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• Jerry Carril Chavez

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Problema Un fabricante de dulces de sea maximizar la ganancia para dos tipos de chocolates en caja. Una de cremas cubierta con chocolate produce una ganancia de 1.50 dólares por caja y nueces cubiertas con chocolate p0roduce una ganancia de 2 dólares por caja. Un estudio de mercado y recursos disponibles han indicado las condiciones siguientes: 1) El nivel de producción combinado no debe exceder de 1200 cajas por mes. 2) La demanda para una caja de nueces cubiertas con chocolate no es mayor que la mitad de la demanda para una caja de cremas cubiertas con chocolate. 3) El nivel de producción para cremas cubiertas con chocolate deberá ser menor o igual que 600 cajas, más tres veces el nivel de producción para nueces cubiertas con chocolate.

Solución   

N° de cajas de cremas cubiertas con chocolate (Tipo A) = x N° de cajas de nueces cubiertas con chocolate (Tipo B) = y Sea la función ganancia: 𝐺(𝑥, 𝑦) = 1.5𝑥 + 2𝑦

De los datos hallaremos las siguientes condiciones 1) El nivel de producción combinado no debe exceder de 1200 cajas por mes 𝑥 + 𝑦 ≤ 1200 2) La demanda para una caja de nueces cubiertas con chocolate no es mayor que la mitad de la demanda para una caja de cremas cubiertas con chocolate. 𝑥 𝑦≤ 2 3) El nivel de producción para cremas cubiertas con chocolate deberá ser menor o igual que 600 cajas, más tres veces el nivel de producción para nueces cubiertas con chocolate. 𝑥 ≤ 600 + 3𝑦

𝑥 + 𝑦 ≤ 1200 Condiciones

𝑥

𝑦≤2 𝑥 ≤ 600 + 3𝑦 𝑥 ≥ 0 ,𝑦 ≥ 0

Luego se asigna las siguientes ecuaciones para poder hallar los puntos de cruce de las respectivas rectas que se originaran de dichas ecuaciones: 𝑥 + 𝑦 = 1200 (𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 1) 𝑦=

𝑥 (𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 2) 2

𝑥 = 600 + 3𝑦 (𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 3) Graficaremos las igualdades, mediante la tabulación obtenemos dos puntos que son suficientes para graficar una recta Para la ecuación 1 𝑥 + 𝑦 = 1200 x y 0 1200 1200 0

Se grafica la ecuación:

𝑥+𝑦 = 1200

y 1200

1000 800 600 400 200 0 0

200

400

600

800

1000

x 1200

Se grafica la región donde se cumpla los valores de (x; y) para la inecuación 𝑥 + 𝑦 ≤ 1200, por ser de valores de y menores e iguales " ≤ " a los de x se tomara la región por debajo de la recta:

𝑥+𝑦 ≤ 1200

y 1200 1000

800 600 400

200 0 0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

x 1000 1100 1200

Para la ecuación 2 𝑦= x 0 1200

𝑥 2 y 0 600

Se grafica la ecuación:

𝑦 = 𝑥/2

y 600 500 400 300 200

100 0 0

200

400

600

800

1000

x 1200

𝑥

Se grafica la región donde se cumpla los valores de (x; y) para la inecuación 𝑦 ≤ 2 , por ser de valores de y menores e iguales " ≤ " a los de x se tomara la región por debajo de la recta:

𝑦 ≤ 𝑥/2

y

600 500 400

300 200 100

0 0

100

200

300

400

500

600

700

Para la ecuación 3 𝑥 = 600 + 3𝑦 x 0 1200

Se grafica la ecuación:

y -200 200

800

900

x 1000 1100 1200

𝑥 = 600+3𝑦

y 200 150 100 50 0 -50 0

200

400

600

800

1000

1200

-100 -150 -200 x

-250

Se grafica la región donde se cumpla los valores de (x; y) para la inecuación 𝑥 ≤ 600 + 3𝑦, por ser de valores de y mayores e iguales " ≥ " a los de x se tomara la región por encima de la recta:

𝑥 ≤ 600+3𝑦

y 200 150 100 50 0 -50 -100 -150 -200

x

-250 0

200

400

600

800

1000

1200

Solo se trabaja en el primer cuadrante, ya que las variables pueden ser positivas o iguales a cero (𝑥 ≥ 0 , 𝑦 ≥ 0) pero no negativas ya que estamos hablando de fabricación de dulces y no se pueden fabricar “-55 dulces” por citar un ejemplo. Ahora solo sombreamos la región que cumpla con todas las desigualdades y encontramos las coordenadas de los vértices de dicha región factible. Resolvemos sistemas de ecuaciones para encontrar los vértices: 𝑥 + 𝑦 = 1200 (𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 1) 𝑦=

𝑥 (𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 2) 2

𝑥 = 600 + 3𝑦 (𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 3) De (1) y (2): 𝑥 + 𝑦 = 1200 𝑥

𝑦 = 2∗2 3𝑦 = 1200 − −−→ 𝑦 = 400 Luego reemplazamos en (2) y obtenemos: 𝑥 = 800 De (1) y (3): 𝑥 + 𝑦 = 1200 𝑥 = 600 + 3𝑦 4𝑦 = 600 − −−→ 𝑦 = 150

Luego reemplazando en (1) y obtenemos: 𝑥 = 1050

Luego los vértices son: (0; 0), (600; 0), (1050; 150) y (800; 400). Tabulando para encontrar en par ordenado (x; y) en nuestra función objetivo 𝑮(𝒙; 𝒚) = 𝟏. 𝟓𝒙 + 𝟐𝒚 que maximice la ganancia: (𝒙; 𝒚) 𝑮(𝒙; 𝒚) = 𝟏. 𝟓𝒙 + 𝟐𝒚 (0; 0) 0 (600; 0) 900 (1050; 150) 1875 (800; 400) 2000

Observando los resultados podemos concluir que el máximo valor de la función objetivo se encuentra en el vértice (800; 400). Por lo tanto la ganancia máxima es 𝑮(𝟖𝟎𝟎; 𝟒𝟎𝟎) = 𝟐𝟎𝟎𝟎 .