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• Juan Antonio Torres Garcia

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FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGIA

RED NACIONAL UNIVERSITARIA

SYLLABUS Facultad de Ciencia y Tecnología Ingeniería en Gas y Petróleo

SEPTIMO SEMESTRE Gestión Académica I/2017

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FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGIA

UDABOL UNIVERSIDAD DE AQUINO BOLIVIA Acreditada como PLENA mediante R.M. 288/01

VISIÓN DE LA UNIVERSIDAD Ser la Universidad líder en calidad educativa.

MISIÓN DE LA UNIVERSIDAD Desarrollar la Educación Superior Universitaria con calidad y competitividad al servicio de la sociedad.

SYLLABUS

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FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGIA

Asignatura: Código: Requisito: Carga Horaria: Créditos:

Investigación Operativa I MAT 303A MAT 113A 80 horas 8

I. OBJETIVOS GENERALES DE LA ASIGNATURA. Al final del curso el estudiante debe: Comprender la metodología de la investigación operativa, desde la definición del problema hasta la implementación de la solución. Formular un modelo matemático en el entorno de de programación lineal y nolineal siguiendo una técnica y resolver los mismos por medio de métodos manuales y computacionales, además de hacer un seguimiento en la implementación de la solución. Podrá tomar decisiones, en problemas que tienen que ver con la coordinación de operaciones y actividades de una organización, utilizando el método científico: II. PROGRAMA ANALÍTICO DE LA ASIGNATURA. UNIDAD I TEMA 1. INTRODUCCIÓN A INVESTIGACIÓN DE OPERATIVA (IO) 1.1. Definición de I.O. 1.2. Reseña histórica 1.3. Metodología de la IO 1.4. Uso y ventajas de la IO UNIDAD II TEMA 2. INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACION LINEAL PL 2.1. Clasificación De problemas deterministicos 2.2. Definición de programación lineal 2.3. Formulación Matemática del Modelo de PL. 2.4. Formulación de Diversos Problemas de PL. UNIDAD III TEMA 3. METODOS DE SOLUCION DEL MODELO PL 3.1. Método Gráfico 3.2. El método Simplex. 3.3. Penalización 3.4. Doble fase 3.5. Dual simplex

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UNIDAD IV TEMA 4. ANALISIS DE POST OPTIMIDAD O SENSIBILIDAD 4.1. Importancia. 4.2. Análisis de sensibilidad y programación paramétrica. 4.3. Análisis geométrico y matemático. 4.4. Método de la descomposición lineal. 4.5. Técnicas de cota inferior y superior. 4.6. Aplicaciones. UNIDAD V TEMA 5. PROGRAMACION ENTERA TRANSPORTE 5.1. El problema del transporte 5.2. El modelo de transporte. 5.3. Método de la esquina Noreste maximización y minimización. 5.4. Método de VOGUEL 5.5. Problemas de trasbordo. TEMA 6. ASIGNACION 6.1. El problema de asignación 6.2. El modelo de asignación 6.3. Método húngaro maximización y minimización. . III. BIBLIOGRAFÍA. 

F. S. HILLIER Y G. J. LIEBERMAN. ”Introducción a la Investigación Operativa”, Ed. McGraw-Hill.



H. A. TAHA. “Investigación de Operaciones. Una introducción”, Ed. Servicios de Ingeniería.



MATHUR KAMLESH & SOLOW DANIEL., “Investigación de Operaciones”



LUENBERGER DAVID ED. LIMUSA, “Programación Lineal y no Lineal”



J. PRAWDA, ED. LIMUSA., “Métodos y modelos de Investigación de Operaciones”, Vol. 1 y 2.



KAUFMAN & R. CRUON. CECSA. , “La Programación Dinámica”.



KAUFMAN & R. CRUON. CECSA. , “Los fenómenos de espera”.



L.PARDO, ED. DÍAZ SANTOS. , “Programación Lineal Continua. Aplicaciones Prácticas en la empresa”



M. S. BAZARAA Y J. J: JARVIS. ED. LIMUSA. ,” Programación Lineal y Flujo en Redes".



S. RÍOS INSUA. ED. CENTRO DE ESTUDIOS RAMÓN ARECES. , “Investigación Operativa. Optimización”



KAMLESH MATHURNB Y DANIEL SOLOW (1996), “Investigación” , Prentice Hall Hispanoamericana



NOHAMMAD NA GHI NAMAKFOROOSH (1994), “Investigación de Operaciones”, Edit. Limusa, México.



H.A. TAHA (1976), “Investigación de Operaciones una Introducción”, Edit. Servicios de Ingeniería, México

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IV. CONTROL DE EVALUACIONES 1° Evaluación Parcial Fecha: Nota: 100 puntos 2° Evaluación Parcial Fecha Nota: 100 puntos Examen final Fecha: Nota: 100 puntos APUNTES

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WORK PAPER # 1

PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD

No. DE PROCEDIMIENTO:

No. DE HOJAS: 4

ELABORÓ:

CÓDIGO: MAT 303A

TÍTULO DEL WORK PAPER:

Planteamiento de Problemas de Programación Lineal

DPTO.: Facultad de Ciencia y Tecnología DESTINADO A: DOCENTES

ALUMNOS

X

ADMINIST.

OBSERVACIONES:

FECHA DE DIFUSIÓN:

FECHA DE ENTREGA:

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OTROS

FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGIA PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL 1. El granjero Jones tiene que determinar cuántos acres de maíz y de trigo hay que sembrar este año. Un acre de trigo produce 25 bushel de trigo y requiere 10 horas semanales de trabajo. Un acre de maíz produce 10 bushel de maíz y requiere 4 horas semanales de trabajo. Se puede vender todo el trigo a 4 dólares el bushel y todo el maíz a 3 dólares el bushel. Se dispone de 7 acres y de 40 horas semanales de trabajo. Disposiciones gubernamentales especifican una producción de maíz de por lo menos 30 bushel durante el año en curso. Sea x1 el número de acres con maíz y x2 el número de acres con trigo. Formule un PL, con estas variables de decisión, cuya solución indicará al granjero Jones cómo maximizar el ingreso total por la producción de trigo y maíz. 2. Conteste las siguientes preguntas acerca del Problema 1. (a) ¿Se encuentra (x1 = 2, x2 = 3) en la región factible? (b) ¿Se encuentra (x1 = 4, x2 = 3) en la región factible? (c) ¿Se encuentra (x1 = 2, x2 = 1) en la región factible? (d) ¿Se encuentra (x1 = 3, x2 = 2) en la región factible? 3. Vuelva a formular el PL del granjero Jones, usando las variables x1 = número de bushel de maíz producido y x2 = número de bushel de trigo producido. 4. La empresa Truckco fabrica dos tipos de camiones: 1 y 2. Cada camión tiene que pasar por un taller de pintura y un taller de montaje. Si el taller de pintura tuviera que dedicarse completamente a la pintura de camiones tipo 1, se podrían pintar 800 camiones al día, mientras que si se dedicara enteramente a pintar camiones tipo 2, se podrían pintar 700 camiones al día. Si el taller de montaje se dedicara exclusivamente al ensamble de motores para camiones tipo 1, se podrían ensamblar 1500 motores diariamente, y si se dedicara únicamente a ensamblar motores para camiones tipo 2, se podrían ensamblar 1200 motores diariamente. Cada camión tipo 1 aporta 300 dólares a la ganancia, y cada camión tipo 2 500 dólares. Formule un PL que maximice la utilidad de Truckco. 5. ¿Por qué no permitimos la existencia de restricciones < ó > en un PL? 6. Resuelva gráficamente el Problema 1 7. Resuelva gráficamente el Problema 4 8. Leary Chemical produce tres productos químicos: A, B y C. Estos productos químicos se obtienen mediante dos procesos: 1 y 2. El funcionamiento del proceso 1 durante una hora, cuesta 4 dólares y produce 3 unidades del producto A, 1 unidad del producto B y 1 unidad del producto C. El funcionamiento del proceso 2 durante una hora, cuesta 1 dólar y produce 1 unidad del producto A, y 1 unidad del producto B. Para satisfacer la demanda de los clientes, hay que producir diariamente por lo menos 10 unidades del producto A, 5 unidades del producto B y 3 unidades del producto C. Determine gráficamente un plan de producción diaria para Leary Chemical, que minimice el Costo de satisfacer las demandas diarias. 9. Para cada una de las siguientes funciones objetivo, determine la dirección en la cual la función objetivo aumenta: a. (a) z = 4x1 - x2 b. (b) z = -x1 + 2x2 c. (c) z = -x1 - 3x2 10. Furnco produce escritorios y sillas. Para cada escritorio se necesitan 4 unidades de madera, y para cada silla 3 unidades. Un escritorio contribuye con 40 dólares a la utilidad, y una silla, 25. Restricciones del mercado requieren que el número de sillas producidas sea por lo menos el doble del número de escritorios. Formule un PL para maximizar la ganancia de Furnco, si hay 20 unidades de madera disponible. Después resuelva gráficamente el PL. 11. Identifique cuál de los Casos 1 a 4 corresponde a los siguientes PL 1. max z = x1 + x2 s.a. x1 + x2 ≤ 4 x1 – x2 ≥ 5 x1, x2 ≥ 0 2. max z = 4x1 + x2 s.a. 8x1 + 2x2 ≤ 16

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12. 13. 14.

15.

16.

5x1 + 2x2 ≤ 12 x1, x2 ≥ 0 3. max z = - x1 + 3x2 s.a. x1 - x2 ≤ 4 x1 +2x2 ≥ 4 x1, x2 ≥ 0 4. max z = 3x1 + x2 s.a. 2x1 + x2 ≤ 6 x1 + 3x2 ≤ 9 x1, x2 ≥ 0 Verdadero o falso: para que un PL sea no acotado, la región factible del PL tiene que ser no acotada. Verdadero o falso: cada PL con una región factible no acotada tiene una solución óptima no acotada. Si la región factible de un PL es no acotada, decimos que la región factible es acotada. Supóngase que un PL tiene una región factible acotada. Explique por qué puede encontrar la solución óptima del PL (Sin utilizar una línea de isoutilidad o isocosto) verificando simplemente los valores de z en cada uno de los puntos extremo de la región factible. ¿Por qué podría fallar este método si la región factible del PL es no acotada? Encuentre gráficamente todas las soluciones óptimas para el siguiente PL: min z = x1 - x2 s.a. x1 + x2 ≤ 6 x1 - x2 ≥ 0 x2 – x1 ≥ 3 x1, x2 ≥ 0 Encuentre gráficamente dos soluciones óptimas del siguiente PL: min z = 3x1 + 5x2 s.a. 3x1 + 2x2 ≥ 36 3x1 +5x2 ≥ 45 x1, x2 ≥ 0

17. Hay tres fábricas a lo argo del Río Momiss (fábrica 1, 2 y 3). Cada fábrica descarga dos tipos de contaminantes (contaminante 1 y 2) en el río. Se puede reducir la contaminación del río si se procesan los desechos de cada fábrica. El proceso de una tonelada de desechos de la fábrica 1, cuesta 15 dólares, y cada tonelada de desechos procesados de la fábrica 1 reducirá la cantidad de contaminante 1 en 0.10 tonelada y la cantidad de contaminante 2 en 0.45 tonelada. El procesamiento de una tonelada de desechos de la fábrica 2, cuesta 10 dólares, y cada tonelada de desechos procesados de la fábrica 2 reducirá la cantidad de contaminante 1 en 0.20 tonelada y la cantidad de contaminante 2 en 0.25 ton. El proceso de una tonelada de desechos de la fábrica 3, cuesta 20 dólares, y cada tonelada de desechos procesados de la fábrica 3 reducirá la cantidad de contaminante 1 en 0.40 tonelada y la cantidad de contaminante 2 en 0.30 tonelada. El estado quiere reducir la cantidad de contaminante 1 en el río en por lo menos 30 toneladas y de contaminante 2 en por lo menos 40 ton. Formule un PL que minimizará el costo de reducir la contaminación en las cantidades deseadas. ¿Cree que las suposiciones para el PL (proporcionalidad, aditividad, divisibilidad y certidumbre) son razonables para este problema? 18. U.S. Labs. produce válvulas mecánicas para el corazón a partir de válvulas de cerdos. Operaciones diferentes del corazón necesitan válvulas de distintos tamaños. U.S. Labs compra válvulas de puercos de tres proveedores diferentes. Los costos y la mezcla de tamaños de las válvulas compradas de cada proveedor, se muestran en la Tabla. Cada mes, U.S. Labs hace un pedido a cada proveedor. Hay que comprar por lo menos 500 válvulas grandes, 300 medianas y 300 pequeñas, al mes. Debido a la disponibilidad limitada de válvulas de puercos, solamente se pueden comprar mensualmente, a lo más 500 válvulas de cada proveedor. Formule un PL que se puede utilizar para minimizar el costo para adquirir las válvulas necesarias. COSTO POR VALVULA PORCENTAJE PORCENTAJE PORCENTAJE (dólares) GRANDE MEDIANA PEQUEÑA

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FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGIA Proveedor 1 5 40 40 20 Proveedor 2 4 30 35 35 Proveedor 3 3 20 20 60 19. Peg y Al Fundy tienen un presupuesto limitado para su alimentación, por lo que Peg trata de alimentar a la familia lo más económicamente posible. Sin embargo, quiere asegurar que su familia tome sus requerimientos alimenticios diarios. Peg puede comprar dos tipos de alimentación. El tipo 1 se vende a 7 dólares la libra, y cada libra contiene 3 unidades de vitamina A y 1 unidad de vitamina C. El tipo 2 se vende a 1 dólar la libra, y cada libra contiene 1 unidad de cada vitamina. Cada día, la familia necesita por lo menos 12 unidades de vitamina A y 6 unidades de vitamina C. (a) Verifique si Peg podría comprar diariamente 12 unidades de alimento tipo 2 y de esta manera superar el requerimiento de vitamina C en 6 unidades. (b) Al dio exigió que Peg cumpliera estrictamente con los requerimientos nutricionales diarios de la familia dando exactamente12 unidades de vitamina A y 6 unidades de vitamina C. La solución óptima del nuevo problema incluirá ingerir menos vitamina C, pero será más costosa. ¿Por qué? 20. Goldilocks tiene que obtener por lo menos 12 lb de oro y por lo menos 18 lb de plata para pagar la renta mensual. Existen dos minas en las cuales Goldilocks puede encontrar oro y plata. Cada día que Goldilocks está en la mina 1, encuentra 2 lb de oro y 2 lb de plata. Cada día que está en la mina 2, encuentra 1 lb de oro y 3 lb de plata. Formule un PL para ayudar a Goldilocks a satisfacer sus requerimientos, minimizando el tiempo que tiene que estar en las minas. Resuelva gráficamente el PL.

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WORK PAPER # 2

PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD

No. DE PROCEDIMIENTO:

No. DE HOJAS 8

ELABORÓ:

CÓDIGO: MAT 303A

TÍTULO DEL WORK PAPER:

Métodos de solución del módelo pl

DPTO.: Facultad de Ciencia y Tecnología DESTINADO A: DOCENTES

ALUMNOS

X

ADMINIST.

OBSERVACIONES:

FECHA DE DIFUSIÓN:

FECHA DE ENTREGA:

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OTROS

FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGIA PROBLEMAS DE PROGRAMACION LINEAL: MÉTODOS DE RESOLUCIÓN 1. Demuestre que el siguiente PL es no acotado: max z = 2x2 s.a. x1 - x2 ≤ 4 -x1 + x2 ≤ 1 x1, x2 ≥ 0 Encuentre un punto en la región factible con z ≥ 10000. 2. Establezca una regla que se pueda usar para determinar si un problema min tiene una solución óptima no acotada (es decir, se puede hacer z arbitrariamente pequeño). Utilice esta regla para demostrar que: min z = -2x1 - 3x2 s.a. x1 - x2 ≤ 1 x1 - 2x2 ≤ 2 x1, x2 ≥ 0 3. Supóngase que al resolver un PL, obtenemos el cuadro de la Tabla. Este PL es no acotado, aunque x1 puede entrar a la base. ¿Por qué?

z 1 0 0

x1 -3 1 2

x2 -2 -1 0

x3 0 1 0

x4 0 0 1

ld 0 3 4

4. Aunque el cuadro inicial de un PL es no degenerado, cuadros posteriores pueden mostrar degeneración. Cuadros degeneradas se presentan frecuentemente después de un empate en la prueba de la razón. Para ilustrar esto, resuelva el PL siguiente: max z = 5x1 +3x2 s.a. 4x1 +2x2 ≤ 12 4x1 + x2 ≤ 10 x1 +x2 ≤ 4 x1, x2 ≥ 0 Grafique también la región factible y muestre cuáles de los puntos extremo corresponden a más de un conjunto de variables básicas. 5. Encuentre la solución óptima para el PL siguiente: min z = -x1 - x2 s.a. x1 + x2 ≤ 1 -x1 + x2 ≤ 0 x1, x2 ≥ 0 6. Demuestre que si se realiza un desempate en la prueba de la razón, a favor del renglón 1 en lugar del renglón 2, se presenta la periodicidad al resolver el PL siguiente mediante el algoritmo simplex: 7. Demuestre que si se realiza un desempate en la prueba de la razón, a favor del renglón 1 en lugar del renglón 2, se presenta la periodicidad al resolver el PL siguiente mediante el algoritmo simplex: max z = 2x1 +3x2 – x3 -12x4 s.a. -2x1 -9x2 + x3 + 9x4 ≤ 0

x x1  x2  3  2x4  0 3 3 xi ≥ 0

(i = 1,2,3,4)

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Utilice el método de la M grande para resolver los PLs siguientes: 8.

9.

min z = 4x1 +4x2 + x3 s.a. x 1 + x2 + x3 ≤ 2 2x1 + x2 ≤ 3 2x1 + x2 +3x3 ≥ 3 x1, x2, x3 ≥ 0 min z = 2x1 + 3x2 s.a. 2x1 + x2 ≥ 4 x1 – x2 ≥ - 1 x1, x2 ≥ 0

10.

max z = 3x1 + x2 s.a. x1 + x2 ≥ 3 2x1 + x2 ≤ 4 x1 + x2 = 3 x1, x2 ≥ 0 11. min z = 3x1 s.a. 2x1 + x2 ≥ 6 3x1 + 2x2 = 4 x1, x2 ≥ 0 12. Mondo Motorcycles está determinando su programa de producción para los cuatro trimestres siguientes. La demanda de motocicletas será como sigue: trimestre 1, 40; trimestre 2, 70; trimestre 3, 50; trimestre 4, 20. Mondo tiene cuatro tipos de costos. 1. La fabricación de cada motocicleta le cuesta a Mondo 400 dólares. 2. Al final de cada trimestre, se incurre en un costo de mantenimiento del inventario de 100 dólares, por cada motocicleta. 3. El aumento de la producción de un trimestre al siguiente, ocasiona costos de entrenamiento a empleados. Se estima que el costo es de 700 dólares por motocicleta, al incrementar la producción de un trimestre al siguiente. 4. La disminución de la producción de un trimestre al siguiente, provoca costos de indemnización por despido, una baja en el estado de ánimo, etc. Se estima que el costo es de 600 dólares por motocicleta, si se disminuye la producción de un semestre al siguiente. Hay que cumplir con todas las demandas a tiempo, y se puede usar la producción de un trimestre solamente para satisfacer la demanda del trimestre actual. Se produjeron 50 Mondos en el trimestre anterior al trimestre 1. Supóngase que al inicio del trimestre 1, el inventario es de cero Mondos. (a) Formule un PL que minimiza el costo total de Mondo, durante los 4 trimestres (b) Supóngase que Mondo ya no tiene que cumplir con las demandas a tiempo. Para cada trimestre, en el cual no se cumple con la demanda de una motocicleta, se aplica un costo de penalización o de escasez, de 110 dólares por cada motocicleta faltante. Por lo tanto, se puede dejar pendiente una demanda. Sin embargo, se tiene que cumplir con todas las demandas para el final del trimestre 4. Modifique el planteamiento del problema de Mondo para permitir demandas pendientes. (Sugerencia: una demanda no cumplida, corresponde a it ≤ 0. Así, ahora it es srs, y tenemos que sustituir it = it´ - it´´. Ahora it´´ representa la demanda no cumplida al final del trimestre t.) 13. Utilice el algoritmo simplex para resolver el PL siguiente: max z = 2x1 + x2 s.a. 3x1 + x2 ≤ 6 x1 + x2 ≤ 4 x1 + x2 = 3 x1 ≥ 0, x2 srs

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14. Durante los próximos tres meses, Steelco enfrenta las siguientes demandas de acero: 100 toneladas (mes 1), 200 toneladas (mes 2); 50 toneladas (mes 3). En cualquier mes, un trabajador puede producir hasta 15 toneladas de acero. A cada trabajador, se le paga 5000 dólares al mes. Se pueden contratar trabajadores a 4000 dólares el trabajador, o despedir trabajadores a 3000 dólares el trabajador (la contratación de un trabajador toma un tiempo 0). El costo de mantener una tonelada de acero en el inventario por un mes, es de 100 dólares. Se permiten demandas pendientes, a un costo de 70 dólares por tonelada-mes. Es decir, si se cumple con una demanda de 1 tonelada hecha en el mes 1, durante el mes 3, se incurre en un costo por la demanda pendiente de 140 dólares. Al inicio del mes 1, Steelco tiene 8 trabajadores. Se pueden contratar lo más 2 trabajadores durante cualquier mes. Toda la demanda se tiene que cumplir para el final del mes 3. La materia prima para producir una tonelada de acero, cuesta 300 dólares. Formule un PL para minimizar los costos de Steelco. 15. Demuestre cómo se podría utilizar la programación lineal para resolver el problema siguiente: max z = │2x1 -3 x2│ s.a. 4x1 + x2 ≤ 4 2x1 - x2 ≤ 0.5 x1, x2 ≥ 0 16. La fábrica principal de Steelco tiene un área de producción del acero y un área de envío, localizadas como se indica en la Fig. (Las distancias están en pies.)

Area de Producción del acero ● (700,600)

Area de Envío (1000,0) La compañía tiene que decidir en dónde colocar una instalación de fundición y una instalación de montaje y almacenaje, para minimizar los costos diarios de mover el material a través de la fábrica, El número de viajes que se realizan diariamente, se muestran en la Tabla Supóngase que todos los viajes se realizan solamente en una dirección este-oeste o norte-sur; formule un PL que se puede utilizar para determinar la localización de las instalaciones de fundición, y de montaje y almacenamiento, para minimizar los costos diarios del transporte. (Sugerencia: Si la instalación de fundición tiene las coordenadas (cl, c2), ¿cómo habrá que interpretarse la restricción c1 - 700 = e1 - w1? (e = este, y w = oeste.)

DE

HACIA

NUMERO DE VIAJES DIARIAMENTE

Fundición Producción de Acero Producción de Acero Envío

Montaje y almacenamiento Fundición Montaje y almacenamiento Montaje y almacenamiento

40 8 8 2

8

COSTO POR 100 PIES VIAJADOS (en centavos) 10 10 10 20

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17. Utilice el algoritmo simplex para encontrar dos soluciones óptimas para el PL siguiente: max z = 5x1 + 3x2 + x3 s.a. x1 + x2 +3x3 ≤ 6 5x1 + 3x2 +6x3 ≤ 15 x1 + x2 = 3 ` x1, x2, x3 ≥ 0 18. Utilice el algoritmo simplex para encontrar la solución óptima para el PL siguiente: min z = - 4x1+ x2 s.a. 3x1 + x2 ≤ 6 - x1 + 2x2 ≤ 4 x1, x2 ≥ 0 19. Utilice el Metodo de la M grande y el método de las dos fases para obtener una solución óptima del PL siguiente: max z = 5x1 - x2 s.a. 2x1 + x2 = 6 x1 + x2 ≤ 4 x1 + 2x2 ≤ 5 x1, x2, ≥ 0 20. Utilice el algoritmo simplex para encontrar la solución óptima para el PL siguiente: max z = 5x1 - x2 s.a. x1 - 3x2 ≤ 1 x1 - 4x2 ≤ 3 x1, x2, ≥ 0 21. Utilice el algoritmo simplex para encontrar la solución óptima para el PL siguiente: min z = - x1 - 2x2 s.a. 2x1 + x2 ≤ 5 x1 + x2 ≤ 3 x1, x2, ≥ 0 22. Utilice el Metodo de la M grande y el método de las dos fases para obtener una solución óptima del PL siguiente: max z = x1 + x2 s.a. 2x1 + x2 ≥ 3 3x1 + x2 ≤ 3.5 x1 + x2 ≤ 1 x1, x2, ≥ 0 23. Utilice el algoritmo simplex para encontrar dos soluciones óptimas para el PL siguiente.¿Cuantas soluciones óptimas tiene este PL?. Encuentre una tercera solución óptima. max z = 4x1 + x2 s.a. 2x1 + 3x2 ≤ 4 x1 + x2 ≤ 1 4x1 + x2 ≤ 2 x1, x2, ≥ 0 24. Utilice el algoritmo simplex para encontrar la solución óptima para el PL siguiente: max z = 5x1 + x2 s.a. 2x1 + x2 ≤ 6 x1 - x2 ≤ 0 x1, x2, ≥ 0

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25. Utilice el Metodo de la M grande y el método de las dos fases para obtener una solución óptima del PL siguiente: min z = -3x1 + x2 s.a. x1 - 2x2 ≥ 2 - x1 + x2 ≥ 3 x1, x2, ≥ 0 27. Considérese el PL siguiente: max z = 10x1 + x2 s.a. x1 ≤ 1 20x1 + x2 ≤ 100 x1, x2, ≥ 0 (a) Encuentre todas las soluciones básicas factibles del PL (b) Demuestre que se tendrá que examinar cada solución básica factible antes de encontrar la solución óptima, si se usa el métodos simplex para resolver este problema 28. Considérese un problema de maximización con el cuadro de la tabla siguiente. La solución óptima para este PL es z = 10, x3 = 3, x4 = 5, x1, x2 = 0. Determine la mejor sbf, después de la primera, para este PL. (Sugerencia: Demuestre que la mejor solución después de la primera, tiene que ser una sbf que se encuentra a un pivoteo de la solución óptima.) z 1 0 0

x1 2 3 4

x2 1 2 3

x3 0 1 0

x4 0 0 1

ld 10 3 5

29. Un campista está considerando llevar dos tipos de artículos para ir a acampar. El artículo 1 pesa a1 lb. y el artículo 2 pesa a2 lb. Cada artículo 1 proporciona al campista un beneficio de c1 unidades, y cada artículo 2 proporciona al campista un beneficio de c2 unidades. La mochila aguanta a lo más b lb de artículos. (a) Formule un PL para maximizar los beneficios, suponiendo que el campista puede llevar fracciones de los artículos en su viaje. b) Demuestre que si

c 2 c1  a 2 a1 entonces el campista podrá maximizar los beneficios. llenando su mochila con Xx artículos tipo 2. (c) ¿Cuales de las suposiciones de la programación lineal se violan en este planteamiento del problema del campista? 30. Tenemos el cuadro de la Tabla siguiente para un problema de maximización. z x1 x2 x3 x4 x5 ld 1 -c 2 0 0 0 10 0 -1 a1 1 0 0 4 0 a2 -4 0 1 0 1 0 a3 3 0 0 1 b Establezca las condiciones para las incógnitas a1, a2, a3, b, c, para que se cumplan los enunciados siguientes: (a) La solución actual es óptima. (b) La solución actual es óptima, y hay otras soluciones óptimas (e) El PL es no acotado (en esta parte, supóngase que b ≥ 0).

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31. Supóngase que hemos obtenido el cuadro de la Tabla siguiente para un problema de maximización. z 1 0 0 0

x1 c1 4 -1 a3

x2 c2 a1 -5 -3

x3 0 1 0 0

x4 0 0 1 0

x5 0 a2 -1 -4

x6 0 0 0 1

ld 10 b 2 3

Establezca las condiciones para a1, a2, a3, b, c1, y c2, para que se cumplan los enunciados siguientes: (a) La solución actual es óptima, y existen otras soluciones óptimas. (b) La solución básica actual no es una solución básica factible. (c) La solución básica actual es una sbf degenerada. (d) La solución básica actual es factible, pero el PL es no acotado. (e) La solución básica actual es factible, pero se puede mejorar el valor de la función objetivo al reemplazar x6 por x1 como una variable básica. 32. Supóngase que estamos resolviendo un problema de maximización y que la variable xr está por salir de la base. (a) ¿Cuál es el coeficiente de xr en el renglón O actual? (b) Demuestre que, después de realizar el pivoteo actual, el coeficiente de xr en el renglón 0, no puede ser menor que cero. (e) Explique por qué una variable que salió de la base en un pivoteo dado, no puede volver a entrar a la base en el pivoteo siguiente. 33. Una compañía de autobuses cree que necesita el siguiente número de choferes durante cada uno de los próximos cinco años: año 1, 60 choferes; año 2, 70 choferes; año 3, 50 choferes; año 4, 65 choferes; año 5, 75 choferes. Al inicio de cada año, la compañía de autobuses debe decidir a cuántos choferes hay que contratar o despedir. Cuesta 4000 dólares contratar a un chofer, y 2000 dólares despedir a un chofer. El salario anual de un chofer es de 10000 dólares. Al inicio del año 1, la compañía tiene 50 choferes. Se puede utilizar a un chofer, contratado a principios de un año, para cumplir con los requerimientos del año actual, y se le paga el salario completo por el año actual. Formule un PL para minimizar los costos de los salarios, de las contrataciones, y de los despidos, de lii compañía, durante los próximos cinco años. 34. Shoemakers of America predice las siguientes demandas para cada uno de los próximos seis meses: mes 1, 5000 pares; mes 2, 6000 pares; mes 3, 5000 pares; mes 4, 9000 pares, mes 5, 6000 pares; mes 6, 5000 pares. Un zapatero tarda 15 minutos en producir un par de zapatos. Cada zapatero trabaja durante 150 horas al mes, más 40 horas mensuales de tiempo extra. El zapatero recibe un salario mensual normal de 2000 dólares, más 50 dólares por hora extra. Al principio de cada mes, Shoemakers puede contratar a un trabajador o despedir a un trabajador. A la compañía le cuesta 1500 dólares contratar a un trabajador, y 1900 dólares despedirlo. El costo mensual, por par de zapatos, por mantenimiento del inventario, es el 3 % del costo de producción de un par de zapatos, con trabajo de tiempo regular. (Las materias primas para un par de zapatos cuestan 20 dólares.) Formule un PL que minimiza el costo de cumplir (a tiempo) con las demandas de los próximos seis meses. Al inicio del primer nies, Shoeniakers tiene 13 trabajadores. 35. Durante los cuatro trimestres siguientes. Dorian Auto debe satisfacer (a tiempo) las demandas siguientes de automóviles: trimestre 1, 4000; trimestre 2, 2000; trimestre 3, 5000; trimestre 4, 1000. Al inicio del trimestre 1, hay 300 automóviles en la bodega, y la compañía tiene la capacidad de producir a lo mas 3000 automóviles por trimestre. Al inicio de cada trimestre, la compañía puede cambiar la capacidad de producción. Cuesta 100 dólares aumentar la capacidad de producción trimestral en un automóvil. Cuesta 50 dólares por trimestre mantener la capacidad de producción en un automóvil (aunque no se use durante el trimestre actual). El costo variable de la producción de un automóvil es de 2000 dólares. Se aplica un costo de mantenimiento del inventario de 150 dólares por automóvil, al 11

FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGIA inventario final de cada trimestre. Se necesita que, al final del trimestre 4. la capacidad de la fábrica este en por lo menos 4000 automóviles. Formule un PL para minimizar el costo total de los cuatro trimestres siguientes. 36. Ghostbusters. Inc. exorciza (se deshace de) fantasmas. Durante cada uno de los tres meses siguientes, recibirán la siguiente cantidad de llamadas telefónicas de personas que quieren que se les exorcicen sus fantasmas: enero, 100 llamadas; febrero, 300 llamadas; marzo, 200 llamadas. Se le paga a Ghostbusters 800 dólares por cada fantasma exorcizado durante el mismo mes de la llamada del cliente. No es obligatorio atender las demandas en el mismo mes de la llamada, pero si se atiende la demanda un mes después de la llamada, Ghostbusters perderá 100 dólares en la clientela futura, si se atiende la demanda dos meses después de la llamada. Ghostbusters perderá 200 dólares. Cada empleado de Ghostbusters puede exorcizar 10 fantasmas durante un mes. A cada empleado se le paga un salario mensual de 4000 dólares. A principios de enero, la compañía tiene 8 empleados. Se pueden contratar y entrenar ( inmediatamente) a trabajadores, a un costo de 5000 dólares el trabajador. Se pueden despedir a trabajadores, a un costo de 4000 dólares el trabajador. Formule un PL para maximizar las ganancias (ingresos menos costos) de Ghostbusters, para los tres meses siguientes. Supóngase que se debe atender todas las demandas al final del mes de marzo. 37. Carco utiliza autómatas para producir automóviles. Hay que cumplir con las siguientes demandas de automóviles (no necesariamente a tiempo, pero se tiene que cumplir con todas las demandas al final del trimestre 4): trimestre 1, 600; trimestre 2, 800; trimestre 3, 500; trimestre 4, 400. Al inicio del trimestre 1, Carco tiene 2 autómatas. Se pueden comprar a lo más 2 autómatas al inicio de cada trimestre. Cada autómata puede producir hasta 200 automóviles por trimestre. Un autómata cuesta 5000 dólares. Durante cada trimestre, se incurren en costos de mantenimiento de 500 dólares por autómata (aunque no se use para construir automóviles). También se puede vender los autómatas al inicio de cada trimestre, a 3000 dólares el autómata. Al final de cada trimestre, se aplica un costo de mantenimiento del inventario de 200 dólares por cada automóvil. Si se tiene una demanda pendiente, se incurre en un costo de 300 dólares por automóvil, por cada trimestre que se deja pendiente la demanda. Al final de cada trimestre, Carco debe que tener por lo menos dos autómatas. Formule un PL para minimizar los costos totales incurridos para cumplir las demandas de los automóviles durante los cuatro trimestres siguientes. 38. Supóngase que hemos obtenido un cuadro óptimo para un PL, y que la sbf para este cuadro no está degenerado. Supóngase también que hay una variable no básica con un coeficiente cero en el renglón. Demuestre que el PL tiene más de una solución óptima. 39. Supóngase que la sbf de un cuadro óptimo esta degenerada, y que una variable no básica tiene un coeficiente cero en el renglón 0. Demuestre, mediante un ejemplo, que se puede presentar uno de los siguientes casos: Caso1. El PL tiene más de una solución óptima. Caso 2. EL PL tiene una solución óptima única.

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WORK PAPER # 3

PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD

No. DE PROCEDIMIENTO:

No. DE HOJAS: 3

ELABORÓ:

CÓDIGO: MAT 303A

TÍTULO DEL WORK PAPER:

Análisis de post optimidad o sensibilidad

DPTO.: Facultad de Ciencia y Tecnología DESTINADO A: DOCENTES

ALUMNOS

X

ADMINIST.

OBSERVACIONES:

FECHA DE DIFUSIÓN:

FECHA DE ENTREGA:

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OTROS

FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGIA ANÁLISIS DE POST OPTIMIDAD O SENSIBILIDAD EJERCICIO 1 Recuerde el problema de la BlubberMaid, Inc., visto en clases, en el que A es el número de libras de Airtex, E el número de libras Extendex y R el número de libras de Resistex que se utilizan para producir Maximizar ganancia = 7A + 7E + 6R Dependiendo de: RESTRICCIONES DE RECURSOS 4A + 3E + 6R 2A + 2E + 3R 4A + 2E + 5R 6A + 9E + 2R

 8000  6800  10 400  17 600

(polímero A en onzas) (polímero B en onzas) (polímero C en onzas) (base en onzas) RESTRICCIONES DE DEMANDA

A  1000 E  500 R  400

(Airtex en libras) (Extendex en libras) (Resistex en libras) RESTRICCIONES LÓGICAS

A, E, R  0 Obtenga el resultado con el paquete de computación STORM. Utilice el resultado de computación obtenido para responder a las preguntas siguientes: a. ¿Cuál es el plan de producción óptimo? b. ¿Cuáles de las cuatro restricciones de recursos son acotantes? c. Con el plan de producción actual, ¿para cuál de los tres productos se puede cumplir con una demanda adicional de 5% ? Explique. EJERCICIO 2 Utilice el resultado de computación del ejercicio 1 para responder a lo siguiente: Si usted pudiera obtener cantidades adicionales de únicamente uno de los tres polímeros, ¿cuál de ellos recomendaría? Explique. EJERCICIO 3 Utilice el resultado de computación del ejercicio 1 para responder a lo siguiente: ¿Qué coeficiente o coeficientes de ganancia podrían duplicarse, mientras se mantienen fijos todos los demás coeficientes, sin que se afecte el plan de producción óptimo? Explique. EJERCICIO 4 Utilice el resultado computacional del ejercicio 1 para responder lo siguiente: La ganancia de Extendex acaba de disminuir en 20%. ¿Cuál es el nuevo plan de producción y la ganancia total? Explique. EJERCICIO 5 Utilice el resultado computacional del ejercicio 1 para responder a lo siguiente: (Si no puede hacerlo, obtenga la respuesta resolviendo un modelo apropiadamente modificado con su paquete de computación.) El compromiso de producir 400 libras de Resistex acaba de caer en 10%. ¿Qué le sucede a la ganancia óptima? Explique. EJERCICIO 6 Utilice el resultado computacional del ejercicio 1 para responder a lo siguiente: (Si no puede hacerlo, obtenga la respuesta resolviendo un modelo apropiadamente modificado con su paquete de computación.) La compañía desea aumentar sus ganancias a $18 000 adquiriendo más cantidad del polímero A. ¿Cuánto más del polímero A se necesita? Explique. EJERCICIO 7 Utilice el resultado computacional del ejercicio 1 para responder a lo siguiente: (Si no puede hacerlo, obtenga la respuesta resolviendo un modelo apropiadamente modificado con su paquete de computación.) Si la demanda de Airtex aumenta en 2%, ¿cuál es el nuevo plan de producción óptimo? Explique.

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EJERCICIO 8 Recuerde el problema de MTV Steel visto en clases, en el cual se deseaba determinar los valores de las variables: AP =número de toneladas de acero tipo A por producir BP =número de toneladas de acero tipo B por producir CP =número de toneladas de acero tipo C por producir AJ = número de toneladas de acero tipo A por comprar al Japón BJ = número de toneladas de acero tipo B por comprar al Japón CJ = número de toneladas de acero tipo C por comprar al Japón De modo que Maximizar ganancia = 7AP + 8BP + 5CP + 4AJ + 6BJ + 2CJ Dependiendo de: RESTRICCIONES DE DEMANDA BP CP

AP + + +

AJ BJ CJ

= = =

2000 4000 5000

(demanda A) (demanda B) (demanda C)

RESTRICCIONES DE RECURSOS 0.5AP + 0.45BP + 0.6CP  2400 AP + BP + CP  5500

(tiempo de máquina) (material para soldar) RESTRICCIONES LÓGICAS AP, BP, CP, AJ, BJ, CJ  0

Obtenga el resultado con el paquete de computación STORM. Utilice el resultado de computación obtenido para responder a las preguntas siguientes: a. ¿Cuál es el plan de producción/adquisición óptimo para la MTV Steel? b. ¿Cuáles de las dos restricciones de recursos son acotantes? c. Si pudiera obtener más material para soldar o más tiempo de máquina, pero no ambas cosas, ¿cuál escogería? Explique. EJERCICIO 9 Utilice el resultado de computación del ejercicio 8 para responder lo siguiente: (Si no puede hacerlo, obtenga la respuesta resolviendo un modelo apropiadamente modificado con su paquete de computación.) Los japoneses acaban de aumentar el precio de sus tubos tipo C de $7 a $8 por pie. ¿De qué manera cambia el plan de producción/adquisición actual? Explique EJERCICIO 10 Utilice el resultado de computación del ejercicio 8 para responder lo siguiente: (Si no puede hacerlo, obtenga la respuesta resolviendo un modelo apropiadamente modificado con su paquete de computación.) La compañía desea aumentar sus ganancias a $57 500. ¿Cuántas horas más de tiempo de máquina se necesitan para lograr este objetivo? Explique. EJERCICIO 11 Utilice el resultado de computación del ejercicio 8 para responder lo siguiente: (Si no puede hacerlo, obtenga la respuesta resolviendo un modelo apropiadamente modificado con su paquete de computación.) La compañía puede vender su material para soldar con una ganancia de $32 por libra. ¿Cuánto deberá vender? Explique.

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WORK PAPER # 4

PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD

No. DE PROCEDIMIENTO:

No. DE HOJAS: 2

ELABORÓ:

CÓDIGO: MAT 303A

TÍTULO DEL WORK PAPER: Problemas de Administración de proyectos: CPM y PERT DPTO.: Facultad de Ciencia y Tecnología DESTINADO A: DOCENTES

ALUMNOS

X

ADMINIST.

OBSERVACIONES:

FECHA DE DIFUSIÓN:

FECHA DE ENTREGA:

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OTROS

FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGIA PROBLEMAS DE ADMINISTRACION DE PROYECTOS: CPM Y PERT EJERCICIO 1 Cabinets Unlimited es una compañía en la que se manufactura y ensambla todo tipo de gabinetes. Se va a manufacturar un nuevo gabinete, lo cual requiere las siguientes tareas: TAREA DESCRIPCION TIEMPO DE TAREA (MIN) A Preparar las ruedas 10 B Montar las ruedas 5 C Ensamblar los costados 15 D Colocar la cubierta superior 11 E Colocar la base 10 F Insertar las ménsulas 5 G Insertar las repisas 5 H Colocar las puertas 10 I Colocar el panel posterior 10 J Pintar la unidad 15 Las ruedas se montan después de ser preparadas. La base no puede unirse hasta que se ensamblen los costados y las ruedas estén montadas. La parte superior no puede unirse ni insertarse las ménsulas hasta que estén ensamblados los costados. Las repisas se colocan después de haber colocado las ménsulas. El panel posterior se une después de que la base y la cubierta superior son colocadas. Las puertas se colocan después de que se instalan las repisas, la base y la cubierta superior. La unidad se pinta después de haber sido colocadas la base y la cubierta superior. a. Identifique los predecesores inmediatos de cada tarea. b. Trace la red del proyecto. EJERCICIO 2 Broadway Productions es una compañía que monta espectáculos musicales para Broadway. Se acaba de firmar el contrato de un nuevo musical, y el productor ha identificado las siguientes tareas que necesitan hacerse antes de presentar el espectáculo: AREA DESCRIPCION TIEMPO DE TAREA (SEMANAS) A Preparar cada parte 5 B Instrumentar la música 3 C Contratar a los artistas 4 D Diseñar la coreografía 3 E Ensayo de danza 4 F Preparar el escenario 6 G Preparar el vestuario 5 H Ensayo de vestuario 6 I Ensayo general 4 J Ensayo final 2 La coreografía se hace después de orquestada la música. Los ensayos de danza no pueden empezar hasta que cada parte esté preparada, se contrate a los artistas y se termine la coreografía. El escenario es diseñado y construido después del ensayo de danza. El vestuario es preparado después de que se contratan a los artistas. El ensayo de vestuario se hace después del ensayo de danza y cuando el vestuario esté listo. Al ensayo de vestuario le sigue el ensayo general, que también requiere el escenario. El ensayo final sigue después del ensayo general. a. Identifique los predecesores inmediatos de cada tarea.

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FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGIA b. Trace la red del proyecto. EJERCICIO 3 Para el proyecto del ejercicio 1, a continuación se presenta el costo adicional en dólares (costo normal costo de choque) para obtener los tiempos de choque de cada una de las tareas: TIEMPO DE TAREA (MIN) TAREA DESCRIPCION NORMAL DE CHOQUE COSTO A Preparar las ruedas 10 5 5 B Montar las ruedas 5 4 2 C Ensamblar los costados 15 10 5 D Colocar la cubierta superior 11 6 5 E Colocar la base 10 7 3 F Insertar las ménsulas 5 4 2 G Insertar las repisas 5 4 2 H Colocar las puertas 10 8 6 I Colocar el panel posterior 10 8 6 J Pintar la unidad 15 10 20 a. Utilizando esta información, formule un modelo de choque apropiado para lograr un tiempo de terminación de 48 minutos. b. Resuelva el modelo del inciso (a) utilizando su paquete de computación. c. ¿Cuánto costará lograr un tiempo de ensamblado de 48 minutos? ¿Qué tarea debe acortarse para lograr este objetivo? ¿En cuánto? d. ¿Cuál es el tiempo de ensamblado más corto que puede lograrse con un gasto adicional de $19? EJERCICIO 4 Para el proyecto del ejercicio 2, a continuación se presenta el costo adicional en dólares (costo normal costo de choque) para obtener los tiempos de choque para cada una de las tareas: TAREA

DESCRIPCION

TIEMPO DE TAREA (SEMANAS) NORMAL DE CHOQUE COSTO A Preparar cada parte 5 3 1000 B Instrumentar la música 3 2 1000 C Contratar a los artistas 4 3 500 D Diseñar la coreografía 3 3 E Ensayo de danza 4 3 2500 F Preparar el escenario 6 4 1000 G Preparar el vestuario 5 3 1000 H Ensayo de vestuario 6 4 5000 I Ensayo general 4 3 2500 J Ensayo final 2 2 a. Utilizando esta información, formule un modelo de choque apropiado para lograr un tiempo de terminación de 18 semanas. b. Resuelva el modelo de la parte (a) utilizando su paquete de computación. c. Prepara una tabla que muestre el costo adicional necesario para estrenar el espectáculo musical para cada semana anterior al tiempo de estreno más inmediato posible. d. ¿Cómo se puede lograr una fecha de estreno de 18 semanas?, es decir, ¿qué tareas deben acortarse y en cuánto?

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FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGIA PROGRAMA DE CALIDAD UDABOL DIF – 001 Hot dog para programación lineal Tal vez usted piense que la programación lineal sólo interesa a los administradores de negocios y a los científicos espaciales. Bueno, ¿qué hay más común que ir al puesto de hot dogs local? Aquí se ilustra cómo los modelos de programación lineal y la compleja técnica simplex tienen relación con nuestras vidas de tres maneras distintas al ir en automóvil por un refrigerio. Considere el coche mismo, un producto de General Motors. GM tiene 60 modelos diferentes, y hay infinidad de nuevas características que puede ofrecer a sus clientes. Todas estas posibilidades representan un vasto número de variaciones que GM podría vender. ¿Cómo determina esto la combinación óptima del producto? La evaluación de las diversas combinaciones de modelos y opciones tomaría décadas incluso con computadoras de alta velocidad. Pero las computadoras de GM son capaces de determinar la combinación óptima del producto aplicando el método símplex a los modelos de PL. "¿Revisión del aceite?" Incluso el aceite que mantiene andando suavemente el motor de nuestro auto es resultado de una decisión basada en un modelo de programación lineal. Las refinerías de petróleo producen otras cosas aparte de aceite. Pueden producir hasta 3000 productos diferentes, como tinta, aspirinas, cuerdas para guitarra, perfumes, colorantes de cabello, repelentes de insectos, raquetas de tenis de mesa, alfombras e incluso goma de mascar. La decisión de cuáles de estos productos hacer en un esfuerzo por maximizar las ganancias, dado que los recursos disponibles son limitados, nuevamente se halla a través de la programación lineal. Y ahora, estamos en el puesto de hot dogs. En cualquier semana, los ingredientes del hot dog hechos en la planta pueden cambiar. Algunas veces los hot dogs son sobre todo carne de res, y otras semanas son principalmente carne de puerco. ¿Cómo lo decide el fabricante? Usted adivinó. Un modelo de programación lineal proporciona la información que los administradores necesitan para decidir la mejor mezcla de ingredientes. Preguntas sobre el video 1. Cuando Henry Ford produjo por primera vez automóviles, ¿enfrentó el problema que GM enfrenta ahora respecto a los estilos y colores que ofrecer? 2. ¿Qué es lo que hace que la programación lineal sea necesaria en los tres ejemplos que se presentan? Más allá del caso 1. Enumere unas cuantas categorías de características de un coche (estilo, color, tipo de techo, sistema de sonido, etc.). Dentro de cada categoría, enumere algunas opciones (por ejemplo, el estilo podría ser de dos puertas, cuatro puertas, etc.). La multiplicación del número de opciones de cada categoría le da el número total de variaciones posibles de un coche. ¿Qué tan difícil piensa que sea llegar a 1000 variaciones? Comente por qué un fabricante de autos podría tomar como una ventaja tener un modelo de programación lineal al considerar las variantes por producir. 2. ¿Por qué no mantiene un fabricante de hot dogs la misma receta todos los días? ¿Qué restricciones piensa que tiene el fabricante en su modelo de programación lineal? Consideraciones prácticas 1. Suponga que GM tiene 10 000 000 variantes posibles de carros. Si una computadora de alta velocidad puede determinar el plan de producción para cada variante en un segundo, ¿cuánto tomará (en años) determinar el plan óptimo? ¿Qué le dice esto sobre la necesidad de buenos métodos matemáticos?

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FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGIA 2. Vaya a una tienda de pinturas y obtenga una tarjeta que muestre distintos colores al frente. Déle vuelta y observe los códigos de barras en la parte de atrás. ¿Qué cree que representan los códigos? ¿Por qué cree que esta información está en formato de código de barras? Fuente: "For All Practical Purposes", de The Consortium For Mathematics and Its Applications (Arlington, MA: 1986), Programa 2.

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FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGIA PROGRAMA DE CALIDAD UDABOL DIF – 002 Sigue manejando Yellow Freight es una empresa de transportes que hace entregas de bienes que no rebasan la capacidad de un camión lleno. La empresa tiene 26 zonas de descarga, que son puntos intermedios a lo largo de las rutas y donde llegan envíos de varios camiones diferentes. En estas zonas de descarga, las cargas son reclasificadas según su destino común y son divididas en cargas más pequeñas que luego son enviadas a alguna de las terminales de fin de línea (FdL). ¿Recuerda el Pony Express? Los jinetes llevaban el correo durante largas distancias haciendo cambios de caballo en estaciones situadas a lo largo de la ruta. Con una ligera variación, los conductores de Yellow Freight llevan su carga hasta la zona de descarga y desenganchan el remolque. Otro chofer recoge la carga y la lleva hasta otra zona de descarga. El proceso continúa hasta que la carga alcanza su destino. Por ejemplo, un cargamento puede iniciar en la terminal de Boston, pasar por las zonas de descarga situadas en Maybrook y Kansas City y llegar hasta su terminal de destino en Des Moines. En un día promedio, Yellow Freight hace 60 000 cargas y entregas; 250 000 envíos distintos llegan a 35 000 comunidades y a un total de 400 000 clientes. La red tiene 630 terminales. Para optimizar las rutas de fletes diarias mediante el equilibrio de la demanda de servicio con los costos de operación, Yellow Freight utiliza el paquete SYSNET, que es un modelo de asignación de recursos a gran escala y que corre en su computadora principal. SYSNET es un avanzado programa de optimización interactivo, una herramienta administrativa de trabajo pesado que ofrece a los gerentes de la empresa Yellow Freight un análisis rápido y completo de las condiciones de la red, lo que les permite controlar cuidadosamente una de las redes más grandes del mundo y proporcionar de manera consistente un servicio de alta calidad. SYSNET pesa los diferentes equilibrios entre variables, incluyendo costos de manipulación, capacidades de carga, tiempo de viaje, kilometraje en carretera y el número de remolques vacíos. Los gerentes de operación no pueden agregar de manera directa envíos adicionales sin que tengan que verificarlo con los administradores de SYSNET. ¿Por qué? Un pequeño ahorro que se podría obtener directamente en un envío, puede verse más que contrarrestado con un aumento en los costos en el resto del sistema. Preguntas sobre el caso 1. ¿De cuántas maneras diferentes puede Yellow Freight hacer un envío de Boston a Des Moines? 2. ¿Cuáles son los pros y los contras de hacer un envío directo y hacer un envío de la manera habitual? Más allá del caso 1. Describa las similitudes entre la empresa Yellow Freight y las aerolíneas, con sus rutas estructuradas. ¿Cuáles son las zonas de descarga de las aerolíneas? ¿Qué problemas tienen con el "envío" de pasajeros y la capacidad de funcionamiento? 2. Federal Express fue uno de los pioneros en el envío con una zona intermedia de descarga, ubicada en Memphis, Tennessee. A menudo los paquetes enviados de Atlanta a Miami pasaban por Memphis. Explique la razón fundamental para agregar un kilometraje extra, al envío de tales paquetes. Consideraciones prácticas 1. ¿Qué impacto tiene SYSNET sobre la autoridad de un gerente de envíos local que efectúa operaciones día a día en Boston? ¿En Maybrook? ¿Por qué es necesario centralizar la autoridad en una estructura como la que posee Yellow Freight?

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FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGIA 2. La técnica de solución para un problema de programación lineal tan grande como el de Yellow Freight debe ser más rápida que la técnica simplex estándar. Su modelo de programación lineal tiene una estructura especial que utiliza solamente enteros. ¿Qué otros algoritmos deberían ser más rápidos que el simplex estándar? Fuente: Yellow Freight, Overland Park, KA, 1991.

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FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGIA PROGRAMA DE CALIDAD UDABOL DIF – 003 Preparación para la salida ¿De qué manera las aerolíneas manejan la tarea de tener listas sus aeronaves para ser abordadas por los pasajeros? Bill Rodenhizer, de la ahora extinta Western Airlines, explica las tareas básicas implicadas en la preparación de las aeronaves comerciales que llegan a Boston y cuyo siguiente despegue se realizará en los siguientes 45 a 60 minutos. El siguiente diagrama simplificado muestra las tareas que se deben hacer dentro y fuera del aeroplano, junto con el tiempo que toma su realización.

Desalojo de Pasajeros

Limpieza de Cabina

A

C

13

15

Abordaje de Pasajeros

E 27 Cargado de Nueva Carga

Descarga de carga Anterior

B

D

25

22

La gráfica muestra que ciertas tareas deben hacerse primero, es decir, la gráfica indica relaciones de precedencia. En un ejemplo obvio, los pasajeros que llegan deben desalojar la nave y el interior ser limpiado antes de que puedan abordar los nuevos pasajeros. Del mismo modo, la carga anterior debe ser descargada para tener espacio para la carga del siguiente vuelo. Las restricciones del modelo se definen mediante, el mantenimiento de las relaciones de precedencia requeridas y llevando a cabo todas las tareas en los tiempos fijados. La trayectoria crítica es la secuencia de tareas más larga (en términos de tiempo), y el tiempo que lleva terminar esta secuencia es el tiempo de terminación más temprano para todo el proyecto. De las tres trayectorias del sistema, A-C-E (55 minutos), B-E (52 minutos) y B-D (47 minutos), la más larga dura 55 minutos. ¿Puede la aerolínea utilizar el método de la ruta crítica (CPM) para ahorrar dinero? Regrese a la trayectoria crítica y considere las implicaciones de acortar una tarea en particular a lo largo de dicha trayectoria. Si la actividad A (desalojo de pasajeros) se reduce en seis minutos, efectivamente la trayectoria crítica se acorta, pero solamente en tres minutos, no en seis. ¿Por qué? La trayectoria A-C-E ya no es crítica, ahora sólo dura 48 minutos. La nueva trayectoria crítica es B-E, que todavía lleva 52 minutos para terminarla. ¿Debería, entonces, la aerolínea gastar el dinero necesario para acortar la trayectoria A-C-E en seis minutos? Reducir esta actividad no reducirá el tiempo necesario para terminar el proyecto entero tanto como se podría haber sospechado en un principio. Un segundo ejemplo de una importante aplicación de CPM contempla las miles de actividades que se requieren para construir un edificio. Los contratistas utilizan CPM para estimar justamente cuánto tiempo tomará un proyecto y, en consecuencia, desarrollar un programa de construcción.

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FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGIA Preguntas sobre el caso 1. Dé dos razones realistas del porqué la carga anterior necesita ser descargada antes de que los nuevos pasajeros aborden la aeronave. 2. ¿Cuáles son algunas de las tareas principales que se deben hacer en la construcción de un edificio? ¿De qué manera pueden secuenciarse en un diagrama CPM? Más allá del caso 1. ¿De qué maneras se podrían acelerar algunas de las tareas en la preparación de una aeronave? ¿Cuáles 2. podrían ser los costos en la instrumentación de sus sugerencias?. 3. ¿Cómo se puede aplicar el CPM en la escritura de un artículo de investigación o de un trabajo final para uno de sus cursos? ¿De qué manera le podría ayudar esta técnica? Consideraciones prácticas 1. Si hay miles de tareas que se deben realizar en la construcción de un edificio, ¿de qué manera CPM ayuda al gerente de proyectos a "administrar por excepción"? 2. ¿Qué probabilidad cree usted que tengan de ser exactos los tiempos dados para terminar las tareas para tener lista la aeronave? ¿Qué impacto podría tener una variación en el tiempo de tareas sobre el modelo CPM? Fuente: "For Áll Practical Purposes", tomado de The Consortium for Mathematics and its Applications (Arlington, MA: 1986), Programas 1 y 4.

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FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGIA PROGRAMA DE CALIDAD UDABOL DIF – 004 Empacándolos UPS es la mayor compañía en el mundo de distribución de paquetes; opera una red global que maneja 11 millones de paquetes diariamente. El público ve una compañía confiable y eficiente con conductores amables en esas familiares y puntuales camionetas cafés, pero en UPS suceden más cosas de las que el ojo puede ver. UPS mantiene una de las aerolíneas de carga más grandes del mundo, con una flota de más de 60 aviones Boeing 757 adaptados. La compañía también mantiene una completa variedad de vehículos de transportación terrestre, desde las camionetas cafés hasta remolques e incluso bicicletas. Todos sus vehículos han sido diseñados para incrementar el rendimiento de combustible, la eficiencia operativa y, a la vez, reducir la contaminación y el ruido. El corazón técnico del sistema de información de UPS es una sofisticada red de computación que cubre el globo terráqueo, manteniendo a UPS en contacto constante con sus paquetes y clientes. En conexión con las técnicas de la ciencia administrativa, este sistema de información resuelve continuamente muchos problemas de transportación, trasbordo y asignación. El video muestra un enorme cuarto, donde se mantienen 49 000 mapas, uno para cada sección de 7 por 9 millas de los EE.UU. Estos mapas se almacenan electrónicamente en la computadora central de manera que UPS pueda tener acceso a cualquier dirección. Mediante dispositivos de rastreo avanzado, el sistema de computación puede asignar rápidamente el conductor más cercano disponible para una inmediata recolección de paquetes. Cada conductor tiene un moderno tablero computarizado portátil que almacena los números de contabilidad, los tiempos de entrega e incluso la firma del cliente para la ruta de ese día. Al final del día el tablero se acopla a una terminal y todos los datos se cargan al sistema central. Esta información es vital para la eficiente operación de este complejo sistema de entregas. UPS ha sido pionero del "empacado inteligente", al usar equipo de código de barras, de examen y ordenamiento para rastrear, trazar y facturar rápida y eficientemente, al mismo tiempo que continúa la tradición de la entrega puntual. Preguntas sobre el caso 1. ¿Cuáles son algunas de las estadísticas que señalan a UPS como la mayor compañía de entrega de paquetes de los EE.UU. y del mundo? 2. ¿Cuáles son algunos de los servicios flexibles que UPS puede ofrecer? Más allá del caso 1. Describa cómo podría aplicar el problema de trasbordo para manejar recolecciones y entregas dentro de una ciudad importante. 2. ¿Cuáles son algunos de los datos necesarios diariamente para asignar conductores a camiones y rutas? Consideraciones prácticas 1. ¿Por qué es más barato para UPS enviar un paquete de Miami a Atlanta a través de su central de Louisville que enviarlo directamente de Miami a Atlanta? 2. Discuta las similitudes entre UPS y Yellow Freight Fuente: United Parcel Service (UPS), Atlanta, GA, 1991.

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