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• Gabriel Mera

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CIRCUITOS MAGNÉTICOS PROBLEMAS RESUELTOS EN CLASE PROBLEMA 1 Líneas de flujo magnético Longitud magnética media l c

i λ

+ –

g

N espiras

Entrehierro Permeabilidad µ0

Núcleo magnético Permeabilidad µ

El circuito magnético de la figura tiene las siguientes dimensiones: Ac = 9 cm2, Ag = 9 cm2, g = 0.050 cm, l c = 30 cm , y N = 500 espiras. Supóngase el valor µr = 70000 para el hierro. Si la inducción magnética en el núcleo es igual a 1 T, calcule: a) Reluctancias ℜc y ℜg. b) Flujo φ que recorre el núcleo. c) Intensidad que recorre la bobina.

PROBLEMA 2 La estructura magnética de una máquina síncrona se muestra esquemáticamente en la siguiente figura. Suponiendo que el material ferromagnético del rotor y del estator tiene permeabilidad infinita (µ → ∞), obtenga el flujo φ que atraviesa el entrehierro y la densidad de flujo Bg. Para este ejemplo, I = 10 A, N = 1000 espiras, Ag = 2000 cm2, y g = 1 cm.

1

PROBLEMA 3 El núcleo central del circuito magnético de la figura está bobinado con 800 espiras. El material es acero fundido con un valor de la permeabilidad relativa µr = 1000. Calcule la corriente I que debe aplicarse a la bobina para obtener en el entrehierro un flujo de 1 mWb.

PROBLEMA 4 Resuelva el problema anterior si la curva de magnetización del acero fundido responde a la siguiente expresión: B=

1.8·10 −3 ·H 1 + 10 −3 ·H

; B: Teslas, H: A-v/m

PROBLEMA 5 El circuito magnético de la figura está realizado con material ferromagnético cuya curva de imanación responde a la siguiente expresión: B=

2·10 −3 ·H 1 + 10 −3 ·H

; B: Teslas, H: A-v/m

El entrehierro es de 1 mm, la longitud magnética media de la estructura es 1 m y la sección transversal es uniforme e igual a 20 cm2. Calcule la inducción magnética en el entrehierro.

2

PROBLEMA 6 El circuito magnético de la figura tiene una bobina de N espiras arrollada en un núcleo magnético de permeabilidad infinita con dos entrehierros en paralelo de longitudes g1 y g2 y áreas A1 y A2, respectivamente. Si se desprecia el efecto de borde en el entrehierro, calcule: a) Inductancia del devanado. b) Densidad de flujo B1 en el entrehierro 1 si por el devanado circula una corriente i.

PROBLEMA 7 Para el circuito magnético del problema 1, determine: a) Inductancia L. b) Energía magnética almacenada W para Bc = 1 T. c) Tensión inducida e para un flujo en el núcleo variable con el tiempo de frecuencia 60 Hz, de rad . la forma Bc = 1.0·senωt, donde ω = 2π60 s

PROBLEMA 8 Suponga que el circuito magnético del problema 1 tiene la siguiente curva de magnetización DC. Calcule la corriente i para una densidad de flujo en el núcleo Bc = 1 T.

3

PROBLEMA 9 El circuito magnético de la figura está fabricado con láminas de acero de grano orientado M-5. El devanado se excita con una tensión para producir una densidad de flujo en el acero de la forma B = 1.5·sen 377t T. El acero ocupa el 94% del volumen total del núcleo. La densidad del g acero es 7.65 . Calcule: cm 3 a) Tensión aplicada. b) Amplitud de la corriente. c) Valor eficaz de la corriente. d) Pérdidas del núcleo.

PROBLEMA 10 Considérese el núcleo magnético de la figura, donde la longitud de la trayectoria magnética media es 50 cm y la sección del núcleo es igual a 10 cm2. El número de espiras es 300 y la 150 V. La resistencia de la bobina se supone despreciable y la tensión eficaz aplicada es 2 curva de magnetización del material responde a la expresión: B=

1.8·10 −2 ·H 1 + 10 −2 ·H

; B: Teslas, H: A-v/m

Calcule: a) Corrientes IFE, Iµ e Iexc y el ángulo de desfase entre la tensión aplicada y la intensidad de excitación. b) Parámetros RFE y Xµ del circuito equivalente de la bobina. Datos: La frecuencia de la tensión es 50 Hz y las pérdidas en el hierro con la tensión aplicada son iguales a 20 W.

φ I V

+

N espiras

–

R l metros

4

S

PROBLEMA 11 El relé mostrado en la figura está fabricado con material magnético de permeabilidad infinita. La pieza móvil también está construida con el mismo material. La altura de la pieza móvil es mucho mayor que la longitud del entrehierro (h >> g). Calcule la energía magnética almacenada, W, en función de la posición de la pieza móvil (0 < x < d) para N = 1000 espiras, g = 0.002 m, d = 0.15 m, l = 0.1 m, e i = 10 A.

PROBLEMA 12 Para el relé del problema anterior, calcule la fuerza que actúa sobre la pieza móvil en función de x si la corriente se mantiene constante en 10 A. Utilice las expresiones de la energía y de la coenergía.

PROBLEMA 13 En el sistema de la figura, las inductancias en henrios (H) son: L 11 = (3 + cos 2θ) ·10 −3 L 22 = 30 + 10 cos 2θ L 21 = L 12 = 0.1cos θ

Calcule el par Tfld(θ) para i1 = 1 A e i2 = 0.01 A.

5

PROBLEMA 14 La figura muestra el circuito magnético de un electroimán cuya bobina tiene 1000 espiras. La sección transversal de todas las trayectorias magnéticas es igual a 10 cm2. Se desprecia la reluctancia del hierro y la dispersión magnética del entrehierro. Si se hace circular por la bobina una corriente continua de 10 A, calcule, para las separaciones x = 2 cm y x = 1 cm, las siguientes magnitudes: a) b) c) d)

Flujo e inducción magnética en el entrehierro. Inductancia de la bobina. Energía y densidad de energía magnética en el entrehierro. Fuerza que actúa sobre la armadura móvil.

Si la armadura móvil se mueve muy lentamente desde x = 2 cm a x = 1 cm, determine: e) Cambio en la energía magnética almacenada. f) Energía eléctrica suministrada por la fuente de alimentación, suponiendo despreciable la resistencia eléctrica de la bobina y el rozamiento de la armadura móvil. g) Trabajo mecánico realizado, comprobando el balance energético del sistema. Conteste los apartados e) – g) si se supone que el movimiento de la armadura móvil es lo suficientemente rápido para que el flujo total no cambie durante la traslación.

PROBLEMA 15 En la figura se muestra el mecanismo de un relé electromagnético. Al aplicar una corriente continua a la bobina, se produce la atracción de la armadura móvil que cierra los contactos a y a’ haciendo funcionar una carga de mayor consumo que la necesaria por la bobina del relé, lo que permite controlar grandes intensidades de cargas por actuación sobre intensidades pequeñas necesarias para la excitación de la bobina. Si la corriente que circula por la bobina es igual a 20 mA, y se desprecia la fuerza magnetomotriz necesaria para el hierro, calcule: a) Fuerza y coeficiente de autoinducción de la bobina cuando el entrehierro x es igual a 3 mm. b) Repita el apartado a) para una separación x = 3.6 mm. c) Si la resistencia de la bobina es igual a 1000 Ω, calcule la tensión que es necesario aplicar a la misma para mantener constante la corriente cuando la armadura se mueve entre las dos posiciones. El tiempo necesario para esta traslación es 11 ms.

6

PROBLEMA 16 En la figura se muestra el circuito magnético de un dispositivo electromecánico denominado contactor. El sistema consiste en un núcleo ferromagnético en forma de E, cuya sección central lleva el devanado de excitación y tiene doble superficie que las secciones laterales. Además, una pestaña P limita el espesor del entrehierro a un valor adecuado. Existen unos contactos m y n que se cierran al aplicar a la bobina una excitación de corriente alterna, dando alimentación a una carga externa. Considerando las dimensiones indicadas en la figura, que el entrehierro tiene 0.5 cm, que se aplica a la bobina una tensión del tipo: v = 2 ·220·cos ωt

con una frecuencia de 50 Hz, que la reluctancia del hierro es despreciable y que la resistencia eléctrica de la bobina es 5 Ω, calcule: a) b) c) d)

Coeficiente de autoinducción de la bobina. Corriente instantánea que circula por la bobina. Expresión instantánea del flujo y de la inducción en el núcleo central. Expresión de la fuerza instantánea ejercida sobre la armadura móvil.

7

PROBLEMA 17 Para el sistema de la figura, los valores de las inductancias en henrios (H) son: L 11 = 5 + 2 cos 2θ L 22 = 3 + cos 2θ L 21 = L 12 = 10 cos θ

Si los devanados se alimentan con corrientes continuas de valores i1 = 1 A e i2 = 0.5 A, calcule: a) Energía magnética almacenada en función de θ. b) Par mecánico desarrollado en función de θ.

PROBLEMA 18 Las inductancias del dispositivo electromagnético mostrado en la figura son: L 11 = L a − L b cos 2θ L 22 = L a + L b cos 2θ L 21 = L 12 = L b sen2θ

Calcule la expresión del par producido si las corrientes son de la forma: i1 = Im cos ωt e i 2 = −Im senωt .

8

PROBLEMAS DE CIRCUITOS MAGNÉTICOS PROBLEMA 1 Dado el circuito magnético de la figura se sabe que la intensidad I2 = 0.55 A y la intensidad I3 = 0.65 A, ambas según los sentidos indicados en la figura. El número de espiras de cada bobina así como las dimensiones del circuito (en cm.) se indican en la figura. El núcleo está construido de chapa de acero aleada al silicio. La profundidad de la pieza es uniforme y de valor 10 cm. Calcular el valor de la intensidad I1 que habrá de circular por la bobina 1 para que el valor del flujo magnético en la columna de la derecha sea φd = 0.6 mWb. N3 = 250

I3 φd

I1

3

6

N1 = 500

N2 = 300 3 I2 3

6

3

1

6

3

PROBLEMA 2 El circuito magnético de la figura de sección circular y constante, está constituido con chapa aleada al silicio de 0.35 mm. de espesor, su permeabilidad magnética relativa podemos suponerla constante y de valor igual a 4330. La bobina N1 = 1000 espiras está recorrida por una I1 = 0.2 A. La bobina 2 tiene 500 espiras. Se pide: a) b) c) d)

Representar el esquema eléctrico equivalente. Flujos del circuito. F.e.m. inducida en la bobina de 500 espiras. Coeficiente de autoinducción en la bobina L1. I1 N1

0,1 cm

10 cm

N2 10 cm

PROBLEMA 3 Una bobina con núcleo de hierro tiene 500 espiras, siendo su resistencia despreciable. La sección de núcleo uniforme vale 25 cm2, siendo la longitud magnética media igual a 80 cm. La curva de imanación del material es: B=

2H 150 + H

; B: Teslas, H: A-v/m

Si la tensión aplicada es alterna y de 220 V eficaces y la frecuencia es de 50 Hz calcular: a) Circuito equivalente de la bobina. b) Corriente de excitación. NOTA: Se conoce por la información proporcionada por el constructor, que a la tensión nominal de 220 V, las pérdidas en el núcleo son de 5 W/kg. El peso específico del material es igual a 7.8 kg/dm3.

2

PROBLEMA 4 La estructura magnética de la figura tiene una permeabilidad relativa µr = 100, la longitud de la trayectoria magnética media es igual a 1 m en el hierro. El valor de la sección transversal es de 100 cm2. La longitud total del entrehierro (dos partes) es de 0,2 cm. El flujo en el entrehierro es de 4·10-3 Wb y su sentido es el indicado en la figura. La bobina A tiene 1000 espiras y la B tiene N espiras, circulando por ambas bobinas una c.c. de 6 A, Se pide: a) Determinar el número de espiras de la bobina B. b) Calcular la fuerza con que es atraída la armadura móvil. c) Si se coloca una espira como se indica en la figura, ¿cuál será la lectura del voltímetro: 1) Si la corriente de alimentación es de c.c.? 2) Si la corriente de alimentación es senoidal y de tal magnitud que produzca el mismo valor eficaz de flujo en el entrehierro. La frecuencia es de 50 Hz? NOTA: Se supone que para resolver el apartado c) el entrehierro está abierto.

φ 6A

A NA = 1000

B

V

NB

6A

PROBLEMA 5 Dos bobinas tienen las siguientes autoinductancias e inductancias mutuas: L11 = L 22 =

2 1 + 2x

L 21 = L12 = 1 − 2x Se desprecian las resistencias de las bobinas. a) b) c)

Si la corriente i1 se mantiene constante en 5 A y la corriente i2 en –2 A, calcular el incremento en el trabajo mecánico realizado cuando x aumenta de 0 a 0.5 m. Obtener la dirección de la fuerza desarrollada. Determinar el incremento de energía eléctrica suministrada por ambas bobinas.

3

PROBLEMA 6 El circuito magnético de la figura de sección circular, expresado en cm., está formado por cuatro materiales de distinta permeabilidad magnética, donde µr1 = 5000, µr2 = 6000 y µr4 = 7000. El material 1 tiene arrollada una bobina de 10000 espiras, recorrida por una intensidad de 10 A. Aparecerá en el circuito un flujo que circulará por su interior. Despreciando las fugas magnéticas, calcular el sentido y el valor del flujo en el Sistema Internacional. 0.2

4

1.5

3

2

1

2.6

1.2 1

2.3

I(t) PROBLEMA 7 Una máquina eléctrica con salientes magnéticos tanto en el estator como en el rotor tiene las siguientes inductancias: L11 (estator) = 0.75 + 0.35Cos(2θ) H L22 (rotor) = 0.5 + 0.2Cos(2θ) H L12 (estator-rotor) = 0.8Cos(θ) H Las resistencias de los devanados son despreciables. Si por el devanado del estator circula una corriente i1(t) = 2 Sen(314t) y el rotor está en cortocircuito, calcular la corriente i2(t) que circulará por el rotor y el par resultante cuando θ = 135º.

PROBLEMA 8 Durante todo el rango operativo, la relación entre el flujo concatenado λ, la corriente i, y el desplazamiento x del elemento móvil de un relé viene dada por: λ=

4·10 − 4 x2

1

i3

Determinar la fuerza en la dirección de x cuando i = 0.6 A y x = 5 mm.

4

PROBLEMA 9 El circuito de la figura tiene 500 espiras en cada brazo. Calcular la corriente que se requiere para obtener un flujo φ = 0.004 Wb a través del entrehierro de 0.1 cm.

0.1

Lm = 80 cm ENTREHIERRO 30

5

ACERO FUNDIDO

ACERO SILICIO

5

5

8

PROBLEMA 10 Dos bobinas tienen las siguientes inductancias propias y mutua: L11 = L 22 =

L 21 = L12 =

2 1 + 2x 1 1 + 2x

donde “x” representa la distancia longitudinal entre las piezas fija y móvil del circuito magnético sobre el que se encuentran devanadas. Calcular, para x = 0.5 m, la intensidad que circula por cada bobina así como la fuerza media que actúa sobre la pieza móvil en los siguientes casos a) b) c)

Si las dos bobinas se conectan en paralelo a una fuente de tensión v = 100 cos(314t ) . Si las dos bobinas se conectan en serie a una fuente de tensión v = 100 cos(314t ) . Si la bobina 2 está cortocircuitada y la 1 está conectada a una fuente de tensión v = 100 cos(314t ) .

6

PROBLEMAS DE CIRCUITOS MAGNÉTICOS PROBLEMA 1 A partir del enunciado y el dibujo del problema obtenemos que

φd = 0.6·10 −3 Wb y A = 30·10 −4 m 2 Por tanto, B =

φd A

= 0.2 T

por lo que según la gráfica: Hd = 50

A−v m

Ahora se puede calcular H a partir de la siguiente ecuación: H· = Hd · d ⇒ H·0.09 = 50·0.27 ⇒ H = 150

A−v m

Utilizando de nuevo la gráfica: B = 0.84 T

φ = 2.52·10 −3 Wb , φT = 3.12·10 −3 Wb , B T = 1.04 T ⇒ HT = 250 Finalmente, aplicando la ley de Ampere: 500·I1 + 300·0.55 + 250·0.65 = 250·0.27 + 150·0.09 I1 = −0.493 A

PROBLEMA 2 a) El circuito eléctrico equivalente del circuito magnético es:

1

A−v m

φ1

ℜ1

φ3 φ2 ℜ2

+ 200

ℜ3

ℜ5

ℜ4

+

El área y la longitud del circuito es:

10 10 20

A = π·(0.05)2 = 7.85·10 −3 m2  = π·0.15 = 0.471 m

ℜ1 = ℜ5 =

0.471 −7

4330·4·π·10 ·7.85·10

−3

1 ⇒ ℜ1 = ℜ5 = 11032.49 H−

  0.1 10 − + 5 ·10 − 2 2 1  ℜ2 = ℜ 4 =  ⇒ ℜ2 = ℜ 4 = 3500.05 H− −7 −3 4330·4·π·10 ·7.85·10 ℜ3 =

0.1·10 −2 −7

4·π·10 ·7.85·10

−3

1 ⇒ ℜ3 = 101372.58 H−

b) φ1 =

N1·i1

ℜ1 + ℜ 5 // (ℜ 2 + ℜ 3 + ℜ 4 )

=

200 11032 .49 + (11032 .49 // 108372 .68 )

φ1 = 9.5·10 −3 Wb

2

=

200 21045 .63

φ 2 = φ1

ℜ5 ℜ2 + ℜ3 + ℜ 4 + ℜ5

4 ⇒ φ2 = 8.78·10 − Wb

−3 φ3 = φ1 − φ 2 ⇒ φ3 = 8.6·10 Wb

c) La f.e.m. inducida es cero porque no hay ningún valor dependiente del tiempo. Matemáticamente, φ = cte. ⇒ e = N

dφ dt

=0

d) L1i = Nφ1 ⇒ L1 =

1000·9.5·10 −3 0.2

⇒ L1 = 47.5 H

PROBLEMA 3 a) La tensión aplicada a la bobina es: v = 2·220 cos(100·π·t ) Como v = N

φ=

dφ dt

2 ·220 500·100·π

se obtiene un flujo magnético que responde a la expresión:

sen(100·π·t )

La inducción magnética máxima se dará cuando sen(100·π·t ) = 1 y tendrá un valor igual a: B=

φ A

=

2 ·220 500·100·π·25·10 − 4

= 0.792 T

A través de la ecuación que modela la curva de magnetización del material, se calcula el campo magnético generado: B=

2H 150 + H

⇒ 0.792 =

2Hmax 150 + Hmax

⇒ Hmax = 98.4

A−v m

La corriente inducida eficaz se calcula a partir de la ley de Ampere: imax 98.4·0.8 µ max ef i 0 . 157 A ⇒ = = = = = 0.111 A ⇒ Hmax  = N·imax i I µ µ µ µ 500 2 A continuación, se calculan las pérdidas en el núcleo para una tensión nominal de 220V. Los datos dados son:

3

ρNÚCLEO = 7.8 PFE = 5

kg dm3

W kg

Para determinar el peso del núcleo de hierro, se calcula el volumen del mismo: VNÚCLEO = A· = 25·10 −4 ·0.8 = 2·10 −3 m3 = 2 dm3 ⇒ PESO NÚCLEO = 15.6 kg y las pérdidas son: PFE = 5·15.6 = 78 W El circuito eléctrico equivalente del núcleo de hierro es: +

V

Xµ

RFE

–

Teniendo en cuenta el circuito equivalente y las pérdidas en el núcleo se calcula la resistencia equivalente del núcleo de hierro: PFE =

V2

⇒ RFE =

RFE

220 2 78

⇒ RFE = 620.5 Ω

y la corriente que pasa por RFE es: IFE =

V RFE

=

220 620.5

= 0.354 A

Por último, se calcula el valor de Xµ : Xµ =

V Iµ

=

220 0.111

⇒ X µ = 1981 .98 Ω

b) La corriente que atraviesa el núcleo de hierro tiene un valor eficaz igual a: 2 + Iµ2 I = IFE

Por tanto, I = 0.354 2 + 0.1112 ⇒ I = 0.371 A

4

PROBLEMA 4 a) El circuito equivalente es: ℜ1

ℜe

φ

+ ℜ2

6000

+

ℜe

6N2

Donde ℜ1 + ℜ 2 =

ℜe =

1 −7

100·4·π·10 ·100·10 0.1·10 −2 −7

4·π·10 ·100·10

−4

−4

= 795774 .715

= 79577 .4715

A−v Wb

A−v Wb

Aplicando la ley de Ampere:

6000 − 6N2 = (ℜ1 + ℜ 2 + 2ℜe )·4·10 −3 ⇒ N2 = 363 .38 espiras b) De acuerdo con el circuito equivalente, el flujo se puede obtener como: φ=

1000i1 − N2i2 79577471 .55·(0.01 + 2e )

Asimismo, este ejemplo se corresponde con un caso en el que hay dos excitaciones, por lo tanto: λ1 = L11i1 + L12i2 λ 2 = L 21i1 + L 22i2 donde: λ1 = N1φ1 ⇒ φ1 = φ

5

λ 2 = N2 φ 2 ⇒ φ 2 = − φ Por lo tanto: 10 6 i1

λ1 =

79577471 .55(0.01 + 2e)

λ2 =

− 1000N2i1 79577471 .55(0.01 + 2e)

−

1000N2i2 79577471 .55(0.01 + 2e)

+

N22i2 79577471 .55(0.01 + 2e)

De estas expresiones se pueden obtener las inductancias propias y mutua: L11 =

10 6 79577471 .55·(0.01 + 2e)

L 21 = L12 = −

L 22 = −

1000N2 79577471 .55(0.01 + 2e) N22

79577471 .55(0.01 + 2e )

Usando la coenergía: W' =

f=

f=

1 2

L11i12 +

1 2

∂W ' ∂x

L 22i 22 + L12i1i2

= i1,i2 = cte.

i12 ∂L11 2 ∂x

+

i22 ∂L 22 2 ∂x

+ i1i2

∂L12 ∂x

 i12 i2 2·N22 2·1000N2  2·10 6 − 2 + i1i2 −  2 2 79577471 .55  2 (0.01 + 2e) 2 (0.01 + 2e) (0.01 + 2e)2  1

Por lo tanto: f (e = 0.01 cm) = −1273 .24 N c) 1) φ = cte. ⇒ v = N

dφ dt

=0 ⇒ V =0V

2) φ = 4·10 −3 · 2·sen( ω·t )

6

v =N

dφ dt

= 4·10 − 3 · 2·100·π·cos(ω·t ) ⇒ V = 1.256 V

PROBLEMA 5 a) ∆W ' = λ1di1 + λ 2di2 + ∆Wmec di1 = 0 , di2 = 0 ⇒ ∆W ' = ∆Wmec W' =

W' =

1 2

L11i12 + 2

2(1 + 2x )

1 2

L 22i22 + L12i1i2

i12 +

2 2(1 + 2x )

i22 + (1 − 2x ) i1i2 =

29

− 10(1 − 2x )

1 + 2x

W ' (0 ) = 19 J W ' (0.5 ) = 14.5 J Por lo tanto: ∆Wmec = ∆W ' = W ' (0.5 ) − W ' (0 ) = −4.5 J b) f=

∂W ' ∂x

− 2i12

=

(1 + 2x )

2

i1 = cte.,i 2 = cte.

−

2i22

(1 + 2x )

2

− 2i1i2 =

(1 + 2x )2

f < 0 para 0 ≤ x ≤ 0.351 f ≥ 0 para x ≥ 0.351 c) ∆Wel1 = i1∆λ1 ∆Wel2 = i2 ∆λ 2 λ1 = L11i1 + L12i2 =

2 1 + 2x

5 + (1 − 2x )(− 2)

λ1(0 ) = 8 Wb - v λ1(0.5 ) = 5 Wb - v λ 2 = L 21i1 + L 22i 2 = (1 − 2 x )5 +

2 1 + 2x

− 58

(− 2)

7

+ 20

λ 2 (0 ) = 1 Wb - v λ 2 (0.5 ) = −2 Wb - v Finalmente: ∆Wel1 = i1∆λ1 = 5[λ1(0.5 ) − λ1(0 )] = −15 J ∆Wel2 = i2 ∆λ 2 = −2[λ 2 (0.5 ) − λ 2 (0 )] = 6 J El incremento de energía eléctrica total es: ∆Wel = ∆Wel1 + ∆Wel2 = −9 J Al ser un sistema lineal, ∆W = ∆W ' : ∆Wel = ∆Wmec + ∆W = ∆Wmec + ∆W ' O igualmente: − 9 = −4.5 + (− 4.5 )

8

PROBLEMA 6 El flujo tendrá un sentido hacia la derecha. φ = 5.9·10 −3 Wb

PROBLEMA 7 a) i2 = 1.6 sen(314 t ) b) T(θ = 135 º ) = 0.034[cos(628 t ) − 1]

PROBLEMA 8 f = −2429.09 N

PROBLEMA 9 i = 1.96 A

PROBLEMA 10 a) i1 = 0.212 sen(314 t ) i2 = 0.212 sen(314 t ) f = −0.0335 N

b) i1 = i2 = 0.106 sen(314 t ) f = −0.0084 N

c) i1 = 0.4246 sen(314 t ) i2 = −0.2123 sen(314t ) f = −0.0338 N

1