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PARCIALES DE ANALISIS MATEMATICO I

CET AETI

Secretaria Gremial: Digitalizando apuntes para conseguir el centro de apuntes que todos queremos y necesitamos.

AETI Todo el año junto a vos!!! Primer parcial 2006 Modelo 1 1) Analice si las afirmaciones siguientes son verdaderas o falsas. Justifique las respuestas ya sea mostrando un contraejemplo o proporcionando un argumento basado en las herramientas teóricas que conoce, según corresponda. a- La función definida mediante

f( x ) =

cos x − senx tiene dos asíntotas cos(2 x)

verticales en el intervalo [ 0, π ] . b- El dominio de la función coth x es el conjunto de los reales.

2) Dada la función f : R → R / f ( x ) = x − 1 ( x − 1) , determine la función derivada segunda de f. Justificar.

3) Sea h( x ) = ( x 4 + 1) x 1 − x 4 a) Calcule h(′x ) b) ¿coinciden los dominio de h y h′ . Justificar. 4) Sea f tal que su polinomio de Taylor de 2º grado en a=3 es p( x ) = 5 + 2( x − 3) − 3( x − 3) 2 . Encontrar el polinomio de Taylor de 2º grado en a=3 para ( f )2 . Justificar

 x 3 ln x si x f 0 . Determine, si 5) Sea f la función definida mediante f ( x ) =  2  − x ( x + 3) si x ≤ 0 existe, máximos y mínimos relativos de f.

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AETI Todo el año junto a vos!!! Primer parcial 2006 Modelo 2 1) Analice si las afirmaciones siguientes son verdaderas o falsas. Justifique las respuestas ya sea mostrando un contraejemplo o proporcionando un argumento basado en las herramientas teóricas que conoce, según corresponda.

a- El conjunto imagen de la función g

( x)

= x ln x ; x ∈ (0;1) está acotado.

b- La ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función x  senx  f ( x ) = arctg   en x = 0 es y = 2  1 + cos x 

2) Sean las funciones definidas por f ( x ) = 3 x − 4 ; g ( x ) = ax 2 + bx + c encuentre valores de a,b y c tales que f ο g = gο f . Justificar 3) Dada la función f ( x )

ln 2 x = . Determine: x

a- Sus puntos críticos. b- Sus extremos relativos. 4) Sea h : (0,5) → R derivable por lo menos hasta el tercer orden y de la que se conoce su polinomio asociado de Taylor de segundo orden en potencias de ( x − 1) ; p( x ) = 2 ( x − 1) + 8 ( x − 1) + 4 . Encuentre el polinomio de Taylor de 2

1 . Justificar. 2 definida implícitamente por y 3 + y = x 2 + 1 determine

grado 2 de f( x ) = h(2x) alrededor de x0 = 5) Dada la función y = g( x )

el sentido de la concavidad de la gráfica de g en el punto Q (3, 2) . Justificar.

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AETI Todo el año junto a vos!!! Primer parcial 2006 Modelo 3 1) a- Muestre que la función g ( x ) = (1 − cos x )

x es derivable en x = 0.

b- ¿Es g el producto de dos funciones derivables en dicho punto? Justifique las conclusiones obtenidas. 2) Analice si las afirmaciones siguientes son verdaderas o falsas. Justifique las respuestas ya sea mostrando un contraejemplo o proporcionando un argumento basado en las herramientas teóricas que conoce, según corresponda a- Si lim x →1

xf ( X )

( x − 1)

2

= 1 entonces lim f( x ) = 1 x →1

b- Si f ( x ) ≠ g ( x ) , ∀x entonces lim f( x ) ≠ lim g( x ) x →a

x →a

3) Sea h( x ) la función definida por h( x )

 5x + 4 si x p 0  =  x +1 . Encuentre sus ≥ 0 si x 2 ( x + 1) . ( x − 2 ) 

asíntotas y extremos relativos, si los tiene. Justifique su respuesta.

4) Un depósito abierto con fondo cuadrado debe tener una capacidad de 500 litros. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del mismo de modo que se utilice la menor cantidad de material posible?

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AETI Todo el año junto a vos!!! Primer parcial 2010 Modelo 4

1. Sea

dada por:

Determine: a) Dominio, imagen, grafico de b) Analizar por definición la continuidad de F en: x=0 y x=2 c) Determine si existe derivada en x=0. Justificar la respuesta. 2. Determine: 6x tan 3 x b) Determinar asíntotas verticales y horizontales.

a) lim x→0

y=

x+3 x + 2x − 3 2

3. Sea y = f ( x ) = 4 − x 2 ¿En qué punto de la recta tangente a la gráfica de f es paralela a la recta de ecuación y = − 27 x + 2 ?

4.

a) Sea f : D → R y = f( x) = x + 4 , determine por definición la derivada en x=0 b) Derivar por regla.

y = f( x) =

( x2 + 3x)3 x

1

+ ln x tan x

2

y = f ( x ) = ln(tan x )e 5 x

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