PROBLEMARIO 4
8.1 Dibujar el diagrama de cuerpo libre ya que la superficie sigue una función sinusoidal con una amplitud de 1 mm y un
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8.1 Dibujar el diagrama de cuerpo libre
ya que la superficie sigue una función sinusoidal con una amplitud de 1 mm y una longitud de onda de 5m podemos escribir la función de desplazamiento de altura del nivel de la rueda como:
(
(
)
(
)
(
(
√
√
)
)
)
Amplitud de la velocidad y la aceleración: (
(
(
)
(
)
(
)
(
)
)
(
)
= √
(
)
) (
)
8.15 un volante, de 100 lb de peso y excentricidad 0.5 pulg. Esta montado en el centro de una flecha de acero de 1 pulg de diámetro. Si la longitud de la flecha entre los rodamientos es de 30 pulg y la velocidad de rotación del volante es de 1200 rpm, encuentre: a) La velocidad critica b) La amplitud de vibración del rotor c) La fuerza transmitida a los soportes de rodamiento
a) Determine el modulo de Young (
)(
Convertir la velocidad de rotación en unidad adecuada
La velocidad de rotación del eje es 125.664 rad/s Determinamos:
)
Aplicando la ecuación 1 y 2
Sustituimos l con 30 in y D con 1 in. ( ) (
)
Calcular la frecuencia natural √ Sustituimos m con 100 lb
(
√
)
(
)
b) calcular la amplitud del movimiento circular por siguiente relación [(
)
( (
)[(
]
) (
) )
c) desviación del centro de masa √ √(
)
(
)
(
)
]
Reacción rodamiento
(
)(
) (
)
la fuerza transmitida a los soportes de cojinete es
8.17 Una flecha de acero de 2.5 cm de diámetro y 1 m de longitud está soportada por sus dos extremos en rodamientos. Lleva un disco de turbina, de 20 kg de masa y 0.005 m de excentricidad, a la mitad y funciona a 6000 rpm. El amortiguamiento en el sistema equivale a amortiguamiento viscoso con z 5 0.01. Determine la amplitud de remolineo del disco a (a) la velocidad de operación, (b) la velocidad crítica y (c) 1.5 veces la velocidad crítica. Un eje de acero funciona a 6000rpm. Se lleva un disco de turbina de 20 kg de masa y 0,005 M excentricidad. A continuación se muestra el eje de la
configuración y el rotor. Convertir el diámetro del eje en la unidad Sl. Diámetro del eje D=2.5cm=0.025m Determinar el módulo de Young de acero, E como 207x109 N/m2 Convertir la velocidad de rotación, ω en la unidad adecuada. ω
La velocidad de rotación del eje, ω ES 628.319 rad / s a) El eje se supone que está actuando como una viga simplemente apoyada. La rigidez del eje se puede calcular mediante el uso de relación siguiente:
(1) Con I es el segundo momento de inercia y L es la longitud del eje. El segundo momento de inercia del eje rígido se determina como: (2) Cómo D es el diámetro del eje. Mediante la aplicación de la ecuación (2) a la ecuación (1), la rigidez del eje se puede reescribir como:
Sustituir l con 1m, D con 0,025m, E con un valor determinado de 207x109N/m 2. (
)
( ) El eje tiene una rigidez, kt de 190520,4 N / m. Calcular la frecuencia natural por el siguiente ecuación:: √ Cómo m es la masa del rotor. Sustituir m con 20 kg y con 190.520,4 kt N / m. √
(
)(
)
El sistema de vibración tiene frecuencia natural, ωn de 305.758 rad / s. Calcular la amplitud de giro del disco a la velocidad de funcionamiento mediante el uso de la siguiente ecuación. [(
)
(
) ]
(3)
Como e es la relación de excentricidad y ξ es el factor de amortiguamiento. Y r es relación de frecuencias, el calculado por:
Sustituto de ω con 628.319 rad / s y ωn con 305.758 rad / s.
Dado que la relación de frecuencia se determina, la amplitud de giro se puede calcular mediante la sustitución de e con 0,005m, r con 2,0549, y ξ con 0,01 en la ecuación (3). [(
(
( (
) )
) (
)) ]
La amplitud de giro del disco a la velocidad de operación, A es 6.53mm. b) Si el eje funciona a velocidad crítica, la velocidad de funcionamiento a la velocidad crítica se determina por: √ Sustituir ωn con 305.758 rad / s y ξ con 0,01.
√
(
)
La velocidad crítica del sistema, es ωcr 306.370 rad / s. La relación de frecuencia se determina por:
Sustituir ωn con 305.758 rad / s y ωcr con 306.370 rad / s.
La relación de frecuencia a la velocidad crítica, r es 1.002. Por lo tanto la amplitud de giro se determina por: [(
)
) ]
(
Sustituir e con 0.005m, r con 1.002, y ξ con 0.01. ( [(
(
) )
)
(
(
)) ]
La amplitud de giro del disco a la velocidad crítica es 0.250013m. c) El eje funciona a 1,5 veces de la velocidad crítica. La relación de frecuencia puede ser mediante el uso de relación siguiente.
Sustituir ratcr con 1.002 (
)
La relación de frecuencias de 1,5 hora de la velocidad crítica, r es 1.50015 Por lo tanto la amplitud de giro se determina por: [(
)
(
) ]
Sustituir e con 0.005m, r con 1.50015, y ξ con 0.01. [(
(
) )
( (
) (
)) ]
La amplitud de giro del disco en 1.5 veces de la velocidad crítica es 8.996mm.
8.23 La masa reciprocante, el radio del cigüeñal y la longitud de cada uno de los cilindros en un motor en línea de dos cilindros son m, r y l, respectivamente. Los ángulos de los cigüeñales de los dos cilindros están separados por 180 0 Determine las fuerzas desbalanceadas y momentos en el motor. La disposición de un motor de dos cilindros en línea se muestra a continuación
Que rige la ecuación de valor constante vertical total fuerza desequilibrada (Fx )total de vaivén masa m, radio r, velocidad angular? y de biela de longitud l. ( )
(
)
∑
(
)
∑
(
)
( )
Aquí es la orientación angular de cada cilindro. Desde los ángulos de cigüeñal de los dos cilindros están separados por 1800, que puede denotar la orientación angular del cilindro 1 cuando . y la orientación angular del cilindro ( )
Analizando la variable en las ecuaciones ∑
Analizando:
(
)
∑
(
)
( )
(
∑
) (
( )
(
)
(
(
)
)
)
(
)
Y ∑
(
(
) (
) (
)
(
( )
) )
( (
)
)
( )y∑ Utilizando el valor de ∑ ( ), el total de ecuaciones de fuerza desequilibrada verticales pueden ser escritos por: ( )
(
)
( )
[ (
(
)]
)
El sustituto de con m para obtener la ecuación final de la fuerza de desequilibrio vertical total. ( )
(
)
El momento desequilibrado se puede determinar por la siguiente ecuación: Los momentos respecto al eje x ∑(
∑[ (
)
)
(
)]
(
)
(
∑
)
Con (
∑ (
)
(
)
)
(
(
)
)
( (
)
)
Los momentos respecto al eje x puede ser expresado por: (
)
(
)
Se rigen los de la ecuación para el total de la fuerza desequilibrada horizontal ( ) con valor constante de vaivén de masa m, girar radio r, velocidad angular w y biela de longitud l. ( )
(
)
∑
(
)
( )
Aquí es la orientación angular de cada cilindro. Desde los ángulos de cigüeñal de los dos cilindros están separados por 180, que puede denotar la orientación angular del cilindro 1 cuando . Y la orientación angular del cilindro ( )
Analizando la variable en ∑
∑
(
(
)
(
) ( (
( )
) )
)
(
( (
)
) )
Por lo tanto, las ecuaciones del total de la fuerza desequilibrada horizontales pueden ser escritos por
(
( )
)
( )
( ) Las fuerzas desequilibradas del cilindro 2 en línea de motores son ( )
(
)
( ) Y el momento respecto al eje x y z, respectivamente ( (
)
(
)
(
)
)
(
)
Los momentos respecto al eje z ∑( )
)
(
)
∑
(
)
∑[(
(
)
(
)]
∑
(
Con (
∑ (
)
(
)
( (
) )
)
Y ∑
(
)
(
)
(
)
)
(
)
( (
) )
Los momentos respecto al eje z puede ser expresado: (
)
(
)
(
)
8.25 En la figura 8.47 se muestra la disposición de los cigüeñales en un motor de seis cilindros en línea. Los cilindros están separados por una distancia a en la dirección axial, y las posiciones angulares de los cigüeñales son a1 5 a6 5 0˚, a2 5 a5 5 120˚ y a3 5 a4 5 240˚. Si la longitud del cigüeñal, la longitud de las bielas y la masa reciprocante de cada cilindro son r, l y m, respectivamente, encuentre las fuerzas desbalanceadas primaria y secundaria y los momentos con respecto al plano de referencia indicado en la figura 8.47 plano de referencia
El desplazamiento axial de cada cilindro es analizado usando el centro de la línea otra vez del cilindro 1 como el plano de referencia El desplazamiento axial del cilindro 1,
El desplazamiento axial en el cilindro 2,
El desplazamiento axial en el cilindro 3,
El desplazamiento axial en el cilindro 4,
El desplazamiento axial en el cilindro 5,
El desplazamiento axial en el cilindro 6,
La posición angular de las manivelas es dada por
Rotando masas son iguales para cada cilindro, La constante de la velocidad angular está dada por, La fuerza primaria y secundaria son obtenidas desde x y ecuaciones
usando las sig
(
)
∑( )
( )
( ) (
)
(
(
)
)
(
)
( )
Donde
r es el radio de manivela
Combina la ecuación (1) y la ecuación (2) (
)
∑ *(
(
)
)
(
)+
La fuerza desbalanceada primaria y secundaria acerca de y=axis componente. ( )
∑( )
Con ( ) es determinada: (
)
(
(
)
)
Combinando las ecuaciones tenemos: (
)
∑[ (
(
)
)]
Usando las constantes y variables (radio del cigüeñal r, longitud de la biela I, masa m y masa rotativa el ( ) puede ser expresado: (
)
(
)
∑[
(
)]
Calcular: (
∑
∑
(
(
∑ (
)
)
)
(
(
∑
)
(
)
)
(
)
(
)
(
))
Sustituyendo ∑
(
) {
( )
(
)
(
(
( ))}
)
)
(
(
)
(
) (
)
(
)
)
Calcule: (
∑
∑
( [
∑
(
)
∑
( (
) )]
)
(
) (
)
(
∑ (
)
)
(
)
(
)
) [
( ( (
)
( )
)
(
) ( )
(
)
] (
)
(
Aplicando las ecuaciones trigonométricas en la ecuación.
)
(
)
(
( ) Sustituyendo
∑
( (
)
(
∑
)
) con 0. )
(
)
( )
La fuerza desequilibrada sobre x y el eje y es cero. ( ) (
)
Los momentos de desequilibrio primario y secundario se obtienen a partir de su z y la dirección x mediante el uso de las ecuaciones siguientes: Los momentos de desequilibrio primario y secundario sobre el eje z ∑( ) Mediante la aplicación de la ecuación (2), el momento de desequilibrio puede ser reescrita como: ∑[ (
(
)
( )
)
∑
( )
∑
(
)]
(
)
Momento de desequilibrio primario sobre el eje x ∑( )
Mediante la aplicación de la ecuación (5), el momento de desequilibrio puede ser reescrita como:
∑[ (
)
(
(
)
)]
∑
( )
Evaluación de las variables de trigonometría hte de la ecuación (7) y ecuación (8) ∑
Sustituyendo
( )
por
,
( )
∑
( (
[
Sustituyendo
∑
)
(
∑ (
por
,
(
) (
) )
( )
( )
) )
( (
(
)
( ) (
( (
) )
( (
) )
( (
Calcular la ecuación ∑
por
( ) ( )
) ] ( )
)
por
(
(
por
)
[
[
) ] )
por
( ) (
(
∑
( (
por
[
Calcular la ecuación
) )
(
) (
) )
( )
(
)
( ) (
)
) ] ( )
) ) por
( )
∑ Sustituyendo
por
,
( )
∑
( ) ( )
[
( ) ( )
( (
por
( ) ( ) )
)
]
por
[
( √
)
( √
(
) (
)
(
√
(
) ] ( )
) )
( √
por
)
La aplicación de la ecuación de la trigonometría en la ecuación (7) ( Sustituyendo ∑
)
( )
∑
∑
( ) con 0 y ∑ (
)
(
(
)
) con 0
( )
( )
Aplicación de la ecuación de la trigonometría en la ecuación (8) ( Sustituyendo ∑
)
∑
( )
( )por 0 (
)
( )
El motor de seis cilindros en línea que está en estado de equilibrio, ya que tiene momento de desequilibrio de cero alrededor del eje y el eje x
8.27 Se tiene que aislar un instrumento electrónico de un tablero que vibra frecuencias que oscilan de 225 HZ a 35 Hz. Se estima que al menos se debe lograr 80% del aislamiento de vibración para que no se dañe el instrumento. Si el instrumento pesa 85 N, determine la deflexión estática necesaria del aislador. Calcular la frecuencia natural inicial (
Substituimos 25 Hz en (
) para el siguiente sistema:
dentro de la ecuación para obtener el valor de
) ⁄
Calculamos la frecuencia natural final ((
) en el siguiente sistema:
Tenemos que la frecuencia de vibración final es Substituimos 35 Hz en ( )
dentro de la ecuación para obtener el valor de
⁄ Calculamos la fuerza de permisibilidad
Calculamos el radio de frecuencia (r) √ √ Calculamos la deflexión estática ( (
( ) )
) en la frecuencia inicial:
Calculamos la deflexión estática ( ( ) ( )
) en la frecuencia final:
Si tenemos que el mayor es la deflexión estática requerida en el sistema. La deflexión estática necesaria en el sistema es 2.385mm
8.3 Dos discos idénticos se conectan por medio de cuatro birlos de diferentes tamaños y se montan en una flecha, como se muestra en la figura 8.41 las masas y ubicación de los tres birlos son como sigue: m1= 35 gramos, r1 = 110 mm y θ1= 40° m2= 15 gramos, r2 = 90 mm y θ2= 220° m3= 25 gramos, r3 = 130 mm y θ3= 280° Encuentre la masa y ubicación del cuarto birlo (mc, rc y θc), el cual produce el balanceo estático de los discos.
con el fin de calcular el agujero de equilibrio en primer lugar debemos calcular las fuerzas desequilibrantes generales producidos a partir de la masa adicional de los pernos 3. Así que para cada tornillo, respectivamente, la fuerza producida y el ángulo se calculan a continuación
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
Combinamos las ecuaciones 1 y 2 ( ) ( ) ( )
(
)
=3355.05
Así en conclusión el cuarto birlo puede ser localizado a 154.45° del eje x en cualquier rc menos o igual al radio del disco, siempre y cuando
8.5 Con el fin de calcular las propiedades de la masa de equilibrio, debemos primero calcular las fuerzas desequilibrantes globales producidas a partir de las tres masas. Así que para cada masa, respectivamente, la fuerza que se produce y el ángulo se calcula por debajo de donde es la fuerza de desequilibrio creado por la masa adicional, es la distancia de la masa desde el centro de gravedad del cilindro, es la masa añadida y ? es la frecuencia de la excitación. Determinar la fuerza de desequilibrio debido a la primera masa adjunta, mediante el uso de la siguiente ecuación:
Sustituimos 30 in para
y 0.5 lb para (
)(
)
Por lo tanto, la fuerza de desequilibrio debido a la primera masa unida se da como:
Determinar la fuerza de desequilibrio debido a la segunda masa unida, mediante el uso de la siguiente ecuación:
Sustituimos 30 in para
y 0.7 lb para (
)(
. )
Por lo tanto, la fuerza de desequilibrio debido a la segunda masa unida se da como: Determinar la fuerza de desequilibrio debido a la tercera masa unida, el uso de la siguiente ecuación:
Sustituimos 30 in para
y 1.2 lb para (
)(
mediante
. )
= 36
Por lo tanto, la fuerza de desequilibrio debido a la tercera masa unida se da como:
Determinar la fuerza de desequilibrio debido a la tercera masa unida, el uso de la siguiente ecuación:
Sustituimos 30 in para
mediante
.
Por lo tanto, la fuerza de desequilibrio debido a la tercera masa unida se da como:
Con el fin de tener el equilibrio estático del eje durante su movimiento, la suma de los vectores de fuerza en la siguiente figura tiene que ser igual a cero:
Para la dirección horizontal la fuerza de equilibrio se calcula a través de la siguiente ecuación donde es la fuerza desequilibrada creada por la masa adicional en la dirección :
( ) Con
( )
( )
( )
es la ubicación angular de cada masa unida.
Sustituimos
para
Y ahora sustituimos (
,
para
para
)
,
para
( (
,
para y
) )
y para
( (
) )
para
.
. ( ) ( )
( ) [
( )]
Dividido por: Para la dirección vertical de la fuerza de equilibrio se calcula a través de la ecuación de abajo donde es la fuerza desequilibrada creada por la masa adicional en la dirección :
( ) Sustituimos:
para
Y ahora sustituimos
( ) , para
( )
para ,
,
( )
para
para
y
y para
para . ( )
( ) Mediante la combinación de las siguientes ecuaciones: ( ) ( ) ( )
Para el cálculo de la masa del cuarto equilibrio de masa es: ( )
(
)(
)
Por lo tanto, los resultados para las propiedades del cuarto equilibrio de masas son: y
8.63 Calcular el valor de la frecuencia de excitación en rad / s de la siguiente manera:
(
)(
)
Con el fin de lograr los resultados óptimos toman la frecuencia del sistema con amortiguador de vibraciones igual a la frecuencia de excitación. Por lo tanto
Escribir la expresión para la primera frecuencia natural Ω (
√ (
)
*(
)
√ (
)
)
+
Aquí u es la relación de la masa de la absorbida en la masa del sistema inicial. Es dado que los valores de la frecuencia natural deben ser de al menos 20% más lejos de la frecuencia de excitación. (
*(
)
√ (
)
)
+
(
)
( )
Así que en ese caso las ecuaciones de frecuencias naturales del sistema son la de abajo de U es la masa del absolvedor a la masa de la relación inicial del sistema mientras que Ω1 y Ω2 son las frecuencias naturales del sistema combinado. De la primera frecuencia natural. Escribir la expresión para la segunda frecuencia natural Ω2.
(
√ (
)
*(
)
√ (
)
)
+
Se dado que los valores de la frecuencia natural debe ser de al menos 20% más lejos de la frecuencia de excitación. Para escribir por encima de expresión como: (
*(
)
√ (
)
)
(
+
)
Añadir las desigualdades (1) y (2) para obtener la siguiente relación: *(
)
√ (
(
)
)
√(
+
(
)
(
)
√(
*(
)
)
(
√ (
)
)
)
Utilice la siguiente expresión para obtener la masa del amortiguador (m2) requerido para satisfacer la condición dada:
+
Aquí: Sustituya
es la masa inicial del sistema para
y
por (
)(
)
Utilice la siguiente expresión para obtener la rigidez del amortiguador (k):
Sustituir
por
y
para (
)(
)
Por lo tanto la masa del amortiguador es de 30,8 kg y su rigidez 485, 881 N / m
8.65 Inicialmente la frecuencia de excitación debe ser entregado a la unidad de la derecha dividiendo con segundos globales por minuto y multiplicando a :
⁄ Así que en ese caso las ecuaciones de frecuencias naturales del sistema son los de abajo, donde es la relación entre la masa del amortiguador a la masa del sistema inicial, mientras que , son las frecuencias naturales del sistema combinado y es la frecuencia natural de el amortiguador. (
)
√(
)
La primera frecuencia natural se puede calcular utilizando la siguiente ecuación en la que es la relación de la masa de absorción a la masa inicial del sistema y es la frecuencia natural del amortiguador.
(
) *(
√( )
) √(
)
+
La segunda frecuencia natural se puede calcular por la siguiente ecuación, donde es la relación de la masa de absorción a la masa inicial del sistema y es la frecuencia natural del amortiguador. (
) *(
√( )
) √(
)
+
La frecuencias naturales y del sistema global inicial como se indica en las instrucciones se transforman en las unidades apropiadas dividiendo con segundos globales por minuto y multiplicando a Las primeras frecuencias naturales del sistema de prueba.
⁄ Las segundas frecuencias naturales de sistema de prueba.
⁄ Por lo tanto, reemplazar los valores de las frecuencias naturales del sistema global para las ecuaciones siguientes: (
⁄
)
*(
)
√(
)
+
(
⁄
)
*(
)
√(
)
+
Al dividir las dos ecuaciones anteriores tenemos:
( √( (
*(
)
√(
)
+
*(
)
√(
)
+
√(
) )
) (
(
)
√(
)
)
)
Calcule la masa de la tubería mediante el uso de la ecuación siguiente:
Aquí, la masa de la tubería es Sustituir 0.084 por
, y la masa de prueba es
y 1kg. Por
.
.
Necesitamos las frecuencias naturales para tener una distancia de la gama de frecuencias de excitación y para obtener estas condiciones tenemos que diseñar las frecuencias naturales del sistema para estar fuera del rango de frecuencia de operación situado entre y . Determinar las frecuencias de operación: La frecuencia mínima de funcionamiento
⁄ La frecuencia máxima de funcionamiento
⁄ La siguiente condición se aplica por la primera frecuencia natural requerida:
Sustituir
[(
)
)
√( *(
] por √(
)
⁄
y
)
por
+
( )
La siguiente condición se aplica por la segunda frecuencia natural requerida:
Sustituir
[(
)
)
√( *(
)
] por √(
)
⁄
y +
por ( )
Dado que no es sólo una solución al problema, un valor lógico cualquiera de y se puede seleccionar y el otro se puede calcular a través de las ecuaciones. En nuestro caso vamos a tomar el caso de Sustituir 0.3 por
en la ecuación (1). *( (
Y sustituir 0.3 por
)
√(
)
+
)
+
)
en la ecuación (2). *( (
) )
√(
Puesto que el rango aceptable de frecuencia del amortiguador se ha determinado ⁄ como , podemos elegir un valor dentro de este rango ⁄ Calcula la masa del amortiguador
Sustituir 0.3 por
y 11.9kg por
. (
)
Calcular la rigidez del amortiguador mediante el uso de relación siguiente:
Sustituir
⁄
por
y 3.57 kg por (
)
Por lo tanto las propiedades del amortiguador son 28.917N/m
⁄
, 3.15 kg y