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• Diego Nogales Angulo

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INVESTIGACIÓN OPERATIVA I PRÁCTICO: PROGRAMACIÓN LINEAL Problema Nº 1. Un taller de modas trabaja a pleno rendimiento durante 45 horas a la semana. Fabrica faldas, pantalones y trajes. Cada falda le deja un beneficio de $ 4, los pantalones de $ 3 y los trajes de $ 12. La producción por hora del taller es de 50 faldas, 75 pantalones y 25 trajes. Las ventas posibles son de 1000 faldas, 1500 pantalones y 500 trajes. Estudiar la cantidad de fabricación de faldas, pantalones y trajes para que el taller obtenga máximos beneficios. Problema Nº 2. (Problema de producción) Una empresa fabrica dos tipos de productos con un costo de producción de $2 y $3 respectivamente. Para abastecer la demanda necesita fabricar exactamente un total de 10 Kg. de producto al día. El producto tipo 2 no tiene limitada su producción mientras que el producto tipo 1 tiene acotada su producción entre 4 y 6 Kg. al día. Establecer el modelo de programación lineal de tal forma de obtener los menores costos de producción. Problema Nº 3. (Problema de producción) Una compañía produce dos tipos de sombreros “COWBOY”. Cada sombrero del tipo 1 requiere del doble tiempo en mano de obra que el segundo tipo. Si todos lo sombreros son del tipo 2, la compañía puede producir un total de 500 sombreros por día. El mercado limita las ventas diarias del tipo 1 y 2 a 150 y 250 sombreros respectivamente. Suponga que los beneficios por cada sombrero son $8 para el tipo 1 y $5 para el tipo 2. Determine el número de sombreros a ser producidos de cada tipo para maximizar el beneficio (formule el modelo). Problema Nº 4. (Problema de producción) PINTURMAC produce pinturas tanto para interiores como para exteriores, a partir de dos materias primas, M1 y M2. La siguiente tabla proporciona los datos básicos del problema:

Materia prima, M1 Materia prima, M2 Utilidad por tonelada (x1000 dólares)

Toneladas de materia prima por tonelada de Pintura para exteriores Pintura para interiores 6 4 1 2 5 4

Disponibilidad máxima diaria (toneladas) 24 6

Una encuesta de mercado restringe la demanda máxima diaria de pintura para interiores a 2 toneladas. Además, la demanda diaria de pintura para interiores no puede exceder a la demanda de pintura para exteriores por más de 1 tonelada. PINTURMAC quiere determinar la mezcla de producto óptima de pinturas para interiores y exteriores que maximice la utilidad diaria total. Problema Nº 5. Don Francisco quiere mejorar el negocio familiar de explotación de la patata integral aplicando las técnicas de programación lineal. Su negocio es la venta de productos derivados de la patata, de los cuales hay cuatro tipos: patatas troceadas para ensaladilla, puré de patatas, patatas fritas a la inglesa y patatas congeladas para freir. A su negocio, don Francisco y doña Remedios, su mujer, dedican como máximo, entre los dos, cien horas semanales. Para fabricar un kilo de cada producto el tiempo a dedicar es el siguiente: patatas troceadas 3 horas, puré de patatas 5 horas, patatas fritas a la inglesa 10 horas, patatas congeladas 15 horas. Como su almacén es pequeño no puede tener almacenados más de 15 kilos de producto terminado y más de 120 kilos en sacos de patata. No todos los productos tienen igual rendimiento. Por cada kilo de producto terminado necesita una cantidad mayor de producto bruto. Esta relación es la siguiente: * Para hacer un kilo de patatas para ensalada necesita 7 kilos de patatas. * Para hacer un kilo de puré de patatas necesita 5 kilos de patatas. * Para hacer un kilo de patatas a la inglesa necesita 3 kilos de patatas. * Para hacer un kilo de patatas congeladas necesita 2 kilos de patatas. La ganancia es también diferente: * 4 $/Kg. patatas ensaladas. * 5 $/Kg. puré patatas.

* 9 $/Kg. patatas inglesas. * 11 $/Kg. patatas congeladas. ¿Cuánto debe fabricar de cada una de las especialidades para que su beneficio sea máximo? Problema Nº 6. (Problema de producción) PROTRAC produce dos líneas de equipo pesado: - Equipo para remoción de escombros, que se destina a aplicación de construcción (E-9). - Equipo forestal, que está destinado a la industria maderera (F-7). Las dos líneas de equipos se producen en el mismo departamento y con el mismo equipo. Haciendo uso de las predicciones económicas para el próximo mes, el gerente de mercadotecnia de PROTRAC juzga que durante ese periodo será posible vender todos los E-9 y F-7 que la empresa pueda producir. La administración debe ahora recomendar una meta de producción para el próximo mes, es decir ¿cuántos E-9 y F-7 deben producirse? En esta toma de decisión debe considerar la siguiente información proporcionada por la empresa: (a) PROTRAC tendrá una utilidad de $5000 por cada E-9 que se venda y $4000 por cada F-9. (b) Cada producto pasa por operaciones mecánicas tanto en el departamento A como en el departamento B. (c) Para la producción del próximo mes, estos dos departamentos tienen disponibles 150 y 160 horas, respectivamente. Cada E-9 consume 10 horas de operación mecánica en el departamento A y 20 horas en el departamento B; mientras que cada F-7 consume 15 horas en el departamento A y 10 horas en el departamento B. (d) Con el objeto de cumplir un compromiso con el sindicato, el total de horas de trabajo que se dedicarán a la verificación de los productos terminados del próximo mes no puede ser menor en 10% a una meta establecida de 150 horas. Esta verificación se realiza en un tercer departamento que no tienen relación con las actividades de los departamentos A y B. Cada E-9 requiere de 30 horas de comprobación, y cada F-7, 10 horas. (e) Con el objeto de mantener su posición actual en el mercado, la alta gerencia ha decretado que para la política de operación es necesario construir al menos un F-7 por cada 3 E-9s. (f) Un consumidor importante ha ordenado un total de por lo menos 5 aparatos (en cualquier combinación de E-9 y F-7) para el próximo mes, así es que por lo menos debe producirse esa cantidad. Problema Nº 7. (Problema de producción) La Shader Electronic Company produce dos productos: el Walkman Shader, un toca cassettes con AM/FM portátil, y la Watch-TV Shader, un televisor blanco y negro del tamaño de un reloj de pulsera. El proceso de producción es similar para cada uno, ambos necesitan cierto número de horas de trabajo electrónico y un número de horas en el departamento de ensamble. Cada walkman lleva cuatro horas de trabajo electrónico y dos horas en el taller de ensamble. Cada reloj-TV requiere de tres horas de electrónica y una hora de ensamble. Durante el presente periodo de producción, están disponibles 240 horas de tiempo de electrónica y 100 horas del departamento de ensamble. Cada walkman aporta una utilidad de 7 dólares; cada reloj-TV producida puede ser vendida para obtener una utilidad de 5 dólares. El problema de Shader es determinar la mejor combinación posible de walkmans y reloj-TVs, para fabricarlos de manera que se obtenga la máxima utilidad, ¿Cuál es esa combinación? Problema Nº 8. (Problema de composición) Se va mezclar mineral procedente de cuatro minas diferentes para fabricar bandas para un nuevo producto de PROTRAC, un tractor oruga de tamaño medio, el E-4 diseñado especialmente para competir en el mercado europeo. Los análisis han demostrado que para producir una banda con las cualidades adecuadas de tensión y los requerimientos mínimos se debe contar con tres elementos básicos que para abreviar designaremos como A, B y C. En particular, cada tonelada de mineral debe contener por lo menos 5 libras del elemento básico A, por lo menos 100 libras del elemento B y al menos 30 libras del elemento C. El mineral de cada una de las cuatro minas diferentes contiene los tres elementos básicos, pero en diferentes proporciones. Sus composiciones, en libras por tonelada, se dan a continuación: Cuadro: Composición de cada mineral (libras por tonelada) Elemento básico Mina 1 Mina 2 Mina 3 Mina 4 A 10 3 8 2 B 90 150 75 175 C 45 25 20 37 El costo de la materia prima es: Cuadro: Costo en $ por tonelada de cada mina Mina Costo ($) Mina Costo ($) 1 800 3 600

2

400

4

500

El objetivo del administrador en el problema de PROTRAC es descubrir una combinación factible de costo mínimo, ¿cuál será la composición de la materia prima? Problema Nº 9. (Problema de mezcla de productos) Una compañía de TV produce dos tipos de equipos para televisión, el Astro y el Cosmo. Hay dos líneas de producción, una para cada tipo de televisor, y dos departamentos; ambos intervienen en la producción de cada aparato. La capacidad de la línea de producción Astro es de 70 televisores diarios y la de la línea Cosmo es de 50. En el departamento A se fabrican los cinescopios. En este departamento los televisores Astro requieren 1 hora de trabajo y los Cosmo, 2. Actualmente, en el departamento A se puede asignar un máximo de 120 horas de trabajo por día a la producción de ambos tipos de aparatos. En el departamento B se construye el chasis. En este departamento, los televisores Astro requieren 1 hora de trabajo, igual que los Cosmo. En la actualidad se puede asignar un máximo de 90 horas de trabajo diarias al departamento B para la producción de ambos tipos de televisores. La utilidad por aparato es de 20 y 10 dólares, respectivamente, por cada aparato Astro y Cosmo. Si la compañía puede vender todos los aparatos que se produzcan, ¿cuál debe ser el plan de producción diaria de cada aparato? Problema Nº 10. El Doctor Delfín Cordero Leon, de profesión medico veterinario, tiene su Clínica y además vende Perros de raza pura (Cachorros). Preocupado por el costo que representa la alimentación de los cachorros, decide hacer algo al respecto. Él sabe que los perritos deben recibir diariamente al menos 70 unidades de proteína, 100 unidades de carbohidrato y 20 unidades de grasa, para tener una buena alimentación. Actualmente está comprando 4 tipos de alimentos, pero ninguno de ellos cumple estrictamente los requerimientos alimenticios, ya que al cumplir un requerimiento los otros pueden estar en exceso. Para mejorar el rendimiento del alimento el Veterinario decide mezclarlos, con lo que podrá obtener los requerimientos nutritivos de acuerdo a las necesidades. En el Cuadro siguiente se muestra los contenidos de cada alimento. ALIMENTO Win Dog Champion Dog Beauty Dog Fierce Dog

PROTEINA unid/onza 20 30 40 40

CARBOHIDRATOS unid/onza 50 50 60 40

GRASA unid/onza 25 20 30 25

COSTOS Ctvs/onza 30 35 37 35

Plantear el modelo de programación lineal y encontrar la solución óptima para el problema. Problema Nº 11. (Problema de mezclas) Una lata de 16 onzas de alimento para perros debe contener proteínas, carbohidratos y grasas en las siguientes cantidades mínimas: proteínas, 3 onzas; carbohidratos, 5 onzas; grasas, 4 onzas. Se va a mezclar cuatro tipos de combinaciones de cereal en diversas proporciones para producir una lata de alimento para perro que satisfaga los requerimientos al costo mínimo. Los contenidos y precios de 16 onzas de cada combinación se dan a continuación: Cuadro: Contenidos y precios por 16 oz de cereal Alimento Proteínas Carbohidratos Grasas 1 Oz. 3 Oz. 7 Oz. 5 2 5 4 6 3 2 2 6 4 3 8 2

Precio $4 6 3 2

Problema Nº 12. (Problema de programación de vigilancia) Un gerente de personal debe elaborar un programa de vigilancia de modo que se satisfagan los requerimientos que se muestran: Cuadro: Requerimientos de personal de seguridad Tiempo Nro. mínimo de oficiales Medianoche - 4 a.m. 5 4 a.m. - 8 a.m. 7 8 a.m. - Mediodía 15 Mediodía - 4 p.m. 7 4 p.m. - 8 p.m. 12 8 p.m. - Medianoche 9

Los guardias trabajan turnos de 8 horas. Todos los días hay seis turnos. En el cuadro siguiente se dan los horarios de entrada y de salida de cada turno. El gerente de personal quiere determinar cuántos guardias deberán trabajar en cada turno con el objeto de minimizar el número total de guardias que satisfaga los requerimientos de personal

Turno 1 2 3

Cuadro: Programación de turnos Hora de entrada Hora de salida Turno Hora de entrada Medianoche 8:00 a.m. 4 Mediodía 4:00 a.m. Mediodía 5 4:00 p.m. 8:00 a.m. 4:00 p.m. 6 8:00 p.m.

Hora de salida 8:00 p.m. Medianoche 4:00 a.m.

Problema Nº 13. (Modelo de transporte) Una compañía tiene dos plantas y tres almacenes. La primera planta puede abastecer un máximo de 100 unidades y la segunda un máximo de 200 del mismo producto. El potencial de ventas del primer almacén es de 150, del segundo de 200 y del tercero de 350. Los precios de ventas en los tres almacenes son: $12 en el primero, $14 en el segundo y $15 en el tercero. En el siguiente cuadro se da el costo de la manufactura en la planta i y del transporte al almacén j. La compañía desea determinar cuántas unidades debe transportar de cada planta a cada almacén para maximizar la utilidad. Cuadro: Datos de manufactura y transporte Planta Almacén 1 Almacén 2 Almacén 3 1 $8 $10 $12 2 $7 $9 $11 Problema Nº 14. (Planeación financiera) La Corporación FUTURO está tratando de integrar su plan de inversiones para los próximos dos años. Actualmente, FUTURO tiene disponibles 2 millones de dólares para invertir. FUTURO espera recibir en 6, 12 y 18 meses un flujo de ingresos de las inversiones previas. En el siguiente cuadro se presentan los datos. Cuadro: Ingresos de inversiones previas Ingreso

6 meses

12 meses

18 meses

$ 500,000

$400,000

$380,000

Hay dos proyectos de desarrollo en los que la compañía está planeando participar (1) Proyecto Industrial. En el cuadro se muestra el flujo de caja que se tendría si FUTURO participara a un nivel del 100% en el proyecto industrial (los números negativos son inversiones y los positivos son ingresos). Así, para participar en el proyecto industrial a nivel de 100% FUTURO tendría que desembolsar de inmediato $1,000,000. A los 6 meses erogaría otros $700,000, etc. Cuadro: Flujo de caja del Proyecto Industrial Inicial Ingreso

$-1,000,000

6 meses

12 meses

18 meses

24 meses

$-700,000

$1,800,000

$400,000

$600,000

(2) Proyecto de Viviendas. Un segundo proyecto consiste en hacerse cargo de la operación de un antiguo Proyecto de Viviendas, con la condición de que deben hacerse ciertas reparaciones iniciales. En el cuadro se muestra el flujo de caja del proyecto, a nivel del 100% de participación. Cuadro: Flujo de caja del Proyecto de Vivienda Ingreso

Inicial

6 meses

12 meses

18 meses

24 meses

$-800,000

$500,000

$-200,000

$-700,000

$2,000,000

Debido a la política de la compañía, a FUTURO no se le permite pedir prestado dinero. Sin embargo, al comienzo de cada periodo de 6 meses todos los fondos excedentes (esto es, los que no sean colocados en ninguno de los dos proyectos) se invierten con un interés del 7% para éste periodo de 6 meses. FUTURO puede participar en cualquiera de los proyectos a nivel menor que el 100%, en cuyo caso todos los flujos de efectivo de ese proyecto se reducirán en forma proporcional. Por ejemplo, si FUTURO opta participar en el Proyecto Industrial, a nivel de 30%, el flujo de caja asociado con esta decisión sería 0.3 veces los datos del flujo de caja.

El problema que actualmente encara FUTURO es decir qué parte de los $2,000,000 en efectivo debe invertirse en cada proyecto y cuánto debe colocarse simplemente por el rédito del 7% semestral. La meta del administrador consiste en maximizar el efectivo que habrá al final de los 24 meses. Formule este problema como modelo de programación lineal. Problema Nº 15. (Análisis del punto de equilibrio) La compañía BOATS produce tres balandras de regatas de alto rendimiento. Esos tres botes se llaman Aguijón, Rayo y Trueno. El cuadro da los datos pertinentes sobre beneficios y costos para el siguiente periodo de planeación Bote Aguijón Rayo Trueno

Precio de venta por unidad $ 10000 $ 7500 $ 15000

Costo variable por unidad $ 5000 $ 3600 $ 8000

Costo fijo $ 500000 $ 800000 $ 650000

Como puede verse en estos datos, el costo fijo de estas actividades es considerable, un “costo fijo” es un costo global que se paga sin importar la cantidad que se vaya a producir. De esta manera, el mismo costo fijo de $800,000 para los Rayos se pagará así sea una producción de 0, 1 o 40 botes. El alto costo fijo incluye los gastos por modificación de diseños, reconstrucción de moldes y pruebas de viajes en lagunas. En principio, para el próximo periodo de planeación la administración ha contratado ya la producción de 700 Aguijones. Otro cliente ha solicitado 400 Truenos, solicitud que al administrador le gustaría atender. Los estudios del mercado de BOATS han convencido al administrador de que por lo menos 300 Rayos deben ser producidos. Además, la administración está interesada en vender lo suficiente para alcanzar el punto de equilibrio, pero ahora hay tres productos, así como compromisos previos y restricciones que deben tomarse en cuenta. ¿Cuántos botes debe fabricar BOATS? Problema Nº 16. (Problema de mezclas) La Dog Food Company desea introducir una nueva marca de bisquets para perro. El nuevo producto, con sabor a hígado y pollo, cumple con ciertos requerimientos nutricionales. Los bisquets con sabor a hígado contienen 1 unidad de nutriente A y 2 unidades de nutriente B, mientras que los de sabor a pollo contienen 1 unidad de nutriente A y 4 unidades de nutriente B. De acuerdo a los requerimientos federales cada paquete de a nueva mezcla debe contener, por lo menos 40 unidades de nutriente A y 60 unidades de nutriente B. Adicionalmente, la compañía ha decidido que no puede haber más de 15 libras de bisquets con sabor a hígado en cada paquete. Si cuesta 1 centavo hacer un bisquet con sabor a hígado y 2 centavos hacer un bisquet con sabor a pollo, ¿cuál es la mezcla óptima de producto para un paquete de los bisquets con el fin de minimizar el costo de la empresa?. (Nota: considere una unidad de bisquet igual a una libra) Problema Nº 17. La ELECTRO S.A. manufactura dos productos eléctricos: acondicionadores de aire y grandes ventiladores. El proceso de ensamble para cada uno es similar en que ambos requieren de un cierta cantidad de cableado y barrenado. Cada acondicionador de aire lleva tres horas de cableado y dos horas de barrenado. Cada ventilador debe pasar a través de dos horas de cableado y una hora de barrenado. Durante el siguiente periodo de producción, están disponibles 240 horas de tiempo de cableado y se pueden utilizar hasta 140 horas de tiempo de barrenado. Cada acondicionador de aire vendido genera una utilidad de 25 dólares. Cada ventilador ensamblado puede ser vendido con una utilidad de 15 dólares. Formule esta situación de mezcla de producción por programación lineal, y encuentre la mejor combinación de acondicionadores de aire y ventiladores que genere la utilidad más alta. Problema Nº 18. McNaughton, Inc. Produce dos salsas para bistec, Diablo picante y Barón Rojo suave. Ambas salsas se hacen mezclando dos ingredientes, A y B. Se permite un cierto nivel de flexibilidad en las fórmulas de estos productos. En la siguiente figura se presentan los porcentajes permisibles, junto con datos de ingresos y costos. Cuadro: Porcentajes permisibles para McNaughton, Inc. Ingrediente Salsa Diablo picante Barón Rojo Costo por cuarto

A Por lo menos un 25% Cuanto mucho un 75% $ 1.60

B Por lo menos un 50%

Precio de venta por cuarto $3.35 $2.85

$ 2.59

Se pueden comprar hasta 40 cuartos de A y 30 cuartos de B. McNaughton puede vender todas las salsas que produzca. Elabore un PL cuyo objetivo sea maximizar la utilidad neta proveniente de las ventas de las salsas. Problema Nº 19. Un barrio de 10 acres en una ciudad se va ha demoler y el gobierno municipal debe decidir sobre el nuevo plan de desarrollo. Se van a considerar dos proyectos habitacionales: viviendas a bajo costo y viviendas a medio costo. Se pueden construir 20 a 15 unidades por acre, de estos dos tipos de viviendas, respectivamente. Los costos por unidad de las viviendas a bajo y medio costo son $13.000 y $18.000. Los límites superior e inferior establecidos por el municipio sobre el número de viviendas de bajo costo son 60 y 100. De igual manera, el número de viviendas de costo medio debe estar entre 30 y 70. El mercado potencial combinado máximo para las viviendas se estima que es de 150. Se desea que la hipoteca total comprometida al nuevo plan de desarrollo no exceda a $2 millones. Finalmente, el asesor de la obra sugirió que el número de viviendas de bajo costo sea al menos 50 unidades mayor que la mitad del número de viviendas de costo medio. Formular como un programa lineal. Problema Nº 20. El gobierno ha dispuesto $1500 millones de dólares de su presupuesto general para fines militares. Sesenta por ciento del presupuesto militar se usará para comprar tanques, aviones y proyectiles. Estos pueden adquirirse a un costo por unidad de $600000, $2 millones y $800000, respectivamente. Se ha decidido que se deben adquirir al menos 200 tanques y 200 aviones. Debido a la escasez de pilotos experimentados, también se ha decidido no comprar más de 300 aviones. Por razones estratégicas, la proporción de proyectiles a aviones comprados, debe estar en el rango de 1/4 a 1/2. El objetivo es maximizar la utilidad total de estas armas, en donde las utilidades están dadas como 1, 3 y 2 respectivamente. Formule el modelo lineal. Problema Nº 21. A un joven matemático se le pidió que entretuviese a un visitante de su empresa, durante 90 minutos. El pensó que sería excelente idea que el huésped se emborrache. Se le dio al Matemático $5000, el joven sabía que al visitante le gustaba mezclar sus tragos, pero que siempre bebía a lo mucho 8 vasos de cerveza, 10 ginebras, 12 whiskys y 24 martinis. El tiempo que empleaba para beber era de 1 minuto por cada vaso de cerveza, 40 segundos por vaso de ginebra, 30 segundos y 50 segundos por vaso de whisky y martini respectivamente. Los precios de las bebidas eran: Bebida Cerveza Ginebra Whisky Martini

Precio del vaso $ 100 $ 200 $ 400 $ 250

El matemático pensaba que el objeto era maximizar el consumo alcohólico durante los 90 minutos, que tenía para entretener a su huésped. Logró que un amigo químico le diese el contenido alcohólico de las bebidas en forma cuantitativa, siendo las unidades alcohólicas de 12, 15, 18 y 7 por cada vaso de bebida respectivamente, ¿cómo enfrentó el matemático el problema?. Formule el modelo lineal. Problema Nº 22. Supóngase que se han comprado 800 y 500 libras de dos clases de aluminio (clase 1 y clase 2). El problema del administrador, en parte, es decir el uso óptimo de las 1300 libras de aluminio, quizá, para maximizar el beneficio obtenido de la producción de codos o ductos de aluminio. Asociados estos productos habrá ingresos y costos producidos durante su manufactura (costo de maquinaria, troquelado, etc.). Más aún el ingreso por cada codo es de $10 y el ingreso por cada ducto es de $30, mientras que el costo de producción por codo es de $4, y el costo de producción por ducto es de $12. Supóngase finalmente que cada codo usa 1 unidad de aluminio de grado 1 y 2 unidades de aluminio de grado 2. Cada ducto usa 3 unidades de grado 1 y 5 unidades de grado 2. ¿Cuál es el modelo lineal que representa a este problema? Problema Nº 23. Reese Eichler, fabricante de equipos de filtración de aire superfluo, produce dos modelos, el Umidaire y el Depolinador. En el siguiente cuadro se dan los datos relativos a precios de venta y costos. Producto Unidaire Depolinador

Precio de venta por unidad $450 $700

Costo variable por unidad $240 $360

Costo fijo $150000 $240000

La firma de Reese ya tiene contratados 500 Umidaires y desearía calcular el punto de equilibrio para ambos modelos. Formule un PL que minimice los costos.

Problema Nº 24. El Centerville Hospital está tratando de determinar el número de comidas de pescado y de res que debe servir durante el mes que viene. El hospital necesita una comida para cada uno de los 30 días. Las comidas de pescado cuestan $2.00 cada una y las de res $2.50 (los costos incluyen vegetales y ensaladas). Ambas comidas cumplen con las necesidades de proteínas. Si se juzga el sabor en una escala de 1 a 10, el pescado obtiene un 5 y la res 9. El hospital quiere alcanzar en el mes un total, por lo menos, de 200 puntos por el sabor. Los requerimientos totales de vitaminas en el mes deben ser, por lo menos, 300 unidades. La comida de pescado proporciona 8 unidades y la de res 12 unidades. ¿Cuántas comidas de cada tipo debe planear el hospital? Problema Nº 25. Una empresa opera cuatro granjas de productividad comparable. Cada granja tiene una cierta cantidad de acres útiles y un número de horas disponibles para plantar y atender los cultivos. Los datos para la siguiente temporada se muestran en el siguiente cuadro Cuadro: Datos de área y trabajo por granja Granja Area utilizable Horas de trabajo (acres) disponibles por mes 1 500 1700 2 900 3000 3 300 900 4 700 2200 La organización está pensando en sembrar tres cultivos, que difieren, según se muestra:

Cultivo A B C

Cuadro: Datos de área, trabajo y utilidad por cultivo Area máxima Hrs. de labor requer.idas Utilidad esperada al mes por acre por acre 700 2 $ 500 800 4 $ 200 300 3 $ 300

Por otra parte, el área total que puede ser destinada a cualquier cultivo particular está limitada por los requerimientos de equipo de cultivo. Con el objeto de mantener, a grandes rasgos, cargas de trabajo uniforme entre las granjas, la política de la administración es que el porcentaje del área aprovechada debe ser el mismo en cada granja. Sin embargo, se puede cultivar cualquier combinación de las plantaciones en tanto se satisfagan todas las restricciones. La administración desea saber cuántos acres de cada cultivo deben sembrarse en las respectivas granjas con el objeto de maximizar las utilidades. Formule esto como un modelo de programación lineal. Problema Nº 26. Un fabricante de gasolina para aviación vende dos clases de combustibles: liviano y pesado. El combustible liviano tiene 25% de gasolina de grado 1, 25% de gasolina de grado 2 y 50% de grado 3. El combustible pesado tiene 50% de gasolina de grado 2 y 50% de grado 3. Disponible para producción hay 500 galones/hora de grado 1 y 200 galones/hora de los grados 2 y 3. Los costos son de $0.30 por galón de grado 1, $0.60 por galón de grado 2 y $0.50 por galón de grado 3. La gasolina liviana puede venderse a $0.75 por galón, mientras que la gasolina pesada alcanza $0.90 por galón. ¿Qué cantidad puede producirse de cada combustible? Formule el modelo de programación lineal para este problema. Problema Nº 27. Un distribuidor de ferretería planea vender paquetes de tuercas y tornillos mezclados. Cada paquete pesa por lo menos 2 libras. Tres tamaños de tuercas y tornillos componen el paquete y se compran en lotes de 200 libras; los tamaños 1, 2 y 3 cuestan respectivamente $20, $80 y $12. Además: (a). El peso combinado de los tamaños 1 y 3 debe ser al menos la mitad de peso total. (b). El peso de los tamaños 1 y 2 no debe ser mayor que 1.6 libras. (c). Cualquier tamaño de tornillo debe ser al menos 10% del paquete total. ¿Cuál será la composición del paquete que ocasionará un costo mínimo?. Formule el modelo matemático. Problema Nº 28. La Empresa "EL PIYO" dedicada a comercializar productos de consumo masivo, desea promocionar sus productos mediante publicidad radial y televisiva. El departamento de contabilidad informa que el presupuesto asignado para este ítem es de $1200. Cada minuto de publicidad en la radio cuesta $5, mientras que en la TV el minuto cuesta $100. Según una política de la Empresa, se pretende que la publicidad por radio sea al menos dos veces más que la de la televisión. La experiencia muestra que un minuto de publicidad por radio genera $100 en ventas y la

televisión generará 20 veces más ventas que cada minuto de publicidad por radio. Determine la asignación óptima del presupuesto mensual de la empresa. (Plantee el modelo). Problema Nº 29. Guy Wires, superintendente de edificaciones y jardines de la Universidad de Chicago, está planeando poner fertilizantes al pasto en el área de patios a la entrada de primavera. El pasto necesita nitrógeno, fósforo y potasio al menos en las cantidades dadas a continuación: Cuadro: Requerimiento totales del pasto Mineral Peso mínimo (libras) Nitrógeno 10 Fósforo 7 Potasio 5 Están disponibles tres clases de fertilizantes comerciales; en el cuadro siguiente se da el análisis y los precios de ellos. Características de los fertilizantes (por 1000 libras) Fertilizante Contenido de Contenido de Contenido de Precio Nitrógeno (lb.) Fósforo (lb.) Potasio (lb.) I 25 10 5 $10 II 10 50 10 $8 III 5 10 5 $7 Formule un modelo de programación lineal para determinar cuánto se debe comprar de cada fertilizante para satisfacer los requerimientos a un costo mínimo.

Nota: en los tres problemas siguientes, análisis de sensibilidad, al dar las respuestas indique si la solución óptima cambio o no cambia, si cambia indique los nuevos valores de la solución óptima, según los informes dados por la hoja electrónica. Problema Nº 30.- Una empresa fabrica dos tipos de productos utilizando como materia prima el hierro, para lo cual se destina 28 horas en fabricar una unidad del producto A y 16 horas para el producto B. Actualmente se tienen disponibles 7200 horas para la producción de estos productos. Existe un pedido de 16 unidades del producto B. Los datos de interés se dan a continuación. Tabla: Insumos e ingresos por cada producto. Equipo Producto A Producto B Disponibilidad

Hierro (lb.) 950 4000 645300

Madera (m2) 65 120 22790

Requisitos de motores 1 1 450

Costo unitario $ 1010 $ 1205

Ingreso neto $ 1460 $ 2100

Se elaboró un modelo PL para determinar la producción de los productos A y B, que cumplan las restricciones, obteniendo de esta forma una utilidad máxima. Los resultados que dio la hoja electrónica, son los siguientes:

Microsoft Excel 8.0 Informe de respuestas Celda objetivo (Máximo) Celda Nombre $E$3 Valor objetivo Celdas cambiantes Celda Nombre $B$2 Valores A $C$2 Valores B

Restricciones Celda Nombre

Valor original Valor final 450 166705

Valor original

Valor de la celda

Valor final 1 94 0 139

fórmula

Estado

Divergencia

$E$5 $E$6 $E$7 $E$8 $E$9

Disp. de hierro Disp. de madera Req. de motores Horas disp. Prod. Mínima

645300 $E$5=$I$10 Obligatorio 0 Microsoft Excel 8.0 Informe de sensibilidad Celdas cambiantes Valor Gradiente Coeficiente Aumento Disminución Celda Nombre Igual reducido objetivo permisible permisible $B$2 Cantidad de maíz 0 35.94 70 1E+30 35.94 $C$2 Cantidad de soya 0 14.62 45 1E+30 14.62 $D$2 Cantidad de avena 3.54 0 40 31.29 13 $E$2 Cantidad de alfalfa 0.19 0 90 32.29 45 Restricciones Valor Celda Nombre Igual $G$6 Neces. de proteína 54.39 $G$7 Neces. de calcio 150 $G$8 Nivel de grasas 33.02 $G$9 Neces. de grasas 33.02 $G$10 Neces. de calorías 5000

Sombra precio 0 0.49 0 0 0.02

Restricción Aumento Disminución lado derecho permisible permisible 50 4.39 1E+30 150 16.67 9.01 120 1E+30 86.98 25 8.02 1E+30 5000 1177.22 500

Microsoft Excel 8.0 Informe de límites Celda objetivo Celda Nombre Igual $G$3 Valor Objetivo 158.5

Celda $B$2 $C$2 $D$2 $E$2

Celdas cambiantes Nombre Cantidad de maíz Cantidad de soya Cantidad de avena Cantidad de alfalfa

Igual 0 0 3.54 0.19

Límite Celda inferior objetivo 7E-16 3E-15 3.54 0.19

Límite Celda superior objetivo

158.5 158.5 158.5 158.5

Preguntas: 1) ¿Cuál es la composición de la mezcla dietética? 2) ¿Cuánto cuesta el alimento? 3) ¿Qué sucede si el nivel de grasa aumenta a 125 mg? 4) ¿Qué sucede si la necesidad de calorías es ahora de 4800? 5) ¿Qué sucede si el costo de la alfalfa se incrementa en un 20%? 6) ¿Qué sucede si el costo de la soya baja en un 15%?

4.35 1.74 14.41 3.67

462.9 236.8 593.4 471.6

7) ¿Qué sucede si la cantidad de avena aumenta en un 80%? 8) ¿Qué sucede si el nivel de calcio aumenta en un 10%? 9) ¿Qué sucede si se quiere utilizar 1 libra de soya en la composición final del alimento balanceado? 10) ¿Qué sucede si la necesidad de proteínas aumenta en un 10%?

Problema Nº 32.- Un agricultor tiene 200 acres y dispone de 18000 horas-hombre. El desea determinar el área (en acres) que asignará a los siguientes productos: maíz, trigo, ajo, tomate y papa. El agricultor debe producir al menos 250 toneladas de maíz para alimentar a sus puercos y ganado, y debe producir al menos 80 toneladas de trigo debido a un contrato que firmó previamente. A continuación se resume el tonelaje y la mano de obra en horas-hombre por acre para diferentes productos:

Toneladas/acre Horas-hombre/acre

Maíz 10 120

Trigo 4 150

Ajo 4 100

Tomate 8 80

Papa 6 120

El maíz, trigo, ajo, tomate y la papa se venden, respectivamente. En $120.00, $150.00, $50.00, $80.00 y $55.00 por tonelada. Encontrar la solución óptima. Se elaboró un modelo PL para determinar la producción de los productos A y B, que cumplan las restricciones, obteniendo de esta forma una utilidad máxima. Los resultados que dio la hoja electrónica, son los siguientes: Microsoft Excel 8.0 Informe de respuestas Celda objetivo (Máximo) Celda Nombre Valor original Valor final $H$3 Func. Objetivo 1200 162000 Celdas cambiantes Celda Nombre Valor original Valor final $B$2 Valores X1 1 125 $C$2 Valores X2 0 20 $D$2 Valores X3 0 0 $E$2 Valores X4 0 0 $F$2 Valores X5 0 0 Restricciones Celda Nombre Valor de la celda fórmula Estado Divergencia $H$6 Req. mín. de maíz 1250 $H$6>=$J$6 Opcional 1000 $H$7 Req. mín. de trigo 80 $H$7>=$J$7 Obligatorio 0 $H$8 Disp. de acres 145 $H$8