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M. Iniesta Universidad de Murcia

PROBABILIDAD Relación de problemas 3: Variables aleatorias continuas 1. Un autobús pasa por una cierta parada cada 8 minutos. Si un usuario llega a la parada, el tiempo que debe esperar es una variable aleatoria con función de densidad f1 (t) (t en minutos). Sin embargo, si el autobús lleva retraso, el tiempo de espera se distribuye según la función de densidad f2 (t). ( f1 (t) =

si 0 < t < 8 , 0 en otro caso 1 8

( f2 (t) =

t 1 − 10 e 10

0

si t > 0 en otro caso

Sabiendo que un día de cada tres, el autobús llega con retraso, calcular la probabilidad de que el usuario tenga que esperar más de 5 minutos. 2. Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad  f (x) =

k(1 + x2 ) si 0 < x ≤ 3 0 en otro caso

a ) Calcular la constante k y la función de distribución de X . b ) Obtener las probabilidades P (X ≥ 2), P (−∞ < X < 1) y P (1 ≤ X ≤ 2). c ) Sabiendo que X > 1, calcular la probabilidad de que X ≤ 2.

3. El kilometraje (en miles de kilómetros) que los automovilistas logran de cierto tipo de neumáticos, es una variable aleatoria con función de densidad:   1 e−x/20 si x > 0 20 f (x) =  0 en otro caso

Calcular las probabilidades de que un neumático dure: a ) a lo sumo 10.000 km b ) entre 16.000 y 24.000 km c ) al menos 30.000 km

4. Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad  f (x) =

kx−2 si x > 1 0 en otro caso

a ) Calcular el valor de k para que f (x) sea una función de densidad. b ) ¾Existe la media de X ?

5. Aplicar la desigualdad de Tchebychev a una variable X con media µ = 56 y desviación típica σ = 2.3 ¾En qué intervalo se encontrarán más del 95 % de los valores de X ? Página: 1

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6. Un fabricante produce envases con una capacidad media de 600cm3 con una desviación típica de 0.1. En sus contratos de venta se estipula una cláusula por la que se acepta una devolución de piezas defectuosas siempre que su capacidad no esté comprendida entre 600 − L y 600 + L. Calcular cual debe de ser el valor de L para que el porcentaje de envases rechazados no supere el 8 %. 7. Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad dada por  kx,    k, f (x) = k(3 − x),    0,

si 0 < x ≤ 1; si 1 < x ≤ 2; si 2 < x < 3; en el resto.

a ) Encontrar el valor de k y la función de distribución de X . Representarla

grácamente. b ) Calcular P (X > 32 |X > 1) y el valor de a tal que P (X > a) = 0.05. c ) ¾Cuánto vale la media y la mediana de X ? d ) Encuentra un intervalo centrado en la media que contenga el 95 por ciento de los valores de X . 8. Sea F (x) una función denida por ( F (x) =

ex−3 si x ≤ 3 1

si x > 3

a ) Comprobar que dicha función F constituye una función distribución de una variable aleatoria X . b ) Obtener la función de densidad de dicha variable aleatoria. c ) Calcular las probabilidades P (−2 < X < 1) y P (X < −2|X < 0). d ) Calcular la esperanza matemática de la variable X .

9. Sea X una variable aleatoria continua denida en [0, 1] con función de densidad dada por f (x) = 2 − 2x,

x ∈ [0, 1]

siendo f (x) = 0 si x ∈/ [0, 1]. a ) Calcular la función de distribución de X y representarla grácamente. b ) Sea Y otra variable aleatoria continua tal que E(Y ) = E(X) y V (Y ) = V (X),

aunque no conocemos la expresión de su función de densidad. 1) Utilizando la desigualdad de Tchebychev, aproximar la probabilidad P (|Y − E(Y )| < 0.25). 2) Interpreta el suceso |Y − E(Y )| < 0.25 y comparar el resultsado anterior con lo que hubiéramos obtenido en el caso de usar la variable X . Página: 2

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10. Sean X1 y X2 variables aleatorias con densidades f1 y f2 , respectivamente, dadas por: ( 1 si 0 < x < 3 3 f1 (x) = 0 en el resto de casos y ( 2e−2x si x > 0 f2 (x) = 0 en el resto de casos Supongamos que se lleva a cabo un experimento cuyo resultado puede ser una observación de X1 o de X2 con igual probabilidad: a ) Calcula la probabilidad de que el resultado del experimento sea mayor que 2. b ) Si el resultado fue mayor que 2, calcula las probabilidades de que la observación proviniera de X1 , y la de que proviniera de X2 . c ) Calcula la probabilidad de que el resultado provenga de X2 o sea mayor que

2.

11. Los ingresos semanales de un determinado profesional se modelizan a través de una variable aleatoria X , cuya función de densidad está determinada por: ( f (x) =

1 −x/500 e 500

0

si x > 0 en el resto de casos

a ) Determinar los ingresos medios y medianos. b ) Calcular la probabilidad de que el ingreso semanal exceda del ingreso medio.

12. Sea X una variable aleatoria con función de densidad   ax, si −3 ≤ x < 0; b, si 0 ≤ x ≤ 3; f (X) =  0, en el resto. a ) Determinar las condiciones que deben vericar a y b para que f (x) sea función

de densidad. b ) ¾Qué valores han de tomar a y b para que la mediana de X sea x = 0?. La mediana teórica se dene como el valor x de la variable aleatoria continua X que cumple P (X < x) = P X > x) = 0.5. c ) Calcula la función de distribución y la de densidad de la variable Z = X 2

13. Una variable aleatoria X tiene por función de densidad f (x) =

  

x , 10

k, 0,

si 2 ≤ x ≤ 4; si 4 ≤ x ≤ 5; en otro caso.

a ) Calcular el valor de la constante k . b ) Calcular la función de distribución.

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c ) Calcular P (3 ≤ x ≤ 4) y P (X ≤ 4.5|X ≥ 3)

14. En una red de ordenadores, el acceso de los usuarios puede modelarse según un proceso de Poisson de media 25 accesos a la hora. ¾Cuál es la probabilidad de que no haya accesos en 6 minutos?. ¾Cuál es la probabilidad de que el tiempo que transcurre entre dos accesos esté entre 2 y 3 minutos?. 15. En un ordenador con arquitectura en paralelo, los mensajes que llegan a un nodo son almacenados en un buer antes de ser transmitidos por red, hasta que se dispone de un paquete de cinco. Supongamos que los mensaje llegan al nodo de acuerdo con un proceso de Poisson de media 30 mensajes por segundo. Calcular el tiempo medio para formar un paquete. Calcular la probabilidad de formar un paquete en menos de 0.1 segundo. 16. Se ha comprobado que la duración de ciertos elementos electrónicos sigue una distribución exponencial de media 9 meses. Se pide: a ) Calcular la probabilidad de que un elemento tenga una vida entre 5 y 10

meses. b ) La probabilidad de que un elemento que ha venido funcionando correctamente los primeros 10 meses, lo siga haciendo los 15 meses siguientes. c ) Si conectamos 10 de estos elementos en paralelo, ¾cual es la probabilidad de que el sistema siga funcionando después de 10 meses.

17. Supongamos que 4 elementos de una cadena de montaje funcionan independientemente y están conectados en serie. Si el tiempo de vida de cada componente se distribuye normalmente con media 50 horas y desviación típica 3 horas, calcular la probabilidad de que la cadena de montaje funcione después de 52 horas. 18. Supongamos que el diámetros de los anclajes de una pieza A se distribuye normalmente de media 2 cm y desviación típica 0.03 cm. y que el diámetros de los agujeros de las piezas B donde se deben encajar las piezas A se distribuye normalmente de media 2.02 cm. y desviación típica 0.04 cm. Las piezas A y B ajustarán si el diámetros del agujero es mayor que el diámetro del anclaje y esta diferencia no es mayor de 0.05. Si seleccionamos al azar una pieza de cada tipo, calcula la probabilidad de que ajusten. 19. Las longitudes de de trozos de cable que corta un autómata se distribuye normalmente con media 3.5 metros y desviación típica 0.25 metros. a ) ¾Cuál es la probabilidad de que un trozo de cable elegido al azar tenga más

de 3.6 metros? b ) Si unimos 5 trozos, ¾cuál es la probabilidad de que la longitud total sea inferior a 16.5 metros? c ) ¾Cual es la probabilidad de que al coger dos trozos al azar sus longitudes dieran más de 0.25 metros?

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d ) Si no se sabe que la distribución sea normal y sólo se da la media 3.5 y la

desviación típica 0.25, da una cota de probabilidad de que la longitud de un trozo no se desvíe de su media en más de 0.50 metros.

20. Acerca de la cantidad de algodón demandada por una empresa textil durante un cierto período de tiempo, sólo se sabe que es una cantidad aleatoria que no supera la tonelada. Determinar, para dicho período de tiempo: a ) La probabilidad de que la cantidad demandada no supere los 900 kilos. b ) La probabilidad de que la cantidad demandada esté comprendida entre 800

y 900 kilos. c ) La cantidad demandada más probable (moda), la cantidad media y mediana.

21. El promedio de llegada de camiones a una bodega para ser descargados es de 3 por hora. Hallar la probabilidad de que el tiempo entre la llegada consecutiva de dos camiones sea: a ) Menor de 5 minutos. b ) Al menos de 45 minutos. c ) Si acaba de llegar un camión, calcular la probabilidad de que en menos de

una hora lleguen 3 camiones más.

22. Una empresa sabe que el comportamiento en probabilidad de la demanda aleatoria de un artículo que produce, viene explicada por la ley N (10000, 100). Si la empresa decide seguir produciendo el artículo en el futuro, supuesto que la demanda esté comprendida entre 9930 y 10170 unidades, determinar la probabilidad de que no siga produciendo tal artículo. 23. Sabiendo que la demanda aleatoria de gasolina, durante un cierto período de tiempo, se comporta con arreglo a la ley normal de media 150000 litros, con desviación típica igual a 10000 litros, determinar la cantidad que hay que tener dispuesta a la venta en dicho período, para poder satisfacer la demanda con una probabilidad de 0.95. 24. Suponiendo que la probabilidad de que nazca un niño es igual a la de que nazca una niña, calcular la probabilidad de que en una muestra de tamaño 2000 aparezcan más de 100 niños que niñas. 25. El tiempo de curación de una determinada enfermedad sigue una distribución exponencial de media 4.5 días. Calcular la probabilidad de curarse en los 3 primeros días. Si llevamos dos días enfermos ¾cuál será la probabilidad de curarnos en los próximos tres días? 26. Un número en sistema binario está compuesto sólo por dígitos 0 y 1. Si consideramos números binarios de n dígitos y es p la probabilidad de que cualquier dígito sea incorrecto, independientemente unos de otros; resuelve las siguientes cuestiones. a ) La probabilidad de que un número binario sea incorrecto.

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b ) En el supuesto de que un número sea incorrecto, la probabilidad de que lo

sea por únicamente un dígito. c ) La probabilidad aproximada de que un número contenga más de 1 dígito incorrecto, cuando n = 100 y p = 0.01. d ) La probabilidad aproximada de que en un mensaje cifrado con 1000 números como los anteriores (n = 100 y p = 0.01) haya más de 250 números con más de 1 dígito incorrecto. 27. Supongamos que la distribución del número de fallos por metro de cable es Poisson de media 0.04. a ) ¾Cuál es la probabilidad de que en un rollo de 125 metros hayan más de 3

fallos? b ) Si un robot detecta los fallos y corta trozos de cable por donde se encuentran dichos fallos, ¾cuál es la probabilidad de que un trozo elegido al azar tenga más de 20 metros? ¾y de que tenga entre 20 y 30 metros? c ) En un lote de 100 rollos (con 125 metros cada uno), ¾cuál es la probabilidad aproximada de que el promedio de fallos sea mayor que 5.5?

28. Dos variables aleatorias independientes X1 y X2 tiene distribuciones normales N (2, 3) y N (−5, 4) respectivamente. Calcular la distribución de probabilidad de la variable X = 4X1 + 3X2 − 4 y el valor a que verica P (−12 < X < a) = 0.0705. 29. El diámetro de un cable eléctrico está distribuido normalmente de media 0.8 y desviación típica 0.02 pulgadas. Si l cable se considera defectuoso si el diámetro se diferencia de su promedio en más de 0.025 pulgadas, ¾cual es la probabilidad de obtener un cable defectuoso?. 30. Al sumar números, un procedimiento aproxima cada número al entero más próximo. Suponer que todos los errores son independientes y distribuidos uniformemente en el intervalo [−0.5, 0.5]. a ) Si se suman 1500 números, ¾cuál es la probabilidad aproximada de que la

magnitud del error total exceda de 15? b ) ¾cuántos números pueden sumarse juntos para que la magnitud del error total sea menor que 10, con probabilidad superior a 0.95?.

31. En unas elecciones uno de los candidatos obtuvo el 52 por ciento de los votos. a ) Calcula la probabilidad de que en un sondeo realizado con 200 personas saliera

mayoría a su favor. ¾Y si el sondeo fue con 1000 personas?. b ) ¾A partir de qué tamaño muestral hubiéramos podido pronosticar que dicho candidato iba a obtener mayoría?

32. El tiempo, en segundos, que tarda un procesador en ejecutar un trabajo de tipo 1 está distribuido de forma uniforme en el intervalo (0, 8), mientras que el tiempo, también en segundos, en ejecutar un trabajo tipo 2 e está distribuido exponencialmente de media 10 segundos. Supongamos además que la proporción de trabajos que llegan al procesador de tipo 1 es el doble de la que llegan de tipo 2. Página: 6

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a ) Calcular la función de distribución del tiempo de ejecución de un trabajo que

acaba de llegar al procesador (no sabemos de qué tipo es). b ) ¾Cual es la probabilidad de que tarde más de 5 segundos en ejecutarse? c ) Si ya han transcurrido 5 segundos desde que se inició el trabajo, ¾cual es la probabilidad de que se ejecute antes de 8 segundos?.

33. Supongamos que la duración, en horas, de dos instrumentos electrónicos D1 y D2 tienen distribuciones normales N (40, 6) y N (45, 3), respectivamente. ¾Cual se debe preferir para usarlo durante un periodo de 45 horas?. ¾Y para un periodo de 48 horas?. 34. Supongamos que el 75 % de las personas de cierta área metropolitana vive en la ciudad y el 25 % restante en los suburbios. Si las 1200 personas que asisten a un concierto es una muestra representativa de área metropolitana, ¾cual es la probabilidad aproximada de que hubieran menos de 270 personas en el concierto de los suburbios. 35. El peso medio de un tornillo es µ = 5.02 gr. y desviación típica σ = 0.30 gr. y se empaquetan en paquetes de 100 unidades. a ) Calcula la probabilidad de que un paquete elegido al azar pese entre 496 y

504 gramos. b ) Calcula el número de paquetes que podríamos juntar para que el peso total sea inferior a 100 kilos, con probabilidad mayor que 0.95.

36. Si cada persona de un grupo de 500 lanza una moneda equilibrada 120 veces, ¾cuántas personas se espera que saquen entre el 45 y el 55 por ciento de caras?. 37. ¾Cuántos lanzamientos deberíamos de hacer (una sola persona) para que la probabilidad de que el porcentaje de caras esté entre el 45 y 55 por ciento, con probabilidad superior a 0.95?. 38. La media y la desviación típica de la vida de las lámparas del fabricante A son, respectivamente, µA = 1400 horas y σA = 200 horas, mientras que para las del fabricante B es µB = 1200 horas y σB = 100 horas. Se empaquetan, tanto las de A como las de B, en paquetes de 20. a ) ¾Cuál es la probabilidad de que la vida media de un paquete de A sea de 160

horas superior a la vida media de un paquete de B? b ) Si formamos un montaje con lámparas del fabricante A, de forma que cuando una se funde entra la siguiente en funcionamiento, ¾cuántas debemos de montar, como mínimo, para que con probabilidad superior a 0.95, el montaje funcione en 35.000 horas de forma ininterrumpida?

39. El peso medio de una población de personas es µ = 75 kilos con desviación típica σ = 7.5 kilos. Si un avión dedica al pasaje un total de 3500 kilos, a ) Si suben 45 personas al avión, ¾qué probabilidad hay de que se supere el peso

permitido al pasaje?

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b ) ¾Cuántas personas pueden subir para que la probabilidad de superar la carga

destinada a pasaje sea a lo sumo de 0.05?.

40. ¾Cuántas veces habría que lanzar un dado regular para tener una conanza de 0.95 de que la frecuencia relativa de que salga un seis diste de la probabilidad teórica menos de 0.01? 41. Una fábrica produce artículos de forma que el 2 por ciento resultan defectuosos. ¾cuántos artículos debemos de probar para que la frecuencia relativa del número de defectuosos diste de 0.02 en menos de 0.01, con probabilidad mayor que 0.99?.

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