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• juan01012000

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Problema No. 11 11.- Una ventana tiene forma de rectángulo, culminando en la parte superior con un triángulo equilátero. El perímetro de la ventana es de 3 metros. ¿Cuál debe ser la longitud de la base del rectángulo para que la ventana tenga el área máxima?

X

𝑃=3

𝐴2 ℎ

×

𝑥 𝑦

A1

𝑥

𝑦

Paso 1. Se señalan con letras las longitudes de la ventana.

•Se sabe que el área de la ventana es la suma de las áreas del triangulo y rectángulo.

𝐴2

H

𝑋

𝑋

𝑋

Y

Y

𝐴1 𝑋

Paso 2. Saber que: • 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑋 𝑥 𝑌

•

𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑖𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜

𝑋 𝑥 ℎ 2

•Área Total = 𝐴 =𝑋×𝑌 +

𝑋 𝑥 ℎ 2

Paso 3. Se sabe que el perímetro es tres por lo tanto:

2𝑌 + 3𝑋 = 3

Se despeja Y

y=

3−3𝑥 2

Después se sustituye Y en la formula del área total

3 − 3𝑥 𝑋×ℎ 𝐴 =𝑥 + 3 2

𝑋

𝑋

𝐻 𝑋 2

𝑋 2

5.Se utiliza el teorema de Pitágoras: 𝐶 2 = 𝐴2 + 𝐵2 𝑋

2

2

= 𝐻 +

𝑋 2 2

2 𝑋 𝐻2 = 𝑋 2 − 4

2

1𝑥 1𝑥 − 1 4 𝐻=

2

3 2 𝑥 4

2

4𝑥 − 𝑥 = 4

2

3 2 = 𝑥 4

𝐻=

3 𝑥 2

6.Se sustituye H en la ecuación:

𝐴 =𝑥

3−3𝑋 3

𝑋×𝐻 + 2

3 𝑋( 2 𝑋) 3 − 3𝑋 𝐴 =𝑥 + 3 2

3 3 2 𝐴= 𝑥− 𝑥 + 2 2

3𝑥 2 2 ÷ 2 1

3 3 2 3 2 𝐴= 𝑥− 𝑥 + 𝑥 2 2 4 3 2 3 2 𝐴= 𝑥 − 𝑥 = −1.0669𝑥 2 4 2 3 𝐴 = −1.0669𝑥 + 𝑥 2 2

7. La derivada se iguala a cero para encontrar sus valores críticos.

−2.1339𝑥 + 1.5 = 0 −2.1339𝑥 = −1.5 𝑋 = −1.5 ÷ −2.1339 𝑋 = 0.7029

8.Sustituir para encontrar Y

3 − 3𝑥 𝑌= 2 3 − 3(0.7029) 𝑌= 2 𝑌=

0.8913 2

𝑌 = 0.4456

Por lo tanto la longitud que debe tener la base del rectángulo para que tenga el área máxima es: 𝑋 = 0.7029