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• Diego

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Problema planteado Diseñe una red simétrica resistiva pura en configuración T que tenga una impedancia imagen igual a la impedancia interna del generador. 𝑍11

𝑍𝑖𝑚𝑔 =

𝑌11

𝑒𝑛𝑡

𝑍

𝑖𝑚𝑔 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎

=

𝑍22 𝑌22

Impedancia del generador = 50ꭥ

Para que sea simétrica debe cumplirse que 𝑍11 = 𝑍22



y

𝑌11 = 𝑌22

Parámetros Z (impedancia)

Se sabe que 𝑍11 =

𝑉1 𝐼1

, 𝑍21 =

𝑉2 𝐼1

siempre que 𝐼2 = 0 (circuito abierto)

Luego:

Por análisis de mallas se obtiene que: 𝐼1(𝑅1 + 𝑅2) = 𝑉1 (1) 𝐼1(𝑅2) = 𝑉2 (2) luego (1) puede sustituirse en 𝑍11: 𝑍11 = y (2) puede sustituirse en 𝑍21:

𝐼1(𝑅1 + 𝑅2) 𝐼1

= 𝑅1 + 𝑅2

𝑍21 =

Ahora se sabe que 𝑍12 =

𝑉1 𝐼2

, 𝑍22 =

𝑉2 𝐼2

𝐼1(𝑅2) 𝐼1

= 𝑅2

siempre que 𝐼1 = 0 (circuito abierto)

Entonces

Por análisis de mallas se obtiene que: 𝐼2(𝑅2 + 𝑅3) = 𝑉2 (3) 𝐼2(𝑅2) = 𝑉1 (4) luego (3) puede sustituirse en 𝑍22: 𝑍22 =

𝐼2(𝑅2 + 𝑅3) 𝐼2

= 𝑅2 + 𝑅3

y (4) puede sustituirse en 𝑍12: 𝑍12 = 

𝐼2(𝑅2) 𝐼2

= 𝑅2

Parámetros Y (admitancia)

La matriz Y (admitancia) es la matriz inversa de la matriz Z (impedancia), por lo tanto, los parámetros Y puede encontrarse a partir de lo obtenido anteriormente. La relación es la siguiente:

(𝑅1 + 𝑅2) 𝑧11 𝑧12 𝑅2 𝒁= 𝑧 = ( 𝑧 𝑅 𝑅 21 22 2 2 + 𝑅3)

[

] [

]

[

]

𝑦11 𝑦12 𝒁 ―𝟏 = 𝒀 = 𝑦 21 𝑦22

Realizando el cálculo de la matriz inversa de Z, se obtiene que:

det (𝒁) = [(𝑅1 + 𝑅2).(𝑅2 + 𝑅3) ― (𝑅2)2] det (𝒁) = [(𝑅2)2 + 𝑅1𝑅2 + 𝑅2𝑅3] det (𝒁) = 𝑅2(𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3)

𝒁 ―𝟏 = 𝒀 =

𝒀=

1 (𝑅2 + 𝑅3) ―𝑅2 ( ―𝑅 𝑅 2 1 + 𝑅2) det (𝒁)

[

]

1 (𝑅2 + 𝑅3) ―𝑅2 ( ―𝑅 𝑅 2 1 + 𝑅2) 𝑅2(𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3)

𝒀=

𝒀=

[

[ [

]

(𝑅2 + 𝑅3)

―𝑅2

𝑅2(𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3) ―𝑅2

𝑅2(𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3) (𝑅1 + 𝑅2)

𝑅2(𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3)

𝑅2(𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3)

(𝑅2 + 𝑅3)

―1 (𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3) (𝑅1 + 𝑅2)

𝑅2(𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3) ―1 (𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3)

𝑅2(𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3)

―1 (𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3)

𝑅2(𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3)

] ]

Luego 𝑌11 =

(𝑅2 + 𝑅3) 𝑅2(𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3)

; 𝑌12 =

; 𝑌22 =

(𝑅1 + 𝑅2)

; 𝑌21 =

―1 (𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3)

Finalmente, tendremos que

𝑍𝑖𝑚𝑔 = 𝑒𝑛𝑡

𝑍11 𝑌11

𝑅1 + 𝑅2 =

(𝑅2 + 𝑅3) 𝑅2(𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3)

𝑍

𝑖𝑚𝑔 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎

=

𝑍22 𝑌22

Alumnos: Álvaro Monsalve, C.I.:27318657 Diego Puerta, C.I.: 28065646

𝑅2 + 𝑅3 =

(𝑅1 + 𝑅2) 𝑅2(𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3)