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• Richard Oswaldo Saldaña Perez

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PRODUCTOS NOTABLES Son resultados de ciertas multiplicaciones indicadas que tiene una forma determinada, las cuales se puede recordar fácilmente sin necesidad de efectuar la operación. Reciben también el nombre de IDENTIDADES ALGEBRAICAS. 1.

2.

3.

Trinomio cuadrado perfecto (desarrollo de un binomio al cuadrado) 

 a  b2  a2  2ab  b2



 a  b 2  a2  2ab  b2

Corolario: identidades de legendre 

 a  b  2   a  b  2  2  a 2  b2 



 a  b 2   a  b 2  4ab

Diferencia de cuadrados 

4.

5.

6.

7.

a  ba  b  a2  b2

Suma y diferencia de cubos 

a  b a2  ab  b2   a3  b3



a  b a2  ab  b2   a3  b3

Desarrollo de un trinomio al cuadrado. 

 a  b  c2  a2  b2  c2  2ab  2bc  2ca



 a  b  c2  a2  b2  c2  2 ab  bc  ca 

Desarrollo de un binomio al cubo. 

 a  b3  a3  3a2 b  3ab2  b2



 a  b3  a3  b3  3ab a  b



 a  b3  a3  3a2 b  3ab2  b3



 a  b3  a3  b3  3ab a  b

Desarrollo de un trinomio al cubo 

a  b  c3  a3  b3  c3  3a2 b  3a2 c  3ab2  3b2 c  3ac2  3bc2  6abc



 a  b  c3  a3  b3  c3  3 a  b a  c  b  c

8.

9.



 a  b  c3  a3  b3  c3  3a2  b  c  3b2  c  a   3c2 a  b  6abc



 a  b  c3  a3  b3  c3  3 a  b  cab  bc  ca   3abc



 a  b  c3  3  a  b  c a2  b2  c2   2 a3  b3  c3   6abc

Producto de binomios con un término común. 

 x  a   x  b   x2   a  b  x  ab



 x  a   x  b   x  c   x3   a  b  c  x2   ab  bc  ac  x  abc



 x  a   x  b   x  c   x3   a  b  c  x3   ab  bc  ac  x  abc

Identidad de Argand 

 x2m  xm yn  y2n  x2m  xm yn  y2n   x4m  x2m y2n  y4n

Casos particulares   10.

 x2  x  1 x2  x  1  x4  x2  1  x2  xy  y2  x2  xy  y2   x4  x2 y2  y4

Igualdades condicionales Si : a + b + c = 0 se demuestra que:  a2  b2  c2  2  ab  ac  bc   a3  b3  c3  3abc ; importante 2

2

2

 a2 b2  b2 c2  c2 a2   ab  bc  ca    ab    bc    ca 



 a4  b4  c4  2 a2 b2  a2 c2  b2 c2



 a5  b5  c5  5abc  ab  ac  bc  

a 2  b2  c 2 a 3  b3  c 3 a 5  b 5  c 5   2 3 5



a2  b2  c2 a5  b5  c5 a7  b7  c7   2 5 7

2

EJERCICIOS 1.

Calcular el valor numérico de:



E   x  2  y2  1

Reducir:



 a 2 b2 c 2  A     bc ac ab  a) 4 b) 3 d) 2 e) 1

Si: x

a b  b a

a) 1 d) 4 2.

; y b) 2 e) 5

6.

a b b) 5 e) 4

a) 6 d) 7

a) 15 d) 18

2

c) 3

7.

3 2

se 3 2 3 2 obtiene: a) 11 b) 10 c) 9 d) 8 e) 7 Calcular: E  x1  y1  z1 Si: 2

1

x  2 xy 

1

2

z 0

1

3    xy xz yz 2

5.

a) –2 b) – 3 d) – 5 e) – 6 a  b  c 0 Si:



b



c ab

c) 5

Si se verifica que: 3

x 1 

3

x 1  1

Calcular el valor numérico de la expresión

E x  64x3  129x2  876x   a) 856 d) 794

c) – 4

c) 17

a  ac  b  bc a) 4 b) 2 d) 1 e) 3 8.

4.

a

bc ac Si se cumple:

3 2



b) 16 e) 19

Calcular:

M

Al reducir: E

Si: x  2  3  2  3

Calcular: x4  y 4

a3  b3 2

c) 0

y  32 2  32 2

Si: a + b = 2 ; ab = 3 Calcular el valor de: M

3.

ab ab c) 3

 a2  ab  b2   2  2  b  bc  c 

b) 868 e) 784

c) 486

9.

Determinar la expresión algebraica K, para que la siguiente igualdad.



K 3  x2  y 2  z 2  k



2

  x  y  z

2

 x2  y 2  z2 

Se convierta en identidad a) x2  y2  z2 b) x  y  z c) xy  xz  yz d) 2  xy  xz  yz  e) xyz

10.

Si se sabe que:

2x  y

1  xy 1  xy

Calcular el valor de:



 2x  y 2x  y  2x  y 2x  y  2 2 E     4x  y  2x  y 2x  y  2x  y 2x  y 

a) 16 11.

b) 17

a) x2

n2

   

n  n  x2  y 2  

2 b) x

e) 14

n1

   

n 2 n1   n1 2 2  x2  y y    

c) x14-1

d) x2

e) N.A.

Reducir:



S  xx  x x a) xx 13.

d) 15

Simplificar:

n  n 2 2  E x y  

12.

c) 18



   xx  x x  2

b) x2x

2





 2 xx  x x xx  x x

c) 2x2x



d) 4x2x

e) N.A.

Si a + b + c = 0, entonces:

E a) 9

(a  b  2c)2  (a  c  2b)2  (b  c  2a)2

b) 8

a 2  b2  c 2 c) 11 d) 10

e) 7