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• DanielChoquePereyra

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C( x)  3x 3  2x 2  9

PRINCIPALES PRODUCTOS NOTABLES GRUPO 5 Resolver 01.

Calcule:

Dados los polinomios:

a) A  4A  (2A  B)  C b) 2A  3A  ( A  B)  C c) A  B  4A  (5A  2B)  C

A  5x 2  7xy  8y 2 B   3x 2 12 xy  6y 2 C  x 2  3xy  2y 2

06.

P( x)  3x 3  5x  5 Calcule: a) M  N  3M  (4M  P) b) M  2P  (P  N)  2N c) 4M  3N  3M  (2M  4N  P)

Sea los polinomios P ( x )  x 4  3x 3  5x 2  3 Q ( x )  x 3 8x 2 17 4

M( x)  4x 2  x  7 N( x)  x 2  2x  9

Calcule: a) A + B b) B + C c) A + B + C 02.

Dados:

3

07.

2

Dados:

M( x)  3x 7  x 5  7

R ( x )  x  2x  x  6

N( x)  x 6  x 4  2

S ( x )  x 3  7x 2  x

P( x)  x 7  2x 6  x 5  8 Calcule: a) 5M  2N  3M  (M  N)  P

Calcule: a) b) c) 03.

b)  ( 7N  2P)  4N  M   3N  P c) 9M  5N  8M  (2M  6N) ´P

P–Q–R R–Q–S (P – R) – (Q – S) 08.

Dados los polinomios

Dados:

Q( x, y)  3x 3  2x 2 y  2xy 2  2y 3

A  m 2 7mn  n 2

R( x, y)  4x 2 y  xy 2  2y 3 Calcule:

B 3m 2  2mn  n 2 C   5m 2  2mn  4n 2

a) (P  Q)  (2P  Q  R) b) P  Q  2R  2Q  2P  R c) (2P  Q  R)  P  2Q  2R

D  7m 2  5mn  3n 2

Calcule: a) b) c) 04.

A + [ B + C – (2B + 2C)] D – [2A – (A – C) – (2C – B)] – (A + 2B) + [3C – (D – 3B) + (A – 2C)

09.

Dados:

P( x)  x 3  3x 2  x  7 Q( x)  2x 3  x  5 R( x)  7x 3  2x 2  x  9

Si: 3

P( x, y)  4x 3  x 2 y  y 3  xy 2

Calcule: 2

2

P  a 3a b  2ab 9b

3

a) (P  Q  R)  2P  2Q  R b) 2P  Q  R  P  2Q  2R 

Q  4a 2b 3ab 2  7b3 R  3a3  5ab 2  7a 2b

10.

S  a3  2b3

Dados:

M( x; y)  x 3  2x 2 y  y 3 N( x; y)  2x 3  xy 2  7y 3

Calcule: a) De (P – Q) restar (R + S) b) Restar (P + Q +R) de (R – S + P) c) 3P – [2Q – (S + Q) + (-R + 2P)] 05.

Dados:

3

P( x; y)  x 3  3x 2 y  xy 2  8y 3 Calcule: a) M  2N  P  2M  N  2P b)   M  N  P 2N  2P

2

A( x )  x  3x  x 2

B( x)  2x  x  7

I.

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

GRUPO 1: Efectúe:

(m x  2m x 1 3m x  2 ) (m x 1)

15.

(2x  y ) (3x a 1  2x a y b  x a 1y b 1)

GRUPO 4

01.

(2x) (3x 2 )

02.

(9ab) (a 2b 2 )

03.

(m2n3 ) (5mn4 ) 2

14.

Efectúe:

2 3

04.

(4a ) (3a b x)

05.

(2a 2 ) (5a 3b)

06.

(ambn ) (amb3n )

07.

(mx ) (3am x )

08.

(3mx 1 ) (mx 3 )

09.

(9x a 1y 2b 1 ) ( x 2a y 3b )(  xy b  2 )

10. (2x m y n ) ( x 2 y 3 )(  x n y m ) GRUPO 2 Efectúe:

01. 02. 03. 04.

3 (a  2) (a 3) 2(m 5) (2m 1) 5x (3x 2) ( x 5) a(a 2) (a3)(a1)

05. 06. 07. 08.

3m(m  2) (m 2  m 1)

09. 10.

5y (2y  3)  6y (7  2y )  2y 2

11.

5x 2 ( x 2  y 2 )  y 2 (2y 2  x 2 )  2y 4

3x( x 2) ( x 1)(2x 2) 4p(6p  5)  2p(5  3p) 3a(a 3)  5a(a 4)  2a(a  5) 4a(3a  1)  4a(4  3a)  2a

01.

(3ab ) (2a 2 7ab  5b 2 )

12.

( 4a  b)(b  2a )  (a  b)(8a  b)  2b 2

02. 03.

(5x 2 ) ( x 3 2x 3 y 7 6xy 2 ) ( x ) (3x 5xy  9)

13. 14.

( x 2  1)(2 x 2  1)  (1  3x 2 )( x 2  2)

04.

( 7m 2 n 3 ) (m 2 6mn  2n 2 )

MISCELÁNEA:

05.

(5a 2 ) (5a 4 3a 3  a 2 )

06.

( xy ) ( x 3  2x 2 y 7xy 2  y 3 )

07.

(2a 2 b) (ax 2 3ab x  7b 3 )

08.

(3xy ) (ax 2 3by  9)

09.

( 2a ) (a x 1 3a x  5a x 1 )

10.

(5a 2 ) (8a m 3a m 1  7a m  2 )

11. 12.

m 2

( a x ) (a

m4

2a

m 2

2

(MLT ) (M L 3MT

01. 02. 03.

03. 04. 05. 06. 07.

05. 2

2

m 1

L T )

Efectúe:

02.

04.

 4a  2a

GRUPO 3

01.

Reduce:

m

2

(16a  3)(a  1)  (5a  2)(5a  8)

)

06.

3( x  1)  5( x  2) a  2b3b  a  3a  bb  4a   3x  6x  2  25  2x 3  6x 

 m  6n  n  m   6 3m  n  2n  m  x  3 x  y    6x  ( y  3)





3x x  1  4 x  3x  3  x 2x  1

07.

2p(5  3p)  3( p  2)(2p  1)  p(4  3p)

08.

2m(m  n)  5(m  n)(m  n)  8(m2  n2 )

09.

3( x  2)(3x  1)  2x ( x  5)  x (6  3x )

10.

4( x 2  y 2  3)  2( x  y )( x  2y )  6  (2x 2  8y 2 )

(2a 3) (5 3a) (m  7) (3m  2)

11.

3x (3  2x )  2 x ( x  8)  8x ( x  1)

12.

3x (2x  5)  2( x  2)(2x  1)  2( x  1)( x  3)

(9  x 2 ) ( x 2  5)

13.

p2  6p( p  1)  3( p  2)(3p  2)  2p(2  3p)

(6a 3b) (5b 2a) (m 2n) (3m  n) (x 5) ( x 3)

14.

(4x  2y )( x  3y )  2( x  y )(3x  2y )  2( x  5y )( x  y ) 

15. 16.

5m (3m  2)  2 3(m  2)(3m  1)  5(m 2  1)    23(m  2)(3m  1)  9(m  2)(m  2)  15m 

17.

2x( x  1)  x( x  3)  3x( x  2)  14

2

( x  xy ) ( x  xy )

08.

( x  3x  2) ( x  3)

18.

 3y(y  1)  4(2  y)  2y(y  3)  (5  y 2 )

09.

(a 2  3ab  2b2 ) (a  2b)

10.

(m 3  5m 2  6m ) (2m  1)

19. 20.

4(3x  2)  5x( x  1)  5x 2  6 (y  1)(y  2)  3(2y  3)  y(y  3)  9

11.

( x 2  x  1) ( x 2  x  1)

II.

DIVISIÓN DE POLINOMIOS

12. 13.

2

2

2

( m  2m  1) ( m  1)

(a

x 2

a

x 1

x

a ) (a  1)

GRUPO 1 Divide:

01.

2 a 3b 4 entre a b

02.

36 m 3 n 2 entre  9m 2 n 2

03.

 39a 7 b 5 x 2 entre  13a 5 b 5 x 2

04.

 m 6 n 4 entre m 6 n 4

05.

4 3

12a b

10.

entre  4ab

8 7 9

III. ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA GRUPO 1

3

Resuelve las siguientes ecuaciones

entre 15a 6 b 7 c 5

06.

 225a b c

07.

48x 12 y 10 z 8 entre  12 x 2 y 8 z 8

08.

 4a 6 b 10 x 3 entre  16a 4b 4 x

09.

66x 4 y 6 p 8 entre  11x 4 y 2 p 8

10.

5m a n b entre  m 2 n 2

11.

121x a  2 y 2a  3 entre 11x 4 y 5

13.

 360 x 2a entre  120 x a a 5 a 9 n m 3a  2 n 2a  3 entre m

14.

4 x m y n entre  12 x m  5 y n  8

15.

3a 2 x m 1y m 1 entre 15ax m y m  3

12.

 8a 2  12ab  4b 2 entre b  a

GRUPO 2 Divide: 01.

12a 3 b 4  8a 2 b 6 entre  2a 2 b 2

02.

9a 6 b 5  15a 4 b 7  27a 2 b 9 entre  3a 2 b 5

01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. 08. 09. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

x  3  12 3x  7  14 9  2x  17 6x  3x  72 4x  3x  2 6x  12  x  23 8x  15  2x  51 6x  20  2x  3x  32 26x  25x 12  x 15 x  45  3x  129 2x  55  7 x  10 21  3x  5x  43 6x  5  4x  8  3x 3  4x  4x  6  x (2 x  5)  ( x  9)  2

16. 17.

( x  6)  (5  3x)  1 (2 x  5)  (7  7 x)  x (5x  7)  2( x  3)  1  x 5(2 x  4)  18  3( x  2)  5 2(6  3x)  3( x  1)  1  4(5  2 x)  2 x

03.

45m  75m  25m

04.

 2x 2 y 7  12 x 3 y 5  6x 4 y 3 entre  x 2 y 3

18. 19. 20.

05.

a12  a10  5a 8  7a 6 entre a 4

GRUPO 2

6

4

3

4

2

entre 5m

2

5

06.

31x  62 x  93 x entre 31x

07.

 125 x 4 y 6  25 x 12 y 12  7 5x 6 y 8 entre  25 x 4 y 6

08.

7a 6 b 5 c 4 14a 5 b 4 c 3  21a 4 b 3 c 2 entre  7a 4 b 3 c 2

09.

28a 8 m 3 n 5  14a 6 m 5 n 7 56a 4 m 7 n 9

entre

14a 4 m 3 n 5

10.

a 3  7 a 5  5 a 7  3 a 9 entre

11.

a x 2  a x  2 a x 1 entre

12.

a 2 x  a 2 x 2  25a x 1 entre

13.

m x  4m x 1  5m x 2 entre

14. 4 x m 6x GRUPO 3

m 3

Completa el conjunto solución de las siguientes ecuaciones. 01. 02.

C. S. = {

 2a 3

ax  a x 1

03.

 2xm9

04.

01.

x 2  2 x  6 entre x  3

02.

3x 3  2x  1 entre x  2 3

05.

03.

6x  x  8x  6 entre 3x  1

04.

2 x 3  6 x 2  3 entre x  1

05.

3x 5  8 x 3  2x 2 entre x  1

06.

12 x 4  7x 3  74 x 2  7x  16 entre 3x 2  7x  4

07.

2 x 4  6 x3  3x 2  4 x  2 entre x 2  x  3

08.

9x 3  12 x 2  12 x  1 entre x 2  3 x  2

09.

6x 2  xy  4 y 2 entre y ´2x

}

x  x  14   x  5 x  3x  8 C. S. = {

2

}

4x  12x  5  5  x  3  2x  34 C. S. = {

Dividir:

}

14x  3  x  3  3 12x  4   x C. S. = {

m x 5

18 x m 5 entre

7 x  2  6  2( x  3)  4x  8 ... C. S. = { } 10x  9 x  7  8 9  3x   9x  26

}

06.

x  4  x  5  2  2x  5  12x  1

07.

C. S. = { } 4  x  14   12 x  3  5  x  4  C. S. = {

08.



}



12 x  3x  7x  3  12 x  14

C. S. = { 09.

4( x  4)  2( x  1)( x  5)  2( x  3)  3(3x  2) Raíz x = 3 Raíz x = 12x  8 x  1  6 x  14   5x  12x  7 11  3x   1 -3

6 x  5  5  x  6  4x   x  4   2x  12

C. S. = { 10.

07. 08.

}

}

SEMANA 3

2(5  3x )  2 x ( x  3)  x (6  x )  2( x  15) C. S. = { }

PRODUCTOS NOTABLES GRUPO 3 POTENCIA ENÉSIMA DE UN MONOMIO: GRUPO 1

Determina el valor de “x” en las siguientes ecuaciones:

Efectúe: 01.

17( x  3)  4(1  3x)  57  x

02.

2  x  2    7x  8   4  9  3 x 

03.

19 3  x   18  x  5   x  5 15  4x 

04.

25(2  x)  14( x  6)  3( x  6)  ( x  4)

05.

12   6x  4   8x  32  3 x  2  0

06.

3x  5 3  x   3  x  4   3  2

07.

(12x  9)  3  x   5x  23  6  9  3x 

08.

9 x  12  2 60  12x   5x  8 12  4x 

09.

  x  12  8  x  5  3   x  21  6  x  3  1

10.

2   ( x  3)  (4  2x )  8  2(1  x )  2

01.

(8a )2

11. ( 3x m 2 )3

02.

( 4 xy )2

12. ( x m 2 y n 5 )4

03.

(m 2 )6

13. (5a x 3 b y 3 )2

04.

( b 4 )5

14. (9a 2 x b 3y ) 2

05.

(a 2 b 3 ) 4

15. (  x n )6

06.

( 3x 4 y 2 )3 16. (2m 2 x )3

07.

( 3m 3 np 2 )4

17. (mn) 4

08.

( 1/ 2x 3 y 2 )3

18. ( 9x 2m 3 )3

09.

( x n )4

19. ( 2x n )3 (3x n )2

10.

( x m 1 )2

20. ( x m 1 )3 ( x m 2 )2

GRUPO 4

01. 02. 03. 04. 05.

I.

 2( x  1)  ( x  1)(2x  5)  2( x 2  4) x( x  1)  (2x  3)(x  1)  x(3x  1)

CUADRAD0 DE UN BINOMIO

(a  b) 2  a 2  2ab  b 2

2y(y  5)  3y(y  2)  y(5  y) m(m  5)  2m(m  3)  3m(2  m)

Efectúe:

A( A  2B)  A(2B  A)  A  3

01.

( x  2)2

02.

( x  3 y )2

03.

(2m  5n)2

04.

(3ab  c )2

05.

(2xy  7z )2

GRUPO 5

06.

( x 2  y 2 )2

Verifica las siguientes igualdades conociendo las raíces respectivas

07.

(a 3  5b 3 )2

Raíz x = 4x  5x  3  63  x   12 1 x  3 2x  5 6x  3  3x  2 3x Raíz x = -2  x  14  5 x  3   x  5  9 x  8 Raíz x = -1

08.

( x 2 y 3  8z 2 ) 2

09.

(2m 4n 2  11)2

10.

3x

11.

( 3 x 3 y  2x ) 2

12.

( x n  2)2

13.

(4 x n  7)2

14.

( x n y m  15)2

15.

( x n 1  3)2

16.

( x n  2  x 2 )2

06. 3x 2  3x  x( x  5)  4( x  2)(x  3) 07. 08. 09. 10.

01. 02. 03. 04. 05. 06.

0  y 2 (y  3)  2y(y 2  1)  y 3  3y 2  10 1  x( x  y)  xy  x( x  5) 2m(m  7)  m(m  1)  (m  1)(m  7) (n  3)(n  2)  2n(n  5)  (n  1)(7  n)

11x  4( x  3)  2(3  x )  7 Raíz x = 1 ( x  3)( x  5)  (2x  1)( x  2)  2( x  1)( x  3 =1 2( x  3)  2 4x  5  ( x  1)  3( x  5)  8 Raíz x = 2

Raíz x

2

 2x



2

17.

( x 2  x 2 )2

11.

( x 3  x 3 )(x 3  x 3 )

18.

(e x 1  e x 1)2

12.

( x n1  15)( x n1  15)

19.

(3x m 1  x1m )2

13.

( x a 1  y b1)( y b1  x a 1)

20.

(5x m 1y n1  y n1)2

14.

(m x  m  x )(m x  m  x )

15.

18.

(a  b)  2(a  b)  2 ( x  2y )  5( x  2y )  5 3m  (n  p)3m  (n  p) 5x  (2y  1)5x  (1 2y )

III.

CASO ESPECIAL: POR AGRUPACIÓN

(a  b) 2  a 2  2ab  b 2

17.

GRUPO 3 Efectúe: 01.

( x  3)2

02.

( x  5 y )2

03.

(2m  5n)2

04.

(8 xy  1)2

05.

(3abc  5)2

06.

( x 2  y 2 )2

07.

(3a 2  5b 2 )2

08.

( x 3 y 2  2z 2 ) 2

09.

( x n  2)2

10.

(a m  7)2

11.

(5x m y n  9)2

12. 13.

a

01. ( x  y  2)( x  y  2) 02. (2m  n  3)(2m  n  3) 03. (2a  3b  5)(2a  3b  5) 04. ( x 2  2x  4)( x 2  2x  4) 05. (5x  3y  7)(5x  3y  7) 06. (a  b  c )(a  b  c ) 07. (2n 2  n  1)(2n 2  n  1) 08. ( x  1  x 2 )(x 2  x  1) 09. (a x  2  a 2 x )(a 2 x  a x  2) 10. (c  2b  3a)(2b  c  3a) MISCELÁNEA 1:

b 2

( 5x  3x ) (x

16.

n 1

 5)

Efectúe:

2

01.

( x  3)2  .( x  3)2  2x 2  18

(2x m 1y n1  11)2

02.

( x  5)2  ( x  4)2  2x 2  41

16.

( x n  2  x 2 )2

03.

7(a  7)2  7(a  7)2

17.

( x 3  x 3 )2

04.

(2x  1)2  (2x  1)2  12xy

18.

(4 x m 1  x m 1)2

05.

(4 x  1)2  (2x  3)2  12x 2  23

19.

(6x 2m  x 2m )2

06.

5(2x  3)2  5(2x  3)2  25x

20.

( 7x a y 2  x b ) 2

07. 08.

( x  2)(2  x )  4  5x ( x  3)  4 x 2

II.

PRODUCTO DE UNA SUMA POR SU DIFERENCIA

09.

( x  1)( x  1)( x 2  1)( x 4  1)  150

10.

(3  1)(3  1)(32  12 )(34  14 )(38  18 )  1

11. 12.

(a  2b)(a  2b)(a 2  4b2 )(a 4  16b 4 )  a 8

13.

(2m  3n  5)(2m  3n  5)  (3n  5)2  4m 2

14.

(2x  y  1)(2x  y  1)  (2x  1)2  y 2

15.

( x 2  x  1) x 2  x  1)  x 2 ( x 2  1) a b a b (  )2  (  )2 b a b a 2 5 2 5 25 ( x  y )( x  y )  y 2 3 3 3 3 9

14.

(3x

15.

m 2

 7)2

(a  b)(a  b)  a 2  b 2 Efectúe: 01. 02. 03. 04. 05.

( x  5)( x  5) (m  7)(m  7) (5z  1)(5z  1) ( xy  8)( xy  8) (ab  12)(ab  12)

06.

(a 2  9)(a 2  9)

07.

2

2

16. 17.

2

2

(2m  n )(n  2m ) 3

3

3

3

08.

(2x  y )(y  2x )

09.

( x n  y m )(y m  x n )

10.

(1  a x b y )(a x b y  1)

(2m  7)(7  2m)  4m(m  1)  49

(a  b  c )(a  b  c )  (a  b  c )(a  b  c )

18.

( x 2  x 2 )2  ( x 2  x 2 )2  4

IV.

CUBO DE UN BINOMIO

(a  b) 3  a3  3a2b  3ab 2  b3

(a  b) 3  a 3  3a 2b  3ab 2  b 3

01. ( x  y )3 02. (m  n)3 03. (2x  3)3 04. ( x  3y )3 05. (m  3n)3 06. (2x 2 y 2  1)3

10.

07. (ab  c )3

11.

08. ( xy  3z )3 09. (2mn  5)

12.

3

13. 14. 15.

10. (5m 2n3  2)3 n

01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. 08. 09.

2 3

11. ( x  x )

12. ( x n1  1)3

VII.

13. (2x m 1  x m )3

x  5x  3 m  8m  4 a  7a  3 b  3b  11 x  10x  8 k  9k  13 m  5m  8 a  6a  1 p  11p  7

x y a x

2 3 n 2

   7y  9  10a  6  4x  9  5 x2  4 3

n

2

2a  52a  7 3y  83y  7

PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CON TÉRMINOS SEMEJANTES

14. (3x m y n  x m y n )3 15. V.

(ax  b)(cx  d)  acx 2  (ad  bc )x  bd

2 3 ( x  )3 3 2

PRODUCTO DE UN BINOMIO POR SU TRINOMIO

(a  b)(a 2  ab  b 2 )  a 3  b 3 (a  b)(a 2  ab  b 2 )  a 3  b 3 Reconoce el producto notable y efectúe:

m  2nm2  2mn  4n2  02. 4a  b16a2  4ab  b2  03. x  y x 2  xy  y 2  01.

04. 05. 06. 07. 08. 09. 10. 11. 12. 13. 14. 15. VI.

m

2



 4m m4  4m3  16m2

xy  3x y

2 2



 3xy  9

m n  2mm n 3



6 2

7m  n49m

2

4

 2m n  4m2 2

 7mn  n





4b  6b  92b  3 x  1x  x  1 m  n m  m n  n  x  xx  x  x  2m  m 4m  2m  m  x  49  7xx  7 k  4k 16k  k  4k  11z  2z121z  22z  4z  2

2

4

a

b

a1

2

2a

a b

2a2

2

2

2b

a

4

2

2a

01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. 08. 09. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.

(a + 3) (5a + 7) (2x – 5) (3x + 5) (5b – 7) (3b – 2) (x – 5y) (4x – 9y) (4a + b) (6a + 5b) (3x + 5y) (x + 7y) (3a – 5b) (7a + 3b) (7m + 2n) (3m – n) (3xy + 7) (7xy – 9) (2ab + 1) (5ab – 3) (2a2 + 5) (a2 – 9) (3x2 – 2) (x2 + 7) (3n2 + 8) (n2 – 8) (5x3 + 6) (2x3 + 7) (x2 + 3y2) (3x2 – 4y2) (3ab + 5cd) (ab – 7cd) (2a3 + 7b4) (3a3 – 2b4) (2xn – 3) (5xn – 4) (xn+1 + 3) (2xn+1 + 5) (2xn + 3ym) (xn – 5ym)

a2

2

MISCELÁNEA 2:

3

4

01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. 08. 09. 10. 11.

2

2

Reconoce el producto notable y efectúe:

3

a1

2

PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CON TÉRMINO COMÚN

( x  a)(x  b)  x 2  (a  b)x  ab Reconoce el producto notable y efectúe:

3x  24 x  8  3  x 9  3x  x 2  (k + 1)(k2 + k + 1)(k – 1)(k2 – k + 1)

a  1a 2  1  a  3a 3  8

(x + 1)(x – 1)(x4 + x2 + 1) + 1 (a – 2)(a + 2)(a4 + 4a2 + 16) + 64

5  m 25  5m 4

1)(x2

4



 m8  125

(x + – x + 1)(x6 – x3 + 1) – x9 (a + 2)(a2 – 2a + 4)(a6 – 8a3 + 64) – 83 (x + 2)(x2 – 2x + 4)(x3 – 8) + 64 (x + 2)3 – 6x(x + 2) – 8 (x2 + 3)(x4 – 3x2 + 9) – (x4 + 3x2 + 9)(x2 – 3)

12. (x + 1)3 + (x – 1)3 13. (x + y)3 – (x – y)3 14. (3x  2) 3  ( x  1)(x 2  x  1)

(1 – a + b) (b – a – 1) (ax + bn) (ax – bn) (xa+1 – 8) (xa+1 + 9) (ab + c) (ab – c) (2x + 3y)3 (x + 2y – 3z)2 (x2 – 11)(x2 – 2) (a2 + a + 1)2 (a2 – ab + b2) (a2 + b2 + ab) (2x2 + x – 1)2

19. (m2  3) 3  (m  1)(m2  m  1)(m3  1)

26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35.

20. (a  2)(4  2a  a2 )  (2  a)(a2  2a  4)

MISCELÁNEA 4:

15. ( x  2) 2  ( x  y)(y  x) 16. (m2  m) 2  (m  1)(m2  m  1) 17. ( x  y) 3  ( x  2y) 3 18. (m  n)(n  m)  (m  n) 2

VIII.

TRINOMIO AL CUADRADO

(a  b  c) 2  a 2  b 2  c 2  2ab  2ac  2bc Reconoce el producto notable y efectúe:

01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. 08. 09. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

(a + 2b + c)2 (x + 2y + 3z)2 (a + 3b + 5c)2 (2a + 3b + 7c)2 (x2 + x + 1)2 (a – b + c)2 (x – y – z)2 (m – 2n + 3p)2 (2a - 3b – c)2 (x2 – x – 1)2 (m2 + n2 + p2)2 (m2 – n2 + 2p2)2 (ab + ac + bc)2 (x2 + 2xy – y2)2 (5x2 – 8x + 3)2

MISCELÁNEA 3: Reconoce el producto notable y efectúe:

01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. 08. 09. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25.

(a + 3)2 (x + 4) (x + 7) (m + 2) (m – 2) (x – 1)2 (x + x-1) (x – x-1) (n – 3) (n + 5) (a + b – 2) (a + b + 2) (1 + y)3 (1 – x)3 (3ab – 5c)2 (1 + 4ax)2 (a2 + 9) (a2 – 6) (a + b + 3) (a – b – 3) (5 – x) (x + 5) (x2 – 2y2) (x2 + 3y2) (y2 + z2)3 (5x2 + 3x)2 (x4 – 2y3) (2y3 + x4) (3 + b) (9 – 3ab + b2) (x2 – y) (x4 + x2y + y2) (x – x-1) (x2 + 1 + x-2) (x + 1) (x2 – x + 1) (x – 5) (3x + 8) (2a + b)3 (a2 + 3b) (a2 – 3b)

01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. 08. 09. 10. 11. 12. 13. 14.

(a + b) (a2 – b2) (a – b) (x – 1) (x2 + 1) (x + 1) (a + 3) (a2 + 9) (a – 3) (3) (5) (17) (257) + 1 (a + 2) (a + 3) (a – 2) (a – 3) (x + 3) (x – 3) (x2 + 3x + 9) (x2 – 3x + 9) (x + 4) (x – 1) + (x + 2) (x – 2) (x – 2) (x + 6) – (x + 3) (x + 1) 3(x + 2) (x + 6) – 2(x – 3) (x + 1) 2(x + 2) (5x – 1) – 15(x2 – x – 1) (a + 1)2 – (a2 + 1) (a + n)2 – (a2 + n2) (m + n)2 – (n – 2m)2 + (2n – m)2 – m2 – 4n2 ( x  y) 2  ( x  y) 2  ( x  y)(x  y)

15. (m  n  1)(m  n  1)  (m  n) 2  1 16. (4x  2y)(4x  2y)  (3x  2y) 2  ( x  y) 2 17. (5m  n)(5m  n)  (3m  n) 2  (4m  n)(4m  3n) 18. (3x  1)(3x  1)(9x 2  1)  1 19. ( x  y)(x  y)(x 2  y 2 )(x 4  y 4 ) 20. ( x  y) 3  ( x  y) 3 21. ( x  1)(x 2  1)(x 4  1)(x 8  1)(x  1) 22. (4  3)(4 2  32 )(4 4  34 )  38 23. ( x  1)(x  1)(x 2  x  1)(x 2  x  1) 24. (a  b)(a  b)(a 2  ab  b 2 )(a 2  ab  b 2 ) 25. ( x  2y)(x  2y)(x 4  4x 2 y 2  16y 4 ) 26. ( x  2) 2 ( x  2) 2  ( x 4  16) 27. ( x  1) 2 ( x  1) 2 ( x 2  1) 2 28. ( x  3) 2 ( x  3) 2  ( x 4  81) 29. ( x  2) 2 ( x  2) 2 ( x 2  4) 2  32x 4  256 30. (a  b  c) 2  (a  b  c) 2 31. (m  2n  3p) 2  (3m  2n  p) 2 32. (a  b) 2  (b  c) 2  (c  a) 2  (a  b  c) 2 33. (a  b)(a 4  a 2b 2  b 4 )(a  b)  b 6 34.

5

( x  1) 2 ( x  1) 2 ( x 2  1) 3 ( x 2  1) 5  1

35.

5

( x  y) 3 ( x 2  y 2 ) 3 ( x 4  y 4 ) 2 ( x  y) 3 ( x 4  y 4 ) 5  y 8

SEMANA 4 Ejercicios Complementarios

01. (x + 1) (x – 1) (x4 + x2 + 1) + 1

02. 03. 04. 05. 06. 07. 08. 09. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.

(a – 2) (a + 2) (a4 + 4a2 + 16) + 64 (x + 1) (x2 – x + 1) (x6 – x3 + 1) – x9 (a + 2) (a2 – 2a + 4) (a6 – 8a3 + 64) – 512 (x – 2)2 (x + 2)2 (x2 + 4)2 + 32x4 – 256 4

1  ( x  1)( x  1)( x 2  1)( x 4  1)

32

1  3(2 2  1)(2 4  1)(2 8  1)

(xn

8)(xn

(xn

+ + 2) – + +7) (x10 + x5 + 1)(x10 – x5 + 1) + x10 – [x10 + 1]2

Perfecto Ejemplo:  (2x2 – 7y3)2 = 

3)(xn

3x5x17 x257  1

(x + 3 )(x – 3 )((x4 + 3x2 + 9) – x6 (x + 2)(x – 2)(x2 – 6) – (x2 – 5)2 (x + 2)(x + 3)(x + 1)(x + 4) – (x2 + 5x + 5)2v 3(x + 2)(x + 6) – 2(x – 3)(x + 1) 3(x + 2)(5x – 1) – 15(x2 – x – 1) 3(x – y)2(x + y) – 3(x + y)2(x – y) (a+b+c)2+(a–b)2+(b–c)2+(c–a)2–2(a2+b2+c2) (2x – 1)(x – 3) – 3(x – 1)(x + 2) + x(x+ 10) (x2+x+3)(x2 + x + 2) – (x2 + x + 1)(x2 + x + 4) (x + 4)3 – (x + 3)(x + 4)(x + 5)



5 2

01. x  32  2x  52  x5x  2  7 02. m  3m2  3m  9 m2 m  5  m  3  5m2

r  2r  5  7r 2  2r  34r  1 04. x  13  x 2 x  3  2x  5 03.

05. y  22  yy  3  3y  4 y  3  y  2y  1  2 06. 3x  44x  3  6x  42x  5 07. 2y  32y  3  y  4yy  2 08. 4r 2  2r  12  13 09. k  5k  2  k  3k  2  0 10. m  12m  3  2m  3m  4  5 11. x  2x  3x  1  x  4x  4x  4  7 12. A  22  A  22  3A  1  5 13. 3m  12  2m  32  5m  2  5m  2m  1  0 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22.

x

2

2

=

2.- IDENTIDADES DE LEGENDRE (a+b)2 + (a-b)2 = 2(a2+b2) (a+b)2 – (a-b)2 = 4ab

Ejemplo: * (5  3)2  (5  3)2 = * (2x  y)2  (2x  y)2 = 3.- BINOMIO SUMA POR BINOMIO DIFERENCIA ( DIFERENCIA DE CUADRADOS )

ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON APLICACIÓN DE PRODUCTOS NOTABLES Resuelva e indique el conjunto solución:



(a+b)(a–b) = a2 – b2 Ejemplo:   

(3x+5)(3x-5) = (5x3–3y4)(5x3+3y4) = (a+b+c) (a+b–c) =

4.- MULTIPLICACIÓN DE BINOMIOS CON UN TÉRMINO COMÚN

(x+a)(x+b) = x2 + (a+b)x + a.b Ejemplo:   

(x+2)(x+3) = (y-4)(y+2) = (z2+2)(z2–3) =



 x  1  x 2 x  12  3x  2x  12 2

x  2x  1x  3  x  1x  1x  2 x  13  x  13  6xx  3 3m  22 m  5  3m  12 m  1  3 4y  2y  4 3y  11  y  6y  22 14  5n  12n  3  17  10n  1n  6 A  A  1A  1  A  1A  1  3 2z  15z  2  5z  32  5z  22  10z 2 5x  22  5x  32  2x  15x  2  10 x 2  0

5.- DESARROLLO DE UN BINOMIO AL CUBO (a  b)3 = a3  3a2b + 3ab2  b3 Ejemplo: 

(2x–y)3 =



(3x+y2)2 = PROBLEMAS

1.- BINOMIO SUMA O DIFERENCIA AL CUADRADO (a  b)2 = a2  2ab + b2 Trinomio Cuadrado

01.- Reducir: E = (x+3)(x-3)(x2+9) + 81

b) x2

a) x NA

c) x3

d) x4

e) a) 40 NA

b) 24

c) 20

d) x2

e)

02.- Efectuar: 11.- Efectuar: E = (2x3+3)( 2x3-3) + 9 E = (2x+3)(2x-3)(4x2+9) + 81 6

a) 2x NA

6

6

b) 3x

6

c) 4x

d) -3x

e) b) 16x2

a) 12 NA

c) 81

d) 16x4

e)

03.- Efectuar:

a) x NA

b) x4

c) x8

d) 1

e)

b) x2

a) 1 NA

a) 2(x2-16) b) (x2-16) NA

c) (x2-4)

d) 3(x2-4)

e)

05.- Efectuar:

e)

a) 21x-2 NA

b) 2x2-12

c) x2+4x+28

c) x+28

e)

14.- Reducir:

E = (a+2x)(2x-3a) + 4ax + 3a 2

2

b) x

2

E = (x2+6)(x2-5) – (x2+4)(x2-7) 2

c) 3x

d) 4x

e)

06.- Efectuar:

a) x4+x2 NA

b) 4x4+2x

b) -12

2

c) 14

4

2

d) -14

e)

a+b = 12 a2 + b2 = 100

b) 12

c) 18

b) 4

d) 22

x+

e)

Calcular: x3 +

1 08.- Si: x + =6 x 1 Hallar: x2 + 2 x a) 28 b) 30 NA

a) 50 NA c) 34

d) 40

e)

1 (x + )2 = 6 x

b) 3

d) 2

e)

c) 64

d) 52

e)

d) -3/4

e)

1 =4 x

1 x3

b) 12

17.- Calcular: a b  b a

09.- Si:

a) 2 NA

c) 3

16.- Si:

Hallar “ab”

x x

e)

Hallar: (a+b) a) 5 NA

07.- Si:

Calcular:

d) 12

ab = 4 a2 + b2 = 17

E = (2x -7)(2+2x ) – 4x + 10x

2

c) 4x2-2

15.- Si: 2

a) 20 NA

d) x2+1

E = (x+1)(x+2) + (x+2)(x+3) – 2(x-5)(x-2) - x

E = (x-6)(x+5) + (x+2)(x-1)

a) 12 NA

c) x8

13.- Reducir:

04.- Efectuar:

a) 4x NA

1  (x  1)(x  1)(x2  1)(x 4  1)

4

12.- Reducir:

E = (x+1)(x-1)(x2+1) (x4+1) + 1

2

c) 1

d) 5

Si: a+b =

3

a) -4 NA

b) -1/2

; ab = 2 c) 2/3

e) 18.- Calcular:

10.- Reducir:

E = 3x2 – 5xy + 3y2 E = (x+4)2 + (x-4)2 – 2(x2-4) Siendo:

x=

2 +1

y= a) 12 NA

2 -1

b) 13

02.- Efectuar: c) 14

d) 15

e) a) 3 12

19.- Calcular: R=

8

1  (28  1)(24  1)(15)



E=

b) 3

c) 4

d) 5

e)

20.- Reducir:



3

100  3 20  3 4

c) 8



d) 10

e)

( x – 1)2 (x2 + x + 1)2 – (x6 + 1)

a) 2x3 e) x3

b) -2x3

c) 3x2

d) -3x2

04.- Efectuar: (x + 2)3 – 6x(x + 2) – 8 2

2

 1 1  1 1  a  b    a  b   ab     2  ab a) 4/ab a+b

10  3 2

b) 6

03.- Efectuar: a) 2 6

3

b) 2/ab

c) ab

a) x3 x2

b) x4

c) x5

d) x6

e)

05.- Efectuar: d) 2ab

e)

a) a/b e) b 1.- BINOMIO AL CUBO

a) 2 6

a3  3ab(a  b)  b3  (a  b)

3

a3  3ab(a  b)  b3  (a  b)

b) b/a

06.- Efectuar:

(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a+b) (a – b)3 = a3 - b3 - 3ab(a-b)

3

c) ab

d) a

(x + 1)3 - (x – 1)3 - 6x2

b) 3

c) 4

d) 5

e)

07.- Efectuar:

Ejemplo: ( x2+4)3 =

E = (a + 2m)3 + (a – 2m)3 – 2a (a2 + 2

12m )

2.- SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS

(a+b)(a2-ab+b2) (a-b)(a2+ab+b2)

a3

b3

= + = a3 - b3

a) a 2m 08.- Si:

Ejemplo: 

a) 195 210

(x+5)(x2-5x+52) =

3.- TRINOMIO AL CUADRADO

b) -1

c) 0

1 a   6; a

b) 198

d) m

e) -

hallar : a3  c) 200

d) 205

1 a3

e)

09.- Si: x3 + y3 = 28 y además xy(x+y) = 12

(a +b+c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac +

Calcular: x + y

2bc a) 2 6

Ejemplo: (2x-5y-3z)2 =

b) 3

c) 4

d) 5

e)

10.- Si: a3 - b3 = m ; a – b = n . Hallar: ab

4.- IDENTIDAD CONDICIONAL Si: a+b+c = 0 Entonces:

a2 + b2 + c2 = –2(ab+ac+bc) a3 + b3 + c3 = 3abc

a)

m  n3 3n

b)

m  n2 3

d)

m  n3 2n

e)

m2  n 3n

c)

m  n3 n

PRODUCTOS NOTABLES II 01.- Efectuar: E = (9x2 + 3x + 1) (3x - 1) a) 9x2 - 1 d) 27x3 + 1

b) 9x2 + 1 e) 27x3 – 1

c) 27x – 1

11.- La diferencia de dos números es 5 y su producto 7, calcular la diferencia de sus cubos. a) 200 235

b) 210

c) 220

d) 230

e)

02.- Efectuar: (4x6 – 2x3 + 1) (2x3 + 1) – 1

12.- Efectuar: P = (x + 1) (x2 – x + 1) (x6 – x3 + 1) (x18 – x9 + 1) – 1 a) x9 e) x20

b) x27

c) x30

d) x18

b) 8x9



 

M  3  x  y  x2  xy  y2  y 3x2  3xy  2y 2 b) x-y

c) 2x

d) 2y



c) 8x8

d) 9x9

e)

03.- Efectuar: (m5 + 5) (25 + m10 – 5m5) – 125 b) m5

a) m m8

13.- Efectuar:

a) x+y x/y

a) 2x9 7x7

c) m10

d) m15

e)

04.- Efectuar: (m + 3)3 – 9m (m + 3) – m3

e)

a) 27 37

b) 30

c) 33

d) 35

e)

05.- Efectuar: R = (t + 2)3 – (t – 2)3 – 12 t2

14.- Si: P = (a + b) (a - b) (a2 + ab + b2) Q = (a2 – ab + b2) (a6 + b6) (a12 + b12)

a) 12 20

Hallar: PQ + b24

06.- Efectuar:

a) a12 b) b12 e) a12 b12

c) a24

b) 14

c) 16

d) 18

e)

E = (x + y )3 – (x – y)3 - 2y(3x2 + y2)

d) b24 a) 0 4

15.- Hallar el valor numérico de:

b) 1

c) 2

07.- Si: a3 + b3 = 3 y

d) 3

e)

ab(a + b) = 8

(x + 3y) + (3y – x) 3

3

Calcular: (a + b) Para:

7

y=

a) 396 7

x2 + 3y2 = 22

;

b) 289 7

c) 392 7

a) 2 6 d) 300 3

08.- La diferencia de dos números es

16.- El cuadrado de la suma de dos números es 8 y la suma de sus cuadrados es 4. Calcular el producto de dichos números. b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

17.- Si un número más la inversa de dicho número es 7, calcular el cuadrado del número más la inversa de dicho cuadrado. a) 47 41

b) 45

c) 43

d) 42

e)

18.- Si: a+b+c = 0 Además: a2 + b2 + c2 = 3 Hallar: a) 1

E = (2a+b+c)2 + (a+2b+c)2 + (a+b+2c)2 b) 2

01.- Efectuar: b) 0

producto

c) 3

d) 4

a) 170 200

c) -1

3

d) -2

e)

3

3 y su

9 ; calcular la diferencia de sus cubos.

c) 13

d) 15

e)

ab = 18 . Hallar: a3 – b3

y

b) 179

c) 183

10.- Si: a + b = 6 ; a2 b2 Calcular: E   b a

e) 5

d) 189

e)

d) 10

e)

a2 + b2 = 20

b) 8

Calcular: a) 3 –1

6

d) 5

c) 9

11.- Si: x+y+z = 0 E=

x3  y3  z3  27xyz 8(x  y)(x  z)(y  z)

b) –3

c) 0

12.- Si: (x+y+z)2 = x2 + y2 + z2 Calcular:

(x + 1)(x – x + 1) (x - x + 1) - x 2

3

a) 12 b) 10 17 09.- Si: a2 + b2 = 45

a) 7 12

PROBLEMAS

a) x 1

c) 4

e)

250 3

a) 1

b) 3

9

e)

M=

(x  y)(x  z) x

d) 1

e)

a) x xyz

b) xy

c) x/y

d) 1

e)

13.- Si la suma de dos números es 15 y su producto es 6. Calcular el producto de la suma de sus cuadrados por la suma de sus cubos. a) -9 15

b) 9 15

15

c)

d) 7 15

e) 2

15

14.- Si: a+b+c = 0  Calcular el valor de :

abc = 9

E = ab(a+b)2 + ac(a+c)2 + bc(b+c)2 a) 0 4

b) 1

c) 2

d) 3

e)

d) 6

d) 8

15.- Reduzca:

( 3 2  3 4)3  6 3

a) 1

b) 2

234 c) 4

16.- Si: a+b = Halle: a3 + b3 a) 2 17.- Si: a) 0 2

3

2

b) -2

y

c) -4

x+y = 1 , Calcule: b) 1

ab =

c) 2

3

4

d) 4

e) 6

d) 3

e) -

1  3xy x3  y3

18.- Si: a+b+c = 0 Hallar: b c   ab  ac  bc   a   E=     b  c a  c a  b   a2  b2  c 2 

a) 1

b) 2/3 c) 3/2

d) -1

e) -1/2