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Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Estado de México Enero de 2016.

Ejercicio 3.10, página 76 Se sabe que la varilla de conexión AB ejerce una fuerza de 500 lb sobre la manivela BC dirigid hacia abajo y a la izquierda a lo largo de la línea central de AB. Determine el momento de la fuerza respecto de C.

Estrategia: Dibujamos un diagrama de cuerpo libre para obtener las componentes de la fuerza y otro para el vector r, y una vez con estos datos aplicamos la ecuación: 𝑀 = 𝑟⃑ 𝑥 𝐹⃑

Solución: Con este diagrama obtenemos las componentes de 𝐹⃑ 𝑦 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝛼 ∶ 𝐹⃑ = −𝐹( sin(𝛼) 𝑖̂ + cos(𝛼) 𝑗̂) tan(𝛼) =

1.68

𝛼 = 𝑡𝑎𝑛−1 (

5.76

1.68 5.76

) =16.26°

Tenemos que el vector 𝑟⃑ 𝑒𝑠 ∶ 𝑟⃑ = 0𝑖̂ + 3.52𝑗̂ Y aplicamos la ecuación : 𝑖̂ 𝑟⃑ 𝑥 𝐹⃑ = | 0 −140 𝑟⃑ 𝑥 𝐹⃑ = 492.8

𝑗̂ 3.53 480

𝑘̂ 0| 0

𝑙𝑏 𝑖𝑛

1

Ejercicio 3.13, página 77 Se sabe que es necesario aplicar una fuerza que produzca un momento de 960 Nm con respecto de D para tensar el cable al poste CD. Si la capacidad del malacate AB es de 2400 N, determine el valor mínimo de la distancia d para crear el momento especificado respecto del punto D. Estrategia: Dibujamos un diagrama de cuerpo libre para obtener las componentes de la fuerza y otro para el vector r, y una vez con estos datos aplicamos la ecuación: 𝑀 = 𝑟⃑ 𝑥 𝐹⃑

Solución:

Con este diagrama obtenemos las componentes de 𝐹⃑ 𝑦 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝛼 ∶ 𝐹⃑ = −𝐹(cos(𝛼)𝑖̂ + sin(𝛼) 𝑗̂) tan(𝛼) =

.875 𝑑+.2

Tenemos que el vector 𝑟⃑ 𝑒𝑠 ∶ 𝑟⃑ = −𝑑 ̂𝑖 + 0𝑗̂

Y aplicamos la ecuación : 𝑖̂ 𝑟⃑ 𝑥 𝐹⃑ = | −𝑑 −𝐹𝑐𝑜𝑠(𝛼)

𝑗̂ 𝑘̂ 0 0| −𝐹𝑠𝑖𝑛(𝛼) 0

𝑟⃑ 𝑥 𝐹⃑ = 𝑑𝐹𝑠𝑖𝑛(𝛼) Como sabemos que el 𝑀𝐷 = 960 𝑦 𝐹 = 2400, 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑀𝐷 = 𝑑𝐹𝑠𝑖𝑛(𝛼) 960 = 𝑑𝐹𝑠𝑖𝑛(𝛼) 960 =

𝑑 (𝐹)(. 875) √. 8752 + (𝑑 + .2)2

=

2100𝑑 √. 8752 + (𝑑 + .2)2

√. 8752 + (𝑑 + .2)2 = 2.187 𝑑 Elevando al cuadrado ambos lados de la ecuacion e igualando a 0 tenemos: 3.785𝑑 2 − .4𝑑 − .8056 = 0 d = 0.517m

2

Ejercicio 3.22, página 78 Una lancha pequeña cuelga de dos grúas, una de las cuales se muestra en la figura. La tensión en la línea ABAD es de 82 lb. Determinar el momento respecto de C de la fuerza resultante 𝑅𝐴 ejercida sobre la grúa en A. Estrategia: Obtenemos las componentes de la fuerza resultante que actúa en el punto A y obtenemos el vector 𝑟⃑𝐴 para poder aplicar la 𝐶

ecuación 𝑀 = 𝑟⃑ 𝑥 𝐹⃑ .

Solución: Calculamos la fuerza resultante y la expresamos en sus componentes T = 82 lb ⃑⃑⃑⃑⃑ 𝑅𝐴 = −2𝑇𝑗̂ + 𝑇 [

6𝑖̂ − 7.75𝑗̂ − 3𝑘̂ 6𝑖̂ − 7.75𝑗̂ − 3𝑘̂ ] = 𝑇[ ] 10.25 10.25

⃑⃑⃑⃑⃑ 𝑅𝐴 = 48𝑖̂ − 226𝑗̂ − 24𝑘̂

Obtenemos el vector 𝑟⃑𝐴 𝐶

𝑟⃑𝐴⁄ = 7.75𝑗̂ + 3𝑘̂ 𝐶

Aplicamos la ecuación: 𝑀𝐶 = 𝑟⃑𝐴⁄ 𝑥 ⃑⃑⃑⃑⃑ 𝑅𝐴 𝐶

𝑖̂ 𝑀𝐶 = | 0 48

𝑗̂ 7.75 −226

𝑘̂ 3 | −24

𝑀𝐶 = (492𝑖̂ + 144𝑗̂ − 372𝑘̂)𝑙𝑏/𝑓𝑡

3

Ejercicio 3.26, página 78 El aguilón AB de 6 m que se muestra en la figura tiene un extremo fijo en A. Un cable de acero se estira desde el extremo libre B del aguilón hasta el punto C ubicado en la pared vertical. Si la tensión en el cable es de 2.5 kN, determine el momento respecto de A de la fuerza ejercida por el cable en B.

Estrategia: Obtenemos las componentes de la fuerza resultante que actúa en el punto A y obtenemos el vector 𝑟⃑𝐵 para poder aplicar la 𝐴

ecuación 𝑀 = 𝑟⃑ 𝑥 𝐹⃑ .

Solución: F = 2.5kN

Calculamos la fuerza y la expresamos en sus componentes

⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 𝐹𝐵𝐶 = 𝐹 [

−6𝑖̂ + 2.4𝑗̂ − 4𝑘̂ ] 7.6

Obtenemos el vector 𝑟⃑𝐵 𝐴

𝑟⃑𝐵⁄ = 6 𝑖̂ 𝐴

Aplicamos la ecuación:

𝑀𝐴 = 𝑟⃑𝐵⁄ 𝑥 ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 𝑅𝐵𝐴 𝐴

𝑖̂ 6 𝑀𝐴 = | −6𝐹 7.6

𝑗̂ 0 2.4𝐹 7.6

𝑘̂ 0 | −4𝐹 7.6

𝑀𝐶 = 7.89𝑗̂ + 4.73𝑘̂

4

Ejercicio 3.41, página 87 El tubo de 20 pulg se desliza a lo largo de una varilla horizontal. Los extremos A y B del tubo se conectan al punto fijo C mediante cordones elásticos. En la posición correspondiente a x=11 pulg, determine el ángulo que forman los dos cordones, a) con la ecuación (3.32) y b) con la aplicación de la ley de cosenos al triángulo ABC. Estrategia: Obtenemos las componentes de cada vector así como su magnitud para poder aplicar la ecuación: cos 𝛼 =

𝑃𝑥 𝑄𝑥 +𝑃𝑦𝑄𝑦 +𝑃𝑧 𝑄𝑧 𝑃𝑄

.

Solución: a) ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 𝐹𝐶𝐴 = 11𝑖̂ − 12𝑗̂ + 24𝑘̂

𝐹𝐶𝐴 = 29 𝑖𝑛

⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 𝐹𝐶𝐵 = 31𝑖̂ − 12𝑗̂ + 24𝑘̂

𝐹𝐶𝐵 = 41 𝑖𝑛

Sustituyendo los valores en la ecuación tenemos: cos 𝛼 =

11(31) + (−12)(−12) + (24)(24) (29)(41)

𝛼 = 26.8° Utilizamos la ley de cosenos y despejamos 𝛼: b) Usando ley de cosenos (𝐴𝐵)2 = (𝐶𝐴)2 + (𝐶𝐵)2 − 2(𝐶𝐴)(𝐶𝐵) cos 𝛼 202 =292 + 412 − 2(29)(41) cos 𝛼 𝛼 = 26.8°

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Ejercicio 3.59, página 78 El marco aCD está articulado en A y D y se sostiene mediante un cable que pasa a través de un anillo en B y está unido a los ganchos en Gy H. Si se sabe que la tensión en el cable es de 450N, determine el momento respecto a la diagonal AD de la fuerza sobre el marco por el tramo BH del cable.

Estrategia: Utilizaremos la ecuación para calcular el momento respecto a un eje, que quedaría de la siguiente manera: 𝑀𝐴𝐷 = 𝜆𝐴𝐷 𝑀𝐷 = 𝜆𝐴𝐷 (𝑟⃑𝐴𝐵 𝑥 ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 𝐹𝐵𝐻 . )

Solución: Obtenemos el vector unitario 𝜆𝐴𝐷 : 𝜆𝐴𝐷 = [

−1𝑖̂ + 0𝑗̂ + .75𝑘̂ ] 1.25

Ahora debemos encontrar 𝑟⃑𝐴𝐵 𝑦 ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 𝐹𝐵𝐻 : F=450 N 𝑟⃑𝐴𝐵 =.5 𝑖̂ ̂

.375𝑖̂+.75𝑗̂ −.75𝑘 ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 𝐹𝐵𝐻 = 𝐹 [ ]= 400[. 375𝑖̂ + .75𝑗̂ − .75𝑘̂] 1.125

Una vez que tenemos estos datos aplicamos la ecuación 1 1.25 𝜆𝐴𝐷 (𝑟⃑𝐴𝐵 𝑥 𝐹⃑𝐵𝐻 ) = | .5 400(.375) −

𝑀𝐴𝐷 =(.5)(400)(.75)(

.75 1.25

0 0 400(.75)

. 75 1.25 | 0 400(−.75)

)

𝑀𝐴𝐷 = 90𝑁

6