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Productos notables

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Productos notables Productos notables es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado se puede escribir mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales. Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados, y recíprocamente.

Factor común El resultado de multiplicar un binomio a+b por un término c se obtiene aplicando la propiedad distributiva:

Para esta operación existe una interpretación geométrica, ilustrada en la figura adjunta. El área del rectángulo es (el producto de la base por la altura), que también puede obtenerse como la suma de las dos áreas coloreadas: ca y cb. Representación gráfica de la regla de factor común.

Ejemplo:

Binomio al cuadrado o cuadrado de un binomio Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos. Así:

Un trinomio de la expresión siguiente:

se conoce

como trinomio cuadrado perfecto. Cuando el segundo término es negativo, la ecuación que se obtiene es:

En ambos casos el signo del tercer término es siempre positivo. Ejemplo:

Simplificando:

Ilustración gráfica del binomio al cuadrado.

Productos notables

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Producto de dos binomios con un término común Cuando se multiplican dos binomios que tienen un término común, el cuadrado del término común se suma con el producto del término común por la suma de los otros, y al resultado se añade el producto de los términos diferentes.

Ejemplo:

Agrupando términos:

Luego:

Ilustración gráfica del producto de binomios con un término común.

Producto de dos binomios conjugados Véase también: Conjugado (matemática).

Dos binomios conjugados se diferencian sólo en el signo de la operación. Para su multiplicación basta elevar los monomios al cuadrado y restarlos (obviamente, un término conserva el signo negativo), con lo cual se obtiene una diferencia de cuadrados.

Ejemplo:

Producto de binomios conjugados.

Agrupando términos:

A este producto notable también se le conoce como suma por la diferencia.

Productos notables

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Polinomio al cuadrado Para elevar un polinomio de cualquier cantidad de términos se suman los cuadrados de cada término individual y luego se añade el doble de la suma de los productos de cada posible par de términos.

Ejemplo:

Multiplicando los monomios:

Agrupando términos: Elevación de un trinomio al cuadrado de forma gráfica.

Luego:

Binomio al cubo o cubo de un binomio Para calcular el cubo de un binomio se suman, sucesivamente: • El cubo del primer término con el triple producto del cuadrado del primero por el segundo. • El triple producto del primero por el cuadrado del segundo. • El cubo del segundo término.

Identidades de Cauchy:

Ejemplo:

Agrupando términos: Descomposición volumétrica del binomio al cubo.

Si la operación del binomio implica resta, el resultado es: • • • •

El cubo del primer término. Menos el triple producto del cuadrado del primero por el segundo. Más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo. Menos el cubo del segundo término.

Productos notables Identidades de Cauchy:

Ejemplo:

Agrupando términos:

Identidad de Argand

Identidades de Gauss

Identidades de Legendre

Identidades de Lagrange

Otras identidades Dado que la notabilidad de un producto es un concepto ambiguo, no existe una lista determinante que indique a cuáles productos se les puede considerar notables, y a cuáles no. A otras fórmulas, aunque menos usadas que las anteriores, en ciertos contextos se les puede calificar de productos notables. Entre ellas se destacan: Adición de cubos:

Diferencia de cubos:

Es más frecuente listar las dos expresiones anteriores como fórmulas de factorización, ya que los productos no tienen una forma particularmente simétrica, pero el resultado sí (contrástese, por ejemplo, con la fórmula de binomio al cubo).

La suma y la diferencia de cubos se pueden generalizar a sumas y diferencias de potencias enésimas (o n - ésimas: xn). Suma de potencias enésimas: Si -sólo si- n es impar,

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Productos notables Diferencia de potencias enésimas:

Las fórmulas de binomio al cuadrado y binomio al cubo se pueden generalizar mediante el teorema del binomio. Para representar un cubo como suma de dos cuadrados existe una fórmula ingeniosa:

Bibliografía • Wentworth, George; y Smith, David Eugene (1917). Ginn & Co.. ed. Elementos de Algebra (2a edición). Boston, USA. pp. 456. ISBN.

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Fuentes y contribuyentes del artículo

Fuentes y contribuyentes del artículo Productos notables  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=60857796  Contribuyentes: AJGS, Airunp, Ale flashero, Aleposta, Almendro, Ansemolu, Antur, Antón Francho, Arcibel, Bcoto, Camilo, Carlos Rogério Santana, Charly genio, Cobalttempest, Correogsk, Davidmeho803, Davidpar, DiegoV8, Durero, Elreytupapi, Ensada, Equir, Fabi 02, Farisori, Ferbr1, Fidelmoquegua, Francisco Valdez Mendoza, GermanX, Gorel, Hash, Hgz1111, Humberto, J.delanoy, JMCC1, Jerowiki, Jsanchezes, Lobillo, Magister Mathematicae, Matdrodes, Maugemv, Mercenario97, MotherForker, Moustique, Muro de Aguas, Netito777, Oscar ., Pan con queso, Prinzeza, Pólux, Riverxz, Rodrigofraga, RoyFocker, Sabbut, Sankabana, Superzerocool, Tattox, Taty2007, Thormaster, Tritonynereida, Vitamine, Wewe, Xsm34, 240 ediciones anónimas

Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes Imagen:FactorComun.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:FactorComun.svg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: Drini Imagen:Binomio al cuadrado.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Binomio_al_cuadrado.svg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: Drini Imagen:Termino comun.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Termino_comun.svg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: Drini Archivo:Diferencia de cuadrados.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Diferencia_de_cuadrados.svg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: Drini Imagen:Trinomio al cuadrado.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Trinomio_al_cuadrado.svg  Licencia: GNU Free Documentation License  Contribuyentes: Drini Imagen:Binomio al cubo.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Binomio_al_cubo.svg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: Drini

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