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Principio de transmisibilidad

El principio de transmisibilidad establece que las condiciones de equilibrio o movimiento de un sólido rígido permanecerán inalterables si una fuerza F, ejercida sobre un punto dado, se reemplaza por otra fuerza F’ de igual magnitud, dirección y sentido, que actúa sobre un punto diferente, siempre que las fuerzas tengan la misma línea de acción.

El producto vectorial de dos vectores es otro vector cuya dirección es perpendicular a los dos vectores y su sentido sería igual al avance de un sacacorchos al girar de u a v. Su módulo es igual a:

El producto vectorial se puede expresar mediante un determinante:

Ejemplos: Calcular el producto vectorial de los vectores

= (1, 2, 3) y

=

(−1, 1, 2).

Dados los vectores

y

, hallar el producto

vectorial de dichos vectores. Comprobar que el vector hallado es ortogonal a

y

.

El producto vectorial de

es ortogonal a los vectores

y

.

Área del paralelogramo Geométricamente, el módulo del producto vectorial de dos vectores coincide con el área del paralelogramoque tiene por lados a esos vectores.

Ejemplo: Dados los vectores

y

, hallar el área del

paralelogramo que tiene por lados los vectores

y

·

Área de un triángulo La diagonal de un paralelogramo lo divide en dos triángulos iguales, por tanto el área del triángulo será la mitad del área del paralelogramo. Ejemplo Determinar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos A(1, 1, 3), B(2, −1, 5) y C(−3, 3, 1).

Propiedades del producto vectorial 1. Anticonmutativa x

=−

2. Homogénea

x

λ(

x

) = (λ

)x

=

x (λ )

3. Distributiva x(

+

)=

x

+

x

·

4. El producto vectorial de dos vectores paralelos en igual al vector nulo. x

=

5. El producto vectorial

x

es perpendicular a

ya

.

Sean dos vectores y en el espacio vectorial . El producto vectorial entre y da como resultado un nuevo vector, . El producto vectorial entre a y b se denota mediante a × b, por ello se lo llama también producto cruz. En los textos manuscritos, para evitar confusiones con la letra x (equis), es frecuente denotar el producto vectorial mediante:1

El producto vectorial puede definirse de una manera más compacta de la siguiente manera:

donde es el vector unitario y ortogonal a los vectores a y b y su dirección está dada por la regla de la mano derecha y θes, como antes, el ángulo entre a y b. A la regla de la mano derecha se la llama a menudo también regla del sacacorchos. Producto vectorial de dos vectores[editar]

Sean los vectores concurrentes de , el espacio afín tridimensional según la base anterior. Se define el producto:

Donde w es el producto vectorial de u y v, definido así:

donde la última fórmula se interpreta como:

esto es:

Usando una notación más compacta, mediante el desarrollo por la primera fila de un determinante simbólico de orden 3 (simbólico ya que los términos de la primera fila no son escalares):

Que da origen a la llamada regla de la mano derecha o regla del sacacorchos: girando el primer vector hacia el segundo por el ángulo más pequeño, la dirección de es el de un sacacorchos que gire en la misma dirección. Ejemplo[editar] El producto vectorial de los vectores y calcula del siguiente modo:

se

Expandiendo el determinante:

Dando como resultado:

Puede verificarse fácilmente que es ortogonal a los vectores y efectuando el producto escalar y verificando que éste es nulo (condición de perpendicularidad de vectores)

Impulso, momento de una fuerza, momento angular Impulso Consideremos el movimiento en una dimensión La definición de fuerza es F=dpdt

Si la masa es constante, integrando mv−mv0=∫t0tF⋅dt

Momento de una fuerza

Supongamos que tenemos tres llaves que actúan sobre tres tornillos en la forma indicada por las figuras. Se aplica una fuerza F en el extremo de la llave. Es fácil contestar a las siguientes preguntas: 

¿En qué situaciones se enrosca el tornillo?



¿En que situaciones se desenrosca el tornillo?



¿Cuáles producen el mismo resultado o son equivalentes?.

En la primera figura, el tornillo avanza en una dirección perpendicular al plano de la página, y hacia el lector. El módulo del momento es F·d. En la segunda figura, el tornillo avanza en la misma dirección y sentido. El módulo del momento esF/2·(2d)=F·d. Con una llave más larga estamos en una situación más favorable que con una llave más corta. En la tercera figura, el tornillo avanza en la misma dirección pero en sentido contrario. 

Un momento se considera positivo, si el tornillo sale, avanza hacia el lector, la llave gira en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj.



Un momento se considera negativo, si el tornillo entra, la llave gira en el sentido del movimiento de las agujas del reloj.

Se denomina momento de una fuerza respecto de un punto, al producto vectorial del vector posición r de la fuerza por el vector fuerza F. M=r×F El vector M tiene 

Por módulo, M=F·r·sinθ=F·d. Siendo del brazo de la fuerza (la distancia desde el punto O a la dirección de la fuerza)



Dirección, perpendicular al plano determinado por la fuerza F y el punto O.



Sentido, la aplicación de la regla del sacacorchos

La analogía de la llave y el tornillo, nos ayuda a entender el significado físico de la magnitud momento, y a determinar correctamente el módulo, la dirección y el sentido del momento de una fuerza:   

El módulo es el producto de la fuerza F por la longitud d de la llave.M=F·r·sinθ=F·d La dirección, es la del eje del tornillo, eje Z El sentido viene determinado por el avance del tornillo (hacia dentro, negativo) cuando hacemos girar a la llave.

Ejemplos

Hallar el momento (módulo dirección y sentido) de la fuerza F de módulo 6 N respecto del origen. El punto P de aplicación de la fuerza se encuentra a 45 cm del origen.

Brazo de la fuerza, d=0.45·sin20º M⎧⎩⎨⎪⎪Módulo 6⋅dDirección, eje ZSentido,–⎫⎭⎬⎪⎪=0.92 kˆ N⋅m

Momento angular

Se define momento angular L respecto de un punto O como el vector producto vectorial L=r×p=r×mv (la dirección del vector velocidad v es tangente a la trayectoria) El cálculo del momento angular es similar al del momento de una fuerza respecto de un punto, sutituyendo el vector fuerza por el vector momento lineal. 2.1 Momento de una fuerza El momento de una resultante de fuerzas con respecto a un punto o un eje proporciona una medida de la tendencia de la fuerza a ocasionar que un cuerpo gire alrededor del punto o eje.

A medida que aumenta la fuerza o la distancia, es mayor el efecto de rotación causado; a esto también se le conoce como torca, pero más a menudo también se denomina momento de una fuerza o simplemente momento. Considera una fuerza F que actúa sobre un cuerpo rígido. La fuerza está representada por un vector que define su magnitud y su dirección; sin embargo, el efecto de la fuerza sobre el cuerpo rígido también depende de su punto de aplicación A. La posición de A puede definirse por medio del vector r que une al punto de referencia fijo O con A, a este vector se le conoce como vector de posición de A.

Para fines educativos. Beer (1997). El momento de F con respecto a O se define como el producto vectorial de r y F de la siguiente manera:

De acuerdo con la definición de producto vectorial, el momento debe ser perpendicular al plano que contiene el punto O y a la fuerza F. El sentido de Mo está definido por el sentido de la rotación que haría al vector r colineal con el vector F. Una manera sencilla de definir el sentido de rotación es basarse en las manecillas del reloj, o bien utilizando la regla de la mano derecha: cierre su mano derecha y manténganla de tal forma que sus dedos estén doblados en el mismo sentido de la rotación que F le impartirá al cuerpo rígido alrededor de un eje fijo dirigido a lo largo de la línea de acción de Mo; su dedo pulgar indicará el sentido del momento Mo.

Finalmente, representada por el angulo θ entre las líneas de acción del vector de posición r y la fuerza F, se encuentra que la magnitud del momento de F con respecto a O esta dada por:

Donde d representa la distancia perpendicular desde O hasta la línea de acción de F. La magnitud de Mo mide la tendencia de la fuerza F a hacer rotar el cuerpo rígido alrededor de un eje fijo dirigido a lo largo deMo. En el sistema internacional de unidades la fuerza se deberá expresar en Newtons (N) y la distancia en metros (m) por lo tanto el momento Mo se deberá expresar en Newtons-metro, es decir Joules. En el sistema inglés la fuerza se expresa en libras y la distancia en pies o pulgadas por lo tanto el momento Mo se expresara en Lb-pie o Lb-in. 2.2 Momento de una fuerza respecto a un eje específico

Imagen obtenida de http://estaticaortegamorenomo.blogspot.com Sólo para fines educativos. Se define a MOL como:

Donde λ es el vector unitario a lo largo de OL y r es el vector de posición desde cualquier punto sobre la línea OL hasta cualquier punto sobre la línea de acción de F. Como en el caso del momento de fuerza con respecto a un punto, elegir el vector de posición mas conveniente simplificará los cálculos. Además se debe recordar que los vectores r y F deben tener el sentido correcto y ser colocados en la fórmula en el orden apropiado. El procedimiento que se debe seguir cuando se calcula el momento de una fuerza con respecto a un eje es expresar primero a λ, r y F en términos de sus componentes rectangulares para después evaluar el triple producto escalar λ (r x F) con el fin de determinar el momento con respecto al eje. En la mayoría de los problemas tridimensionales, la forma más conveniente para calcular el triple producto escalar se obtiene empleando un determinante. 2.3 Momento de un par Se dice que dos fuerzas F y –F que tienen la misma magnitud, líneas de acción paralelas y sentidos opuestos, forman un par. Obviamente la suma de las componentes de las dos fuerzas en cualquier dirección es igual a cero. Sin embargo la suma de los momentos de las dos fuerzas con respecto a un punto dado no es cero. Aunque las dos fuerzas no originaran una traslación del cuerpo sobre el que están actuando, éstas si tenderán a hacerlo rotar.

Imagen obtenida de http://estaticaortegamorenomo.blogspot.com Sólo para fines educativos. Representando con rA y rB respectivamente a los vectores de posición de los puntos de aplicación de F y –F, se encuentra que la suma de los momentos de las dos fuerzas con respecto a O es la siguiente:

Definiendo rA-rB = r donde r es el vector que une los puntos de aplicación de las dos fuerzas, se concluye que la suma de los momentos de F y –F, con respecto a O, está representada por el vector:

El vector M se conoce como el momento del par, se trata de un vector perpendicular al plano que contiene las dos fuerzas y su magnitud está dada por:

Donde d es la distancia perpendicular entre las líneas de acción de F y – F. El sentido de F está definido por la regla de la mano derecha. A partir de la definición de momento par también se concluye que dos pares, uno constituido por las fuerzas F1 y –F1 y el otro constituido por las fuerzas F2 y F-2 tendrán momentos iguales si: F1d1 = F2d2 Y si los dos pares se encuentran en planos paralelos (o en el mismo plano), tendrán el mismo sentido.

Ejemplo:

Para fines educativos. Hibbeler (2004). Una fuerza vertical de 100 Lb se aplica en el extremo de una palanca que está unida a una flecha en el punto O; determina lo siguiente: a. El momento de la fuerza de 100 Lb con respecto a O. b. La fuerza horizontal aplicada en A que origina el mismo momento con respecto a O. c. La mínima fuerza aplicada en A que origina el mismo momento con respecto a O. d. ¿Qué tan lejos de la flecha debe actuar una fuerza vertical de 240 Lb para originar el mismo momento con respecto a O? e. Si alguna de las fuerzas obtenidas en los incisos b, c y d es equivalente a la fuerza original. Solución: a. La distancia perpendicular desde O hasta la línea de acción de la fuerza de 100 Lb es:

Para fines educativos. Hibbeler (2004).

b.

Para fines educativos. Hibbeler (2004). c.

Para fines educativos. Hibbeler 2004.

d. e. Ninguna de las fuerzas consideradas en los incisos b, c y d es equivalente a la fuerzas original de 100 Lb a pesar de que estas fuerzas tienen el mismo momento respecto a O, sus componentes x y yson diferentes.