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• Giane Navas

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DEPARTAMENTO DE ENERG´IA Y ´ MECANICA

´ CARRERA DE INGENIER´IA MECATRONICA

´ INFORME No. 2 - MATEMATICA SUPERIOR - NRC: 3344

T´ITULO: DESARROLLO DEL PROBLEMA DE STRUM-LIOUVILLE

AUTORES: MART´INEZ VERDESOTO, RUSBEL ALEXANDER ´ CHICAIZA, DIEGO ARMANDO RENDON ´ ´ MARCELO SAMPEDRO GOMEZ, ANDRES

DIRECTOR: DR. MARCELO ROMAN

LATACUNGA 2016

´Indice general

1. GENERALIDADES

2

1.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2. Tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.3. Justificaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.4. Objetivo General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.5. Objetivos Espec´ıficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.6. Alcance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

´ 2. MARCO TEORICO

4

2.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.2. Historia del Arte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.3. Jacques Sturm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.4. Joseph Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.5. Teor´ıa de Sturm-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.6. Problema regular de Sturm-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.7. Propiedades del problema regular de Sturm-Liouville . . . . . . .

8

2.8. Problema singular de Sturm-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . .

12

3. EJERCICIOS

15

4. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

17

4.1. CONCLUSIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

4.2. RECOMENDACIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1

Cap´ıtulo 1 GENERALIDADES

1.1.

Introducci´ on

En el presente cap´ıtulo se describe de manera general el tema, el cu´al ser´a desarrollado a lo largo de todo el informe. Finalmente se presentan la justificaci´on, los objetivos y el alcance.

1.2.

Tema

Desarrollo del problema de Sturm-Liouville.

1.3.

Justificaci´ on

El presente trabajo se realiza pensando en los estudiantes de Ingenier´ıa Mecatr´onica cuarto semestre de la Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE - Ext. Latacunga, con el objetivo de mostrar la forma de encontrar los valores propios y soluciones propias de la ecuaci´on diferencial lineal de segundo orden. La importancia de este trabajo se encuentra en el acercamiento brindado a los estudiantes de aplicar los conceptos nuevos junto a los ya aprendidos en clase, y as´ı expandir tanto su conocimiento como sus ideas acerca de pr´acticas que podr´ıan realizar a partir del tema mostrado.

1.4.

Objetivo General Desarrollar el problema de Sturm-Liouville.

2

1.5.

Objetivos Espec´ıficos Estudiar las propiedades del problema regular de Sturm-Liouville. Identificar las condiciones del problema en orden de encontrar soluciones no triaviales.

1.6.

Alcance

El alcance del trabajo es mostrar el desarrollo del problema de Sturm-Liouville y ayudar a los estudiantes de Ingenier´ıa Mecatr´onica IV - A, a identificar los distintos casos que ocurren en el mismo y su aplicabilidad.

3

Cap´ıtulo 2 ´ MARCO TEORICO

2.1.

Introducci´ on

En el presente cap´ıtulo se evidencian tanto antecedentes como conceptos de acuerdo a las necesidades del tema. En primer lugar, se trata el contexto hist´orico, seguidamente se adjuntan conceptos generales y espec´ıficos, los cuales son de fundamental importancia.

2.2.

Historia del Arte

Las ecuaciones diferenciales ordinarias tienen sus inicios en el siglo XVII con el nacimiento del c´alculo, a partir de all´ı se han desarrollado estas ecuaciones con fin de expresar fen´omenos o sucesos de la naturaleza en forma matem´atica. En el siglo XVIII se continu´o el estudio de las ecuaciones diferenciales de orden mayor que uno debido a la progresi´on en el an´alisis de sistemas f´ısicos m´as complejos, como por ejemplo la astronom´ıa o el movimiento de dos cuerpos debido a la gravedad.

En 1836, Sturm public´o un estudio sobre las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de segundo orden. Partiendo de que no pueden ser resueltas anal´ıticamente en su mayor´ıa, intenta estudiar sus propiedades directamente desde la ecuaci´on. Primeramente, analiza c´omo se comportan las ra´ıces de la soluci´on al variar las condiciones iniciales o los coeficientes de la ecuaci´on. [1]

4

2.3.

Jacques Sturm

Jacques Charles Fran¸cois Sturm, naci´o el 29 de septiembre de 1803 en Ginebra, Suiza y muri´o el 15 de diciembre de 1855 en Paris, Francia. Fue un matem´atico que en 1829 descubri´o el teorema que lleva su nombre y que es un m´etodo de hallar ra´ıces reales de una funci´on polin´omica.

2.4.

Joseph Liouville

Naci´o en Saint-Omer, Francia el 24 de marzo de 1809 y muri´o el 8 de septiembre de 1882 en Paris, Francia. Fue un matem´atico que trabaj´o en varios campos de las matem´aticas, f´ısica matem´atica e incluso astronom´ıa. Se le recuerda en particular por el teorema que lleva su nombre.

En colaboraci´on con Sturm gener´o la Teor´ıa de Sturm-Liouville que es un procedimiento est´andar para resolver cierto tipo de ecuaciones diferenciales.

2.5.

Teor´ıa de Sturm-Liouville

Esta teor´ıa es importante en matem´atica aplicada, donde los problemas S-L ocurren muy com´ unmente, particularmente al resolver ecuaciones diferenciales parciales con separaci´on de variables. Definici´ on. Un problema regular de Sturm-Liouville consiste en una ecuaci´on diferencial de segundo orden   d dy p(x) + (q(x) + λw(x)) y = 0 dx dx

(2.1)

y con valores en la frontera homog´eneos, reales e independientes de λ de la forma A1 y(a) + B1 y 0 (a) = 0 A2 y(b) + B2 y 0 (b) = 0 donde: p(x) es una funci´on positiva y q(x) es real, en un intervalo finito cerrado [a, b], los valores en la frontera tambi´en son llamados como condiciones de condy torno o frontera, es decir, son los valores que tendr´an las funciones y y en los dx extremos del intervalo definido. Adem´as, w(x) es una funci´on positiva (w(x) ≥ 0) 5

denominada funci´on de densidad o peso. Para la ecuaci´on se tiene un λ no especificado, que al resolver el problema se encontraran sus eigenvalores1 , los mismos que dar´an paso a eigenfunciones2 .

Demostraci´ on.

Una transformaci´on lineal L es un operador diferencial

lineal de orden n en el intervalo cerrado [a, b] si puede expresarse en la forma: dn d L[f (x)] = an (x) n f (x) + · · · + a1 (x) f (x) + a0 (x)f (x) dx dx L = an (x)Dn + · · · + a1 (x)D + a0 (x) Esto se puede probar ya que una transfomaci´on lineal [2] debe cumplir que: 1. L(u + v) = L(u) + L(v), y 2. L(ku) = kL(u) y un operador diferencial lineal se define como una funci´on de diferenciaci´on del d operador, es decir, D = . dx L [an (x)Dn + · · · + a1 (x)D + a0 (x)] = L [an (x)Dn ] + · · · + L [a1 (x)D] + L [a0 (x)] = an (x)L [Dn ] + · · · + a1 (x)L [D] + a0 (x)L [1]

Por lo tanto, un operador diferencial lineal de segundo orden L: L = a2 (x)D2 + a1 (x)D + (a0 (x) + λ) = 0 puede expresarse como a2 (x)y 00 + a1 (x)y 0 + (a0 (x) + λ)y = 0 a1 (x) 0 a0 (x) + λ y + y=0 a2 (x) a2 (x) entonces se lo puede multiplicar por un factor integrante3 Z a1 (x) dx e a2 (x) y 00 +

1

(2.2)

Llamados valores caracter´ısticos o propios, es el conjunto de valores del par´ametro λ no

triviales. 2 Llamadas tambi´en funciones caracter´ısticas o propias, son las soluciones a los eigenvalores. 3 Es una funci´ on para convertir una ecuaci´on diferencial no exacta en exacta.

6

A partir de la ecuaci´on diferencial (2.2), se tiene que:     d2 y a0 (x) + λ a1 (x) dy + y=0 + dx2 a2 (x) dx a2 (x)       dy dy a1 (x) a0 (x) + λ + y + y=0 dx dx a2 (x) a2 (x)       dy a1 (x) a0 (x) + λ + y dy + ydx = 0 dx a2 (x) a2 (x) M dy + N dx = 0   ∂M d2 y a1 (x) dy = 2+ ∂x dx a2 (x) dx a0 (x) + λ ∂N = ∂y a2 x) ∂M ∂N 6= ∂x ∂y Demostrando as´ı que la ecuaci´on diferencial anterior no era exacta.

Z e

lo que resulta en Z Z a1 (x)  a1 (x) a1 (x)    dx dx a (x) dx a (x) λ 1 0 0 a2 (x) (y 00 )+e a2 (x) a (x) 2 + y +e y=0 a2 (x) a2 (x) a2 (x)

observando los dos primeros t´erminos podemos notar que son la derivada de   Z a1 (x) dx d  0 e a2 (x) y  dx lo que generar´ıa Z  Z   Z  a1 (x)  a1 (x) a1 (x)    dx   dx a (x) dx d  1  0 0 + e a2 (x) λ y = 0 e a2 (x) y  + e a2 (x) dx a2 (x) a2 (x) de forma m´as compacta se tiene   d dy p(x) + (q(x) + λw(x)) y = 0 dx dx donde: Z

a1 (x) dx p(x) = e a2 (x) Z   a0 (x) q(x) = e a2 (x) Z   1 w(x) = e a2 (x)

a1 (x) dx a2 (x) a1 (x) dx a2 (x) 7

2.6.

Problema regular de Sturm-Liouville

Como ya se ha desarrollado ahora es m´as f´acil entender que el problema regular de Sturm-Liouville4 involucra una ecuaci´on diferencial lineal de segundo orden que contenga un par´ametro λ. Debido a que un problema regular de SturmLiouville es un problema homog´eneo de valores en la frontera, siempre posee una soluci´on trivial y = 0, que por motivos de resoluci´on no se tomar´a en cuenta, as´ı solo se buscan valores propios y soluciones y no triviales y que dependan de λ [3].

2.7.

Propiedades del problema regular de Sturm-Liouville

Se tienen varias propiedades cuando las condiciones de frontera son regulares, pero s´olo se enlistar´an algunas de las propiedades importantes del problema regular de S-L.

Propiedad a). Las funciones propias (eigenfunciones) son ortogonales dentro del intervalo [a, b]. Demostraci´ on de a). Partiendo del problema regular de Sturm-Liouville y 00 + λy = 0;

y(0) = 0, y(1) = 0

(2.3)

se puede identificar que p(x) = 1, q(x) = 0, w(x) = 1 en la ecuaci´on diferencial y en la condici´on de frontera se tiene que a = 0, b = 1, A1 = A2 = 1, B1 = B2 = 0. y 00 + λy = 0 D2 + λ = 0 √ D = ± λi

√ √ ⇒ y = A cos( λx) + B sen( λx) ⇒A=0 √ y(1) = 0 = B sen λ

y(0) = 0 = A

Si se toma B = 0 se tendr´ıa una soluci´on trivial, entonces: √ sen λ = 0 ⇒ sen(mπ) = 0 para cualquier m real y entero 4

El problema de Sturm-Liouville tambi´en puede ser llamado sistema de Sturm-Liouville o

simplemente problema de S-L.

8

√ λ = mπ λ = m2 π 2 Las eigenfunciones para los eigenvalores λ = m2 π 2 se obtienen con Bm sen(mπx), siendo m = 1, 2, 3, · · · . Para verificar la ortogonalidad en el intervalo [0, 1] se aplica 1

Z

(Bm sen(mπx)) (Bn sen(nπx)) dx = 0 0

Z

1

Bm Bn

Z

[cos(m − n)πx − cos(m + n)πx] dx

[sen(mπx)] [sen(nπx)] dx = Bm Bn 0

1

0

 = Bm Bn

sen(m − n)πx sen(m + n)πx − (m − n)π (m + n)π

1 = 0 si m 6= n 0

Propiedad b). Las funciones propias (eigenfunciones) son ortogonormales en el intervalo [a, b]. Demostraci´ on de b). Se tiene una resoluci´on parecida a la demostraci´on de la propiedad anterior y se cambia la consideraci´on de m 6= n por m = n, as´ı se obtiene 1

Z

(Bm sen(mπx)) (Bm sen(mπx)) dx = 1 0

Z

1

(Bm sen(mπx))2 dx = 1

0 2 Bm

Z 0

1

2 Z 1 Bm sen (mπx) dx = (1 − cos(2mπx)) dx 2 0  1 2 B2 Bm sen(2mπx) = m =1 x− 2 2mπ 2 0 √ 2 Bm = 2 ⇒ Bm = 2 2

Se forma un conjunto ortonormal:

√ 2 sen(mπx), siendo m = 1, 2, 3, · · ·

Tambi´en se podr´ıa expresar el desarrollo de la funci´on ortogonal en una serie de Fourier, sabiendo que f (x) es una funci´on definida en el intervalo [a, b] f (x) = c0 φ0 (x) + c1 φ1 (x) + · · · + cn φn (x) Z b Z b Z b f (x)φn (x) dx = c0 φ0 (x)φm (x) dx + · · · + cn φn (x)φm (x) dx a

a

a

Se producir´a ortogonalidad en el primer t´ermino excepto cuando m = n, en este caso se tiene 9

Z

b

Z f (x)φm (x) dx = cm

b

φ2m (x) dx

a

a

Con los valores del problema regular de S-L y un f (x) = 1 planteado se obtiene Rb cm =

a

f (x)φm (x) dx Rb φ2 (x) dx a m

R1√ 2 sen(mπx) dx cm = R 1 0√ ( 2)2 sen2 (mπx) dx 0 √ R1 2 0 sen(mπx) dx cm = R 2 1 sen2 (mπx) dx 0  1 −cos(mπx) √ mπ 2 0 cm =  1 2 1 sen(2mπx) x− 2 2mπ 0 √ 1 − cos(mπ) cm = 2 mπ

f (x) =

∞ X 2 [1 − cos(mπ)] sen(mπx) mπ m=0

Propiedad c). Las funciones propias (eigenfunciones) correspondientes a valores propios (eigenvalores) reales y no negativos, son ortogonales respecto a la funci´on peso.

Demostraci´ on de c). Para proceder con la demostraci´on se debe expandir y definir los dos planteamientos que se tienen, uno, que los eigenvalores de un problema regular de Sturm-Liouville son reales y dos, que se genera la condici´on de ortogonalidad con de las eigenfunciones respecto a la funci´on peso. Apartir de (2.1) y con condiciones en la frontera de tipo: A1 y(a) + B1 y 0 (a) = 0 A2 y(b) + B2 y 0 (b) = 0 Se tiene que     d dy p(x) + q(x) + λw(x) y = 0 dx dx 10

A1 y(a) + B1 y 0 (a) = 0 A2 y(b) + B2 y 0 (b) = 0 Se multiplica el complejo por el conjugado y y el conjugado por y, dando   d dy p(x)y + [q(x) + λ w(x)] yy = 0 dx dx     d dy p(x)y + q(x) + λw(x) yy = 0 dx dx Restando ambas ecuaciones y simplificando     d dy dy p(x)y − p(x)y + q(x) + λ w(x) − q(x) − λw(x) yy = 0 dx dx dx

d  p(x) yy 0 − yy 0 + w(x) λ − λ yy = 0 dx

d  p(x) yy 0 − yy 0 = w(x) λ − λ yy dx Z b Z b 
 w(x)(λ − λ)yy dx = d p(x) yy 0 − yy 0 a

Z (λ − λ)

a

b

    w(x)yy dx = p(b) y(b)y 0 (b) − y(b)y 0 (b) − p(a) y(a)y 0 (a) − y(a)y 0 (a)

a

(2.4) En las condiciones de frontera para que tanto A1 y A2 como B1 y B2 satisfagan los sistemas A1 y(a) + B1 y 0 (a) = 0

A1 y(a) + B1 y 0 (a) = 0

A2 y(b) + B2 y 0 (b) = 0

A2 y(b) + B2 y 0 (b) = 0

sin que ambos (A1 y B1 o A2 y B2 ) sean iguales a cero, el determinante de los coeficientes debe ser cero: y(a) y 0 (a) y(a) y 0 (a)

=0

y(a)y 0 (a) − y 0 (a)y(a) = 0 De manera similar se realiza el determinante con el argumento de b, lo que da y(b)y 0 (b) − y 0 (b)y(b) = 0

11

Por ende se tiene Z (λ − λ)

b

w(x)yy dx = p(b) [0] − p(a) [0] a b

Z (λ − λ)

w(x)yy dx = 0

(2.5)

a

A partir de (2.4) se pueden formular dos consideraciones: Eigenfunciones ortogonales con respecto a la funci´ on peso w(x) Si λ 6= λ se observa que Z

b

w(x)yy dx = 0 a

de demuestra por la propiedad anterior de ortogonalidad m´as una multiplicaci´on por w(x). Eigenvalores reales Como ya se vi´o en el punto anterior, si λ 6= λ se tendr´a que y y y deber´an ser ortogonales, pero en el caso de que λ = λ se tendr´ıa Z b (λ − λ) w(x)|y 2 |, dx = 0 a

como yy = |y 2 | > 0 entonces λ−λ=0 λ = λ ⇒ V alor Real

2.8.

Problema singular de Sturm-Liouville

Se llegan a generar casos diferentes bajor los cuales el lado derecho de la ecuaci´on(2.4) ser´a cero, se agrager´a tambi´en el caso ya visto en la demostraci´on de la propiedad c). Caso 1. y(a)y 0 (a) − y(a)y 0 (a) = 0 y(b)y 0 (b) − y(b)y 0 (b) = 0. El primero de estos es esquivalente a a1 y(a) + b1 y 0 (a) = 0 12

a1 y(a) + b1 y 0 (a) = 0

donde a1 y b1 son constantes dadas. Se puede expresar de forma similar que la segunda es equivalente a a2 y(b) + b2 y 0 (b) = 0

a2 y(b) + b2 y 0 (b) = 0

donde a2 y b2 son constantes dadas. Podemos expresar las anteriores como a1 y(a) + b1 y 0 (a) = 0

a2 y(b) + b2 y 0 (b) = 0 lo mismo para: y = y

Nos referimos a este caso como el caso ordinario. y(b) + y 0 (b) − y(b)y 0 (b) = 0

Caso 2. p(a) = 0

Se parte de la u ´ltima condici´on del caso 1, la que dice a2 y(b) + b2 y 0 (b) = 0 y para: y = y Puesto que p(a) = 0 es equivalente a la situaci´on donde la ecuaci´on diferencial de Sturm-Liouville tiene un punto singular en x = a, nos podemos referir a ´este como un caso de un punto singular. En cambio, si se toma un p(b) = 0 se genera una ecuaci´on similar a1 y(a) + b1 y 0 (a) = 0quady para: y = y y en este caso se tendr´a un punto singular en x = b, en vez de x = a. Caso 3. p(a) = 0 y

p(b) = 0

Este caso ocurrira en una ecuaci´on diferencial de Sturm-Liouville con dos puntos singulares, esto es, en x = a y x = b, nos referimos a este caso como el caso de dos puntos singulares. Un ejemplo de este caso ser´ıa p(x) = 1−x2 , lo que dar´ıa a = −1, b = 1. Caso 3. p(a) = p(b) 6= 0,

y(a) = y(b), y 0 (a) = y 0 (b) similar para: y = y

Este caso llega a ser llamado caso peri´odico, ya que los valores de p(x), y(x) y y 0 (x) son los mismos para x = a y x = b. A manera de resumen se coloca la siguiente cuadro con los aspectos generales de cada caso [4].

13

1. Caso ordinario, P (a) 6= 0, p(b) 6= 0 a1 y(a) + b1 y 0 (a) = 0,

a2 y(b) + b2 y 0 (b) = 0

2. Caso de un punto singular, p(a) = 0 y y y 0 acotadas en x = a,

a2 y(b) + b2 y 0 (b) = 0

De la misma manera se encuentra un problema al intercambiar a y b. 3. Caso de dos puntos singulares, p(a) = p(b) = 0 y y y 0 acotadas en x = a, y x = b 4. Caso peri´ odico, p(a) = p(b) 6= 0 y(a) = y(b),

y 0 (a) = y 0 (b)

Cada uno de estos problemas de valor de frontera se llama un problema de valor de frontera de Sturm-Liouville o simplemente un problema de Sturm-Liouville.

14

Cap´ıtulo 3 EJERCICIOS

1. Transforme y 00 + 2xy 0 + (x + λ)y = 0 en la ecuaci´ on (2.1) por medio del procedimiento de forma est´ andar. [5] Como ya se observ´o, la ecuaci´on (2.1) puede ser expresada en una forma est´andar de tipo a2 (x)y 00 + a1 (x)y 0 + (a0 (x) + λ)y = 0 donde a2 (x) no se anula en [a, b], esto se puede lograr si y s´olo si a02 (x) = a1 (x), esta condici´on siempre se puede forzar al multiplicar la ecuaci´on por un factor integrante apropiado.

Aqu´ı a2 (x) = 1 y a1 (x) = 2x, entonces p(x) = e

R

2x dx

2

= ex y multiplicando

este factor integrante con la ecuaci´on del ejercicio se tiene 2

2

2

2

ex y 00 + 2xex y 0 + xex y + λex y = 0 

2

ex y 0

0

2

2

+ xex y + λex y = 0

´ Esta u ´ltima ecuaci´on ser´ıa la transformaci´on, con p(x) = ex

2

q(x) = xex

2

y

w(x) = ex

2

2. Resolver el problema de valor en la frontera [3] y 00 + λy = 0,

y(0) = 0,

y(1) + y 0 (1) = 0

Esto se resulve encontrando primeramente los eigenvalores del par´ametro λ D2 + λ = 0 15

⇒ −λ = α2

D=

√ λi

⇒ y = A cos(α2 x) + B sen(α2 x)

y(0) = 0 → implica A = 0 → y = B senαx y(1) + y 0 (1) = B sen α + Bα cos α = 0 Como B 6= 0 porque caso contrario se tendr´ıa una soluci´on trivial, se saca como factor com´ un B(sen α + α cos α) = 0 sen α = −α cos α tan α = −α para poder graficarlo, se considera x = α y = tan x y y = −x

Figura 3.1: Ra´ıces positivas de la funci´on tan x = −x

16

Cap´ıtulo 4 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

4.1.

CONCLUSIONES El estudio del problema regular S-L nos muestra las propiedades de ortogonalizaci´on, ortonormalizaci´on, as´ı como el entendimiento de que se generan eigenvalores meramente reales. Se observ´o las caracter´ısticas que tiene el problema singular de S-L, lo que nos muestra relaciones de ortogonalidad dependiendo del valor que tome x.

4.2.

RECOMENDACIONES Tener previos conocimientos generales sobre el tema a tratar para no crear confusi´on. Revisar conceptos de ecuaciones diferenciales antes de proseguir el tema a profundidad.

17

Bibliograf´ıa

[1] Wikipedia.

Historia de las ecuaciones diferenciales, 2016 (Accedido 23

de Julio, 2016).

https://es.wikipedia.org/wiki/Historia_de_las_

ecuaciones_diferenciales. [2] Domingo Pestana y Jos´e Manuel Rodr´ıguez Arturo de Pablo. Apuntes de am´ pliacion de matemAticas ii para ingenieros de telecomunicaciones, (Accedido 22 de Julio, 2016). http://www.cfm.cl/~rjimenez/edp1/or.pdf. [3] Matem´aticas Avanzadas Para Ingenier´ıa II. McGraw-Hill Interamericana, M´exico, 2008. [4] Ecuaciones diferenciales aplicadas. Prentice-Hall Hispanoamericana, M´exico, 1983. [5] Ecuaciones diferenciales. McGraw-Hill Interamericana, M´exico.

18