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• John Steinbrenner

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TRANSFORMADORES PROBLEMAS RESUELTOS EN CLASE PROBLEMA 1

El transformador ideal de la figura tiene dos devanados con N1 = 300 espiras y N2 = 100 espiras. La longitud de la trayectoria magnética media es igual a 50 cm y la sección transversal del núcleo magnético es igual a 10 cm2. La curva de imanación del material responde a la siguiente expresión: B=

1.8·10−2 ·H 1 + 10− 2 ·H

; B: Teslas, H: A-v/m

Al aplicar al primario una tensión v 1 = 150 cos 314t V se comprueba que las pérdidas en el núcleo son 20 W. Determine: a) Corriente de vacío I0 absorbida por el transformador. b) Tensión secundaria V2. c) Si el secundario alimenta una impedancia de carga ZL = 0.5∠60º Ω, determine la corriente primaria que absorberá el transformador de la red.

PROBLEMA 2 Un transformador monofásico de 10 kVA, relación 500/100 V, tiene las siguientes impedancias de los devanados: Z1 = R1 + jX1 = 0.2 + j0.4 Ω Z2 = R2 + jX2 = 0.008 + j0.016 Ω Al alimentar el transformador por una tensión de 500 V que se toma como referencia de fases, la corriente de vacío absorbida responde a la forma compleja: I0 = 0.2∠–70º A. Calcule: a) Valores de E1, E2 y V2 cuando el transformador trabaja en vacío. b) Si el secundario lleva una corriente de la forma I2 = 100∠–30º A, calcule los nuevos valores de E1, E2 y V2.

1

PROBLEMA 3 Un transformador monofásico de 250 kVA, relación 15000/250 V, 50 Hz, ha dado los siguientes resultados en unos ensayos: VACÍO, datos medidos en el lado de B.T.: 250 V, 80 A, 4000 W. CORTOCIRCUITO, datos medidos en el lado de A.T.: 600 V, corriente nominal, 5000 W. Calcule: a) Parámetros del circuito equivalente del transformador reducido al primario. b) Corriente de cortocircuito de falta.

PROBLEMA 4 Un transformador monofásico de 10 kVA, relación 1000/100 V, tiene los siguientes parámetros de tensiones relativas de cortocircuito: εRcc = 6% εXcc = 8% En el secundario del transformador se conecta una impedancia de 2∠30º Ω. a) Si la tensión secundaria se considera igual a 100 V, determine el valor de la tensión primaria necesaria para que la tensión secundaria se mantenga constante al alimentar la carga mencionada. b) Si la tensión primaria se mantiene constante e igual a 1000 V, determine el valor de la tensión que se obtendrá en el secundario al alimentar la carga.

PROBLEMA 5 Un transformador monofásico de 250 kVA, relación 15000/250 V, 50 Hz, tiene unas pérdidas en el hierro de 4000 W y unas pérdidas en el cobre a plena carga de 5000 W. Calcule: a) b) c) d)

Rendimiento a plena carga con factor de potencia 0.8. Rendimiento a media carga con factor de potencia unidad. Potencia de máximo rendimiento. Rendimiento máximo para un factor de potencia 0.9.

PROBLEMA 6 Se conecta un transformador trifásico reductor a una línea de 20 kV y absorbe 20 A. Si la relación de espiras por fase es igual a 100, calcule la tensión compuesta y la corriente de línea en el secundario del transformador para las siguientes conexiones: a) b) c) d)

Estrella-estrella. Triángulo-triángulo. Estrella-triángulo. Triángulo-estrella.

NOTA: Se desprecian las pérdidas del transformador.

2

PROBLEMA 7

La figura muestra tres transformadores monofásicos de relación 1000/200 V cada uno y con unas impedancias de primario y secundario respectivamente de valores: Z1 = 0.75 + j1 Ω Z2 = 0.03 + j0.04 Ω Se consideran despreciables las ramas en paralelo de cada uno de los transformadores. Los tres transformadores se unen entre sí formando sus primarios una conexión en triángulo y sus secundarios una conexión en estrella. El conjunto alimenta una carga equilibrada conectada en estrella de 2∠45º Ω/fase. Si la tensión simple secundaria es igual a 200 V, la sucesión de fases es RST y se toma como referencia de fases la tensión Van, determine las expresiones fasoriales de: a) b) c) d)

Corrientes Ia, Ib e Ic. Corrientes I1, I2 e I3. Corrientes IR, IS e IT. Tensiones VRS, VST y VTR.

PROBLEMA 8

La figura muestra el esquema de una instalación trifásica equilibrada. Se dispone de un transformador de 50 kVA, conexión Dy1, relación compuesta 15000/380 V, con las siguientes tensiones relativas de cortocircuito: εcc = 10% εXcc = 8%

3

El transformador alimenta por su secundario una carga equilibrada de 5∠0º Ω/fase a través de una línea de impedancia 0.1 + j0.2 Ω/hilo. Calcule: a) Parámetros Rcc, Xcc y Zcc del circuito equivalente aproximado del transformador reducido al primario. b) Si se aplica al primario una tensión trifásica equilibrada de 15 kV de línea (lectura del voltímetro V1), determine las lecturas de los voltímetros VA y VB. c) Repita el apartado anterior si la carga se conecta en triángulo.

PROBLEMA 9 Dos transformadores monofásicos tienen las siguientes características: TRANSFORMADOR I II

SN (kVA) 100 200

k (VN1/VN2) 1000/100 1000/100

εRcc

εXcc

εcc

3% 3%

4% 4%

5% 5%

Ambos transformadores se conectan en paralelo para alimentar una carga de 150 kVA, con factor de potencia 0.8 inductivo, con una tensión secundaria constante de 100 V. Detemine: a) Impedancias internas de ambos transformadores. b) Reparto de corrientes, potencias activas y aparentes entre ambos transformadores.

PROBLEMA 10 La impedancia de cortocircuito de un transformador trifásico de 300 kVA, Yd5 y relación de transformación 15000/380 V viene definida por los parámetros εRcc = 3% y εXcc = 4%. Calcule la impedancia en magnitudes unitarias referidas al primario y al secundario si las dos zonas en las que el transformador divide el sistema en el que se encuentra tienen una potencia base trifásica de 1000 kVA y la tensión base monofásica de la zona de más baja tensión es 1000 V.

PROBLEMA 11 Un transformador trifásico estrella-triángulo de relación de tensiones compuestas 15000/380 V y de 1500 kVA de potencia nominal alimenta en el lado de baja tensión una carga trifásica equilibrada conectada en triángulo de 0.3∠36.87º Ω/fase. Las impedancias por fase de los devanados primario y secundario son respectivamente: Z1 = 2 + 4j Ω Z2 = 10-3 +2·10-3j Ω Suponiendo que la tensión secundaria es 380 V y despreciando la rama en paralelo del circuito equivalente, calcule mediante el uso de magnitudes unitarias: a) b) c) d)

Tensión de línea en el primario necesaria para alimentar la carga a 380 V. Potencia aparente trifásica a la salida y a la entrada del transformador, expresada en kVA. Rendimiento. Regulación del transformador.

Nota: Tómese como potencia base monofásica 500 kVA y como tensión base monofásica de la 380 zona donde se encuentra la carga V. 3

4

PROBLEMAS DE TRANSFORMADORES PROBLEMA 1 Dos transformadores de 100 kVA, 1000/100 V, 50 Hz, funcionan en paralelo. Los ensayos de cortocircuito de estos transformadores cuando funcionan con corriente nominal con los devanados de B.T. en cortocircuito, dan los siguientes resultados: TRANSFORMADOR I II

TENSIÓN APLICADA 30 V 90 V

POTENCIA ENTRADA 1200 W 1800 W

a) Si se desea alimentar a 100 V una carga de 100 kW con f.d.p. 0.8 inductivo, ¿cuál será el reparto de potencias aparentes y activas en cada transformador? b) ¿Cuál es la mayor potencia con f.d.p. unidad que pueden llevar los dos transformadores en paralelo sin sobrecargar ninguno de ellos?

PROBLEMA 2 Un transformador monofásico de 500 kVA, 15000/3000 V, 50 Hz, ha dado los siguientes resultados en unos ensayos: VACÍO: 15000 V, 1.67 A, 4000 W (medidos en el lado de A.T.). CORTOCIRCUITO: 750 V, 33.33 A, 10000 W (medidos en el lado de A.T.). a) Calcular los parámetros del circuito equivalente del transformador reducido al primario. b) Calcular las caídas relativas de tensión εRcc, εXcc, εcc. c) Hallar el rendimiento del transformador cuando funciona a plena carga con f.d.p. 0.8 inductivo. d) Calcular la potencia aparente de máximo rendimiento del transformador y el rendimiento máximo para un f.d.p. unidad. e) Si se aplican 15000 V al primario y se conecta una carga en el secundario que absorbe 100 A con f.d.p. 0.8 inductivo, ¿cuál será el valor de la tensión secundaria? ¿Y la caída relativa de tensión? f) Contestar a la pregunta anterior en el caso de que la carga absorba los 100 A con f.d.p. 0.8 capacitivo. g) Si se produce un cortocircuito en el secundario del transformador ¿cuál sería el valor de la corriente primaria en régimen permanente? h) Se acopla en paralelo este transformador con otro de potencia doble, con la misma relación de transformación 15000/3000 V y la misma caída relativa εcc pero su componente resistiva εRcc es mitad que la del transformador original. Si se desea alimentar una potencia total de 1000 kVA con f.d.p. 0.6 inductivo, ¿cuáles serán los valores de las potencias activas y aparentes suministradas por cada transformador? ¿Cuáles serían los rendimientos de ambos transformadores en este caso si el segundo de ellos tiene una potencia de pérdidas en el hierro de 6 kW?

PROBLEMA 3 La siguiente figura muestra un transformador trifásico estrella-triángulo de relación de tensiones compuestas 15000/380 V que alimenta en el lado de baja tensión una carga trifásica equilibrada conectada en triángulo de 0.3∠36.87 ohmios/fase. Suponiendo que en estas condiciones el transformador trabaja a plena carga y que la tensión secundaria es de 380 V, calcular:

1

a) Potencia aparente o de plena carga del transformador en kVA. b) Si las impedancias por fase de los devanados primario y secundario son respectivamente: Z1 = 2+4j Ω -3 -3 Z2 = 10 +2·10 j Ω Calcular la tensión V1 de línea para alimentar la carga a 380 V. c) Calcular el rendimiento del transformador si el índice de carga óptimo o de máximo rendimiento es igual a 0.8. d) ¿Cuál es el valor del índice horario del transformador si la sucesión de fases es RST? R

r A

b’

a

380 V

b

A’

C’ T

V

C

c’

B’

B

S

0.3∠36.87º Ω/fase

s

a’ c t

PROBLEMA 4 La red trifásica del esquema está trabajando de manera que la tensión de línea en el nudo 2 es de 132 kV. Las cargas R1 y R2 están conectadas en estrella. Tomando como bases de la zona del generador los valores nominales de éste, proporcionar, exclusivamente en valores unitarios: a) Tabla de valores base de las distintas zonas y relaciones angulares entre ellas y esquema monofásico equivalente con valores de las distintas impedancias. b) Tensiones del nudo 1 y en bornas del generador, así como las potencias generadas por éste. c) Regulación y rendimiento de la línea y potencias de los dos receptores R1 y R2. d) Parámetros internos de los dipolos secuenciales Thévenin en el punto 1 para faltas derivación.

2 G

∼

T1

1

T2

z = j3.211 Ω R1

L

100 MVA 100 MVA 100 MVA 132 kV 13 kV 132/13 kV = x 0.05 p.u. x = 0.0125 p.u. YNd11 x = 0.05 p.u.

50 MVA 132/13 kV Ynd1 x = 0.05 p.u. T3

z = j3.211 Ω R2

50 MVA 132/13 kV YNyn6 x = 0.05 p.u.

2

PROBLEMA 5 Considérese el sistema de energía de la figura. Se conocen los siguientes datos: • • • • • • •

G1: G2: T1: T2: L: D1: D2:

Generador, 300 MVA, 24 kV, x = 10% Generador, 300 MVA, 24 kV, x = 10% Transformador, 300 MVA, 240/24 kV, ynYN, x = 12% Transformador, 300 MVA, 240/24 kV, ∆YN, x = 12% Línea de transporte, x = 20% Carga estática (resistencia pura) en estrella, r = 2 p.u. Carga estática (resistencia pura) en estrella, r = 0.8 p.u.

1

2 T2

T1 L

G1 yn

G2

ynYN

YN∆

yn

D2

D1

Los módulos de las tensiones de ambos nudos son 1 p.u., y los generadores se reparten en partes iguales la potencia activa. Calcular para estas condiciones de funcionamiento: a) Fases de las tensiones de los nudos 1 y 2. b) Intensidades que circulan por las cargas D1 y D2. c) Intensidad que recorre la línea de transporte. d) Intensidades que salen de los generadores G1 y G2. e) Potencia reactiva entregada por los generadores G1 y G2.

PROBLEMA 6 El rendimiento para un factor de potencia unidad de un transformador monofásico de 200 kVA, 3000/380 V, es de 0.98 tanto para la plena carga como para media carga. El factor de potencia en vacío es de 0.2 y la caída de tensión relativa a plena carga, con un factor de potencia 0.8 inductivo es del 4%. Determinar los parámetros del circuito equivalente del transformador reducido al primario.

PROBLEMA 7 La siguiente figura muestra el esquema simplificado de la instalación eléctrica de un grupo de bombeo utilizado para un sistema de riego por aspersión. Se dispone de una red de distribución de 15 kV, 50 Hz que por medio de un transformador Dy11, 100 kVA, relación compuesta 15000/380 V suministra energía eléctrica al grupo motobomba a través de una línea

3

resistiva de 0.2 ohmios por hilo. El grupo motobomba está representado por una impedancia de 6∠36.87º ohmios por fase. Las características del transformador que se leen en su placa de características son las siguientes: 100 kVA, Dy11, 15000/380 V, εcc = 10%, εXcc = 8% 0.2 Ω/hilo

R 15 kV

50 Hz

r

S

s

T

t Dy11 100 kVA 15 kV/380V

MOTOBOMBA 955 µF/fase

6∠36.87 Ω/fase

Calcular: a) Parámetros Rcc, Xcc y Zcc del circuito equivalente del transformador reducido al primario (se desprecia la rama paralelo del circuito equivalente). b) Tensión de línea en bornes del secundario del transformador y tensión de línea en bornes del grupo motobomba, si la red de distribución en A.T. tiene una tensión constante de línea de 15 kV. c) Rendimiento del transformador en estas condiciones. d) Si para corregir el f.d.p. del grupo motobomba se conecta una batería de condensadores en estrella de 955 µF/fase (como se indica en la figura), ¿cuál será la nueva tensión de línea en bornes del grupo motobomba?

PROBLEMA 8 Determinar el índice horario del siguiente transformador:

A’

A

a

a’

a1

a’1

B’

B

b

b’

b1

b’1

C

c

c’

c1

c’1

C’

4

PROBLEMA 9 La figura representa una instalación trifásica equilibrada en la que: M-

Motor de inducción trifásico 3×3464/6000 V, 750 CV (*), η = 0.92 y factor de potencia 0.8.

C-

Batería de condensadores 6 kV, 275 kVAr.

Otros consumos G

T1

L1

T2

L2

T3

∼

M

2.4 MVA 13 kV

2.4 MVA 132/13 kV Yd11

3 MVA 132/20 kV Yy6

j48 Ω 20/6 kV Yd5

C

Se pide: a) Calcular la potencia aparente y el factor de potencia del conjunto motor-batería si el motor trabaja en condiciones nominales. b) Sabiendo que el argumento de la intensidad consumida por el motor por la fase T son 90º, calcular el valor (en módulo y argumento) de la tensión entre las fases T y S del lado de alta del transformador T2. El generador está trabajando a tensión nominal y entregando al conjunto una potencia de 1728 kW y –504 kVAr (¡OJO AL SIGNO!). En estas condiciones: c) Calcular la impedancia de la línea L1 (supuesta inductiva pura). d) Calcular las potencias de la rama “Otros consumos”. Nota: En los apartados c) y d) puede tomarse como referencia angular la que más convenga. (*) 1CV = 736 W DATO - SB =

2.4·10 6 3

VA

PROBLEMA 10 Álvaro, vecino de Ciudad Real, ha adquirido una finca en Piedrabuena con la sana intención de pasar allí los fines de semana con sus hijos, nietos y el perro de su yerno. Las necesidades energéticas de la casa las tiene cubiertas mediante placas solares para la iluminación y gas en la cocina. Sin embargo, la necesidad de bombear agua (que finalmente encontró a gran profundidad) hace que necesite una bomba de 5 CV para llenar los depósitos, con el inconveniente añadido de que la conexión a la red eléctrica queda descartada, pues tendría que hacerse cargo del coste de la línea hasta el punto más próximo de la red. Así que decide instalar un generador en una caseta alejada de la casa para así evitar el ruido y seguir gozando de la paz deseada. Dado que tras la adquisición de la finca y la posterior remodelación de la casa para dejarla a su gusto su presupuesto no está muy saneado, adquiere, de segunda mano, un generador diesel, tres transformadores monofásicos y un motor de inducción para mover la bomba del agua.

5

Las características de las máquinas son las siguientes: • Generador síncrono, arrastrado por un motor diesel, 8 kVA, 660 V, 50 Hz., 1500 r.p.m., conectado en estrella. Su equivalente Thévenin tiene una impedancia igual a 0.3 + 3j Ω/fase. El generador dispone de un dispositivo de control automático para la regulación de la velocidad pero el control de la excitación es manual. • 3 transformadores monofásicos de 2 kVA, 380/220 V, 50 Hz, εcc = 10%, εRcc = 6%. • Motor de inducción conectado en triángulo que está absorbiendo 3915.9 W con un factor de potencia 0.85 inductivo a la tensión nominal de 380 V. El esquema de conexión es tal que el generador se conecta, a través de un cable trifásico de impedancia 0.5 + j5 Ω/fase, con el banco trifásico que se forma a partir de los transformadores monofásicos y el otro lado del banco transformador alimenta al motor de inducción que está acoplado a la bomba del agua. Una vez ajustada la excitación del generador, de tal manera que la tensión en bornas del motor sea la nominal, calcular usando magnitudes reales: a) b) c) d) e)

La caída de tensión relativa en el banco trifásico. La tensión del equivalente Thévenin del generador. Dibujar el circuito monofásico equivalente correspondiente al problema anterior, incluyendo los valores de las impedancias en magnitudes unitarias así como las diferentes zonas en que se divide con sus correspondientes bases. Repetir el apartado a) usando magnitudes unitarias. Repetir el apartado b) usando magnitudes unitarias.

NOTA: Considérese una base monofásica en la zona del motor de inducción de 2 kVA y 220 V.

6

PROBLEMAS DE TRANSFORMADORES

PROBLEMA 1 a) I1N =

100000 1000

= 100 A

PCCI = 1200 = 1002 ·RCCI ⇒ RCCI = 0.12 Ω Z CCI =

30 100

= 0.3 Ω

XCCI = 0.3 2 − 0.122 ⇒ XCCI = 0.275 Ω PCCII = 1800 = 100 2 ·RCCII ⇒ RCCII = 0.18 Ω ZCCII =

90 100

= 0.9 Ω

XCCII = 0.9 2 − 0.18 2 ⇒ XCCII = 0.882 Ω

0.12+j0.275 Ω I’2I

+

0.18+j0.882 Ω

I

+ I’2II

V1

1000∠0 V

–

–

100000 = 1000·I·0.8 ⇒ I = 125∠ − 36.86 A I'2I +I' 2II = 125∠ − 36.86 = 100 − 75 j   I' 2I ·(0.12 + 0.275 j) − I' 2II ·(0.18 + 0.882 j) = 0 I' 2I = 78.16 − 52.46 j = 94.13∠ − 33.87 A I' 2II = 21.83 − 22.54 j = 31.38∠ − 45.92 A SI = 1000 ∠0 · 94.13 ∠33.87 VA ⇒ SI = 94.13∠33.87 kVA

1

100 kW cosϕ = 0.8 ind.

SII = 1000 ∠0 · 31.38∠45.92 VA ⇒ SII = 31.38∠45.92 kVA PI = 78.15 kW PII = 21.82 kW b) La máxima potencia se consigue cuando uno de los transformadores da la máxima potencia posible, que es su potencia nominal. Por lo tanto, hay dos casos posibles: (i) que el transformador 1 dé su potencia nominal, y (ii) que el transformador 2 dé su potencia nominal. La relación entre las potencias de ambos transformadores es: 94.13 31.38

=3

Por lo tanto, en el caso (i) si el transformador 1 suministra 100 KVA, el transformador 2 100 kVA , lo cual es factible. Sin embargo, en el caso (ii) si el transformador 2 entregará 3 suministra su potencia nominal, S 2 = 100 kVA , el transformador 1 suministrará S1 = 300 kVA , que está por encima de su potencia nominal, siendo un caso infactible. Resolviendo para el caso (i): S1 = 1000 ∠γ · I' 2I ∠ − α = 10000 ∠ − α + γ S 2 = 1000 ∠γ · I'2II ∠ − β = I' 2I = 100 ∠α 100 ∠β I' 2II = 3

10000 3

∠−β+ γ

 I' 2I = 300 A  ⇒ I' 2I > I1N ⇒ INFACTIBLE)  ⇒ (En el caso (ii) se obtendría : I' 2II = 100 A 

I' 2I ·(0.12 + j0.275 ) = I' 2II (0.18 + j0.882) I' 2I =

I'2II ⋅0.9∠78.47 0.3 ∠66.43

100∠α =

100·0.9 3·0.3

∠12.4 + β ⇒ α = β + 12.04

ITOTAL = 100 ∠(12.4 + β ) + 100·cos(β + 12.04 ) +

100 3

100 3

∠β = I∠0

cosβ = I

2

100·sen(β + 12.04 ) +

100 3

senβ = 0

100·sen β·cos(12.04 ) + 100 cos β·sen(12.04 ) +

100 3

senβ = 0

131.13·sen β + 20.85·cos β = 0 ⇒ tg β = −0.159 ⇒ β = −9.03º I = 132 .78 A S TOTAL = 1000·132 .78 ⇒ S TOTAL = 132 .78 kVA

PROBLEMA 2 a) P0 = 4000 =

IFE =

15000 56250

15000 2 RFE

⇒ RFE = 56250 Ω

⇒ IFE = 0.266 A

Iµ = 1.67 2 − 0.266 2 ⇒ Iµ = 1.65 A Xµ =

15000 1.65

⇒ Xµ = 9098 .78 Ω

PCC = 10000 = 33.332 ·RCC ⇒ RCC = 9.001 Ω Z CC =

750 33.33

⇒ Z CC = 22.5 Ω

XCC = 22.5 2 − 9.0012 ⇒ XCC = 20.62 Ω b) La intensidad nominal es: I1N =

500000 15000

εRCC =

⇒ I1N = 33.33 A

R CC ·I1N

=

9·33.33

V1N

15000

·100 ⇒ εRCC = 2 %

Del mismo modo: ε XCC =

X CC ·I1N V1N

=

20.62·33.33 15000

·100 ⇒ ε XCC = 4.58 %

3

ε CC =

Z CC ·I1N

=

22.5·33.33

V1N

15000

·100 ⇒ ε CC = 5 %

c) η=

500000·0.8 50000·0.8 + 4000 + 10000

·100 ⇒ η = 96.62 %

d) 2

ηmax ⇒ PCU S=

I1

I  I = 4000 = 10000· 1  ⇒ 1 = 0.632 I  I1N  1N 

SN = 316227 .8 VA

I1N ηmax =

316227 .8 316227 .8 + 4000 + 4000

·100 ⇒ ηmax = 97.53 %

e) 9+j20.62 Ω I’2

+

V’2∠0

15000∠α V

–

m=

15000

I'2 =

I2

3000

m

ε CC =

ε CC =

+

–

=5

⇒ I'2 = 20 ∠ − 36.86 A 20 33.33

·0.02·0.8 +

V1 − V '2 V1

20 33.33

·0.0458·0.6 = 0.026 ⇒ 2.6 %

⇒ V '2 = 14608 .6 V ⇒ V ' 2 = mV2 ⇒ V2 = 2921 .73 V

De forma exacta: 15000 ∠α = 20∠ − 36.86·(9 + j20.62) + V '2 ∠0

4

15000 (cosα + jsenα ) = (16 − j12)·(9 + j20.62) + V '2 15000 ·cosα = 391.44 + V ' 2 15000 ·senα = 221 .92 ⇒ α = 0.8477 º V '2 = 14606 .9 V ⇒ V2 = 2921 .38 V f) ε CC =

20 20 ·0.02·0.8 − ·0.0458·0.6 = −0.00688 ⇒ –0.688 % 33.33 33.33

V '2 = 15103 .3 V ⇒ V2 = 3020 .67 V g) I1CC =

15000 22.5

⇒ I1CC = 666.67 A

h) I1NII =

1000000 15000

εRCC = 0.01 =

⇒ I1NII = 66.67 A

R CC ·66.67 15000

⇒ R CC = 2.25 Ω

ε CC = 0.05

ε XCC = 0.05 2 − 0.012 ⇒ ε XCC = 0.049 ε XCC = 0.049 =

X CC ·66.67 15000

⇒ XCC = 11.02 Ω 9+j20.62 Ω I’2I

+

2.25+j11.02 Ω

I +

I’2II

V1

15000∠0 V

–

–

I = 66.67∠ − 53.13 A

5

1000 kVA cosϕ = 0.6 ind.

I' 2I +I' 2II = 66.67∠ − 53.13 A I' 2I ·(9 + j20.62) − I' 2II ·( 2.25 + j11.02) = 0 I' 2I = 15.763 − j15.82 = 22.33 ∠ − 45.1 A I' 2II = 24.24 − j37.52 = 44.67∠ − 57.13 A SI = 334950 ∠45.1 VA ⇒ PI = 236 .44 kW SII = 670050 ∠57.13 VA ⇒ PII = 363 .6 kW η1 =

η2 =

236440  22.33   236440 + 4000 + 10000·  33.3 

2

·100 ⇒ η1 = 96.53 %

363600  44.67   363600 + 6000 + 2.25·66.67 ·  66.67 

2

·100 ⇒ η2 = 97.19 %

2

PROBLEMA 3 a) 15000 m=

3

= 22.79

380 V2′ = m·V2 = 22.79·380 = 8660 .25 V

Z CARGA = 0.3·m2 ∠36.87 = 155.82∠36.87 (se deja en triángulo porque el secundario está en triángulo) I′2 =

8660 .25∠0 155.82 ∠36.87

= 55.58∠ − 36.87 A ⇒ I1N = I' 2N = 55.58 A

S 2FASE = 8660 .25∠0·55.58∠36.87 = 481333 .3∠36.87 VA S 2TRIF = 1444000 VA b)

6

m2(10-3 + j2·10-3) Ω

2+j4 Ω

I’2 = 55.58∠–36.87 A

+

+

V’2 = 8660.25∠0 V

V1

–

–

(

)

V1 = 55.58∠ − 36.87 · 2 + 4j + m2 ·10 −3 (1 + 2 j) + 8660.25∠0 = 8941.4 ∠0.897 V V1 = 15486 .96 V c) A partir de COPT se pueden conocer las pérdidas en el hierro: COPT = 0.8 ⇒ PFE = PCU

(

PCU = 3I12 ·R CC = 3(0.8·I1N ) · 2 + m 2 ·10 −3 2

)

PCU = 14942 .85 W ⇒ PFE = 14942 .85 W Finalmente, el rendimiento es igual a: η=

3·55.58·8660 .25·cos(36.87 ) 3·55.58·8660 .25·cos(36.87 ) + 14942 .85 + 3·55.58 2 ·( 2 + m 2 ·10 − 3 )

d) VRS = VAA ' + VB'B V 'RS = Vb' b VRS V 'RS

=

1∠0 − 1 ∠ − 120 − 1 ∠ − 120

=

3 ∠30 1 ∠60

= 3 ∠ − 30

7

·100 ⇒ η = 96.79 %

VRS

V’RS 30

Por tanto, la conexión y el índice horario del transformador se expresan como: Yd11

PROBLEMA 4 a) El esquema monofásico equivalente es:

0.05j

+

+

UG

U1

+

0.05j

1

IG

2

Sc =

100000 13 2 VA Z B = Ω 3 100

UB =

13000

α-60

V

3

Ia Ib

0.1j

1.9j

1.9j

0.1j 0.0125j –

SB =

UB =

ZB =

α

100·10 6

–

VA

SB =

100·10 6 3

3 13000 3 13 2 Ω 100

V

UB =

SB =

VA

132000

ZB =

UB =

V

100·10 6 3 13000 3

3 132 2 Ω 100

ZB =

α−30

13 2 Ω 100

α+150

Primero, se pasan a magnitudes unitarias las impedancias del sistema:

8

V

VA

100 = 1.9 j ZR1 = 3.211j· 13 2 ZR 2 = ZR1 = 1.9 j 13 2 100 = 0.1j Z T 2 = 0.05 j· · 50 13 2 13 2 100 = 0.1j Z T 3 = 0.05 j· · 50 13 2 b) La tensión del nudo 2 es: V2 = 1∠0º Se calculan las corrientes de cada rama: Ia =

Ib =

V2 Z T 2 + ZR1 V2 Z T 3 + ZR 2

=

=

1∠0 º 2∠90 º 1∠0º 2∠90 º

= 0.5∠ − 90 º

= 0.5∠ − 90º

IG = Ia + Ib = 1∠ − 90 º Ahora se calcula la tensión en bornas del generador y en el nudo 1: VG = IG ·(Z T1 + ZL ) + V2 = (0.05 j + 0.05 j)·1∠ − 90 º +1∠0º = 1.1∠0º Por lo tanto, en valores reales de línea: VG = 14.3∠0º kV V1 = IG ·ZL + V2 = 0.05∠90 º·1∠ − 90 º +1∠0º = 1.05∠0º V1 = 138 .6∠ − 30 º kV La potencia generada es: * SG = VG ·IG = 1.1∠0º·1∠90º = 1.1∠90º = 1.1j

Finalmente, en valores reales y trifásicos: SG = 110 MVA

PG = 0 MW

QG = 110 MVAr

c) El factor de regulación es:

9

ε=

V1 − V2 V2

·100 =

1.05 − 1 ·100 ⇒ ε = 5 % 1

Para poder determinar el rendimiento de la línea, es necesario determinar las potencias activas de entrada y salida, P1 y P2 : * S2 = V2 ·IG = 1∠0º·1∠90º = 1∠90º = 1j ⇒ P2 = 0

S1 = V1·I*G = 1.05∠0º·1∠90º = 1.05∠90º = 1.05 j ⇒ P1 = 0 El rendimiento de la línea es: η=

P2 0 ·100 = ·100 ⇒ η = 0 % P1 0

Por último, se calculan las potencias consumidas por los receptores:

SR1 = x R1·I2a = 1.9·0.5 2 j = 0.475 j En valores reales y trifásicos: SR1 = 47.5 MVA

QR1 = 47.5 MVAr

SR 2 = x R 2 ·Ib2 = 1.9·0.5 2 j = 0.475 j SR 2 = 47.5 MVA

QR 2 = 47.5 MVAr

d) El esquema equivalente es el siguiente: 1

0.05j

0.1j

1.9j

0.05j

0.1j 0.0125j

donde E th = V1 = 1.05∠0º ⇒ E th = 1.05∠0º La impedancia de Thévenin es: Z th = (0.05 j + 0.0125 j) // (0.05 j + (0.1j + 1.9 j) //(0.1j + 1.9 j)) ⇒ Z th = 0.059 j

10

1.9j

Por lo tanto, el equivalente de Thévenin queda:

Zth =0.059j

+ Eth =1.05∠0

PROBLEMA 5 El monofásico equivalente del sistema es: 0.12j

IG1

1

ID1

+

2

IL

0.2j

IG2

0.12j

ID2 +

2

0.8 0.1j

0.1j

S B = 100·10 6 VA

UB =

24000 3

V

S B = 100·10 6 VA

UB =

240000 3

V

S B = 100·10 6 VA

UB =

24000

V

3

Todas las impedancias están referidas a unas bases que coinciden con las bases de las zonas en las que se encuentran. Por lo tanto: Z G1 = 0.1j Z G2 = 0.1j Z T1 = 0.12 j Z T 2 = 0.12 j ZL = 0.2 j ZD1 = 2

11

Z D 2 = 0.8 Las tensiones en magnitudes unitarias son: V1 = 1∠0 º V2 = 1∠β Las potencias de las cargas son: V12 1 = = 0.5 RD1 2 V2 1 = 2 = = 1.25 R D2 0.8

PD1 = PD2

⇒

PG1 = PG2 =

1.25 + 0.5 = 0.875 2

a) La intensidad que circula por la línea es: IL =

V1 − V2

=

ZL

1∠0º −1∠β 0.2 j

La potencia aparente en el nudo 1 es:  1∠0º −1∠ − β   S1 = V1·IL* = 1∠0º·   − 0 . 2 j   Del mismo modo, la potencia activa es igual a: P1 = Re{S1} = 0.875 − 0.5 = 0.375 S1 =

1 − 0.2 j

+

1∠ − β

= 5∠90 º +5∠ − β − 90 º

0.2 j

P1 = Re{S1} = 5 cos 90 º +5 cos( −β − 90 º ) = 5 cos(β + 90 º ) P1 = 5 cos β·cos 90 º −5 sen β·sen 90 º = −5 sen β 0.375 = −5 sen β ⇒ β = −4.301º b) Las intensidades que circulan por las cargas se calculan de manera inmediata: ID1 =

V1 1∠0º = = 0.5∠0º p.u. A Z D1 2∠0º

12

100·10 6 ⇒ ID1 = 0.361∠0º kA ID1 = 0.5∠0 º · 240000 3 ID2 =

V2

=

1∠ − 4.301º

ZD2

0.8∠0º

= 1.25∠ − 4.301º p.u. A

100·10 6 ⇒ ID2 = 0.902∠ − 4.301º kA ID2 = 1.25∠ − 4.301º · 240000 3 c) La intensidad que recorre la línea de transporte es: IL =

1∠0º-1∠ - 4.301 1 − 0.997 + 0.075 j 0.075∠87.7º = = = 0.375 ∠ − 2.3º 0.2 j 0.2∠90º 0.2∠90 º

100·10 6 ⇒ IL = 0.271∠ − 2.3º kA IL = 0.375 ∠ − 2.3º · 240000 3 d) Las intensidades de cada generador son: IG1 = IL + ID1 = 0.375∠ − 2.3º +0.5∠0º = 0.875 − 0.015 j = 0.875 ∠ − 0.98 º p.u. A 100·10 6 ⇒ IG1 = 6.32∠ − 0.98 º kA IG1 = 0.875∠ − 0.98 º · 24000 3 IG2 = ID2 − IL = 1.25∠ − 4.301º −0.375∠ − 2.3º = 0.875∠ − 5.16º p.u. A 100·10 6 ⇒ IG2 = 6.32∠ − 5.16 º kA IG2 = 0.875 ∠ − 5.16 º · 24000 3 e) La potencia aparente entregada por los generadores es: * S G1 = VG1·IG 1

con VG1 = 0.12 j·0.875 ∠ − 0.98 º +1∠0º = 0.105∠89.02º +1∠0º = 1.007 ∠5.98 º Por tanto:

13

S G1 = 1.007 ∠5.98 º·0.875 ∠0.98 º = 0.881∠6.96 º La potencia reactiva es: Q G1 = 0.1067 puVA ⇒ Q G1 = 32.01 MVAr Con el segundo generador se opera del mismo modo: * S G2 = V2 ·IG 2

VG2 = 0.12 j·IG2 + 1∠ − 4.301º = 0.105∠84.84 º +1∠ − 4.301º = 1.007 ∠1.68 º S G2 = 1.007 ∠1.68 º·0.875∠5.16 º = 0.881∠6.84 º Q G2 = 0.1049 p.u. VA ⇒ Q G2 = 31.47 MVAr

14

PROBLEMAS DE TRANSFORMADORES PROBLEMA 6 R CC = 0.612 Ω XCC = 2.18 Ω RFE = 6614.72 Ω

X µ = 1350.22 Ω

PROBLEMA 7 a) R CC = 405 Ω XCC = 540 Ω Z CC = 675 Ω

b) V2 (línea ) = 356.78 V

Vg (línea ) = 329.84 V

c) η = 95.43 %

d) Vg (línea) = 340.45 V

PROBLEMA 8 Conexión del transformador Dz0

PROBLEMA 9 a) S TOT = 625000∠16.26º VA cos ϕ = 0.96

1

b) VTS = 135.036∠70.89 º kV

c) Z L1 = 704.22∠90º Ω

d) S CONS = 1128 − 856.8 j kVA

PROBLEMA 10 a) ε = 6.74% b) E0 = 427.6∠4.896º V c)

TRANSFORMADOR

3 ·380/ 3 ·220 V, 6kVA Yy

LÍNEA ZL

ZS

+

ZT

+

U2

U1

-

-

MOTOR

+ E0

UB = 380 V SB = 2000 VA α

UB = 220 V SB = 2000 VA α

ZT = 0.06 + j0.08 p.u. Ω Z L = 6.925 ⋅ 10 −3 + j0.06925 p.u. Ω Z S = 4.155 ⋅ 10 −3 + j0.04155 p.u. Ω

U1 = 0.997∠0º p.u. V

2

d) ε = 6.74% e) E0 = 427.6∠4.896º V

3