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• relax999

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Productos notables

1. Binomio al cuadrado  Suma al cuadrado (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎 ⏟2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 ⏟ 𝑏𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑎𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜

𝑡𝑟𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜

Es decir el desarrollo de (𝑎 + 𝑏)2es: Cuadrado del primero 𝑎2 Más el doble del primero por el segundo +2𝑎𝑏 Mas el cuadrado del segundo +𝑏 2  Resta al cuadrado (𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎 ⏟2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 ⏟ 𝑏𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑎𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜

𝑡𝑟𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜

Es decir el desarrollo de (𝑎 + 𝑏)2es: Cuadrado del primero 𝑎2 Menos el doble del primero por el segundo −2𝑎𝑏 Mas el cuadrado del segundo +𝑏 2 Nota: (𝑎 − 𝑏)2 = (𝑏 − 𝑎)2 Además si 𝑎2 = 0 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 = 0 (𝑚 − 𝑛)2 = 0 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑚 − 𝑛 = 0 Demostracion (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 (𝑎 + 𝑏)2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏) por la ley distributiva (𝑚 + 𝑛)𝑝 = 𝑚𝑝 + 𝑛𝑝 =(⏟ 𝑎+⏟ 𝑏) ⏟ (𝑎 + 𝑏) = 𝑎(𝑎 + 𝑏) + 𝑏(𝑎 + 𝑏) por la ley distributiva = 𝑎. 𝑎 + 𝑎. 𝑏 + 𝑏. 𝑎 + 𝑏. 𝑏 Por la ley conmutativa 𝑏𝑎 = 𝑎𝑏 = 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2 Reduciendo términos semejantes (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 Demostración geometrica: El area del cuadrado grande es igual al area de sus partes

𝑎

𝑏

𝑏

𝑎𝑏

𝑏2

𝑏

𝑎

𝑎2

𝑎𝑏

𝑎 =

⏟𝑎

𝑏 (𝑎+𝑏)2

𝑎2

+

𝑎𝑏

+

= ⏟ 𝑎2 +2𝑎𝑏+𝑏2

𝑎𝑏

+

𝑏2

Ejemplos  (𝑚 + 2)2 = (𝑚)2 + 2(𝑚)(2) + (2)2 (𝑚 + 2)2 = 𝑚2 + 4𝑚 + 4  (2𝑥 + 3𝑦)2 = (2𝑥)2 + 2(2𝑥)(3𝑦) + (3𝑦)2 (2𝑥 + 3𝑦)2 = 4𝑥 2 + 12𝑥𝑦 + 9𝑦 2  (𝑥 𝑛 + 𝑦 𝑛 )2 = (𝑥 𝑛 )2 + 2(𝑥 𝑛 )(𝑦 𝑛 ) + (𝑦 𝑛 )2 (𝑥 𝑛 + 𝑦 𝑛 )2 = 𝑥 2𝑛 + 2𝑥 𝑛 𝑦 𝑛 + 𝑦 2𝑛  (𝑚 − 3)2 = (𝑚)2 − 2(𝑚)(3) + (3)2 (𝑚 − 3)2 = 𝑚2 − 6𝑚 + 9  (3𝑥 − 2𝑦)2 = (3𝑥)2 − 2(3𝑥)(2𝑦) + (2𝑦)2 (3𝑥 − 2𝑦)2 = 9𝑥 2 − 12𝑥𝑦 + 4𝑦 2  (𝑥 𝑛 − 𝑦 𝑛 )2 = (𝑥 𝑛 )2 − 2(𝑥 𝑛 )(𝑦 𝑛 ) + (𝑦 𝑛 )2 (𝑥 𝑛 − 𝑦 𝑛 )2 = 𝑥 2𝑛 − 2𝑥 𝑛 𝑦 𝑛 + 𝑦 2𝑛 1 2

1

1 2

 (𝑥 + 𝑥) = (𝑥)2 + 2(𝑥) (𝑥) + (𝑥) 1 2 1 (𝑥 + ) = 𝑥 2 + 2 + 2 𝑥 𝑥

El proceso inverso es llevar de un trinomio cuadrado perfecto a un binomio al cuadrado  𝑥 2 + 2𝑥 + 1 = (𝑥)2 + 2(𝑥)(1) + (1)2 = (𝑥 + 1)2  𝑥 2 − 2𝑥 + 1 = (𝑥)2 − 2(𝑥)(1) + (1)2 = (𝑥 − 1)2 2  𝑥 − 6𝑥 + 9 = (𝑥)2 − 2(𝑥)(3) + (3)2 = (𝑥 − 3)2

2. Identidades de legendre Son identidades que surgen a partir del binomio al cuadrado (𝑎 + 𝑏)2 + (𝑎 − 𝑏)2 = 2(𝑎2 + 𝑏 2 )

...(I)

(𝑎 + 𝑏)2 − (𝑎 − 𝑏)2 = 4𝑎𝑏

…(II)

(𝑎 + 𝑏)4 − (𝑎 − 𝑏)4 = 8𝑎𝑏(𝑎2 + 𝑏 2 ) …(III)

Demostración de (I) (𝑎 + 𝑏)2 + (𝑎 − 𝑏)2 = 2(𝑎2 + 𝑏 2 ) Desarrollando cada binomio al cuadrado (𝑎 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 + ⏟ 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 ⏟ + 𝑏)2 + (𝑎 ⏟ − 𝑏)2 = ⏟ Reduciendo términos semejantes (𝑎 + 𝑏)2 + (𝑎 − 𝑏)2 = 2𝑎2 + 2𝑏 2 Factorizando el 2

(𝑎 + 𝑏)2 + (𝑎 − 𝑏)2 = 2(𝑎2 + 𝑏 2 ) Demostracion de (II) (𝑎 + 𝑏)2 − (𝑎 − 𝑏)2 = 4𝑎𝑏 Desarrollando cada binomio al cuadrado (𝑎 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 − (𝑎 ⏟ + 𝑏)2 − (𝑎 ⏟ − 𝑏)2 = ⏟ ⏟ 2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 ) = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 − 𝑎2 + 2𝑎𝑏 − 𝑏 2 Reduciendo términos semejantes (𝑎 + 𝑏)2 + (𝑎 − 𝑏)2 = 4𝑎𝑏 Demostración de (III) (𝑎 + 𝑏)4 − (𝑎 − 𝑏)4 = 8𝑎𝑏(𝑎2 + 𝑏 2 Aplicando teoria de exponentes 𝑥 4 = (𝑥 2 )2 ley de potencia de potencia 2

(𝑎 + 𝑏)4 − (𝑎 − 𝑏)4 = [(𝑎 ⏟ + 𝑏)2 ] − [(𝑎 ⏟ − 𝑏)2 ]

2

Aplicando el desarrollo de binomio al cuadrado 2

2

(𝑎 + 𝑏)4 − (𝑎 − 𝑏)4 = [𝑎 ⏟2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 ] − [𝑎 ⏟2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 ] Agrupando de manera adecuada = [(𝑎2 + 𝑏 2 ) + 2𝑎𝑏]2 − [(𝑎2 + 𝑏 2 ) − 2𝑎𝑏]2 Haciendo el cambio de variable (𝑎2 + 𝑏 2 ) = 𝑚 y 2𝑎𝑏 = 𝑛 pueda observarse mejor 2

2

2

2

2

2

= [(𝑎 ⏟ ] − [(𝑎 ⏟] ⏟ + 𝑏 ) + 2𝑎𝑏 ⏟ + 𝑏 ) − 2𝑎𝑏 𝑚

𝑛

𝑚

𝑛

= [𝑚 + 𝑛]2 − [𝑚 − 𝑛]2 Podemos aplicar la segunda identidad de legendre = 4𝑚𝑛 retornando a los valores originales 𝑚 = (𝑎2 + 𝑏 2 ) y 𝑛 = 2𝑎𝑏 = 4(𝑎2 + 𝑏 2 ) (2𝑎𝑏) 4 4 (𝑎 + 𝑏) − (𝑎 − 𝑏) = 8𝑎𝑏(𝑎2 + 𝑏 2 ) Tambien podemos aplicar diferencia de cuadrados en la demostración.

3. Diferencia de cuadrados (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) =

⏟2 − 𝑏 2 𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠

Demostración (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎. 𝑎 − 𝑎. 𝑏 + 𝑏. 𝑎 − 𝑏. 𝑏 Por la ley conmutativa 𝑏𝑎 = 𝑎𝑏 = 𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏 − 𝑏 2 Reduciendo términos semejantes (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏 2 Ejemplos  (𝑚 + 𝑛)(𝑚 − 𝑛) = 𝑚2 − 𝑛2

 (𝑥 + 𝑎)(𝑥 − 𝑎) = 𝑥 2 − 𝑎2  (𝑥 − 1)(𝑥 + 1) = (𝑥)2 − (1)2 = 𝑥2 − 1  (𝑥 − 2)(𝑥 + 2) = (𝑥)2 − (2)2 = 𝑥2 − 4 2 2  (𝑚 ⏟ +⏟ 𝑛 2 )(𝑚 ⏟ −⏟ 𝑛 2 ) = (𝑚 ⏟2 )2 − (𝑛 ⏟2 )2 𝑎

𝑏

𝑎

𝑏

𝑎

= 𝑚4 − 𝑛4

𝑏

 (𝑚20 + 𝑛40 )(𝑚20 − 𝑛40 ) = (𝑚20 )2 − (𝑛40 )2 = 𝑚40 − 𝑛80  ( 2𝑥 ⏟ + 3𝑦 ⏟ − 3𝑦 ⏟ )2 − (3𝑦 ⏟ )(2𝑥 ⏟ ) = (2𝑥 ⏟ )2 𝑎

𝑏

𝑎

𝑏

𝑎

= 4𝑥 2 − 9𝑦 2

𝑏

 (5𝑥 − 7𝑦)(5𝑥 + 7𝑦) = (5𝑥)2 − (7𝑦)2 = 25𝑥 2 − 49𝑦 2  (𝑎𝑛 + 𝑏 𝑛 )(𝑎𝑛 − 𝑏 𝑛 ) = (𝑎𝑛 )2 − (𝑏 𝑛 )2 = 𝑎2𝑛 − 𝑏 2𝑛 2

2

 (√𝑥 + √𝑦)(√𝑥 − √𝑦) = (√𝑥) − (√𝑦) =𝑥−𝑦

 (𝑎𝑚+1 + 𝑏 𝑛+3 )(𝑎𝑚+1 − 𝑏 𝑛+3 ) = (𝑎𝑚+1 )2 − (𝑏 𝑛+3 )2 = 𝑎(𝑚+1)2 − 𝑏 (𝑛+3)2 = 𝑎2𝑚+2 − 𝑏 2𝑛+6 El proceso inverso de una diferencia de cuadrados llevarlo a un producto Simplemente sacamos la mitad de cada exponente  𝑚2 − 𝑛2 = (𝑚 + 𝑛)(𝑚 − 𝑛)  𝑚4 − 𝑛2 = (𝑚2 + 𝑛)(𝑚2 − 𝑛)  𝑚8 − 𝑛6 = (𝑚4 + 𝑛3 )(𝑚4 − 𝑛3 )  𝑚40𝑘 − 𝑛10𝑘 = (𝑚20𝑘 + 𝑛5𝑘 )(𝑚20𝑘 − 𝑛5𝑘 )  𝑎2𝑛 − 𝑏 2𝑛 = (𝑎𝑛 + 𝑏 𝑛 )(𝑎𝑛 − 𝑏 𝑛 )  (2𝑥)2 − (3𝑦)2 = (2𝑥 + 3𝑦)(2𝑥 − 3𝑦)

3. Binomio al cubo (𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏 2 + 𝑏 3 (𝑎 + 𝑏)3 = ⏟ 𝑎3 + 𝑏 3 + 3𝑎𝑏(𝑎 + 𝑏) Forma corta 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝐶𝑎𝑢𝑐ℎ𝑦

(𝑎 − 𝑏)3 = 𝑎3 − 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏 2 − 𝑏 3 (𝑎 − 𝑏)3 = ⏟ 𝑎3 − 𝑏 3 − 3𝑎𝑏(𝑎 − 𝑏) Forma corta 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝐶𝑎𝑢𝑐ℎ𝑦

Demostración Demostraremos el primero los demás son análogos (𝑎 + 𝑏)3 = ⏟ (𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏) (𝑎 + 𝑏) =⏟ (𝑎 + 𝑏)2 (𝑎 + 𝑏) Aplicando binomio al cuadrado =⏟ (𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 ) (𝑎 + 𝑏) Por la ley distributiva = (𝑎 ⏟ 2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 ) 𝑎 + (𝑎 ⏟ 2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 ) 𝑏 Otra vez la ley distributiva =⏟ 𝑎3 + 2𝑎2 𝑏 + 𝑏 2 𝑎 + ⏟ 𝑎2 𝑏 + 2𝑎𝑏 2 + 𝑏 3 Propiedad conmutativa 𝑏 2 𝑎 = 𝑎𝑏 2 = 𝑎3 + 2𝑎2 𝑏 + 𝑎𝑏 2 + 𝑎2 𝑏 + 2𝑎𝑏 2 + 𝑏 3 Reduciendo terminos semejantes (𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏 2 + 𝑏 3 Ejemplos Aplicando la forma larga (𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏 2 + 𝑏 3  (2𝑥 ⏟ + 3𝑦 ⏟ )3 = (2𝑥)3 + 3(2𝑥)2 (3𝑦) + 3(2𝑥)(3𝑦)2 + (3𝑦)3 𝑎

𝑏

= 8𝑥 3 + 3(4𝑥 2 )(3𝑦) + 3(2𝑥)(9𝑦 2 ) + 27𝑦 3 = 8𝑥 3 + 36𝑥 2 𝑦 + 54𝑥𝑦 2 + 27𝑦 3

 (𝑥 + 2𝑦)3 = (𝑥)3 + 3(𝑥)2 (2𝑦) + 3(𝑥)(2𝑦)2 + (2𝑦)3 = 𝑥 3 + 6𝑥 2 𝑦 + 3𝑥(4𝑦 2 ) + 8𝑦 3 = 𝑥 3 + 6𝑥 2 𝑦 + 12𝑦 2 + 8𝑦 3 1 3

 (𝑥 + 𝑥)

1

1

= (𝑥)3 + 3(𝑥)2 (𝑥) + 3(𝑥)(𝑥)2 + (𝑥)3 1

1

1

= 𝑥 3 + 3𝑥 2 . 𝑥 + 3𝑥. 𝑥 + (𝑥)3 = 𝑥 3 + 3𝑥 + 3

1 𝑥

1

+ 𝑥3

 (2𝑚 ⏟ − 3𝑛 ⏟ )3 = (2𝑚 ⏟ )2 (3𝑛 ⏟ ) + 3(2𝑚 ⏟ )( ⏟ 3𝑛 )2 − (3𝑛 ⏟ )3 ⏟ )3 − 3(2𝑚 𝑎

𝑏

𝑎

𝑎

𝑏

𝑎

𝑏

= 8𝑚3 − 3(4𝑚2 )(3𝑛) + 3(2𝑚)(9𝑛2 ) − 27𝑛3 = 𝑚3 − 36𝑚2 𝑛 + 54𝑚𝑛2 − 27𝑚3 Aplicando la forma corta (𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 𝑏 3 + 3𝑎𝑏(𝑎 + 𝑏) (𝑎 − 𝑏)3 = 𝑎3 − 𝑏 3 − 3𝑎𝑏(𝑎 − 𝑏) 1 3 𝑥

1 𝑥

1 𝑥

1 𝑥

 (𝑥 + ) = (𝑥)3 + ( ) 3 + 3(𝑥)( )(𝑥 + ) 1

1

= 𝑥 3 + 𝑥 3 + 3(𝑥 + 𝑥)

𝑏

 (2𝑥 + 1)3 = (2𝑥)3 + (1)3 + 3(2𝑥)(1)(2𝑥 + 1) = 8𝑥 3 + 1 + 6𝑥(2𝑥 + 1)  (𝑚 − 𝑛)3 = (𝑚)3 − (𝑛)3 − 3(𝑚)(𝑛)(𝑚 − 𝑛)  (2𝑥 − 3)3 = (2𝑥)3 − (3)3 − 3(2𝑥)(3)(2𝑥 − 1) = 8𝑥 3 − 27 − 18𝑥(2𝑥 − 3)

4. Suma de cubos y Diferencia de cubos 𝑎3 + 𝑏 3 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏 2 ) 𝑎3 − 𝑏 3 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2 ) Demostracion Solo demostraremos la p rimera la siguiente es análogo (𝑎 + 𝑏)(𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏 2 ) = (𝑎 + 𝑏) (𝑎 ⏟ 2 − 𝑎𝑏 + 𝑏 2 ) 𝑝

Por la ley distributiva (𝑎 + 𝑏)𝑝 = 𝑎𝑝 + 𝑏𝑝 = 𝑎(𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏 2 ) + 𝑏(𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏 2 ) Por la ley distributiva =⏟ 𝑎. 𝑎2 − 𝑎. 𝑎𝑏 + 𝑎. 𝑏 2 + ⏟ 𝑏. 𝑎2 − 𝑏. 𝑎𝑏 + 𝑏. 𝑏 2 = 𝑎3 − 𝑎2 𝑏 + 𝑎𝑏 2 + 𝑎2 𝑏 − 𝑎𝑏 2 + 𝑏 3 Reduciendo términos semejantes (𝑎 + 𝑏)(𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏 2 ) = 𝑎3 + 𝑏 3

5. Identidades de Stevin (𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏) = 𝑥 ⏟2 + (𝑎 ⏟ + 𝑏)𝑥 + 𝑥.𝑥

𝑠𝑢𝑚𝑎

𝑎𝑏 ⏟ 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜

(𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏)(𝑥 + 𝑐) = 𝑥 3 + (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)𝑥 2 + (𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐)𝑥 + 𝑎𝑏𝑐 Demostración (𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏) = (𝑥 + 𝑎) ⏟ (𝑥 + 𝑏) Por la ley distributiva (𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏) = 𝑥 ⏟ (𝑥 + 𝑏) + 𝑎 ⏟ (𝑥 + 𝑏) Por la ley distributiva (𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏) = 𝑥. 𝑥 + 𝑥. 𝑏 + 𝑎. 𝑥 + 𝑎. 𝑏 ordenando (𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏) = 𝑥 2 + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑎𝑏 Factorizando la x (𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏) = 𝑥 2 + (𝑎 + 𝑏)𝑥 + 𝑎𝑏 Ejemplos  Efectuar (𝑥 − 5)(𝑥 + 7) 𝑆𝑢𝑚𝑎 − 5 + 7 = +2 ; 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 = (−5)(+7) = −35 (𝑥 − 5)(𝑥 + 7) = 𝑥 2 + 2𝑥 − 35  Efectuar (𝑥 − 4)(𝑥 − 3) 𝑆𝑢𝑚𝑎 = −4 − 3 = −7 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 = (−4)(−3) = +12 2 (𝑥 − 2)(𝑥 − 3) = 𝑥 − 7𝑥 + 12

 Efectuar (𝑎 + 2)(𝑎 + 10) 𝑆𝑢𝑚𝑎 = +2 + 10 = +12 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 = (+2)(+10) = +20 (𝑎 + 2)(𝑎 + 10) = 𝑎2 + 12𝑎 + 20  (𝑚 − 5)(𝑚 − 6) = 𝑚2 − 11𝑚 + 30  Efectuar (𝑎 ⏟2 + 2)(𝑎 ⏟2 + 10) = (𝑎 ⏟2 )2 + 12 𝑎 ⏟2 + 20 𝑥

𝑥

𝑥

𝑥

(𝑎2 + 2)(𝑎2 + 10) = 𝑎4 + 12𝑎2 + 20  Efectuar (𝑚3 + 2)(𝑚3 + 3) = (𝑚 ⏟3 )2 + 5 𝑚 ⏟3 + 6 𝑥

𝑥

= 𝑚6 + 5𝑚3 + 6 𝑥 𝑥  Efectuar (𝑎 + 5)(𝑎 + 3) = (𝑎 𝑥 )2 + 8𝑎 𝑥 + 15 = 𝑎2𝑥 + 8𝑎 𝑥 + 15  Efectuar (𝑎 𝑥+1 + 2)(𝑎 𝑥+1 + 3) = (𝑎 𝑥+1 )2 + 5𝑎 𝑥+1 + 6 = 𝑎(𝑥+1)2 + 5𝑎 𝑥+1 + 6 = 𝑎2𝑥+2 + 5𝑎 𝑥+1 + 6 2 3 2 3  Efectuar (𝑎𝑏 𝑐 + 4)(𝑎𝑏 𝑐 + 3) = (𝑎𝑏 2 𝑐 3 )2 + 7𝑎𝑏 2 𝑐 3 + 12 = 𝑎1.2 𝑏2.2 𝑐 3.2 + 7𝑎𝑏 2 𝑐 3 + 12 = 𝑎2 𝑏 4 𝑐 6 + 7𝑎𝑏 2 𝑐 3 + 12

6. Trinomio al cuadrado

(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2 = 𝑎2 +𝑏 2 +𝑐 2 + 2𝑎𝑏 + 2𝑎𝑐 + 2𝑏𝑐

Demostración (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2 = (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)(𝑎 ⏟+ 𝑏 + 𝑐 ) 𝑛

𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑙𝑒𝑦 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑖𝑣𝑎 (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)𝑛 = 𝑎. 𝑛 + 𝑏. 𝑛 + 𝑐. 𝑛 (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2 = 𝑎. (𝑎 ⏟+ 𝑏 + 𝑐 ) + 𝑏. (𝑎 ⏟+ 𝑏 + 𝑐 ) + 𝑐. (𝑎 ⏟+ 𝑏 + 𝑐 ) Por la ley distributiva otra vez = 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑎 + 𝑏 2 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 + 𝑐𝑏 + 𝑐 2 𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑙𝑒𝑦 𝑐𝑜𝑛𝑚𝑢𝑡𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑏𝑎 = 𝑎𝑏 𝑦 𝑐𝑎 = 𝑎𝑐 = 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 + 𝑐 2 Reduciendo términos semejantes (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2 = 𝑎2 +𝑏 2 +𝑐 2 + 2𝑎𝑏 + 2𝑎𝑐 + 2𝑏𝑐

7. Trinomio al cubo

(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)3 = 𝑎3 + 𝑏 3 + 𝑐 3 + 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎2 𝑐 + 3𝑏 2 𝑎 + 3𝑏 2 𝑐 + 3𝑐 2 𝑎 + 3𝑐 2 𝑏 + 6𝑎𝑏𝑐 (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)3 = 𝑎3 + 𝑏 3 + 𝑐 3 + 3(𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑐)(𝑏 + 𝑐)Forma corta

Demostración (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)3 = (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)(𝑎 + 𝑏 + 𝑐) =⏟ (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2 (𝑎 + 𝑏 + 𝑐) Aplicando trinomio al cuadrado =⏟ (𝑎2 +𝑏2 +𝑐 2 + 2𝑎𝑏 + 2𝑎𝑐 + 2𝑏𝑐) (𝑎 + 𝑏 + 𝑐) Por la ley distributiva = (𝑎2 +𝑏 2 +𝑐 2 + 2𝑎𝑏 + 2𝑎𝑐 + 2𝑏𝑐)𝑎 +(𝑎2 +𝑏2 +𝑐 2 + 2𝑎𝑏 + 2𝑎𝑐 + 2𝑏𝑐)𝑏 +(𝑎2 +𝑏2 +𝑐 2 + 2𝑎𝑏 + 2𝑎𝑐 + 2𝑏𝑐)𝑐 Otra vez aplicando la ley distributiva

= 𝑎3 +𝑎𝑏2 +𝑎𝑐 2 + 2𝑎2 𝑏 + 2𝑎2 𝑐 + 2𝑎𝑏𝑐 +𝑎2 𝑏 + 𝑏 3 +𝑏𝑐 2 + 2𝑎𝑏 2 + 2𝑎𝑏𝑐 + 2𝑏 2 𝑐 +𝑎2 𝑐+𝑏 2 𝑐 + 𝑐 3 + 2𝑎𝑏𝑐 + 2𝑎𝑐 2 + 2𝑏𝑐 2 Reduciendo terminos semejantes (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)3 = 𝑎3 + 𝑏 3 + 𝑐 3 + 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎2 𝑐 + 3𝑏 2 𝑎 + 3𝑏 2 𝑐 + 3𝑐 2 𝑎 + 3𝑐 2 𝑏 + 6𝑎𝑏𝑐

8. Identidad de Argand (𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 𝑦 2 )(𝑥 2 − 𝑥𝑦 + 𝑦 2 ) = (𝑥 4 + 𝑥 2 𝑦 2 + 𝑦 4 ) (𝑥 2 + 𝑥 + 1)(𝑥 2 − 𝑥 + 1) = (𝑥 4 + 𝑥 2 + 1) Ejemplos

9. Identidad de lagrange

(𝑎𝑥 + 𝑏𝑦)2 + (𝑏𝑥 − 𝑎𝑦)2 = (𝑎2 + 𝑏 2 )(𝑥 2 + 𝑦 2 )

10. Identidades de gauss

𝑥 3 + 𝑦 3 + 𝑧 3 − 3𝑥𝑦𝑧 = (𝑥 + 𝑦 + 𝑧)(𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 − 𝑥𝑦 − 𝑥𝑧 − 𝑦𝑧) (𝑥 + 𝑦)(𝑥 + 𝑧)(𝑦 + 𝑧) + 𝑥𝑦𝑧 = (𝑥 + 𝑦 + 𝑧)(𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 + 𝑦𝑧)

11. Igualdades condicionales Si a+b+c=0 entonces se verifican: 𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 = −2(𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐) 𝑎3 + 𝑏 3 + 𝑐 3 = 3𝑎𝑏𝑐 PROBLEMAS BASICOS 1. Si 𝑎 + 𝑏 = √5 𝑦 𝑎𝑏 = 3 Calcular: (𝑎 − 𝑏)2 Solución Aplicano la identidad de Legendre (𝑎 + 𝑏)2 − (𝑎 − 𝑏)2 = 4𝑎𝑏 Reemplazando datos 𝑎 + 𝑏 = √5 𝑦 𝑎𝑏 = 3 2

( √5 ) − (𝑎 − 𝑏)2 = 4(3) operando 5 − (𝑎 − 𝑏)2 = 12 −(𝑎 − 𝑏)2 = 12 − 5 −(𝑎 − 𝑏)2 = 7 (𝑎 − 𝑏)2 = −7 2. Sabiendo que 𝑎 + 𝑏 = 11; 𝑎𝑏 = 20 Calcular: 𝐸 = √𝑎2 + 𝑏 2 Solución Elevando al cuadrado ambos miembros (𝑎 + 𝑏)2 = (11)2 Aplicando binomio al cuadrado (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 =121 Por dato ab=20 𝑎2 + 2(20) + 𝑏 2 = 121 𝑎2 + 40 + 𝑏 2 = 121 𝑎2 + 𝑏 2 = 121 − 40

𝑎2 + 𝑏 2 = 81 𝐸 = √𝑎2 + 𝑏 2 = √81 = 9 1 𝑥

3. Si 𝑥 + = 2 1

Hallar:𝐸 = 𝑥 40 + 𝑥 40 Solución 1 𝑥+ =2 𝑥 𝑥2 + 1 =2 𝑥 operando 𝑥 2 + 1 = 2𝑥 ⏟2 − 2𝑥 + 1 𝑥

=0

𝑡𝑟𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜 2

(𝑥 ⏟− 1) = 0 𝑥 − 1 = 0; 𝑥 = 1 1 1 𝐸 = (1)40 + =1+ =1+1=2 40 (1) 1 4. si (𝑥 + 𝑦)2 = 2(𝑥 2 + 𝑦 2 ) 3𝑥+2𝑦 Calcular: 𝐸 = 5𝑥 Solución (𝑥 + 𝑦)2 = 2(𝑥 2 + 𝑦 2 ) ⏟ Aplicamos binomio al cuadrado(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 𝑥 ⏟2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 = 2𝑥 2 + 2𝑦 2 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑗𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 2𝑥𝑦 = 2𝑥 2 + 2𝑦 2 −𝑥 2 − 𝑦 2 2𝑥𝑦 = 𝑥 2 + 𝑦 2 Pasamos a restar 0= ⏟ 𝑥 2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 𝑡𝑟𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜 2

0 = (𝑥 ⏟− 𝑦) 0

𝑥 − 𝑦 = 0; 𝑥 = 𝑦 reemplazamos 3𝑥 + 2𝑥 5𝑥 𝐸= = =1 5𝑥 5𝑥 5. Si a+b=5 𝑎2 + 𝑏 2 = 21 Calcular: 𝑎3 + 𝑏 3 Solucion Aplicando binomio al cuadrado (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 (𝑎 ⏟+ 𝑏)2 = ⏟ 𝑎2 + 𝑏 2 + 2𝑎𝑏 Reemplazando datos (5)2 = 21 + 2𝑎𝑏 2 = 𝑎𝑏

Aplicando binomio al cubo (𝑎 ⏟+ 𝑏)3 = 𝑎3 + 𝑏 3 + 3 𝑎𝑏 ⏟ (𝑎 ⏟+ 𝑏) 3 3 3 (5) = 𝑎 + 𝑏 + 3(2)(5) 95 = 𝑎3 + 𝑏 3 6. Si:

𝑎2 𝑏

−

𝑏2 𝑎

= 3(𝑎 − 𝑏) 3(𝑎 4 +𝑏4 ) 𝑎 2 𝑏2

Calcular: 𝐸 = Solución 𝑎2 𝑏 2 − = 3(𝑎 − 𝑏) 𝑏 𝑎 Dando común denominador 𝑎3 − 𝑏 3 = 3(𝑎 − 𝑏) 𝑎𝑏 operando 𝑎3 − 𝑏 3 = 3𝑎𝑏(𝑎 − 𝑏) 𝑎3 − 𝑏 3 − 3𝑎𝑏(𝑎 − 𝑏) = 0 Es un binomio al cubo forma abreviada (𝑎 − 𝑏)3 = 0 𝑎−𝑏 =0 ; 𝑎 =𝑏 reemplazando 𝐸= 𝐸=

3(𝑎 4 +𝑏4 ) 𝑎2 𝑏2

=

3(𝑏4 +𝑏4 ) 𝑏2 𝑏2

3(2𝑏 4 ) 6𝑏 4 = 4 =6 𝑏2𝑏2 𝑏

7. Efectuar 𝑃 = (𝑛 − 3)(𝑛 + 1) − (𝑛 + 3)(𝑛 − 5) solución 𝑃 = (𝑛 ⏟ − 3)(𝑛 + 1) − (𝑛 ⏟ + 3)(𝑛 − 5) Aplicando stevin (𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏) = 𝑥 2 + (𝑎 + 𝑏)𝑥 + 𝑎𝑏 𝑃 = (𝑛2 − 2𝑛 − 3) − (𝑛2 − 2𝑛 − 15) 𝑃 = 𝑛2 − 2𝑛 − 3 − 𝑛2 + 2𝑛 + 15) 𝑃 = 12 8. Si 𝑥 2 + 5𝑥 + 3 = 0 Hallar: 𝑘 = (𝑥 + 1)(𝑥 + 2)(𝑥 + 3)(𝑥 + 4) + 6 Solucion Ordenando el producto (𝑥 + 1)(𝑥 + 4) ⏟ (𝑥 + 2)(𝑥 + 3) + 6 𝑘=⏟ Aplicando stevin (𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏) = 𝑥 2 + (𝑎 + 𝑏)𝑥 + 𝑎𝑏 𝐾 = (𝑥 2 + 5𝑥 + 4)(𝑥 2 + 5𝑥 + 6) + 6 Pero por dato 𝑥 2 + 5𝑥 + 3 = 0 Es decir 𝑥 2 + 5𝑥 = −3 reemplazando en K 𝐾 = (𝑥 ⏟2 + 5𝑥 + 4) (𝑥 ⏟2 + 5𝑥 + 6) + 6 𝐾 = (−3 + 4)(−3 + 6) + 6 = (1)(+3) + 6 = 9 1

9. Si: 𝑥 + 𝑥 = 3

1

Calcular: 𝑥 2 + 𝑥 2

Solución Elevando al cuadrado ambos miembros 1 2 (𝑥 + ) = (3)2 𝑥 Aplicando binomio al cuadrado (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 1 1 2 𝑥 2 + 2(𝑥) ( ) + ( ) = 9 𝑥 𝑥 1 2 𝑥 +2+ 2 = 9 𝑥 1 𝑥2 + 2 = 9 − 2 𝑥 𝑥2 +

1 =7 𝑥2 1

10. Si: 𝑥 + 𝑥 = √5 1

Calcular: 𝑥 4 + 𝑥 4

Solución Elevando al cuadrado ambos miembros 1 2 2 (𝑥 + ) = (√5) 𝑥 Aplicando binomio al cuadrado (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 1 1 2 (𝑥)2 + 2(𝑥) ( ) + ( ) = 5 𝑥 𝑥 1 2 𝑥 +2+ 2 = 5 𝑥 1 𝑥2 + 2 = 5 − 2 𝑥 1 2 𝑥 + 2=3 𝑥 Elevando otra vez al cuadrado 1 2 (𝑥 2 + 2 ) = (3)2 𝑥 1 1 2 (𝑥 2 )2 + 2(𝑥 2 ) ( 2 ) + ( 2 ) = 9 𝑥 𝑥 1 4 𝑥 +2+ 4 = 9 𝑥 1 𝑥 4 + 𝑥4 = 7 11. Reducir: 𝑘 = (𝑚 + 4)3 − (𝑚 + 3)(𝑚 + 4)(𝑚 + 5) Solución Paraque sea mas fácil se hace cambio de variable 𝑚 + 4 = 𝑎 𝑘 = (𝑚 ⏟ + 4)3 − (𝑚 ⏟ + 3)(𝑚 ⏟ + 4)(𝑚 ⏟ + 5) 𝑎

𝑎−1

𝑘 = 𝑎3 − (𝑎 − 1)(𝑎)(𝑎 + 1) Ordenamos

𝑎

𝑎+1

𝑘 = 𝑎3 − ⏟ (𝑎 − 1)(𝑎 + 1) 𝑎 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠

Aplicando diferencia de cuadrados (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏 2 𝑘 = 𝑎3 − (𝑎2 − 1)𝑎 Operando 𝑘 = 𝑎3 − (𝑎3 − 𝑎) 𝑘 = 𝑎3 − 𝑎3 + 𝑎 𝑘=𝑎 Volviendo a nuestra variable inicial a=m+4 𝑘 =𝑚+4 12. Reducir: 𝐸 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑏 2 ) + (𝑏 4 + 𝑎4 ) Solución (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) (𝑎2 + 𝑏 2 ) + (𝑏 4 + 𝑎4 ) 𝐸=⏟ Aplicando diferencia de cuadrados (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏 2 𝐸 = (𝑎2 − 𝑏 2 )(𝑎2 + 𝑏 2 ) + (𝑏 4 + 𝑎4 ) Aplicando diferencia de cuadrados (𝑎2 − 𝑏 2 )(𝑎2 + 𝑏 2 ) = (𝑎2 )2 − (𝑏 2 )2 = 𝑎4 − 𝑏 4 𝐸 = 𝑎4 − 𝑏 4 + (𝑏 4 + 𝑎4 ) 𝐸 = 𝑎4 − 𝑏 4 + 𝑏 4 + 𝑎4 𝐸 = 2𝑎4 1

13. Si 𝑥 + 𝑥 = 3 Calcular: 𝐸 = 𝑥3 + 𝑥2 +

1 1 + 2 3 𝑥 𝑥

Solución Observamos y ordenamos la suma 1 1 𝐸 = 𝑥2 + 2 + 𝑥3 + 3 ⏟ 𝑥 ⏟ 𝑥 Calculando la suma de cuadrados Elevando al cuadrado ambos miembros 1 2 (𝑥 + ) = (3)2 𝑥 Aplicando binomio al cuadrado (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 1 1 2 (𝑥)2 + 2(𝑥) ( ) + ( ) = 9 𝑥 𝑥 1 =9 𝑥2 1 𝑥 2 + 𝑥 2 = 7………………(1) Calculando la suma de cubos Elevando al cubo ambos miembros 1 3 (𝑥 + ) = (3)3 𝑥 Aplicando binomio al cubo (𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 𝑏 3 + 3𝑎𝑏(𝑎 + 𝑏) 𝑥2 + 2 +

1 3

1

1

(𝑥)3 + ( ) + 3(𝑥)( ) (𝑥 + ) =27 𝑥 𝑥 𝑥 1 3 𝑎 + 3 + 3. (3) = 27 𝑎 1 3 𝑥 + 3 = 18 … … … . (2) 𝑎 Reemplazando (1) y (2)en E 𝐸 = 7 + 18 = 27 14. si: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 8 𝑥+𝑦 =4 𝑥 𝑦 Hallar: 𝑃 = 𝑦 + 𝑥 Solución Trabajando con lo que nos piden 𝑥 𝑦 𝑥2 + 𝑦2 𝑃= + = 𝑦 𝑥 𝑥𝑦 Elevando al cuadrado (𝑥 + 𝑦)2 = (4)2 Aplicando binomio (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 𝑥 2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 = 16 𝑥 ⏟2 + 𝑦 2 + 2𝑥𝑦 = 16 Reemplazando 8 + 2𝑥𝑦 = 16 𝑥𝑦 = 4 𝑥2 + 𝑦2 8 𝑃= = =2 𝑥𝑦 4 15. Calcular: (𝑎 + 𝑏)(𝑎3 − 𝑏 3 ) 𝑀= + 𝑏2 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2 Solución Aplicamos diferencia de cubos 𝑎3 − 𝑏 3 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2 ) 𝑀=

(𝑎 + 𝑏) ⏞ (𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2 ) + 𝑏2 (𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2 )

𝑀 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) + 𝑏 2 Aplicando diferencia de cuadrados(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏 2 𝑀 = 𝑎2 − 𝑏 2 + 𝑏 2 𝑀 = 𝑎2