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• ELEUTERIO LLAMOCCA FERNANDEZ

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PROBLEMA DE APLICACIÓN N°1 La tabulación indicada corresponde a los datos censales de la ciudad "X", para el periodo 1910 a 1980. Estimar la población del año 2010 para cada uno de los siguientes métodos . a.) Gráfico de tendencias b.) Incrementos variables c.) Normal logística d.) Parábola de 2do grado e.) 1)Aritmético 2)Geométrico, en base de incrementos porcentuales f) Aritmético y geométrico en base a la información a los ultimos censos

Año Pob.

1910 25865

1920 43350

1930 76160

1940 80865

1950 110361

1960 118342

1970 153886

1980 167402

Hacer un tabla de los valores determinados por los diferentes métodos y adoptar la decisión de definir la población del año 2010 justificando la misma.

b) Metodo de incrementos variables

Año

Incremento de poblacion

Poblacion

incrementode incremento

Años Pregunta 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 SUMA PROM Siendo Z=

25865 43350 76160 80865 110361 118342 153886 167402 608829.00 86975.57

2010

17485.00 32810.00 4705.00 29496.00 7981.00 35544.00 13516.00 141537.00 20219.57

15325.0000 -28105.0000 24791.0000 -21515.0000 27563.0000 -22028.0000 -3969.0000 -567.00

8

 1 P 

 2 P 



1

P

=

20219.571

=

-661.5

Z 1



2

P

Z 2

 PZ  Pn  m(1P ) 

m(m  1)( 2 p) 2

Siendo: m= 3 Pn= 167402

P2010 =

226076

Hab.

c) Método de la normal logística Ojo: Colocar los Datos desde la ultima Fila Años Pregunta Año

Poblacion

0 0 0 0 0 1960 1970 1980

0 0 0 0 0 118342 153886 167402

2010

SOLUCION: Ojo. Escogemos los 3 ultimos Poblacion 118342 153886 167402

Po = P1 = P2 =

cond (1)

P0 * P2  ( P1 ) 2

ok !

cond (2)

P0  P2  2 P1

ok !

cond(1) cond(2)

Para:

Pobl. par

Año 1960 1970 1980

Ok Ok

Por lo tanto:

Ps =

172988

a=

-0.7727

b=

-1.3137

2010 t=

Hab

Ps 

P  a  Ln  s  1 P  0   P0 ( Ps  P1 )  b  Ln    P1 ( Ps  P0 ) 

5

2010

P2010 =

2 * P0 P1 P2  P12 ( P0  P2 ) P0 P2  P12

172876

Hab.

P

Ps 1  e a bt

d) Método de la parábola de 2° grado Escogemos los tres ultimos datos censales por ser mas recientes

Y  AX 2  BX  C; X  Numerodeañosa partirdelañobase Año Población 1960 1970 1980

t(años)

t^2

118342 153886 167402

0 10 20

0 100 400 MATRIZ INVERSA

A

B

C

0 100 400

T.I

0 10 20

A= B= C=

1 1 1

118342 153886 167402

0.005 -0.15 1

-0.01 0.2 0

-110.14 4655.8 118342

P  110.14t 2  4655.8t  118342 Pobl. para

2010

Para:

t =

50

P2010=

75782

habitantes

Pero desechamos este valor y tomamos valores de población cada dos décadas Año Población 1940 1960 1980

A

t(decadas) 80865 118342 167402

B

C

0 4 16 A= B= C=

t^2 0 2 4

0 4 16

T.I

0 2 4

1 1 1

0.125 -0.75

80865 118342 167402

1

1447.875 15842.75 80865

P  1447.875t 2  15842.75t  80865 Pobl. par Para:

2010 t =

70

=

P2010=

262710

MATRIZ INVERSA -0.25 1

7 habitantes

decadas

0

0.125 -0.25 0

0.005 -0.05 0

e)Metodo Aritmetico y geometrico en base a los incrementos porcentuales 9. Con los datos de poblacion dados a continuacion para una ciudad "Z"; calcular la poblacion para los años 1990 y 2000.

DATOS: Año

Poblacion

1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 SUMA PROM

Razon de Crec.(Yi(%))

25865 43350 76160 80865 110361 118342 153886 167402 608829.00 86975.57

67.60 75.69 6.18 36.48 7.23 30.03 8.78 231.99 33.14

LOG Y

X2

1.8300 668998225 1.8790 1879222500 0.7908 5800345600 1.5620 6539148225 0.8592 1.218E+10 1.4776 1.4005E+10 0.9436 2.3681E+10 9.3423 1.33

XY

XLOGY

1748500 3281000 470500 2949600 798100 3554400 1351600

47331.7383 81455.3925 60229.8179 126311.335 94826.7715 174865.381 145214.381

64752994831

14153700.00

9250427833

2021957.14

730234.82 104319.26

Método aritmético ai 1 1

bi

ci 86975.57 33.14 106356.620382735 23.247414298596

5.48766 -4.48766068515028 -5E-05 5.159679449575E-05 a = 77.5427999753861 b = -0.000510503111902 X= Y=

Y  a  bX

167402 -7.9164419633

Método Geometrico

LogY  LogA  ( BLoge) X Y  aebx   X    LogY  A  B       0 n  n      X 2    XLogY  A B    0   X    X     Ai 1 1

Bi Ci 86975.57 1.33 106356.620382735 1.1994087295444

5.48766 -4.48766068515028 -5E-05 5.159679449575E-05 A = 1.94138949281272 B = -6.97634769324E-06

a  10 A b  B / Loge

a= 87.375463551107 b= -1.60636342E-05 Y = 87.374059994896

Años despues del ultimo Censo

Aritmetico

Geometrico

Aritmetico

Geometrico

Aritmetico

Geometrico

1980 1990 2000 2010

167402 154150 152375 152002

167402 177340 186314 194477

-7.92 -1.15 -0.25

5.94 5.06 4.38

-13252.28 -1774.43 -373.71

9937.92 8974.52 8162.85

Pobl. pa

2010

Poblacion

Crecimiento por decada % Incremento por decada

152002 194477

hab hab

(crecimiento aritmetico) (crecimiento geometrico)

Años Pregunta 2010

f) Metodo comparativo Delos metodos resueltos anteriormente, algunos arrojan valores absurdos (valores menores que el ultimo censo), tales como el metodo aritmetico de incrementos %, el metodo Metodo Grafico de tendencias incrementos variables normal logistica geometrico(incremento%) aritmetico geometrico PROMEDIO

SOLUCION: P2010 =

Poblacion 225000 226076 172876 194477 240992 281639 223510

223510

habitantes

los siguientes métodos . cias

a misma.

etico de incrementos %, el metodo de la parábola de 2° grad; con tal observación creemos conveniente trabajar con los valores restantes siendo un criterio para estimar la poblacion del año 2010