• Author / Uploaded
• BrunoDiazPark

• Categories
• Función (Matemáticas)
• Funciones trigonométricas
• Conjunto (Matemáticas)
• Álgebra
• Geometría

Citation preview

Análisis Matemático I

2003

Análisis Matemático I

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO - PUNO

EDITORIAL Director Jorge E. Yucra Vargas

Diseño, composición e impresión Láser R. Fernández B.

Impresión Risograph, compaginado y empastado Fidel Apaza Condori

Análisis Matemático I

.

Análisis Matemático I

PROLOGO Luego del ingreso de cualquier estudiante a la universidad, el Análisis Matemático es una rama de la matemática que estudiará como parte fundemantal de su carrera universitaria, pues es el instrumento indispensable para la investigación de los distintos procesos de cambio que se presentan en el que hacer humano. El contenido del presente trabajo esta concebido para introducirlo al estudio del Análisis Matemático, a través de nociones del sistema de números reales, las relaciones y funciones, una introducción preliminar al estudio de los limites, continuidad y derivadas de funciones reales de variable real. El presente trabajo de investigación cuenta con cinco capítulos. En el primer capitulo desarrollamos el concepto de numero real, sus propiedades, teoremas y ejercicios resueltos y de aplicación. En el segundo capitulo desarrollamos las relaciones y funciones con énfasis en las funciones y relaciones de variable real, pues estas son de utilidad para los capítulos posteriores sobre limites, continuidad y derivadas. En el tercer capitulo desarrollamos el concepto en forma preliminar de lo que son los limites de funciones reales de variable real. Sus propiedades, particularidades y forma de resolver problemas relacionados. En el cuarto capitulo desarrollamos un concepto fundamental en el desarrollo de las matemáticas el cual es la continuidad de funciones reales de variable real. Por ultimo desarrollamos la derivada de funciones reales de variable real, sus propiedades y particularidades y como resolver problemas que tengan derivadas. Es necesario mencionar que cada capitulo tiene ejercicios desarrollados y propuestos. Agradecimientos miles a la Dirección de investigación Universitaria por su inmensa colaboración para el desarrollo de esta pequeña obra. Estaremos atentos a las sugerencias y criticas, con la finalidad de mejorar para en otras oportunidades. El autor.

Análisis Matemático I

Artículo I. INDICE Prologo. CAPITULO1: NUMEROS REALES.................................................. 01 Números racionales...................................... ....................................... 02 Los números reales............................................................................... 03 Valor absoluto de un numero real........................................................ 03 teoremas de valor absoluto relativo a las ecuaciones e inecuaciones. 04 Principales propiedades del valor absoluto............................................ 05 Ejercicios................................................................................................06 Máximo, mínimo, supremo e ínfimo de un conjunto.............................08 Ejercicios.............................................................................................. 09 CAPITULO 2: RELACIONES Y FUNCIONES.................................. 11 Relaciones............................................................................................ 11 Relación inversa ................................................................................ 12 Relaciones reales ............................................................................. 12 Ejercicios ........................................................................................... 14 Funciones ............................................................................................ 15 Notación, dominio, rango y grafica de una función ........................... 15 Clases de funciones ............................................................................. 16 función inversa ................................................................................... 16 Funciones reales ................................................................................. 17 Funciones reales especiales ................................................................ 18 Clases de funciones reales ................................................................. 20 Composición de funciones reales ...................................................... 20 Inversa de un real ............................................................................... 21 Funciones trascendentes ..................................................................... 22 Ejercidos .............................................................................................. 25 CAPITULO 3: LIMITES FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL Introdución.......................................................................................... 29 Noción intuitiva de limites.................................................................. 32 limites de funciones de una variable......................................................33 Propiedades limites ..................................................................36 Limites laterales .................................................................................. 39 Limites infinitos ................................................................................... 44 Propiedades .......................................................................................... 45 Ejercicios .............................................................................................. 46 Limites al infinito ................................................................................. 47 Ejercicios ................................................................................................ 49

Análisis Matemático I

Limites de funciones trascendentes............................................................49 continuidad de funciones reales de variable real...................................... 54 Continuidad de una función en un punto ................................................. 54 Tipos de discontinuidad .......................................................................... 55 Ejercidos ................................................................................................... 58 CAPITULO 5: DERIVADA DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL Derivada de una función .......................................................................... 61 Ejercicios ................................................................................................. 62 Derivadas unilaterales ...............................................................................63 Ejercicios ...................................................................................................64 Reglas de derivación .................................................................................65 Ejercicios ..................................................................................................66 Derivada de funciones exponenciales y logarítmicas .............................. 67 Ejercicios .................................................................................................. 70 Derivada de funciones trigonometricas y sus inversas ............................. 71 Ejercidos ................................................................................................... 74 Derivadas de orden superior ..................................................................... 75 Ejercidos ....................................................................................................78 Bibliografía.

Análisis Matemático I

CAPITULO 1 : SISTEMA DE NUMEROS REALES SISTEMA DE NUMEROS REALES Definición.-Se llama sistema de numeros reales a un conjunto R, provisto de dos operaciones llamadas adición ( + ) y la multiplicación (  ) y una relación de orden “ < “que se lee “menor que”,que satisface las siguientes axiomas. Axiomas de la adición:  : RxR   R ( a , b )   ( a ,b )  a  b

La adición cumple los siguientes axiomas:  a ,b R  a  b R A1 Ley de Clausura  a ,b R : a  b  b  a A2 Ley Conmutativa  a ,b , c R : a  ( b  c )  ( a  b )  c A3 Ley Asociativa A4 Existencia y unicidad del elemento neutro aditivo:  a  R ,  0 R / a  0  0  a  a

A5

Existencia y unicidad del elemento Inverso aditivo:  a  R , ! - a  R / a  (a)  ( - a )  a  0

Axiomas de la Multiplicación:  : RxR   R ( a , b )   ( a ,b )  a  b

La multiplicación cumple los siguientes axiomas:  a ,b R  a  b R M1 Ley de Clausura  a ,b R : a  b  b a M2 Ley Conmutativa  a ,b , c R : a  ( b  c )  ( a  b )  c M3 Ley Asociativa M4 Existencia y unicidad del elemento neutro multiplicativo:  a  R ,  1 R / a  1  1  a  a

M5

Existencia y unicidad del elemento Inverso multiplicativo:  a  R ,  ! a -1  R / a  a 1  a -1  a  1

Axiomas de distribución:

Análisis Matemático I  a ,b , c R : a  ( b  c )  a  b  a  c D1  a ,b , c R : ( a  b )  c  a  c  b  c D2 Axiomas de la relación de orden:  a , b  R , entonces se cumple una y solamente una de las O1 relaciones: a  b ó a  b ó b  a Ley de tricotomia  a , b , c  R , se cumple: O2 ab y bc  ac Ley de transitiva  a , b , c  R , Si a  b  a  c  b  c O3 Ley de aditiva  a , b , c  R , Si a  b  a  c  b  c O4 Ley de Multiplicativa

Axioma de sustitución Si a y b pertenecen al conjunto B y si a = b, entonces en toda relación se puede sustituir al elemento a por el elemento b sin que altere el significado de la relación. TEOREMAS DE LOS NUMEROS REALES Los principales teoremas de los numeros reales son: T1. Si : a  c  b  c  a  b T2. Si : a  c  b  c  a  b T3. Si : a  x  b  x  b  a T2. Si : a  0  0 T2. Si : a  (b)  (a  b)  (a)  b T2. Si : a  b  0  a  0  b  0 T2. Si : (a)  a T2. Si : (a  b)  (a)  (b) DESIGUALDADES INTERVALOS INECUACIONES Definición.- Una inecuación es una desigualdad en las que hay una o más incógnitas (cantidades desconocidas) y que solo se verifica para determinados valores de las incógnitas CLASIFICACION DE INECUACIONES Las inecuaciones se clasifican en:  Inecuaciones lineales  Inecuaciones cuadráticos  Inecuaciones polinomicas  Inecuaciones Racionales  Inecuaciones Irracionales

Análisis Matemático I Las inecuaciones irracionales con una incógnita son de la forma: 

Inecuaciones Exponenciales

CAPITULO 2 : RELACIONES Y FUNCIONES EN R2 “La manipulación ciega de fórmulas, sin entender lo que se está haciendo, puede llevar a cometer toda una serie de errores de bulto.” Jan Stewart Introducción. Las cosas del mundo real se encuentran, unas con otras en estrecha vinculación, en particular, emparentadas por algún criterio de vinculación: “Abner es hijo de Martín”, “Martha estudia en la universidad de San Antonio”, “Canchis es provincia de Cusco”, son ejemplos donde los “objetos” están vinculados, respectivamente por criterios: “….. es hijo de ….”, “….. estudia en la universidad de …..”, “……es provincia de …..”. El concepto formal de Relación esta basado en dos conceptos previos : par ordenado y producto cartesiano. PAR ORDENADO Definición.- El par ordenado es un ente matemático formado por dos elementos en el cual cada elemento tiene un lugar fijo. Un par ordenado se denota por: (a, b) donde : a primera componente

b segunda componente Se lee: Par ordenado a coma b IGUALDAD DE PARES ORDENADOS Definición.-Dos pares ordenados (a, b) y (c, d ) son iguales, si sus correspondientes componentes son iguales. Es decir:

(a, b)  (c, d )



ac

 bd

Ejemplos: 1.-Determinar los valores de x e y de modo que la se cumpla la igualdades cada caso: a) ( x  7 y, 2 x  6 y )  ( 15, - 10) b)

( 3x  8 y, 4 x  3 y )  ( 4 - 2x - 10y, 2x  4y  7)

Análisis Matemático I

c)

( x3  19, x 2 y  6 )  ( y 3 , xy 2 )

PRODUCTO CARTESIANO DE CONJUNTOS Definición.- Dados dos conjuntos A y B , se llama producto cartesiano de A por B , al conjunto formado por todos los pares ordenados (a, b) tales que a  A y b  B . El producto cartesiano se denota por: y simbólicamente se representa:

AxB

A x B   (a, b)  AxB / a  A  b  B

OBSERVACION 1.- si los conjuntos A y B son finitos, el numero de elementos de

A x B es igual al numero de elementos de A por el numero de elementos de B , es decir: n( A x B)  n( A)  .n( B)

PROPIEDADES DEL PRODUCTO CARTESIANO Dados los conjuntos A , B y C , el producto cartesiano cumple las siguientes propiedades: 1.- A x B  B x A 2.- A x    x A

Ax( BC)  Ax B AxC 4.- A x ( B  C )  A x B  A x C 5.- A x ( B  C )  A x B  A x C 6.- ( A x B )x C  A x ( B x C ) 7.- Si A  B  A x C  B x C C 8.- Si A  C y B  D  AxB  C xD 3.-

Ejemplos: DIAGONAL DE UN CONJUNTO Definición.-Dado un conjunto A ,la diagonal del producto cartesiano A x A se denota por D( A) y se define por:

D ( A)  (a, b)  ( AxA) / a  b

REPRESENTACION GRAFICA DEL PRODUCTO CARTESIANO

Análisis Matemático I El producto cartesiano, se puede representar mediante las siguientes graficas: 1.-Diagrama sagital 2.- Sistema cartesiano Ejemplos: RELACIONES BINARIAS Definición.-Dados dos conjuntos no vacíos A y B , se llama relación binaria de A en B , a todo subconjunto  del producto cartesiano A x B , esto es:

 es una relación de A en B



AxB

Ejemplos: DOMINIO DE UNA RELACIÓN Definición.-Se llama dominio de una relación  de A en B al conjunto de todas las primeras componentes de los pares ordenados de la relación.  y se denota por:

Dom() , es decir: Dom ()   a  A /  b  B  (a, b)    RANGO DE UNA RELACION Definición.- Se llama rango de una relación  de A en B al conjunto de todas las segundas componentes de los pares ordenados de la relación.  y se denota por: Ran() , es decir:

Ran ()   b  B /  a  A  (a, b)   

PROPIEDADES DEL DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACION Sean 1 y  2 dos relaciones entre A y B , entonces se cumplen las siguientes propiedades: 1. Dom (1   2 )  Dom (1 )  Dom ( 2 ) 2.

Dom (1   2 )  Dom (1 )  Dom ( 2 )

Análisis Matemático I

3. 4. 5. 6.

Dom (1  2 )  Dom (1 )  Dom (2 ) Ran (1  2 )  Ran (1 )  Ran (2 ) Ran (1  2 )  Ran (1 )  Ran (2 ) Ran (1   2 )  Ran (1 )  Ran ( 2 )

RELACION INVERSA Definición.- Para todo relación  de A en B , se define la relación

 -1 y definido por: 1   (b, a)  B x A / (a, b)  A x B 

inversa de B en A ; denotado por

PROPIEDADES DE LA RELACION INVERSA Sean   AxB y S  AxB dos relaciones, entonces se cumple: 1. 2. 3.

  S  1  1  S 1   S  1  1  S 1   S  1  1  S 1

COMPOSICION DE RELACIONES

  AxB y S  BxC dos relaciones, se llama relación compuesta de  y S , denotado por:   S y esta definido Definición.- Sean por:

  S   ( a, c )  A x C /  b  B, ( a, b)  



(b, c)  S

En un diagrama de Venn Euler, esta definición se ilustra como sigue: PROPIEDADES: La composición de relaciones admite las siguientes propiedades: 1.   S  S   2. (   S )  T    ( S  T ) 3.

(   S ) -1  S -1   -1

CLASES DE RELACIONES Las clases de relaciones son: RELACION REFLEXIVA



Análisis Matemático I Definición.- Dado un conjunto A para el cual se define una relación  en A , se dice que  es reflexiva si, para todo a  A , (a, a)   ; es decir, si todo elemento de A está relacionado consigo mismo mediante la relación  ,esto es:

 es reflexiva en A

  a  A, (a, a)  

RELACION SIMETRICA Definición.- Dado un conjunto A para el cual se define una relación  en A , se dice que  es simétrica, si y sólo si, (a, b)   implica que

(b, a)   esto es:  es simétrica

  (a, b)    (b, a)  

RELACION TRANSITIVA Definición.- Dado un conjunto A para el cual se define una relación en A , se dice que  es transitiva, si y sólo si, (a, b)   y



(b, c)   , implica que (a, c)   , esto es:

 es transitiv a   a, b, c  A,  (a, b)    (b, c)    (a, c)  

RELACION DE EQUIVALENCIA Definición.-toda relación  definida en un conjunto A es una relación de equivalencia si es: reflexiva, simétrica y transitiva. RELACION ANTISIMETRICA Definición.- Una relación  , definida en un conjunto en A , se dice que es antisimétrica, si y sólo si, (a, b)   y (b, a)   , implica que

a  b , esto es:

 es antisimétr ica 

 (a , b )  

 (b, a )    a  b

RELACION DE ORDEN Definición.- Una relación  , definida en un conjunto en A , se dice que es relación de orden, si es: reflexiva, antisimétrica y transitiva.

Análisis Matemático I

RELACIONES DE R EN R PRODUCTO CARTESIANO RxR Definición.- El producto cartesiano de RxR , se define como sigue: R2 = RxR =  ( x, y ) / x R  y  R  PLANO CARTESIANO El plano cartesiano se forma por la intersección de sor rectas perpendiculares llamados ejes. GRAFICA DE UNA FUNCION DE R EN R

Análisis Matemático I

FUNCIONES Definición.- Dados dos conjuntos no vacíos A y B , una relación f  A x B entonces se define: f es una función de A en B , si sólo si ,para cada elemento x de A existe a lo mas un elemento y de B que le corresponde a x , es decir: “ f es una función de A en B  x  A,  ! y  B / ( x, y )  f ” NOTACION.- : Para denotar que f es una función de A en B se escribe: f : A  B , cuya regla de correspondencia es. x  y  f ( x)

Una función queda completamente definida si se conocen:  Su regla de correspondencia f (x)  Su dominio Ejemplos DOMINIO DE UNA FUNICION

f de A en B al conjunto de todas las primeras componentes y se denota por: Dom( f ) , es decir: Dom ( f )   x  A /  y  B  ( x, y )  f  Definición.-Se llama dominio de una función

RANGO DE UNA FUNCION Definición.- Se llama rango de una función f de A en B al conjunto de todas las segundas componentes y se denota por: Rang( f ) , es decir:

Rang ( f )   y  B /  x  A  ( x, y )  f



Ejemplos APLICACIÓN DE A EN B Definición.- Una función f , se llama aplicación de A en B, si y sólo si, el dominio de la función “

f es igual al conjunto A es decir:

f es una Aplicacion de A en B Ejemplo



Dom( f )  A ”

Análisis Matemático I

FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL Definición.-Se dice que f es una función real de variable real, si su dominio y rango son subconjunto de los reales; y denotaremos por: f : R  R , cuya regla de correspondencia es:

x  y  f ( x) Una función queda completamente definida si se conocen:  Su regla de correspondencia f (x) 

Su dominio

Ejemplos: GRAFICA DE UNA FUNCION Definición.- Dada una función f :

A  R  B  R , se define la grafica de f , al conjunto de todos los pares ordenados en el que x  A está como primer elemento y su imagen y  f ( x)  B como segundo elemento y se denota por Graf ( f ) . Es decir:





Graf ( f )  ( x, f ( x))  R 2 / x  A, y  f ( x)  B  AxB PROPIEDADES 1. x  A , existe un par ordenado

( x, y)  Graf ( f ) . 2. ( x, y)  Gr( f )  ( x, z )  Graf ( f )  x  z . 3. Si p ( x, y)  Gr( f )  p ( x, y)  f PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE UNA FUNCION

f es una función, si y sólo si, cualquier recta perpendicular al eje X corta ala grafica de f en un solo punto. es decir: Si

Graf ( f )  L  p, p  R 2 FUNCIONES ESPECIALES Las funciones especiales son: 1. FUNICION CONSTANTE Definición.-Es aquella función que tiene, como dominio a todos los números reales y rango consiste en un solo numero real k. es decir: f   ( x, y )  RxR / y  k , k constante  , con

Dom( f )  R

y Rang( f )  k , k : constante

Análisis Matemático I 2. FUNCION IDENTIDAD Definición.-Es aquella función que tiene, como dominio y rango a todos los números reales, se denota por:  : R  R y que tiene regla de correspondencia:  ( x)  x es decir:

   ( x, y )  RxR / y  x, , con Dom( f )  R y Rang( f )  R

y cuyas graficas de función constante y función identidad es: y

y y= k f (x) = x 0

0

x

x función identidad

función constante

3. FUNCION LINEAL Definición.- Es aquella función que tiene, como dominio y rango a todos los números reales, se denota por: f : R  R y que tiene regla de correspondencia: tes y

f ( x)  ax  b , donde a y b son constan-

a  0 , es decir: f   ( x, y )  RxR / y  ax  b , con Dom( f )  R y Rang( f )  R ; a, b  R y a  0

4. FUNCION VALOR ABSOLUTO Definición.-Es aquella función que tiene, como dominio reales y rango a todos los números reales positivos, se denota por:

f (x) : R  R  y que tiene regla de corresponden x , si x  0 x  cia: f ( x )  x ,donde es decir:  x , si x  0 f ( x)   ( x, y )  RxR / y  x , , con

Dom( f )  R

y Rang( f )  R, 

y cuyas graficas de función constante y función identidad es:

Análisis Matemático I y

y

f (x) = a x + b

0

f (x) = x

función lineal

5.

0

x

función valor absouto

FUNCION MAXIMO ENTERO

Definición.- Es aquella función que tiene, como dominio a todos los reales y rango a todos los números enteros, y cuya regla de correspondencia: f ( x)   x  donde:



x

  n



n  x  n 1, n  Z

es decir: f   ( x, y )  RxR / y  x  , con

Dom( f )  R  6.

y Rang( f )  Z

FUNCION SIGNO

Definición.- Es aquella función que tiene, como dominio a todos los reales, y cuya regla de correspondencia:

x  f ( x)  sgn( x) ,donde sgn( x)   x , si x  0  0, si x  0 es decir: f   ( x, y )  RxR / y  sgn( x)  , con

Dom( f )  R 

Cuyas graficas son:

y Rang( f )   1, 0, 1 

Análisis Matemático I y

y

f (x) = sgn(x)

 

f (x)  x

0 0

x

x función entero mayor

7.

función signo

RAIZ CUADRADA

Definición.- Es aquella función que tiene, como dominio a todos los reales y rango a todos los números reales positivos, y cuya regla de correspondencia:

f ( x)  x , es decir:





f  ( x, y )  RxR / y  x , con Dom( f )  R  y Rang( f )  R  8.

FUNCION CUADRATICA

Definición.- Es aquella función que tiene, como dominio a todos los reales y rango a todos los números reales positivos, y cuya regla de correspondencia:

f ( x)  ax2  bx  c, y a, b, c  R; a  0 , es decir:





f  ( x, y )  RxR / y  ax2  bx  c, a, b, c  R, a  0 , con Dom( f )  R y Rang( f )  R  y cuyas graficas son:

Análisis Matemático I y y

f ( x)  x

f ( x )  ax 2  bx  c

0 0

x

x

función raiz cuadrada

función cuadratica

TIPOS DE FUNCIONES 1.

FUNCION INYECTIVA O UNIVALENTE Definición.- Una función f : A  R  B 

R , es inyecti-

va, si  x1 , x 2  A , cumple:

f ( x1 )  f ( x 2 ) en B  x1  x 2 en A ó x1  x 2 en A  f ( x1 )  f ( x 2 ) en B

i)

ii) Observación  Una función f es inyectiva, si una recta horizontal intercepta a su grafica en un solo punto.(fig.1) La interpretación geométrica de esta definición es la (fig.2) B

B

f ( x2 ) f

f

f ( x1 ) f ( x1 ) x1

0

A

fig.1

2.

FUNCION SURYECTIVA Definición.- .-Una función f :

0

x2 A

x1 fig.2

A  R  B  R , es suryectiva, si y solo si,  y  B,  x  A / f ( x)  y , ó f es suryectiva  f ( A)  B Cuya gráfica es:

Análisis Matemático I R

f B

A

R

0

3.

FUNCION BIYECTIVA Definición.- Una función

f : A  R  B  R , es biyecti-

f es inyectiva y suryectiva. Es decir. f es biyectiva  f es inyectiva y suryectiva

va, si y solo si,

4.

FUNCION PAR Definición.- Son aquellas funciones que se caracterizan por ser simétricas respecto del eje Y, y cumple las siguientes condiciones:

i)

Si

ii)

Si

5.

i)

f ( x)  f ( x), x  D f

FUNCIONES IMPARES Definición.- Son aquellas funciones que se caracterizan por ser simétricas respecto al origen de las coordenadas, y cumple las siguientes condiciones: Si

ii) Si 6.

x  D f  x  D f

x  D f  x  D f f ( x)   f ( x), x  D f

:

FUNCIONES PERIODICAS Definición.-Una función

f en R , se dice que es periódica si

T  0 llamado periodo, tal que: i) Si ( x  T )  D f  x  D f

existe un número

ii) 7.

Si

f (T  x)  f ( x), x  D f

FUNIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES Definición 1.- Una función

f : A  R  B  R , es cre-

ciente, si y solo si, x1  x 2 implica

f ( x1 )  f ( x 2 ), x1 , x 2  Dom ( f )

Análisis Matemático I

Definición 1.- Una función

f : A  R  B  R , es decre-

ciente, si y solo si, x1  x 2 implica

f ( x1 )  f ( x 2 ), x1 , x 2  Dom ( f ) . Tal como se observa en los gráficos: f (x2 )

Y

Y

f ( x1 )

f (x1) f (x2)

f (x1) f (x2) f ( x1 )

x1  x2 a

0

x1

f ( x2 )

x2

bX

0

x1  x 2 x1

a

x2

Ejemplos: CLASES DE FUNCIONES Las clases de funciones son los siguientes: 1. FUNCIONES POLINOMICAS Definición.- Se llama función polinomial a la función real f : R  R , definida por: f ( x)  a n x n  a n 1 x n 1  ....  a1 x  a o , x  R

Donde: a n , a n 1 ,....a1 , a o

son numeros reales, a n  0

2. FUNCIONES RACIONALES Definición.- Se llama función racional a la función real f : R  R , definida por:

f ( x) 

p( x) a n x  a n 1 x n 1  . . .  a1 x  a o  , q(x)  0 q( x) bn x n  bn 1 x n 1  . . .  b1 x  bo

Donde: a n , a n 1 ,....a1 , a o y b n , bn 1 ,....b1 , bo reales, con a n  0 y bn  0

son numeros

3.

FUNCIONES TRASCENDENTES Se llama funciones trascendentes a las funciones: exponenciales, logarítmicas y trigonometricas.  FUNCION EXPONENCIAL Definición.- Sea b  R  , b  1 entonces la función f denotado por exp b , se llama función exponencial de base b si, y solo si:

b

Análisis Matemático I f  ( x, y )  RxR / f ( x)  b x , x  R ó









exp( x)  ( x, y ) RxR / exp ( x)  b x , x  R donde: D f   , 

y R f  0, 

Observaciones: a) Si b  0 , la función y  b x es creciente la gráfica b) Si 0  b  1 , la función y  b x es decreciente la gráfica Cuyos gráficos son: y

y

f (x)  b

x

1

0

f (x)  bx 0  b 1

1

b  1 0

x

c) Si b  e entonces y  e x y su gráfica es: PROPIEDADES: Si a, b  0 entonces las funciones exponenciales tiene las siguientes propiedades: 1) 4)



ao  0

ax

 a x y

2) a x  a y  a x  y 3) ( a x ) y  a x y x

4) (a  b) x  a x b x

ax a 6)    x b b

ay FUNCION LOGARITMICA Definición.- Definición.- Sea b y N  R  - 1  entonces la fun-

ción logarítmica de base b denotada por Log b , y esta dado por:: N  x  N  b x ó donde: b D f   ,  y R f  0,  Log

Propiedades: Si, x, y, b  R  , donde 1.- Log 2.- Log

b

b  1 se verifica:

( x  y)  Log ( x)  Log ( y) b b

x    Log ( x)  Log ( y ) b  y  b b

1 0 b Log N b N 6.- b

5.- Log

x

Análisis Matemático I

3.- Log

Log

b

b

( x)n  n  Log

b

( x)

7.-

n x  1 Log x b n

1 Log x b m n n Log x 5.- Log m x  b b m 4.- Log

11.- Log

bm

b

x

( x)  Log

x

(b)  1

8.- Log 10.- Log

12.- Log

b

b

b

x

x

b 1

1 log x b

Log x log b

Observaciones:  Si la base es:

b  e si llama logaritmo natural, y se denota por.

Ln y esta definido por: Ln N  x  e

N  ex

 Si la base es: b  10 , se llama decimal o vulgar y se denota por.

Log10 y esta definido por:

Log

10

N  Log N  x 

N  10 x

 El rango de una función logarítmica de base dad son números reales

b  1 ,en su totali-



 Si x1 , x2  R , entonces Log x1  Log x 2  x1  x 2 ; b b la función es estrictamente creciente  Toda línea paralela al eje X, corta a la curva en uno y solo un punto; la función logarítmica es inyectiva 

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Y SUS INVERSAS Las funciones trigonométricas se presentan en distintas ramas de la ciencia; así por ejemplo, en física e ingenierías cuando se trata de problemas de ondas, movimiento de planetas, vibraciones, etc. Definición.- Las seis funciones trigonometricas, seno, coseno, tangente, cotangente, secante, cosecante, se denotan por: sen, cos, tg , ctg , sec, csc ,respectivamente y se definen como sigue:

Análisis Matemático I 1. Por triángulos rectángulos: El ángulo  varia entre: 0     2

y

te n i po

Cateto opuesto Hipotenusa

cos  

Cateto adyacente Hipotenusa

tag  

Cateto opuesto cateto adyacente

csc  

Cateto opuesto

x

sec  

ctg  

2. como funciones circulares: El ángulo  , es cualquier ángulo y

sen   (x, y)

r

 x

0 0

y r

csc  

r y

Donde:

r  x2  y2

y

x

cos  

x r

sec  

r x

tag  

y x

ctg  

x y

RE RELACIONES ENTRE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Las relaciones entre las funciones trigonometricas son: 1 1 sen  sen   cos   tg   csc  sec  cos  1  cos 2 cos  sen 2  ctg   2 sen  1  cos 2  cos 2   2 IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS Las identidades trigonometricas son: Identidades Pitagóricas Fórmulas de reducción

sen 2  cos 2   1

sen ( )  sen 

tg 2  1  sec 2 

cos ( )  cos 

ctg   1  csc 

tg ( )  tg 

2

2

Hipotenusa Cateto opuesto

usa

H  Cateto Adyacente

0

sen  

Hipotenus Cateto adyac

Cateto adyace Cateto opues

Análisis Matemático I

Suma y Diferencia de los ángulos

Angulo doble

sen (    )  sen   cos   cos   sen 

sen 2  2 sen  cos 

cos (    )  cos   cos   sen   sen 

cos 2  cos 2 - sen 2

tg (    ) 

tg   tg  1  tg  tg 

tg 2 

Angulo triple

1 

tg 2 

Angulo mitad

sen 3  3 sen  - 4 cos 3

sen

cos 3  4cos 3 - 3cos tg 3 

2 tg

 2

cos

3 tg  - tg 3 



 2 tg

1  3 tg  2

1 - cos  2



 2

1  cos  2



1 - cos  1  cos 

SUMA, DIFERENCIA Y PRODUCTO DE ANGULOS

sen (    )  2sen

 

 cos

 

2 2     sen (    )  2 cos  sen 2 2 cos (    )  2 cos

 

 cos

,

 

, 2 2     cos (    )  2sen  sen 2 2 1 sen   cos    cos (  -  ) - sen (    )  2

cos   cos 

1  cos (  -  )  sen (    )  2

sen   cos  

1  cos (  -  )  sen (    )  2

TABLA DE LOS ANGULOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Análisis Matemático I Grad. 0˚

30˚

Rad.

0

π/6

Sen

0

1 2

3 5

2 2

4 5

3 2

1

3 2

4 5

2 2

3 5

1 2

0

3 3

3 4

1

4 3

3

1

3 4

Cos Tg

37˚

45˚

53˚

π/4

60˚ π/3

90˚ 120˚ 135˚ π/ 2 2π/3 3π/4 1 0

1 2

180˚ 270˚ 3π/ 5π/6 π 2 1 2

2 2

3 2 

150˚



2 2



-1

3 2

-1

0

0

-

0

-

0



2 3 3

-1



1

2



-1





 3

-1

3 3

0

3  3

-1

 3

 2

Ctg



3

Sec

1

2 3 3

5 4

2

3 4

2



-2

Csc



2

3 4

2

5 4

2 3 3

1

2 3 3

2



FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS



FUNCIONES HIPERBOLICAS Y SUS INVERSAS Definición.-

ALGEBRA DE FUNCIONES

COMPOSICION DE FUNCIONES Definición.- Sean las funciones:

2

0

3  3

4 3

36

f : A R  B R y

g : B  R  C  R ,la composición de estas funciones es otra función h  g  f : A  C definida por: donde: Dom ( g  f )  x / x  Dom ( f )  f ( x)  Dom ( g )

0 1

Análisis Matemático I

f A

B

g

 

C

  Z

xx

x 

FUNCION INVERSA Definición.- Una función

f : A  R  B  R , es inyectiva,

si  x1 , x 2  A , cumple: iii)

f ( x1 )  f ( x 2 ) en B  x1  x 2 en A ó

x1  x 2 en A  f ( x1 )  f ( x 2 ) en B

Análisis Matemático I

CAPITULO 3 : LIMITES DE FUNCIONES REALES “ La teoría de límites es la base de la verdadera metálica del Cálculo diferencial...”

Jean Le Rond D’Alembert 1.1.

Introducción.-

El concepto de limite de una función es el concepto sobre el cual descansan los dos pilares más importantes del curso de Análisis Matemático I ,pues está Intimente ligado a los conceptos de continuidad, las derivadas y las integrales definidas. Antes de dar la definición rigurosa de límites de una función, daremos algunos concepto básicos que intervienen en la definición de limites VECINDAD. Definición.-Se llama vecindad de radio

r .> 0 y con centro x0 ,

al intervalo abierto

x0  r , x0  r y se denota por:

Vr ( x0 )  x0  r , x0  r la interpretación geométrica de esta definición es: VECINDAD REDUCIDA Definición.-Se llama vecindad reducida de

x0 es el entorno ante-

rior sin él Numero, se denota por: 

Vr ( x0 )  x0  r , x0  r -

x0 

La interpretación de esta definición es:

PUNTO DE ACUMULACIÓN. Definición.- Sea el conjunto A  R y

x0  R, entonces x0 se

llama punto de acumulación de, si y solo si, todo intervalo abierto

Análisis Matemático I

centrado en de

x0 contiene por lo menos un punto x  A, distinto

x0 .

Es decir: “ x0 Es un punto de acumulación de A ↔  cumple: (



Vr ( x0 ) r .> 0 , ;

x0  r , x0  r - x0 )  A  Φ”

La interpretación de esta definición es: CONJUNTO ACOTADO. Definición.-Un conjunto A  R es acotado ↔

a xb

 a, b  R /

 x  A , donde a y b son las cotas infe-

rior y superior de A. Cotas inferiores de A

a

A x

Cotas superiores de A

b

Análisis Matemático I

CAPITULO 4 : CONTINUIDAD DE FUNCIONES REALES

CAPITULO 5 : DERIVADAS DE FUNCIONES REALES DERIVADAS DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS DERVIADAS DE FUNCIONES EXPONENCIAES Sea a un numero real positivo a  1 y sea u una función que depende de x derivable en todo su dominio, entonces: 1.-

d ax  a x  Lna dx

2.-

da  a x  Lna dx 3.-

Si. a  e y u una función que depende de x derivable en todo su dominio, entonces:

4.5.-

d ex  ex dx

d au du  eu  dx dx

Si y u  f ( x) y v  g ( x) son dos funciones derivables en x , si

y  uv

entonces:

d uv v du dv  uv    u v  Ln u dx u dx dx

DERIVADAS DE FUNCIONES LOGARITMICAS Si u una función que depende de x derivable en todo su dominio y sea y  Log b u entonces:

1.2.-

d Log u

1 du b  dx u  Ln a dx Si. a  e y u una función que depende de x derivable en todo su d Ln u 1 d u  dominio, entonces: dx u dx

Análisis Matemático I

3.-

Si u  x entonces:

d Ln x dx



1 x

EJEMPLOS:

CAPITULO 6 : APLICACIONES DE LA DERIVADA

Análisis Matemático I

Análisis Matemático I

Análisis Matemático I

Análisis Matemático I

Análisis Matemático I

Análisis Matemático I

Análisis Matemático I

Análisis Matemático I

Análisis Matemático I

Análisis Matemático I

Análisis Matemático I