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• Silvia Catalina Machuca Roncal

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

PROFESOR:  Ing. Horacio Urteaga Becerra CURSO:  Análisis Matemático I ALUMNA:  Machuca Roncal Silvia Catalina  Rudas Chávez Danny Staly  Sánchez Casanova Cristhian Rolando CICLO:  Segundo

CAJAMARCA 1 AGOSTO DEL 2016

3. Determinar el punto de la gráfica de la función f (x)= Lnx , donde la tangente es paralela a la cuerda que une los puntos (1, 0) y (e, 1).

1°. Hallamos la pendiente de la cuerda con los puntos dados: m=

y− y 1 x−x 1

m=

0−1 1−e

m=

1 e−1

…. (1)

2°. La recta tangente es paralela a la cuerda por lo que tienen la misma pendiente, por lo tanto hallamos la derivada de la función f(x) que es equivalente a la pendiente “m” de la recta tangente: 1 ' f ( x )= .. …( 2) x 3°. Igualamos los valores de (1) y (2), m= f’(x) para poder encontrar el punto de la recta tangente P (x , y) 1 1 = e−1 x

x=e−1

Para hallar el valor de “y” solo se reemplaza el valor de “x” en la función f(x) y=ln ⁡( e−1)

4°. Hallamos la ecuación de la recta tangente para poder graficarla: P( e-1 , ln(e-1) ) y= y ' −f ' ( x' )(x−x ' ) y=ln ( e−1 )+

x −1 e−1

2

2x 6. Dada la función f ( x )= x 2+1

, halle las longitudes de los segmentos tangente,

subtangente, normal y subnormal, a la gráfica de f , en el punto (1,1). Calcule la derivada por definición. Interprete geométricamente, determinando previamente la asíntota horizontal y valores extremos relativos.

2

f ( x )=

2x 2 x +1

a. Hallamos la pendiente de la recta tangente en el punto (1,1) que es igual a la derivada de función f(x): x 2 (¿¿ 2+1) =m 4x f ' ( x) = ¿

2

2x f ( x )= 2 x +1

Para x=1

m=1 b. hallamos las longitudes de los segmentos tangente, subtangente, normal y subnormal:

 Segmento subtangente: Se sabe que:  Segmento tangente:

tg = m 

St = yo = 1

y0 St tgθ =1 t=√ St 2− yo 2

Se sabe que: St = 1  yo = 1 t=

 Segmento subnormal: Sabemos que: y0 = 1



tg = m

√2

Sn = yo . tg Sn = 1

 Segmento normal: Sabemos que: yo = 1 

n=

Sn = 1

√ yo2−Sn2

√2

2 x2 ( ) f x = 2 c. Calculamos la derivada por definición: x +1

d. calculando valores extremos relativos, para lo cual se halla la derivada de la función y se lo iguala a cero:

f ' ( x )=lim h0

f ( x 0 +h )−f ( x0 ) h x 0+ h ¿ ¿ ¿ 2+1 ¿ ¿ 2( x 0 +h)2 ¿ ¿ ' f ( x )=lim ¿ h0

x0 +h ¿ ¿ (x 02+1) ¿ ¿ h (2 x 0 +h) ¿ ¿ f ' ( x )=2 lim ¿ h0

n=

x< 0 ; f ' ( x ) 0 ; f ' (x )>0

Hallamos la asíntota horizontal, para esto hallamos el límite de x cuando tiende al infinito tanto por la derecha como por la izquierda.

Por lo tanto 2 es la asíntota horizontal.

f. Interpretación geométrica:

f ( x )=

2 x2 2 x +1

9. Tres ciudades están situadas en los vértices de un triángulo isósceles. Las ciudades B y C, que distan entre si 16 millas, están situadas en la base; en tanto que A es el tercer vértice y a una distancia de 10 millas de la base. ¿A qué distancia de A sobre la altura del triángulo se debe ubicar una instalación de bombeo, de manera que se emplee la menor longitud de tuberías, para abastecer de agua a las tres ciudades?

d= √ x 2+ 64  Longitud total de tuberías: l ( x )=10−x+ 2 √ x 2+ 64

 Derivamos la función e igualamos a cero, de modo que hallamos los extremos relativos y encontramos posibles valores para x: 2x √ x 2 +64

) 1 l ' ( x )=−1+ 2( )¿ 2 l' ( x )=

2 x− √ x 2 +64 =0 √ x 2 +64

2

2

4 x =x +64 3 x2 =64 8√ 3 x=± =4,6 3

x=

 Para x