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• KarlaIvetteJauregui

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´ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL UNIDAD PROFESIONAL INTERDISCIPLINARIA DE INGENIER´ IA CAMPUS GUANAJUATO PROBLEMARIO CARLOS CAMPOS-APANCO

1.

Ortogonalidad de Funciones y Series de Fourier

1. Determine las constantes a y b tal que la funci´on f (x) = x + ax2 + bx3 sea ortogonal tanto a g(x) = x, como a h(x) = x2 en el intervalo [−2, 2]. 2. Sean f (x) = sin(x) y g(x) = cos(x) dos funciones definidas en el intervalo [−π, π]: a) Determine si f y g son ortogonales en [−π, π]. b) Prueba que f y g tienen la misma norma en [−π, π]. 3. Muestre que el conjunto de funciones provisto es ortogonal en el intervalo indicado. a) f1 (x)= x; f 2 (x) = cos(2x); en [−π/2, π/2] nπ x para n = 1, 2, 3, . . .; en [0, p]. b) sin p    nπ c) 1, cos x para n = 1, 2, 3, . . .; en [0, p].   p    nπ mπ d ) 1, cos x , sin x para n = 1, 2, 3, . . . m = 1, 2, 3, . . .; en [−p, p] p p 4. Definici´ on: Dos funciones f (x) y g(x) son ortogonales respecto a una funci´ on de peso w(x) en un intervalo [a, b] si Z b f (x)g(x)w(x)dx = 0 a

Considera las funciones fn (x) = cos(n cos−1 (x)) y gm (x) = cos(m cos−1 (x)) en el intervalo [−1, 1]. Demuestra que las funciones son ortogonales en el intervalo dado respecto a la funci´on de peso 1 w(x) = √ . 1 − x2 1 d cos−1 (x) = −√ , adem´as cos−1 (1) = 0 y cos−1 (−1) = π. Sugerencia: Recuerda que dx 1 − x2 5. Definici´ on:Dos funciones f (x) y g(x) son ortogonales respecto a una funci´ on de peso w(x) en un intervalo [a, b] si Z b f (x)g(x)w(x)dx = 0 1

a

Considera las funciones fn (x) = sin(n cos−1 (x)) y gm (x) = sin(m cos−1 (x)) en el intervalo [−1, 1]. Demuestra que las funciones son ortogonales en el intervalo dado respecto a la funci´on de peso 1 w(x) = √ . 1 − x2 1 d cos−1 (x) = −√ , adem´as cos−1 (1) = 0 y cos−1 (−1) = π. Sugerencia: Recuerda que dx 1 − x2 6. Determine la serie de Fourier de f en el intervalo provisto. Date: 1 de mayo de 2016. 1Estas funciones son conocidas como los polinomios de Tchebyshev de primer tipo y guardan estrecha relaci´ on con la f´ ormula de Moivre de n´ umeros complejos y la aproximaci´ on polin´ omica del m´etodo de Runge en Anal´ısis Num´erico. 1



0, −π < x < 0 x2 , 0 ≤ x < π b) f (x) = x  + π en −π < x < π. 0, −π < x < 0 c) f (x) = sin(x), 0 ≤ x < π d ) f (x) = ex en −π < x < π. Determine si la funci´ on es par, impar o ninguna de las dos. a) f (x) = sin(3x) b) f (x) = e|x| x2 , −1 < x < 0 c) f (x) = −x2 , 0 ≤ x < 1 3 d ) f (x) = x en 0 ≤ x ≤ 2. Desarrolle la funci´ on en una serie apropiada de cosenos, senos o la serie completa de Fourier seg´ un sea el caso:  −2, −π < x < 0 a) f (x) = 2, 0≤x 0 sujeta a las condiciones u(x, 0) = x(1 − x) 4 ∂u y (x, 0) = 0. ∂t Resuelva la ecuaci´ on de onda donde 0 < x < π y t > 0 sujeta a las condiciones u(x, 0) = 0 y ∂u (x, 0) = sin(x) ∂t Resuelva la ecuaci´ on de onda a2 uxx = utt donde 0 < x < L y t > 0 sujeta a las condidiciones 1 ∂u =0 u(0, t) = u(L, t) = 0, u(x, 0) = x(L − x), 4 ∂t t=0

12. Resuelva la ecuaci´ on de onda a2 uxx = utt donde 0 < x < L y t > 0 sujeta a las condidiciones ∂u = sen(x) u(0, t) = u(L, t) = 0, u(x, 0) = 0, ∂t t=0 13. Resuelve la ecuaci´ on de onda a2

∂2u ∂2u = , 0 < x < L, t > 0 ∂x2 ∂t2

sujeta a la siguientes condiciones

u(0, t) = 0, u(L, t) = 0 u(x, 0) = f (x) dada en la Figura de la derecha ∂u |t=0 = 0 ∂t

14. Onda. Una cuerda de longitud L coincide con el intervalo [0, L] en el eje x. Establezca el problema con valores en la frontera para el desplazamiento u(x, t), si el extremo izquierdo de la cuerda est´a anclado al eje x, pero el extremo derecho se mueve de una manera transversal de acuerdo con sen (πt). La cuerda se libera a partir del reposo del desplazamiento inicial f (x). Para t > 0 las vibraciones transversales est´ an amortiguadas con una fuerza proporcional a la velocidad instant´anea. 15. Onda. Una cuerda fuertemente estirada con puntos extremos fijos en x = 0 y x = L est´a inicialmente en equilibrio. En t = 0 se pone a vibrar al darle a cada uno de sus puntos extremos una distribuci´ on de velocidad definida por g(x). Establezca el problema de valor de frontera. c Carlos Campos-Apanco

Muestre que el desplazamiento de cualquier punto de la cuerda para cualquier tiempo t > 0 est´a dado por   ∞  nπx  X nπat u(x, t) = bn sin sin L L n=1

donde

Z L  nπx  2 g(x) sin dx nπa 0 L 16. Una cuerda de 50 cm de longitud est´a suspendida en sus extremos fijos. Su dezplazamiento inicial est´a dada por f (x) = 4x y su velocidad de dezplazamiento inicial es g(x) = 200 − 4x. Plantea un problema de valores en la frontera y calcula el dezplazamiento de la cuerda para cualquier posici´ on y para cualquier tiempo. 17. Una placa rectangular de base 15 cm y altura 5 cm, hecha de material homog´eneo se encuentra sujeta a las siguientes condiciones de frontera. a) No hay transmisi´ on de calor en el extremo inferior, mientras que la temperatura en el extremo superior var´ıa seg´ un la funci´ on f (x). b) La temperatura del extremo izquierdo es 0◦ C y el lado derecho se encuentra aislado. Plantee mediante una ecuaci´ on el problema con valores en la frontera que debe satisfacer la funci´ on de distribuci´ on de temperaturas de estado estable u(x, y), correspondiente a esta situaci´ on. Escriba en s´ımbolos las condiciones iniciales y de frontera a las que est´a sujeto. 18. Encuentre la soluci´ on u(x, y) de la ecuaci´on de Laplace en el rect´angulo 0 < x < 1, 0 < y < 1 que tambi´en satisfaga las condiciones en la frontera bn =

u(0, y) = 0, u(x, 0) = 0,

u(a, y) = 0, u(x, b) = g(x)

0 0. Sujeta a las condiciones u(0, y, t) = 0, u(2, y, t) = 0, u(x, 0, t) = 0, u(x, 1, t) = 0 y u(x, y, 0) = f (x, y), se encuentra al proponer una soluci´on de variables separables. Encuentre los valores propios, las funciones propias correspondientes e indique la soluci´on sin resolver las integrales que aparezcan en ella.

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c Carlos Campos-Apanco