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• Annel Castillo

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Problema 1 Erma McZeal está a cargo del control de calidad del suministro de agua para la ciudad de Chicago. Actualmente funcionan tres estaciones de prueba que están localizadas en el lago Michigan. Si mediante (x1, x2) expresamos las coordenadas en kilómetros, las tres ubicaciones existentes quedaran distribuidas en la siguiente forma:   

estación 1: x1=2, x2=10 estación 2: x1=6, x2=6 estación 3: x1=1, x2=3

La tarea de Erma consiste en ubicar una nueva estación de manera que la distancia total de la nueva estación a las otras tres ya existentes se minimice. Suponga que, por causa de la ubicación de los canales existentes, la distancia se tiene que medir en trayectorias rectangulares. En otras palabras, si la nueva estación se ubica en (x1=3, x2 =4), estará a una distancia de | 3-2 | + | 4 -10 |, o sea 7(=1+ 6) unidades de la estación 1; y así sucesivamente. Sean (x1, x2) las coordenadas de la nueva estación. Formule un modelo de programación por metas para resolver el problema de Erma. MIN =P∗(U 1+V 1)+Q∗(U 2+V 2)+ R∗(U 3+V 3);

!S . A . ; @|(X −2)|+@|(Y −10)|+U 1−V 1=0 ; @|(X −6)|+@|( Y −6)|+U 2−V 2=0 ; @|(X −1)|+@|(Y −3)|+U 3−V 3=0 ; P=1 ; Q=1 ; R=1 ;

Teniendo como coordenadas finales x=2 y y=6.

Problema 2 Una empresa fabrica dos productos. Cada uno de ellos tiene que ser elaborado utilizando dos máquinas, cada una de las cuales tiene 240 minutos de capacidad disponible todos los días. Cada unidad del producto 1 requiere 20 minutos en la maquina 1 y 12 minutos en la maquina 2. Cada unidad del producto 2 requiere 12 minutos en la maquina 1 y 20 minutos en la maquina 2. Al buscar la mezcla de productos diaria, la gerencia desea alcanzar las siguientes metas:   

La producción total conjunta de 12 unidades La fabricación de 9 unidades del producto 2 La fabricación de 10 unidades del producto 1

Suponga que la gerencia deseara minimizar el faltante para el logro de cada una de estas metas y que las ponderaciones de prioridad predeterminadas w1, w2, y w3 fueran asignadas a las tres metas, respectivamente. Formule esta situación como un modelo de programación por metas. Programación opcional MIN =1∗U 1+2∗U 2+ 3∗U 3 ;

!S . A . ; 20∗X 1+12∗X 2≤240 ;

12∗X 1+20∗X 2≤240 ; X 1+ X 2+U 1−V 1=12 ;

X 2+U 1−V 1=9 ; X 1+U 3−V 3=10 ;

X 1≥0 ; X 2≥0 ; U 1≥0 ; V 1≥0 ; U 2≥0 ; V 2≥0 ; U 3≥0; V 3≥0 ;

Programación optima

MIN =U 1+V 1+U 2+V 2+U 3+V 3; !S . A . ;

20∗X 1+12∗X 2≤240 ; 12∗X 1+20∗X 2≤240 ;

X 1+ X 2+U 1−V 1=12 ; X 1+U 2−V 2=10 ;

X 2+U 3−V 3=9 ; X 1≥0 ; X 2≥0 ; U 1≥0 ; V 1≥0 ; U 2≥0 ; V 2≥0 ; U 3≥0; V 3≥0 ;

Como se puede observar la programación óptima obtiene mayor resultado ya que las metas no tienen ponderación, en otras palabras, las tres metas tienen el mismo valor para cumplirse. Sin embargo la programación opcional destaca ponderaciones por objetivos.

Problema 3 T&C Furniture Company (TCFC) fabrica mesas y sillas. Escriba las restricciones de las metas para los siguientes objetivos (las variables T y C representan, respectivamente, el número de mesas y sillas producidas en un periodo): 







La fabricación de una mesa requiere 10 horas y la de una silla 5 horas. El número total de horas de trabajo disponibles por periodo es de 3,200. Aunque el tiempo ocioso y las horas extraordinarias de trabajo son opciones aceptables, TCFC desea que el número total de horas de trabajo se aproxime lo más posible a 3,200. Se utiliza una pieza de madera para fabricar una mesa y media pieza para una silla; durante un periodo determinado se dispone de 300 piezas de madera y no es posible comprar más. TCFC desea utilizar lo más posible de esta reserva de madera durante cada periodo. TCFC fabrica mesas sobre pedido y se ha comprometido a proveer 200 mesas en un periodo dado. Cualquier mesa adicional que produjera tendría que mantenerse en inventario, y la compañía desea minimizar el número de mesas que mantenga en inventario. La demanda de sillas es incierta, pero se estima que será de entre 200 y 250. La compañía desea fabricar sillas aproximándose lo más posible a estas cifras.

Min=v 1+u 2+v 3+u 4 +v 4 ; ! s . a. ;

10∗x 1+5∗x 2−v 1≤3200; 1∗x 1+ .5∗x 2+ u2≥300 ;

x 1−v 3≤200 ; x 2+u 4≥200 ;

x 2−v 4≤250 ; X 1≥0 ; X 2≥0 ; U 1≥0 ; V 1≥0 ; U 2≥0 ; V 2≥0 ; U 3≥0; V 3≥0 ; U 4≥0 ; V 4≥0 ;

Problema 4 Considere el siguiente programa por metas:

MIN =P 1∗U 2+ P 2∗V 1+ P 3∗U 3 ;

!S . A . ; X 1+ X 2+U 1−V 1=80 ;

X 1+U 2−V 2=100 ; X 2+U 3≥45 ;

X 1≥0 ; X 2≥0 ; U 1≥0 ; V 1≥0 ; U 2≥0 ; V 2≥0 ; U 3≥0;

a) ¿Se ha alcanzado la meta correspondiente a la primera prioridad? No se alcanza la prioridad 1 ya que le faltan 65 para lograr el objetivo de 100.

b) Y que podemos decir de la segunda y tercera prioridades? Nota: en caso de que exista una cantidad faltante o excedente para el logro preciso de las metas, indique los montos numericos reales de esas discrepancias. Si se alcanzan las 2 prioridades, ya que en la segunda prioridad menciona que x 1+ x 2=80 y como resultado tenemos 35+45=80 y en la tercera prioridad cumple.

x 2=45

donde se cumple observa en el resultado que si se