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• Fortino Gil Ortiz

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RUTA MÁS CORTA 1. Usted debe hacer un viaje en auto a otra ciudad que nunca ha visitado. Estudia un plano para determinar la ruta más corta a su destino. Según la ruta que elija, hay otras cinco ciudades (llamadas A, B, C, D, E) por las que puede pasar en el camino. El plano muestra las millas de cada carretera que es una conexión directa entre dos ciudades sin que otra intervenga. Estas cifras se resumen en la siguiente tabla, donde un guion indica que no hay conexión directa sin pasar por otras ciudades.

a) Formule este problema como uno de la ruta más corta trazando una red donde los nodos son ciudades, los arcos, carreteras, y los números la distancia en millas. b) Formule y resuelve un modelo en hoja de cálculo. c) Si cada número en la tabla representa su costo (en dólares) de manejar de una ciudad a la siguiente, ¿obtiene la ruta de costo mínimo con la respuesta del inciso b o c? d) Si cada número en la tabla representa su tiempo (en minutos) para manejar de una ciudad a la siguiente, ¿obtiene la ruta de tiempo mínimo con la respuesta del inciso b o c? Solución a) Formule este problema como uno de la ruta más corta trazando una red donde los nodos son ciudades, los arcos, carreteras, y los números la distancia en millas.

Investigación de Operaciones II

1

b) Formule y resuelve un modelo en hoja de cálculo. En lugar de usar Solver se usara el software Lingo, el planteamiento del modelo de programación lineal es el siguiente: 

Definir las variables de decisión 𝑥𝑂𝐴 = 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛 𝑂 𝑎 𝑙𝑎 𝑐𝑖𝑢𝑑𝑎𝑑 𝐴 𝑥𝑂𝐵 = 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛 𝑂 𝑎 𝑙𝑎 𝑐𝑖𝑢𝑑𝑎𝑑 𝐵 𝑥𝑂𝐶 = 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛 𝑂 𝑎 𝑙𝑎 𝑐𝑖𝑢𝑑𝑎𝑑 𝐶 𝑥𝐴𝐷 = 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑖𝑢𝑑𝑎𝑑 𝐴 𝑎 𝑙𝑎 𝑐𝑖𝑢𝑑𝑎𝑑 𝐷 𝑥𝐴𝐵 = 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑖𝑢𝑑𝑎𝑑 𝐴 𝑎 𝑙𝑎 𝑐𝑖𝑢𝑑𝑎𝑑 𝐵 𝑥𝐵𝐷 = 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑖𝑢𝑑𝑎𝑑 𝐵 𝑎 𝑙𝑎 𝑐𝑖𝑢𝑑𝑎𝑑 𝐷 𝑥𝐵𝐸 = 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑖𝑢𝑑𝑎𝑑 𝐵 𝑎 𝑙𝑎 𝑐𝑖𝑢𝑑𝑎𝑑 𝐸 𝑥𝐵𝐶 = 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑖𝑢𝑑𝑎𝑑 𝐵 𝑎 𝑙𝑎 𝑐𝑖𝑢𝑑𝑎𝑑 𝐶 𝑥𝐶𝐸 = 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑖𝑢𝑑𝑎𝑑 𝐶 𝑎 𝑙𝑎 𝑐𝑖𝑢𝑑𝑎𝑑 𝐸 𝑥𝐷𝐸 = 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑖𝑢𝑑𝑎𝑑 𝐷 𝑎 𝑙𝑎 𝑐𝑖𝑢𝑑𝑎𝑑 𝐸 𝑥𝐷𝑇 = 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑖𝑢𝑑𝑎𝑑 𝐷 𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑠𝑡𝑖𝑛𝑜 𝑇 𝑥𝐸𝑇 = 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑖𝑢𝑑𝑎𝑑 𝐸 𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑠𝑡𝑖𝑛𝑜 𝑇



Planteamiento de la función objetivo

El objetivo del problema es minimizar la distancia entre el nodo O (origen) y el nodo T (destino), mientras se pasa por distintas ciudades (a, b, c, etc.) por lo tanto: 𝑀𝑖𝑛 𝑍 = 40 𝑋𝑂𝐴 + 60 𝑋𝑂𝐵 + 50𝑋𝑂𝐶 + 70𝑋𝐴𝐷 + 10𝑋𝐴𝐵 + 55𝑋𝐵𝐷 + 40𝑋𝐵𝐸 + 20𝑋𝐵𝐶 + 50 𝑋𝐶𝐸 + 10𝑋𝐷𝐸 + 60𝑋𝐷𝑇 + 80𝑋𝐸𝑇

Investigación de Operaciones II

2



Formulación de las restricciones

Nodo O

𝑋𝑂𝐴 + 𝑋𝑂𝐵 + 𝑋𝑂𝐶 = 1

Nodo A

𝑋𝐴𝐷 + 𝑋𝐴𝐵 = 𝑋𝑂𝐴

Nodo B

𝑋𝑂𝐵 + 𝑋𝐴𝐵 = 𝑋𝐵𝐷 + 𝑋𝐵𝐸

Nodo C

𝑋𝑂𝐶 + 𝑋𝐵𝐶 = 𝑋𝐶𝐸

Nodo D

𝑋𝐴𝐷 + 𝑋𝐵𝐷 = 𝑋𝐷𝐸 + 𝑋𝐷𝑇

Nodo E

𝑋𝐷𝐸 + 𝑋𝐵𝐸 + 𝑋𝐶𝐸 = 𝑋𝐸𝑇

Nodo T

𝑋𝐷𝑇 + 𝑋𝐸𝑇 = 1



Condición de no negatividad

No es necesario especificarlas en la formulación ya que al ser variables de tipo binarias solo toman valores de 1 y 0. El modelo de programación lineal y su solución en Lingo son las siguientes: !PROBLEMA 1; !FUNCIÓN OBJETIVO; MIN=40*XOA+60*XOB+50*XOC+70*XAD+10*XAB+55*XBD+40*XBE+20*XBC+50*XCE+10*XDE +60*XDT+80*XET; !RESTRICCIONES EN LOS NODOS; XOA+XOB+XOC=1; XAD+XAB=XOA; XOB+XAB=XBD+XBE; XOC+XBC=XCE; XAD+XBD=XDE+XDT; XDE+XBE+XCE=XET; XDT+XET=1; @BIN(XOA);@BIN(XOB);@BIN(XOC);@BIN(XAD);@BIN(XAB); @BIN(XBD); @BIN(XBE);@BIN(XBC);@BIN(XCE);@BIN(XDE);@BIN(XDT);@BIN(XET);

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Global optimal solution found. Objective value: Objective bound: Infeasibilities: Extended solver steps: Total solver iterations: Variable XOA XOB XOC XAD XAB XBD XBE XBC XCE XDE XDT XET Row 1 2 3 4 5 6 7 8

165.0000 165.0000 0.000000 0 0 Value 1.000000 0.000000 0.000000 0.000000 1.000000 1.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 1.000000 0.000000

Reduced Cost 40.00000 60.00000 50.00000 70.00000 10.00000 55.00000 40.00000 20.00000 50.00000 10.00000 60.00000 80.00000

Slack or Surplus 165.0000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

Dual Price -1.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

La ruta más corta del problema es la siguiente: (𝑂 − 𝐴)(𝐴 − 𝐵)(𝐵 − 𝐷)(𝐷 − 𝑇) = 40 + 10 + 55 + 60 = 𝟏𝟔𝟓 𝒎𝒊𝒍𝒍𝒂𝒔

c) Si cada número en la tabla representa su costo (en dólares) de manejar de una ciudad a la siguiente, ¿obtiene la ruta de costo mínimo con la respuesta del inciso b o c? R= La ruta de costo mínimo se obtiene con ambos incisos dado que el problema de la ruta más corta puede encontrar soluciones tanto a problemas de distancias, tiempos de traslado y costos. d) Si cada número en la tabla representa su tiempo (en minutos) para manejar de una ciudad a la siguiente, ¿obtiene la ruta de tiempo mínimo con la respuesta del inciso b o c? R= La ruta de tiempo mínimo se obtiene con ambos incisos dado que el problema de la ruta más corta puede encontrar soluciones tanto a problemas de distancias, tiempos de traslado y costos.

Investigación de Operaciones II

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2. En un pequeño aeropuerto que está creciendo, la compañía aérea local piensa comprar un tractor nuevo para mover el tren de carros que llevan y traen el equipaje de los aviones. Dentro de tres años se instalará un nuevo sistema mecanizado de transporte de equipaje, por lo que después no se necesitará el tractor. No obstante, tendrá una carga de trabajo pesada y los costos de operación y mantenimiento aumentarán rápidamente con el tiempo y podrían resultar costeable reemplazarlo en uno o dos años. La siguiente tabla proporciona los costos descontados netos totales asociados con la compra del tractor (precio de compra menos valor de venta del tractor en uso más costos de operación y mantenimiento) al final del año i y si se reemplaza al final del año j (en donde el momento presente es el año 0).

El problema es determinar en qué momento (si existe) debe reemplazarse el tractor para minimizar el costo total durante los tres años. a) Formule el problema como uno de la ruta más corta y trace su diagrama de red. b) Resuelva el modelo. Solución 1. Formule el problema como uno de la ruta más corta y trace su diagrama de red. La formulación del problema se encuentra en el inciso b, el diagrama de red del problema es el siguiente:

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2. Resuelva el modelo. 

Definir las variables de decisión

𝑥01 = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑎𝑙 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑎ñ𝑜 0 𝑦 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑟𝑙𝑜 𝑎𝑙 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑎ñ𝑜 1 𝑥02 = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑎𝑙 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑎ñ𝑜 0 𝑦 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑟𝑙𝑜 𝑎𝑙 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑎ñ𝑜 2 𝑥03 = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑎𝑙 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑎ñ𝑜 0 𝑦 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑟𝑙𝑜 𝑎𝑙 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑎ñ𝑜 3 𝑥12 = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑎𝑙 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑎ñ𝑜 1 𝑦 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑟𝑙𝑜 𝑎𝑙 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑎ñ𝑜 2 𝑥13 = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑎𝑙 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑎ñ𝑜 1 𝑦 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑟𝑙𝑜 𝑎𝑙 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑎ñ𝑜 3 𝑥23 = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑎𝑙 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑎ñ𝑜 2 𝑦 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑟𝑙𝑜 𝑎𝑙 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑎ñ𝑜 3



Definir la función objetivo

𝑀𝑖𝑛 𝑍 = 80,000 𝑥01 + 18,000 𝑥02 + 31,000 𝑥03 + 10,000 𝑥12 + 21,000 𝑥13 + 12,000 𝑥23



Formular las restricciones

Nodo 0

𝑥01 + 𝑥02 + 𝑥03 = 1

Nodo 1

𝑥12 + 𝑥13 = 𝑥01

Nodo 2

𝑥02 + 𝑥12 = 𝑥23

Nodo 3

𝑥03 + 𝑥13 + 𝑥23 = 1



Solución del problema con LINGO

!EJERCICIO 2; !FUNCIÓN OBJETIVO;

MIN=80000*X01+18000*X02+31000*X03+10000*X12+21000*X13+12000*X23; !RESTRICCIONES EN LOS NODOS; X01+X02+X03=1; X12+X13=X01; X02+X12=X23; X03+X13+X23=1; @BIN(X01);@BIN(X02);@BIN(X03); @BIN(X12);@BIN(X13);@BIN(X23);

Investigación de Operaciones II

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Global optimal solution found. Objective value: Objective bound: Infeasibilities: Extended solver steps: Total solver iterations: Variable X01 X02 X03 X12 X13 X23 Row 1 2 3 4 5

Value 0.000000 1.000000 0.000000 0.000000 0.000000 1.000000 Slack or Surplus 30000.00 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

30000.00 30000.00 0.000000 0 0 Reduced Cost 80000.00 18000.00 31000.00 10000.00 21000.00 12000.00 Dual Price -1.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

El costo mínimo para reemplazar el tractor es de $30,000 este costo se obtiene comprando el tractor al final del año 2 y reemplazándolo al final del año 3.

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TRANSBORDO Y ASIGNACIÓN 3.

La empresa ARIS SA de CV se dedica a la producción y venta de lámparas automotrices. Actualmente cuenta con tres plantas productoras y dos centros de distribución que sirven para atender a sus tres clientes principales. La empresa ha conseguido tres nuevos clientes su capacidad instalada ya no será suficiente. Se ha decidido instalar estratégicamente una nueva planta así como un nuevo centro de distribución de tal forma que se pueda satisfacer la demanda mensual de sus ahora seis clientes principales. Bajo estas condiciones debe definirse un esquema de distribución del producto desde las plantas hasta los centros de distribución y de éstos a los clientes. Las siguientes tablas muestran la capacidad de producción mensual de las plantas y la demanda mensual de los clientes, considere que los centros de distribución pueden manejar cualquier volumen de producto:

Planta A B C D

Cliente I II III IV V VI

Cap. De Producción 18,000 27,000 32,000 58,000

Demanda 26,000 24,000 24,000 13,000 35,000 13,000

La utilidad unitaria asociada por transportar una unidad desde cada planta hasta cada centro de distribución se muestra en la siguiente tabla: Planta A B C D

Centro de Distribución 1 2 3 3 4 5 2 3 1 4 3 4 2 1 2

Centro de distribución 1 2 3

I 6 5 4

II 6 2 7

Cliente III IV 4 3 9 5 3 5

V 9 7 6

VI 5 8 3

Al mismo tiempo debe decidirse quienes se encargaran de la administración de cada uno de los centros de trabajo. Se han estimado beneficios para la asignación de cada uno de los gerentes en cada uno de los centros de trabajo: Gerente I II III IV V VI VII

A 13000 17500 15000 10000 10000 12500 17500

Planta B C 17500 10000 24500 20000 25000 17500 22500 20000 19000 21000 20000 25000 18000 17500

D 22500 15000 17500 19000 20000 21000 17500

Centro de distribución 1 2 3 16000 17500 22500 12500 12500 25000 25000 22500 15000 15000 11000 10000 19000 10000 18000 17500 11500 12500 17500 22500 15000

Formule un solo modelo de programación lineal que represente el caso mencionado y resuelva.

Investigación de Operaciones II

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Solución 

Definir las variables de decisión

Para el problema de transbordo 𝑥11 = 𝑈𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑡𝑎 𝐴 𝑎𝑙 𝑐. 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 1 𝑥12 = 𝑈𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑡𝑎 𝐴 𝑎𝑙 𝑐. 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 2 𝑥13 = 𝑈𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑡𝑎 𝐴 𝑎𝑙 𝑐. 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 3 𝑥21 = 𝑈𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑡𝑎 𝐵 𝑎𝑙 𝑐. 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 1 𝑥22 = 𝑈𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑡𝑎 𝐵 𝑎𝑙 𝑐. 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 2 𝑥23 = 𝑈𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑡𝑎 𝐵 𝑎𝑙 𝑐. 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 3 𝑥31 = 𝑈𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑡𝑎 𝐶 𝑎𝑙 𝑐. 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 1 𝑥32 = 𝑈𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑡𝑎 𝐶 𝑎𝑙 𝑐. 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 2 𝑥33 = 𝑈𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑡𝑎 𝐶 𝑎𝑙 𝑐. 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 3 𝑥41 = 𝑈𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑡𝑎 𝐷 𝑎𝑙 𝑐. 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 1 𝑥42 = 𝑈𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑡𝑎 𝐷 𝑎𝑙 𝑐. 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 2 𝑥43 = 𝑈𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑡𝑎 𝐷 𝑎𝑙 𝑐. 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 3 𝑦11 = 𝑈𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑐. 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 1 𝑎𝑙 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 1 𝑦12 = 𝑈𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑐. 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 1 𝑎𝑙 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 2 𝑦13 = 𝑢𝑈𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑐. 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 1 𝑎𝑙 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 3 𝑦14 = 𝑈𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑐. 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 1 𝑎𝑙 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 4 𝑦15 = 𝑈𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑐. 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 1 𝑎𝑙 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 5 𝑦16 = 𝑈𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑐. 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 1 𝑎𝑙 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 6 𝑦21 = 𝑈𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑐. 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 2 𝑎𝑙 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 1 𝑦22 = 𝑈𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑐. 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 2 𝑎𝑙 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 2 𝑦23 = 𝑈𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑐. 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 2 𝑎𝑙 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 3 𝑦24 = 𝑈𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑐. 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 2 𝑎𝑙 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 4 𝑦25 = 𝑈𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑐. 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 2 𝑎𝑙 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 5 𝑦26 = 𝑈𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑐. 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 2 𝑎𝑙 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 6 𝑦31 = 𝑈𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑐. 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 3 𝑎𝑙 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 1 𝑦32 = 𝑈𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑐. 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 3 𝑎𝑙 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 2

Investigación de Operaciones II

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𝑦33 = 𝑈𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑐. 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 3 𝑎𝑙 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 3 𝑦34 = 𝑈𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑐. 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 3 𝑎𝑙 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 4 𝑦35 = 𝑈𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑐. 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 3 𝑎𝑙 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 5 𝑦36 = 𝑈𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑐. 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 3 𝑎𝑙 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 6

Para el problema de asignación 𝑎𝑖𝑗 = 𝐴𝑠𝑖𝑔𝑛𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑔𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖 𝑎𝑙 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑗 𝑖 = 1,2,3 … 7 𝑗 = 1,2,3 … 7



Planteamiento de la función objetivo

𝑀𝑎𝑥 𝑍 = 3𝑥11 + 4𝑥12 + 5𝑥13 + 2𝑥21 + 3𝑥22 + 1𝑥23 + 4𝑥31 + 3𝑥32 + 4𝑥33 + 2𝑥41 + 1𝑥42 + 2𝑥43 + 6𝑦11 + 6𝑦12 + 4𝑦13 + 3𝑦14 + 9𝑦15 + 5𝑦16 + 5𝑦21 + 2𝑦22 + 9𝑦23 + 5𝑦24 + 7𝑦25 + 8𝑦26 + 4𝑦31 + 7𝑦32 + 3𝑦33 + 5𝑦34 + 6𝑦35 + 3𝑦36 + 13000𝑎11 + 17500𝑎12 + 10000𝑎13 + 22500𝑎14 + 16000𝑎15 + 17500𝑎16 + 22500𝑎17 + 17500𝑎21 + 24500𝑎22 + 20000𝑎23 + 15000𝑎24 + 12500𝑎25 + 12500𝑎26 + 25000𝑎27 + 15000𝑎31 + 25000𝑎32 + 17500𝑎33 + 17500𝑎34 + 25000𝑎35 + 22500𝑎36 + 15000𝑎37 + 10000𝑎41 + 22500𝑎42 + 20000𝑎43 + 19000𝑎44 + 15000𝑎45 + 11000𝑎46 + 10000𝑎47 + 10000𝑎51 + 19000𝑎52 + 21000𝑎53 + 20000𝑎54 + 19000𝑎55 + 10000𝑎56 + 18000𝑎57 + 12500𝑎61 + 20000𝑎62 + 25000𝑎63 + 21000𝑎64 + 17500𝑎65 + 11500𝑎66 + 12500𝑎67 + 17500𝑎71 + 18000𝑎72 + 17500𝑎73 + 17500𝑎74 + 17500𝑎75 + 22500𝑎76 + 15000𝑎77



Formulación de las restricciones

Para los nodos de ofertas Planta A

𝑥11 + 𝑥12 + 𝑥13 ≤ 18000

Planta B

𝑥21 + 𝑥22 + 𝑥23 ≤ 27000

Planta C

𝑥31 + 𝑥32 + 𝑥33 ≤ 32000

Planta D

𝑥41 + 𝑥42 + 𝑥43 ≤ 58000

Investigación de Operaciones II

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Para los nodos de transbordo C. Distribución 1

𝑥11 + 𝑥21 + 𝑥31 + 𝑥41 = 𝑦11 + 𝑦12 + 𝑦13 + 𝑦14 + 𝑦15 + 𝑦16

C. Distribución 2

𝑥12 + 𝑥22 + 𝑥32 + 𝑥42 = 𝑦21 + 𝑦22 + 𝑦23 + 𝑦24 + 𝑦25 + 𝑦26

C. Distribución 3

𝑥13 + 𝑥23 + 𝑥33 + 𝑥43 = 𝑦31 + 𝑦32 + 𝑦33 + 𝑦34 + 𝑦35 + 𝑦36

Para los nodos de demanda Cliente 1

𝑦11 + 𝑦21 + 𝑦31 = 26000

Cliente 2

𝑦12 + 𝑦22 + 𝑦32 = 24000

Cliente 3

𝑦13 + 𝑦23 + 𝑦33 = 24000

Cliente 4

𝑦14 + 𝑦24 + 𝑦34 = 13000

Cliente 5

𝑦15 + 𝑦25 + 𝑦35 = 35000

Cliente 6

𝑦16 + 𝑦26 + 𝑦36 = 13000

Para la asignación de gerentes Gerente 1

𝑎11 + 𝑎12 + 𝑎13 + 𝑎14 + 𝑎15 + 𝑎16 + 𝑎17 = 1

Gerente 2

𝑎21 + 𝑎22 + 𝑎23 + 𝑎24 + 𝑎25 + 𝑎26 + 𝑎27 = 1

Gerente 3

𝑎31 + 𝑎32 + 𝑎33 + 𝑎34 + 𝑎35 + 𝑎36 + 𝑎37 = 1

Gerente 4

𝑎41 + 𝑎42 + 𝑎43 + 𝑎44 + 𝑎45 + 𝑎46 + 𝑎47 = 1

Gerente 5

𝑎51 + 𝑎52 + 𝑎53 + 𝑎54 + 𝑎55 + 𝑎56 + 𝑎57 = 1

Gerente 6

𝑎61 + 𝑎62 + 𝑎63 + 𝑎64 + 𝑎65 + 𝑎66 + 𝑎67 = 1

Gerente 7

𝑎71 + 𝑎72 + 𝑎73 + 𝑎74 + 𝑎75 + 𝑎76 + 𝑎77 = 1

Planta A

𝑎11 + 𝑎21 + 𝑎31 + 𝑎41 + 𝑎51 + 𝑎61 + 𝑎71 = 1

Planta B

𝑎12 + 𝑎22 + 𝑎32 + 𝑎42 + 𝑎52 + 𝑎62 + 𝑎72 = 1

Planta C

𝑎13 + 𝑎23 + 𝑎33 + 𝑎43 + 𝑎53 + 𝑎63 + 𝑎73 = 1

Planta D

𝑎14 + 𝑎24 + 𝑎34 + 𝑎44 + 𝑎54 + 𝑎64 + 𝑎74 = 1

C. Distribución 1

𝑎15 + 𝑎25 + 𝑎35 + 𝑎45 + 𝑎55 + 𝑎65 + 𝑎75 = 1

C. Distribución 2

𝑎16 + 𝑎26 + 𝑎36 + 𝑎46 + 𝑎56 + 𝑎66 + 𝑎76 = 1

C. Distribución 3

𝑎17 + 𝑎27 + 𝑎37 + 𝑎47 + 𝑎57 + 𝑎67 + 𝑎77 = 1

Investigación de Operaciones II

11



Condición de No negatividad 𝑥𝑖𝑗 ≥ 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑎 𝑖 𝑦 𝑗 𝑦𝑖𝑗 ≥ 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑎 𝑖 𝑦 𝑗 𝑎𝑖𝑗 ≥ 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑎 𝑖 𝑦 𝑗 𝑖 = 1, 2, 3 … 𝑛 𝑗 = 1, 2, 3 … 𝑛



Diagrama de red del problema

Los diagramas usados para resolver ambos problemas tanto transbordo como asignación son los siguientes:

Investigación de Operaciones II

12

Investigación de Operaciones II

13



Solución por Lingo

!EJERCICIO 3; !FUNCIÓN OBJETIVO; MAX=3*x11+4*x12+5*x13+2*x21+3*x22+1*x23+4*x31+3*x32+4*x33+2*x41+1*x42+2*x 43+6*y11+6*y12+4*y13+3*y14+9*y15+5*y16+5*y21+2*y22+9*y23+5*y24+7*y25+8*y2 6+4*y31+7*y32+3*y33+5*y34+6*y35+3*y36+13000*a11+17500*a12+10000*a13+22500 *a14+16000*a15+17500*a16+22500*a17+17500*a21+24500*a22+20000*a23+15000*a2 4+12500*a25+12500*a26+25000*a27+15000*a31+25000*a32+17500*a33+17500*a34+2 5000*a35+22500*a36+15000*a37+10000*a41+22500*a42+20000*a43+19000*a44+1500 0*a45+11000*a46+10000*a47+10000*a51+19000*a52+21000*a53+20000*a54+19000*a 55+10000*a56+18000*a57+12500*a61+20000*a62+25000*a63+21000*a64+17500*a65+ 11500*a66+12500*a67+17500*a71+18000*a72+17500*a73+17500*a74+17500*a75+225 00*a76+15000*a77; !RESTRICCIONES; x11+x12+x13