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INVESTIGACION OPERATIVA I Problema N°1 Una compañía fabrica y venden dos modelos de lámpara L1 y L2. Para su fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L1 y de 30 minutos para el L2; y un trabajo de máquina para L1 y de 10 minutos para L2. Se dispone para el trabajo manual de 100 horas al mes y para la máquina 80 horas al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15 y 10 euros para L1 y L2, respectivamente, planificar la producción para obtener el máximo beneficio. Solución

Construcción del Modelo

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Elección y Formulación de las Variables X = Nº de lámparas L1 Y = Nº de lámparas L2 Evaluación y Formulación de las Restricciones Pasamos los tiempos a horas 20 minutos = 1/3 hora 30 minutos = 1/2 hora 10 minutos = 1/6 hora Entonces,

1/3X + 1/2Y = 100 1/3X + 1/6Y = 80 X=0 Y=0 Formulación de la Función Objetivo F (X, Y) = 15X + 10Y Desarrollo del Método Grafico, Algebraico y Simplex Al ser X = 0 y Y = 0, establecemos el primer cuadrante y resolvemos gráficamente la inecuación: 1/3X + 1/2Y = 100. Ejemplo (0, 0). 1/3 (0) + 1/2 (0) = 100 1/3 (0) + 1/6 (0) = 80 La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones seria la solución al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles.

La solución optima si es única, se encuentra en un vértice del recinto. Solución a los sistemas: 1/3X + 1/2Y = 100; X = 0 (0, 200) 1/3X + 1/6Y = 80: Y = 0 (240, 0) 1/3X + 1/2Y = 100; 1/3X + 1/6Y = 80: (210, 60)

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Obtención de Resultados y Toma de decisiones Orientados a la Organización. En la función objetivo sustituimos cada uno de los vértices: F (X, Y) = 15X + 10Y F (0, 200) = 15 (0) + 10 (200) = 2000 Euros F (240, 0) = 15 (240) + 10 (0) = 3600 Euros F (210, 60) = 15 (210) + 10 (60) = 3750 Euros. Maximizar La solución óptima es fabricar 210 del modelo L1 y 60 del modelo L2, para obtener un beneficio de 3750 Euros.

Problema N°2 Con el comienzo del curso se va a lanzar unas ofertas de material escolar. Unos almacenes quieren ofrecer 600 cuadernos, 500 carpetas y 400 bolígrafos para la oferta, empaquetándolo de dos formas distintas; en el primer bloque pondrá 2 cuadernos, 1 carpeta y 2 bolígrafos; en el segundo, pondrán 3 cuadernos, 1 carpeta y 1 bolígrafo. Los precios de cada paquete serán 6.5 y 7 €, respectivamente. ¿Cuántos paquetes le conviene poner de cada tipo para obtener el máximo beneficio?

Solución Construcción del Modelo

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Elección y Formulación de las Variables X = P1 Y = P2

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Evaluación y Formulación de las Restricciones 2X + 3Y = 600 X + Y = 500 2X + Y = 400 X=0 Y=0

Formulación de la Función Objetivo F (X, Y) = 6.5X + 7Y Desarrollo del Método Grafico, Algebraico y Simplex Conjunto de Soluciones Factibles:

Coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles

Obtención de Resultados y Toma de Decisiones Orientadas a la Organización Calculando el valor de la función objetivo F (X, Y) = 6.5X + 7Y F (X, Y) = 6.5 (200) + 7 (0) = 1300 Euros F (X, Y) = 6.5 (0) + 7 (200) = 1400 Euros F (X, Y) = 6.5 (150) + 7 (100) = 1675 Euros – Máximo La solución optima son 150 para el Bloque 1 y 100 para el Bloque 2, con la que se obtienen 1675 Euros

Problema N°3 En u n a g ra n j a d e p o l l os s e d a u n a di et a, pa r a en go r da r , c on u n a c omp o si ci ón mí n i ma d e 15 u n i dad e s d e u n a su stan ci a A y o t ra s 15 d e u n a su stan ci a B. En el m e rc ad o s ól o s e en cu en t ra d o s cl a s e s d e c ompu e st o s: el ti po X c on u n a c o mp o si ci ón d e u n a u n i dad d e A y 5 d e B, y el ot r o ti po , Y, c on u n a c o mp o si ci ó n d e ci n c o u n i dad e s d e A y u n a de B . El p r eci o d el t i po X e s d e 10 eu ro s y d el ti po Y e s d e 30 €. ¿ Qu é can ti dad e s s e h an d e c o mp ra r d e c ada t i po p a ra cu b ri r l a s n e c e si dad es c on u n c os t e mí n i mo? Sol u ci ón

Va ri abl es d e d e ci si ó n .

Ti po I = X Ti po II = Y Fu n ci ón obj eti v o Mi n Z = 10 x + 30 y Re st ri c ci on e s

Convertir a Igualdad las Restricciones:

Sa:

Igualar la función objetivo a 0

Escribir la tabla inicial Simplex Iteración 1

Iteración 2

Iteración 3

Respuesta

Problema N°4 Se di sp on e d e 60 0 g d e u n d et e rmi n ad o fá rm ac o p a ra el abo r ar pas ti ll as g r an d e s y peq u eñ a s. La s g ran de s p e san 40 g y l a s p equ eñ a s 30 g. S e n e c esi tan al m en os t r e s pa sti l las g ran d es , y al m e n o s el dobl e de p e qu eñ a s qu e d e l as g ran d es . Cad a p a sti ll a g ran d e pr op o r ci on a u n b en e fi ci o d e 2 € y l a p eq u eñ a d e 1 € . ¿ Cu án t as pas ti ll as s e h an d e el ab o ra r d e c ada cl as e pa ra qu e el b en e fi ci o s ea máxi m o ? Sol u ci ón

Construcción del Modelo

Elección y Formulación de las Variables X = Pastillas Grandes Y = Pastillas Pequeñas 1.3 Evaluación y Formulación de las Restricciones 40X + 30Y = 600 X=3 Y = 2X X=0 Y=0

Formulación de la Función Objetivo F (X, Y) = 2X + Y

Desarrollo del Método Gráfico, Algebraico y Simplex Conjunto de Soluciones Factibles

Coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.

Obtención de Resultados y Toma de Decisiones Orientadas a la Organización Calculando el valor de la función objetivo: F (X, Y) = 2X + Y F (X, Y) = 2(3) + 16 = 22 Pesos F (X, Y) = 2(3) + 6 = 12 Pesos F (X, Y) = 2(3) + 12 = 24 Pesos – Máximo El máximo beneficio es de 24 pesos y se obtiene fabricando 6 pastillas grandes y 12 pequeñas.

Problema N°5 Unos grandes almacenes desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones de la temporada anterior. Para ello lanzan, dos ofertas, A y B. La oferta A consiste en un lote de una camisa y un pantalón, que se venden a 30 €; la oferta B consiste en un lote de tres camisas y un pantalón, que se vende a 50 €. No se desea ofrecer menos de 20 lotes de la oferta A ni menos de 10 de la B. ¿Cuántos lotes ha de vender de cada tipo para maximizar la ganancia? Solucion

Elección y Formulación de las Variables X = Nº de Lotes de A Y = Nº de lotes de B

Evaluación y Formulación de las Restricciones X + 3Y = 200 X + Y = 100 X = 20 Y = 10 Formulación de la Función Objetivo F (X, Y) = 30X + 50Y

Elección del Método a Usar Conjunto de soluciones factibles:

Calculando las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.

Desarrollo del Método y Obtención de Resultados. Calculando el valor de la función objetivo: F (X, Y) = 30X + 50Y F (X, Y) = 30(20) + 50(10) = 1100 Euros F (X, Y) = 30(90) + 50(10) = 3200 Euros F (X, Y) = 30(20) + 50(60) = 3600 Euros F (X, Y) = 30(50) + 50(50) = 4000 Euros – Máximo Con 50 lotes de cada tipo se obtiene una ganancia máxima de 4000 Euros

Problema N6 Una compañía distribuidora de menestras trabaja con tres tipos de menestras: Pallares, frejoles y alverjas. Cada una requiere de tiempos de selección, procesado Y pesado en minutos por kilogramos como se presenta en la tabla

MAX

0.6 X1 + 8 X2 + 1.2 X3

SUBJECT TO X1 + 3 X2 + 5 X3 = 500 (Requerimientos de Ponche) A