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• Carmen Julia Seña Lastre

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Problema. Un monje tibetano sale del monasterio a las 7:00 A.M. y emprende su camino habitual hacia la cima de la montaña, adonde llega a las 7:00 P.M. La mañana siguiente inicia el regreso desde la cima por la misma ruta a las 7:00 A.M. y llega al monasterio a las 7:00 P.M. Mediante el teorema del valor intermedio, demuestre que existe un punto a lo largo de la ruta que el monje cruzará exactamente a la misma hora en ambos días. Solución 1. Suponemos f(t) la función que describe la trayectoria del monje hacia el la montaña el primer día y g(t) la que describe el regreso. Ahora, estando el monje en el punto de partida, t=0, por lo que f(0) = 0, y como salió a las 7am y llego a la cima a las 7pm, transcurrieron 12 horas, por lo que f(12) = d, con d el punto extremo de la distancia total existente entre su punto de partida y la cima de la montaña. De modo análogo trabajamos con g(t), la función del día siguiente. Así, para t=0 en g(t), tenemos g(0) = d y g(12) = 0, i.e., regreso al punto de partida después de 12 horas. Ambas, funciones, g(t) y f(t) son continuas y lo que quieres demostrar es que hay un instante t0 tal que f(t0) = g(t0), con lo que definimos una nueva función a partir de la diferencia de las dos conocidas. Entonces h(t) = f(t) - g(t), con lo cual h(t) es continua en [0,12] y además h(0) = f(0) − g(0) = 0 - d = -d y g(12) = d. Entonces por el Teorema del Valor Intermedio, como −d < 0 < d, existe un t0 en (0,12) tal que h(t0) = 0, y ello implica necesariamente que, f(t0) = g(t0). Solución 2. Sea L la distancia del monasterio a la cima. Sea x la distancia de un punto cualquiera de la ruta medida desde el monasterio, así que 0 ≤ x ≤ L. En el intervalo anterior, definamos las funciones:

tida(x) = Hora en que pasó por el punto x en el viaje de ida.

treg(x) = Hora en que pasó por el punto x en el viaje de regreso.

Ambas son funciones continuas en el intervalo 0 ≤ x ≤ L. Definamos ahora la función:

D(x) = tida(x) – treg(x)

que será también continua en el intervalo por ser diferencia de funciones continuas. Esta función toma valores:

D(0) = tida(0) – treg(0) = 7:00 – 19:00 = –12:00 D(L) = tida(L) – treg(L) = 19:00 – 7:00 =12:00

Como D es una función continua en un intervalo cerrado que pasa de – 12 a 12, tiene que tomar por lo menos en un punto x* el valor cero. Como D(x*) = 0

tida(x*) = treg (x*)

Teorema del valor intermedio. Dada la función g:[0,4] → ℜ / g(x) = -√(16 - x²) verificar que se cumpla las hipótesis del teorema de valor intermedio en [0,4] y hallar c tal que g(c) = -1" 1. Hallar el valor de c, del teorema de la media, de la función f(x) = 3x 2 en el intervalo [−4, −1]. Como la función es continua en el intervalo [−4, −1], se puede aplicar el teorema de la media.

La solución positiva no es válida porque no pertenece al intervalo.