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Universidad Estatal de Milagro UNIDAD ACADEMICA CIENCIA DE LA INGENIERIA INGENIERIA INDUSTRIAL

ASIGNATURA: CALCULO DE VARIAS VARIABLES

DOCENTE: ING. FABIANI LEONARDO.

TEMA: DERIVADAS DIRECCIONALES Y VECTOR GRADIENTE

INTEGRANTES:   

DARIO MEJIA TUCUNANGO. LEONARDO CUADRADO. RICARDO CHILIQUINGA CRESPO.

MILAGRO - ECUADOR

2014

Contenido INTRODUCCION.............................................................................................. 3 ANTECEDENTES.............................................................................................. 4 BREVES ACONTECIMIENTO DE LA DERIVADAS............................................4 BASE TEORICA................................................................................................ 6 DERIVADAS PARCIALES Y VECTOR GRADIENTE............................................6 DERIVADA DIRECCIONAL..........................................................................6 DEFINICIÓN DE DERIVADAS DIRECCIONALES...........................................8 VECTOR GRADIENTE.................................................................................... 8 PROPIEDADES DE LOS GRADIENTES.........................................................9 METODOLOGIA............................................................................................. 10 APLICACIÓN PROFESIONAL...........................................................................12 CONCLUSIONES............................................................................................ 13 RECOMENDACIONES..................................................................................... 13 BIBLIOGRAFIA............................................................................................... 14

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INTRODUCCION El mundo en el que vivimos todo fenómeno, objeto o elemento está sujeto al estudio en tres dimensiones, por ello es importante entender y aplicar los criterios vectoriales de tal manera que logremos desarrollar las soluciones a las diferentes funciones que en nuestro diario trabajo podamos encontrar. La palabra derivada en nuestro entorno es algo que causa miedo a muchas personas por el hecho que son cálculos algo complejos pero que como todas operaciones tiene sus reglas y manera de resolverlos, pero primero analizando el enunciado para poder extraer una idea que dé con la resolución de dicho problema. Es por esta razón que con mis compañeros queremos compartir nuestro conocimiento en resolución de ejercicio que contenga derivadas direccional y vector gradiente y explicarlo de una manera fácil de entender, como nos hemos caracterizados resolviéndolo paso a paso sin dejar escapar ni un detalle. Además este proyecto contiene conceptos, historia, aplicaciones profesionales y nuestras conclusiones de este tema, esperando que sea de su agrado y que lo tome como un instrumento útil, de esta manera nosotros nos vamos a sentir orgulloso de haber realizado este proyecto.

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ANTECEDENTES BREVES ACONTECIMIENTO DE LA DERIVADAS. En la antigua Grecia (siglo III a.C) empezaron a tener complicaciones con la resolución de algunos problemas de cálculo infinitesimal que, no encontrando un sistema de método para la resolución de aquellos problemas. Las derivadas fue unos de los problemas que tuvieron por más de 20 siglos, ya que cuando se tocaban con problemas donde tenían que resolver diferentes tipos de derivadas, no lograban poder desarrollarla, fue entonces

que en el año 1823 el

matemático Francés Augustin- Louis Cauchy definió estos clases de ejercicios en nombre de Derivadas y esta a su vez desarrollo técnicas para poder resolver estos problemas.

El aporte de otros matemáticos de la época como el Matemático Griego Constantin Carathéodory con su trabajo “Teoria de funciones de variables complejas en, 1954”

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El matemático Francés Maurice Fréchet con su trabajo “Diferencial Total, en 1963” El matemático Francés Rene Gâteaux con su trabajo “derivada direccional en, 1925”

Fueron estos trabajos que le dio un repunte muy alto a las derivadas ya que la gente de

la época desconocía su utilización y resolución. Las derivadas están centradas en el pensamiento evolucionado de cálculo diferencial, aspecto que no es de agrado para los estudiantes de ingeniería por su alto grado de complejidad que tienen su resolución, es por eso que existen diferentes técnicas para una mayor comprensión de la misma.

BASE TEORICA

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DERIVADAS PARCIALES Y VECTOR GRADIENTE

DERIVADA DIRECCIONAL Suponga que deseamos calcular la tasa de cambio de dirección de un vector unitario arbitrario superficie

con ecuación

está sobre

en la dirección del vector

pendiente de la recta tangente en la dirección de

en la

. Para esto consideramos la (la gráfica de)

Entonces el punto punto

en el punto

y sea

. El plano vertical que pasa por el

interseca a la superficie

a la curva

.

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.

en el punto

en la curva

. La

es la tasa de cambio de

Si

es otro punto sobre la curva

sobre el plano vector

de los vectores

y

y Q, entonces el vector

, y por consiguiente

Para algún escalar

, y si

. Así pues,

Y la razón de cambio está dada por

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son las proyecciones

es paralelo al

Y al tomar el límite cunado

obtenemos la tasa de cambio instantánea de

respecto a la distancia) en la dirección de en la dirección de

(con

, la cual se llama derivada direccional de F

.

DEFINICIÓN DE DERIVADAS DIRECCIONALES.

Sea

una función escalar y sean

y

un vector unitario, entonces la derivada direccional de en

en la dirección del vector

, está dada por:

Observación: al comparar la definición de derivada parcial con la de derivada direccional, podemos notar que si entonces y

si, es decir, las derivadas parciales son

derivadas direccionales en la dirección de los vectores canónicos.

VECTOR GRADIENTE

El gradiente se define como el campo vectorial cuyas funciones coordenadas son las derivadas parciales del campo escalar, esto es:

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Esta definición se basa en que el gradiente permite calcular fácilmente las derivadas direccionales. Definiendo en primer lugar la derivada direccional según un vector:

Una forma equivalente de definir el gradiente es como el único vector que, multiplicado por el vector unitario, da la derivada direccional del campo escalar:

Con la definición anterior, el gradiente está caracterizado de forma unívoca. El gradiente se expresa alternativamente mediante el uso del operador nabla:

PROPIEDADES DE LOS GRADIENTES El gradiente verifica que: Es ortogonal a las superficies equiescalares, definidas por

=cte.

Apunta en la dirección en que la derivada direccional es máxima. Su norma es igual a esta derivada direccional máxima. Se anula en los puntos estacionarios (máximos, mínimos y puntos de silla). El campo formado por el gradiente en cada punto es siempre ir rotacional, esto es,

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METODOLOGIA Para resolver ejercicios de derivadas direccionales y vector gradiente, se lo realiza de la siguiente manera para ello tomaremos un ejemplo que procederemos a resolver a continuación donde lo explicaremos paso a paso: Ejemplo: Sea F (x, y)

√ x2 + y 2

a) Encontrar el vector Gradiente de F en el punto P (4,-3) b) Calcular la derivada direccional de F en la dirección del vector del punto P (4,-3) en el punto Q (1,0).

Empezamos por resolver lo que hay dentro de la raíz, en este caso quitamos la raíz cuadrada y colocamos el exponente ½.

F (x, y)

√ x2 + y 2 = (x2 + y2)1/2

A continuación determinamos las derivadas parciales y derivamos por medio de la regla de la cadena y simplificamos. Fx=

∂F ∂x

1

= 2 (x2 + y2)-1/2 * (2x) =

Ya simplificado queda de la siguiente manera

=

x √ x + y2 2

Evaluamos la derivada parcial hacia el punto P (4, -3), entonces Fx (P) =

4 √ 4 +(−3)2 2

=

4 √25

=

4 5

10

4 5

Fx (P) =

∂F ∂y

Fy=

Fy (P) =

Fy (P) =

1

= 2 (x2 + y2)-1/2 * (2y) = −3 √ 4 +(−3)2

−3

= √25 =

2

y √ x + y2 2

−3 5

−3 5

Aplicamos el Vector Gradiente ´ ▼ F (P) = ⟨ Fx ( P ) , Fy(P) ⟩

=

⟨

4 3 ,− 5 5

⟩

=

4^ i 5

-

3^ j 5

R// (a)

Ahora pasamos a resolver el enunciado (b) ´ P Q = Q (1,0) – P (4,-3) ´ P Q = ⟨−3, 3 ⟩ Se calcula la norma, magnitud o módulo

‖P Q´ ‖ = √(−3)2+3 2 = √ 18 = √ 2∗9 = 3 √ 2 ´ Determinamos el vector unitario en dirección del vector P Q ´ U

=

´ PQ ‖P Q´ ‖

=

⟨−3,3 ⟩ 3 √2

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´ U

⟨

=

−3 3 , 3 √2 3 √2

⟩

Simplificamos ´ U

⟨

=

−1 1 , √ 2 √2

⟩

Derivadas direccional de la función F en dirección del vector PQ ´ ´ DuF= ▼ F (P) * U

Reemplazamos

⟩ * ⟨√

=

⟨

=

( 45 ) ( −1√2 )

−1 1 , 2 √2

4 3 ,− 5 5

+

⟩

( −35 ) ( √12 )

Entonces DuF=

−4 5 √2

-

3 5 √2

=

−7 5 √2

Racionalizamos −7 5 √2

DuF=

√2

* √2 = −7 √ 2 10

−7 √ 2 10

R// del enunciado (b)

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APLICACIÓN PROFESIONAL Las derivadas de funciones vectoriales son aplicadas para los siguientes campos que detallaremos a continuación: 

aplicación en la termodinámica y en el análisis de tensiones de figuras de tres dimensiones



En la medición de las escalas de impacto del movimiento de las placas tectónicas es decir de los temblores.



Identificar donde se localiza el epicentro de los temblores.



Medir las orbitas gravitaciones del planeta.



En la fuerza de rozamiento cuando se quiere saber la rapidez, longitud y arco de las partículas.



Se la aplica también en la tensión de los materiales sometida a una carga aplicada.

CONCLUSIONES Este tipo de ejercicios poseen una gran funcionalidad ya que se ve la destreza del estudiante, solo es de analizarlo y resolverlo paso a paso para no equivocarse, claro está que si ya tiene una técnica para resolver de una manera más rápida se la puede aplicar ,sin ni un problema. Las derivadas direccionales y vector gradiente se las utilizan en la vida diaria como acabamos de leer anteriormente en la aplicaciones profesionales es por esta razón que hemos concluidos que es necesario aprenderlas porque siempre las vamos a utilizar. Es de gran necesidad para nosotros que somos estudiante de ingeniería saberlas resolver, y de la manera sencilla que la hemos explicado será de factible comprensión para todos lo que han leído este proyecto.

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RECOMENDACIONES Se recomienda a los estudiantes realizar los siguientes pasos que detallaremos a continuación para poder resolver de una manera analítica y de fácil comprensión. 1. Primero una base sólida en trigonometría 2. Saber derivar por los diferentes métodos 3. Leer bien el enunciado mínimo 2 veces antes de resolverlo. 4. Resolver el ejercicio paso a paso, esto hará que no cometas errores al resolver el problema y en caso de que tengas un error te darás cuenta rápidamente. 5. Para finalizar una vez concluido el ejercicio, volver a revisarlo para comprobar que está bien resuelto.

BIBLIOGRAFIA Calculo de Varias Variables, Trascendentes Tempranas - James Stewart.pdf. Pág. 824- 840 http://revistas.pedagogica.edu.co/index.php/TED/article/viewFile/261/252 http://www.matap.uma.es/~svera/probres/pr3/pr3_4.html http://noticias.espe.edu.ec/raescobar/files/2012/06/CAP4-GradienteDerivadasDireccionales-Plano-Tangente.pdf http://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/SUPERIOR/derivadadireccional/node1.html

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