalera de 20 pies está recargada contra un edificio. Si la parte inferior de la escalera se desliza a lo largo del pavimento alejándose directamente del edificio a una velocidad de 1 pie por segundo, ¿qué tan rápido está descendiendo el extremo superior de la escalera, cuando el pie de la escalera está a 5 pies de la pared? 8. Supongamos que un derrame de petróleo se está limpiando por medio de bacterias esparcidas en él, que consumen el petróleo a una razón de 4 pies cúbicos por hora. El derrame de petróleo está modelado por la forma de un cilindro muy delgado cuya altura es el grosor de la capa de petróleo. Cuando el grosor de la capa es de 0.001 pie, el cilindro tiene 500 pies de diámetro. Si la altura disminuye 0.0005 pie por hora, ¿a qué razón cambia el área de la capa? 9. De un tubo sale arena a razón de 16 pies cúbicos por segundo. Si la arena al caer forma un montón cónico en el piso, cuya altura siempre es 1/4 del diámetro de la base, ¿qué tan rápido aumenta la altura cuando el montón es de 4 pies de altura? Sugerencia: Refiérase a 1 p r2 h . la figura 8 y utilice el hecho de que V = 3

Figura 8 GO 10. Un niño está volando una cometa. Si la cometa está a 90 pies del nivel de la mano del niño y el viento sopla en dirección horizontal a 5 pies por segundo, ¿con qué rapidez suelta cordel el niño, cuando ya ha soltado 150 pies de cordel? (Suponga que el cordel permanece en línea recta desde la mano hasta la cometa, en verdad una suposición poco realista.) 11. Un alberca tiene 40 pies de largo, 20 pies de ancho, 8 pies de profundidad en el extremo más hondo y 3 pies en el extremo menos profundo; el fondo es rectangular (véase la figura 9). Si la alberca se llena bombeándose agua a una razón de 40 pies cúbicos por minuto, ¿con qué rapidez se eleva el nivel del agua cuando la profundidad es de 3 pies en el extremo más hondo?

Figura 9

DU 12. Una partícula P se mueve a lo largo de la gráfica de y = x - 4 , x � 2 , de modo que la abscisa del punto P está aumentando a razón de 5 unidades por segundo. ¿Qué tan rápido está aumentando la ordenada (coordenada y) cuando x = 3? 13. Un disco metálico se dilata con el calor. Si su radio aumenta a razón de 0.02 pulgadas por segundo, ¿con qué rapidez aumenta el área de una de sus cara, cuando su radio es de 8.1 pulgadas? 14. Dos barcos parten desde el mismo puerto en una isla, uno va en dirección norte a 24 nudos (24 millas náuticas por hora) y el otro con rumbo este a 30 nudos. El barco con dirección norte salió a las 9:00 a.m. y el otro dejó el puerto a las 11:00 a.m. ¿Qué tan rápido aumenta la distancia entre ellos a las 2:00 p.m.? Sugerencia: Sea t = 0 a las 11:00 a.m. 15. La luz de un faro, que se encuentra 1 kilómetro alejado de una playa recta, gira a 2 revoluciones por minuto. ¿Con qué rapidez se mueve el rayo de luz a lo largo de la playa, cuando pasa por el punto que se encuentra a 1/2 kilómetro del punto que está enfrente del faro? 1.6. Una aficionada a la aviación observa un aeroplano volar a una altura constante de 4000 pies hacia un punto que se encuentra directamente sobre de ella. Ella observa que cuando el ángulo de elevación es ½ radián, éste aumenta a una velocidad de 1/10 radián por segundo. ¿Cuál es la velocidad del aeroplano? 17. Cristóbal que mide 6 pies de estatura, camina alejándose de un poste de luz, de 30 pies de altura, a una velocidad de 2 pies por segundo. (a) ¿A qué rapidez aumenta la longitud de su sombra, cuando Cristóbal está a 24 pies del poste? ¿A 30 pies? (b) ¿A qué velocidad se mueve el extremo de la sombra? (c) Para seguir el extremo de su sombra, ¿a qué velocidad angular debe levantar sus ojos Cristóbal cuando su sombra es de 6 pies de largo? 18. El ángulo, θ, opuesto a la base de un triángulo isósceles, con lados iguales de longitud 100 centímetros, aumenta a razón de 1/10 de radián por minuto. ¿Con qué rapidez aumenta el área del triángulo cuando el ángulo θ mide π/6 radianes? Sugerencia: A = 1/2 ab sen θ. 2

19. Un largo paso a desnivel de una autopista pasa por encima de una vía de ferrocarril que está 100 pies por debajo y forma un ángulo recto con él. Si un automóvil viaja a 45 millas por hora (66 pies por segundo) está directamente por arriba de la parte delantera de un tren que va a 60 millas por hora (88 pies por segundo), ¿qué tan rápido se están separando 10 segundos después? 20. Un lanchón se acerca al muelle mediante un cable amarrado a un anillo en el suelo del muelle; el cable se enrolla con un torno situado en la cubierta del lanchón, a razón de 2,4 m por minuto. La cubierta está 4.5 m debajo del nivel del muelle. ¿Con qué rapidez se mueve el lanchón hacia el muelle cuando dista de él 6 metros? Sol. 3 m por minuto. 21. Un bote está atado a una cuerda que está arrollada alrededor de un torno situado 7 m más alto que el nivel

del punto en que la cuerda está amarrada al bote. El bote se aleja con la velocidad de 3 m por segundo. ¿Con qué rapidez se desarrolla el cordel cuando dista 10 m del punto que está directamente debajo del torno y al nivel del agua? Sol. 2,46 m por segundo. 22. Uno de los extremos de una escalera de 15 m se apoya contra una pared vertical levantada en un piso horizontal. Supóngase que se empuje el pie de la escalera alejándola de la pared a razón de 0,9 m por minuto, u) ¿Con qué velocidad baja la extremidad superior de la escalera cuando su pie dista 4 m de la pared? b) ¿Cuándo se moverán con la misma velocidad las dos extremidades de la escalera? c) ¿Cuándo baja la extremidad superior de la escalera a razón de 1,2 m por minuto? Sol. a) 0,25 m por minuto; fa) cuando el pie de la escalera dista 7,5 V 2 m de la pared: c) cuando el pie dista 12 m de la pared. 23. Un buque navegaba hacia el Sur a una velocidad de 6 millas por hora; otro navegaba hacia el Este a una velocidad de 8 millas por hora. A las cuatro de la tarde el segundo cruzó la ruta del primero en el punto por el que éste había pasado dos horas antes, a) ¿Cómo variaba la distancia entre los buques a las tres de la tarde?. b) ¿Cómo a las cinco de la tarde? c) ¿Cuándo no variaba la distancia entre ellos? Sol. a) Disminuía 2,8 millas por hora; b) aumentaba 8,73 millas por hora; c) a las 3':17'" de la tarde. 24. Un lado de un triángulo equilátero mide a cm; si aumenta a razón de /; cm por hora, ¿a razón de cuántos centímetros cuadrados por hora aumenta el área? Sol. 3 cm2 por hora. 25. Las aristas de un tetraedro regular miden 10 cm; si aumentan 0,1 cm por minuto, calcular la rapidez de aumento del volumen. 26. Si en un cierto instante las dos dimensiones de un rectángulo son a y b, y su rapidez de variación son m y n, respectivamente, demostrar que la rapidez de variación del área es an + bm. 27. En un cierto instante las tres dimensiones de un paralelepípedo rectangular son 6 m, 8 m y 10 m, y aumentan, respectivamente, 0,2 m. 0,3 m y O, 1 m por segundo. ¿Cuál es la rapidez de variación del volumen?