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Índice Temas Conjuntos Numéricos Valor absoluto de un número real Cotas de un conjunto. Supremo e ínfimo. Máximo y mínimo. Conjunto acotado Intervalos Distancia Entorno . Entorno reducido Clasificación de puntos de un conjunto Concepto de función Clasificación de funciones Composición de funciones Función inversa Estudio de algunas funciones particulares

Límite

Función lineal Función cuadrática Función homográfica Función exponencial Función logarítmica Funciones trigonométricas Funciones circulares inversas Funciones hiperbólicas y sus inversas Noción intuitiva Definición de límite funcional Límites laterales Propiedades de los límites finitos Límite para x → 0 de sen x

Continuidad

Derivadas

Diferencial

x

Infinitésimos Álgebra de infinitésimos Álgebra de límites finitos Generalización del concepto de límite Continuidad de una función en un punto Álgebra de las funciones continuas Continuidad lateral Continuidad en un intervalo cerrado Propiedades de las funciones continuas Derivada de una función en un punto: Introducción Derivada de una función en un punto: Definición Interpretación geométrica Recta tangente y normal al gráfico de una función en un punto Relación entre continuidad y derivabilidad Función derivada Derivadas sucesivas Reglas y fórmulas de derivación Definición e interpretación geométrica Derivación de funciones definidas en forma paramétrica Derivación de funciones definidas en forma implícita

Página 1 3 4 5 6 7 8 9 10 13 14 16 16 17 18 23 25 26 28 30 32 34 34 36 38 40 41 46 48 50 50 51 51 52 54 56 57 57 60 61 62 63 72 72 74 75

Propiedades de las funciones derivables

Crecimiento y decrecimiento

76 76

Relación entre el crecimiento y el signo de y ‘

76

Extremos absolutos y locales Condición necesaria para la existencia de extremos relativos

77 78

Teorema de Rolle

79

Teorema del Lagrange ( o del Valor medio) Teorema de Cauchy Concavidad y convexidad. Punto de inflexión. Relación entre la concavidad y el signo de y” Estudio de Funciones Problemas de máximos y mínimos Regla de L‘Hospital Integral definida

Aplicaciones de la integral definida

Integrales impropias

Polinomio de Taylor Sucesiones

Series

Sucesión de funciones Serie de funciones Serie de potencias

81 82 83 84 85 89 90 92 Definición. 94 Interpretación geométrica. Propiedades 94 Teorema del valor medio del cálculo integral 94 Función área. Teorema fundamental del cálculo 95 integral Concepto de primitiva. 96 Regla de Barrow 96 Funciones con derivadas iguales 97 97 Cálculo de áreas planas 97 Cálculo de área entre dos curvas 98 Cálculo de la longitud de un arco de curva 99 101 De primera especie 101 De segunda especie 102 Introducción 104 Deducción 107 Generalidades 110 Sucesiones acotadas, convergentes, 112 divergentes y oscilantes Generalidades 113 Series geométricas 113 Criterios de convergencia para series de 114 términos positivos Series alternadas .Criterio de Leibnitz 116 Series de términos cualesquiera. convergencia 116 absoluta y condicional Generalidades 117 Convergencia puntual y uniforme 118 Definición y propiedades 119 Prueba M de Weierstrass 120 Definición. Lema de Abel 121 Radio e intervalo de convergencia 121 Series de Taylor y Mac Laurin 122

1

Análisis Matemático I- Números reales

NÚMEROS REALES • Introducción: Conjuntos numéricos Notación: Conjunto de números naturales: Conjunto de números enteros:

N= {1,2,3,....},

N 0 ={0,1,2,3,...}

Z= {......,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...}

Conjunto de números racionales: Un número es racional si y sólo si se puede escribir como cociente de dos números enteros tales que el divisor sea distinto de cero. Q=

p   / p ∈ Z ∧ q ∈ Z − {0} ∧ mcd ( p, q ) = 1 = {fracciones} U Z q 

La expresión decimal de un número racional puede ser finita o infinita periódica. Ejemplos: • • •

235 47 = (expresión decimal finita) 100 20 ∩ 35 198 + 35 233 2,353535.... = 2, 35 = 2 + = = (expresión decimal periódica pura) 99 99 99 ) 35 − 3 32 16 90 + 16 106 2,35555... = 2,35 = 2 + = 2+ = 2+ = = (expresión decimal 90 90 45 45 45 2,35 =

periódica mixta)

Se verifican las siguientes propiedades: 1)Entre dos números racionales siempre hay otro racional . (Se dice que Q es un conjunto denso) 2) A cada número racional le corresponde un punto de la recta, pero existen puntos en la recta que no se corresponden con ningún número racional. Por ejemplo, si se dibuja un triángulo rectángulo isósceles con cateto 1, su hipotenusa, por el Teorema de Pitagóras, es

12 + 12 = 2 .

Se puede probar que 2 no puede escribirse como cociente de dos números enteros, luego no es un número racional. Sin embargo existe un punto en la recta que se corresponde con

2 . También podemos representar en la recta puntos que se correspondan con 3 , 5 , etc.

3 Si intentamos obtener las cifras decimales de 0 1 2 te.

2 , veremos que no se repiten periódicamen-

2

Análisis Matemático I- Números reales

Aquí les presentamos 100 decimales de

2 , obtenidos con el programa Mathematica.

1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799073247 84621070388503875343276415727 Existen otros números cuya expresión decimal consta de infinitas cifras que no se repiten periódicamente. Por ejemplo: Obtenemos

3 con 100 decimales

1.7320508075688772935274463415058723669428052538103806280558069794519330 169088000370811461867572485757

5 con 100 decimales 2.23606797749978969640917366873127623544061835961152572427089724541052092 5637804899414414408378782275 π con 200 decimales 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640 628620899862803482534211706798214808651328230664709384460955058223172535 940812848111745028410270193852110555964462294895493038196 Conjunto de números irracionales: Los números que llevados a la forma decimal tienen infinitas cifras decimales que NO se repiten periódicamente no son racionales. Constituyen el conjunto de los números irracionales que indicaremos con I. Podemos demostrar, por ejemplo, que 2 no puede escribirse como cociente de dos números enteros. Lo haremos por reducción al absurdo. Supongamos que existen dos números enteros p y q ( q ≠ 0) tales que MCD(p,q)=1,( es decir: p y q son primos entre sí ) y

2=

p q

( fracción irreducible).

Elevemos al cuadrado ambos miembros. Se obtiene : 2 =

p q

2 2

⇒p

2

2

= 2. q ⇒p2 es par

Pero si el cuadrado de un número es par, entonces el número en cuestión también lo es, es decir : p es par1 ⇒ existe un número entero m / p = 2m. Resulta p2 = 4 m2 Comparando las dos expresiones recuadradas se tiene: 2.q2 = 4 m2 ⇒ q2 = 2 m2.⇒ q2 es par ⇒ q es par.

1

En efecto, si p fuese impar, existiría un número entero k / p = 2 k + 1, entonces sería: p 2 = ( 2 k + 1 ) 2 = 4 k 2 + 4 k + 1. Por lo tanto p 2 sería impar. Absurdo

3

Análisis Matemático I- Números reales

Sin embargo es absurdo que p y q sean pares porque en ese caso la fracción sería simplificable, en contra de lo supuesto.El absurdo provino de suponer que 2 es racional. En consecuencia: 2 no es racional.

Conjunto de números reales: R = Q U I Al representar los números reales sobre la recta , ésta queda totalmente “cubierta”. A cada punto de la recta le corresponde un número real y a cada número real le corresponde un punto de la recta. R también es un conjunto denso. •

Valor absoluto o módulo de un número real:

a Sea a ∈ R: | a | =  − a

si a

≥0

si a

0 es posi-

ble determinar un semientorno reducido de x0, con x > x0, tal que las imágenes de todos los elementos del dominio de la función que pertenecen a dicho semientorno se encuentran a una distancia de

λ d menor que ε.

y

λd + ε

f(x) λd d

x En símbolos: lím f ( x ) x

→ x0

+

= ld ⇔ ∀ε > 0 , ∃δ( ε) > 0 / ∀x

:[ x

∈ A ∧ xo
0, ∃δ(ε) > 0 / ∀x : [x ∈ A ∧ xo − δ < x < xo ⇒| f(x) − li |< ε] x → x 0− Por ejemplo: Consideremos la función “parte entera de x”que se simboliza [x]. La parte entera de un número real es el menor de los números enteros entre los que está comprendido. Es decir: [1,3]=1 ; [0,6]=0; [-2,3]=-3; [-π ]=-4 Al representar gráficamente, obtenemos: lím

y

x →1

lím

x →1

1 0

x

+ −

[x]

=1

[ x]

=0

⇒ ∃ lím

x →1

[x]

36

U.T.N. Facultad Regional Avellaneda

Análisis Matemático I:Límite

Propiedades de los límites finitos: Consideremos f A : → R , con A ⊆ R y x0 punto de acumulación de A 1) Si

lím

x → x0

f ( x)

= λ entonces existe un entorno reducido de xo en el que la función permanece

acotada. y

λ +ε λ

λ +ε x 0-δ x 0+δ

2) Si

lím

x → x0

f ( x)

x0 x

= λ y k es un número real tal que λ< k, entonces existe un entorno reducido de

xo en el que la función también es menor que k. Con el mismo criterio si λ> k ‘, entonces existe un entorno reducido de xo en el que la función también es mayor que k ’.

y

x0

x

-9

3)Consecuencia: Si aplicamos la propiedad anterior pensando que k ó k ’ son cero, podemos asegurar que: Si una función tiene límite finito distinto de cero, para x→x0, existe un entorno reducido de x0 en el que la función conserva el signo del límite.

4)Si dos funciones f y g son tales que

lím

x → xo

f(x)

= λ1 ,

lím

x → xo

g ( x)

= λ 2 , siendo λ1 < λ2

U.T.N. Facultad Regional Avellaneda

37

Análisis Matemático I:Límite

entonces, existe un entorno reducido de xo en el que f(x) < g(x).

f(x)

λ1 1

x0

λ2 g(x)

5)Consecuencia Si una función admite límite finito para x→x0, éste es único. En efecto, supongamos que. Si l1 < l2, existiría, por la propiedad 4), un entorno reducido de x0 en el que: f(x)

0 /

∀x

: x

[

∈Dϕ ∧

x

∈ E '( x 0 ; δ1

0 /

∀x

: x

[

∈Dϕ ∧

x

∈ E '( x 0 ; δ2

)

⇒ ϕ1

( x)

]

− 0 < ε (1)

Del mismo modo, si: lím

x →x 0

ϕ2

( x)

Si llamamos ∀x

:[x

=

0

⇒ ∀ ε > 0 , ∃ δ 2 ( ε) >

3 −x −1 : ( ,3] [ 1 , ) / f2−1 ( x) −∞ → − +∞ =−1 +

f2

∈ D ϕ1 ∩ D ϕ 2 ∧

⇒ ϕ2

( x)

]

− 0 < ε (2)

, podemos asegurar al sumar miembro a miembro (1) y (2)que:

2

x

)

∈ E ' ( x 0 ; δ ) ⇒ ϕ1

( x)

+ ϕ2

(x)

0 , ∃ δ = mín{ ∀x

: [x

∈ D ϕ1 ∩

D

ϕ2 ∧

∈ E ' ( x0 ; δ) ⇒

x

[ ϕ1 ( x )

Entonces: lím

δ1 ; δ 2 ) > 0 /

x →x 0

(ϕ

1 ( x)

+ ϕ2 ( x )] − 0 < ε' + ϕ2

]

)=0

( x)

2)El producto de dos funciones que sean infinitésimos para x→x0 es un infinitésimo para x→x0. Hipótesis: lím ϕ1 ( x ) = 0 ; lím ϕ2 ( x ) = 0 x →x 0

Tesis:

(ϕ

lím

x →x 0

x → x0

1 ( x)

)

⋅ ϕ2 ( x ) =

0

Demostración: Por definición de límite, si: lím

x →x 0

ϕ1

( x)

=

0

⇒ ∀ ε > 0 , ∃ δ 1 ( ε) >

0 /

∀x

: x

[

∈Dϕ ∧

x

∈ E '( x 0 ; δ1

0 /

∀x

: x

[

∈Dϕ ∧

x

∈ E '( x 0 ; δ2

)

⇒ ϕ1

( x)

]

− 0 < ε (1)

Del mismo modo, si: lím

x →x 0

ϕ2

( x)

=

0

⇒ ∀ ε > 0 , ∃ δ 2 ( ε) >

Si llamamos δ = mín que: ∀x

: [x

{ δ1 ;

)

⇒ ϕ2

( x)

∈ D ϕ1 ∩ D ϕ 2 ∧ x ∈ E ' ( x 0 ; δ ) ⇒ ϕ1

⋅ ϕ2 ( x )

=| ϕ1

(x)

( x) |

⋅ | ϕ2

⋅ ϕ2 ( x ) < ε 2

ε

( x) |

Por propiedad transitiva podemos asegurar que: ϕ1

( x)

⋅ ϕ2 ( x )

< ε'

Es decir, se ha probado que: ∀ε > 0 , ∃ δ = mín{

δ1 ; δ 2 ) > 0 /

∀x

⋅ ϕ 2 ( x )] − 0 < ε' ]

:[x

∈ D ϕ1 ∩ D ϕ 2 ∧

x

]

− 0 < ε (2)

δ2 } , podemos asegurar , si multiplicamos miembro a miembro (1)y(2), '

Como el módulo de un producto es igual al producto de los módulos,se tiene: ϕ1

( x)

∈ E '( x 0 ; δ) ⇒

[ ϕ1 ( x )

Entonces: lím

x → x0

(ϕ

1 ( x ).

)

ϕ2 ( x ) = 0

U.T.N. Facultad Regional Avellaneda

Análisis Matemático I: Límite

43

3) Producto de un infinitésimo por una función acotada Ejemplo: Consideremos la función

f : R

-

{0 }

®

R / f ( x)

=

p

sen

x

Veamos su gráfico:

Observamos que en un entorno reducido de 0 la función no está definida y oscila , es decir π ∃ lím sen , aunque la función permanece en [-1,1]. x →0

x

Veamos ahora el gráfico de

Vemos que ∃

lím

x →0

x sen

π x

g : R

−{0} →

R / g ( x)

=

x

⋅ sen

π x

=0, ya que si bien la función oscila en un entorno reducido de cero, esa

“oscilación” es cada vez menor.

44 U.T.N.

Análisis Matemático I: Límite

Facultad Regional Avellaneda

El producto de un infinitésimo para x→x0 por una función acotada en un entorno reducido de xo es un infinitésimo para x→x0 H) lím ϕ( x ) = 0 x →x 0

f(x)/ ∀x ∈ E ' ( x o ; h ) T)

lím

f ( x ).

x → x0

:

0 , ∃ δ 1 ( ε) > 0

/

Además , por hipótesis: ∀x ∈ E ' ( x o ; h ) Si llamamos δ = mín que: ∀x

:[x

{

δ1

; h

∈ D ϕ ∩ Df ∧

x

}

∀x

:

[∈

: x

f ( x)

Dϕ

0

/

ϕ( x ) ⋅ f ( x )] − 0 < ε' ]

Entonces: lím

x → x0

(ϕ( x ). f ( x ) ) = 0

Cociente de dos infinitésimos El cociente de dos infinitésimos puede dar: a) 0 Ejemplo:

lím

x →0

x

2

x

=

lím

x →0

x

=

0

. Se dice que el infitésimo que está en el numerador es de orden

superior. Significa que el infinitésimo del numerador tiende a cero con “mayor velocidad”

y=x 2

y=x

b) ∞

U.T.N. Facultad Regional Avellaneda

Ejemplo:

lím

x

x →0 x

2

=

lím

1

x →0 x

Análisis Matemático I: Límite

45

= ∞ . Obviamente significa que el infinitésimo del numerador es de

menor grado que el del que está en el denominador. c) k/ k≠0, k≠1 Ejemplo:

lím

x →2

x

2

−4 = lím −2 x →2

x

( x

− 2 ).( x + 2 ) = lím ( x + 2 ) = x −2 x →2

4

d) 1 Ejemplo: lím

x →0

sen x

x

= 1 . En este caso se dice que los infinitésimos son equivalentes.Significa que en un

entorno del punto en el que se da esta situación las dos funciones son prácticamente iguales.

y= x

y= sen x

Observación: Estos ejemplos muestran que no puede formularse conclusión alguna acerca del cociente de infinitésimos. es por eso que

0 0

es una indeterminación.

Los casos de indeterminación son:

0 0

,

∞ , ∞

0.

∞ , ∞ − ∞, 1 ∞ ,0 0 , ∞0

46

U.T.N. Facultad Regional Avellaneda

Análisis Matemático I: Límite

Álgebra de límites finitos 1) Si dos funciones tienen límite finito para x→x0, entonces el límite de su suma es igual a la suma de sus límites. Hipótesis: lím f (x) = λ 1 ; lím g(x) = λ 2 x → x0

x →x 0

Tesis: lím (f(x) + g(x) = λ 1 + λ 2 x → x0

Demostración: Por definición de límite, si: lím

x →x 0

f( x)

= λ 1 ⇒ ∀ ε > 0 , ∃ δ 1 ( ε) >

0 /

[

∀x

: x

∈Df ∧

∈ E '( x 0 ; δ1

x

)

⇒

f( x)

]

− λ 1 < ε (1)

Del mismo modo, si: lím

x →x 0

g ( x)

=

0

⇒ ∀ ε > 0 , ∃ δ 2 ( ε) >

Si llamamos δ = mín

{ δ1 ;

∀x

x

: [x

∈D f ∩Dg ∧

0 /

∀x

[

: x

∈Dg ∧

x

∈ E ' ( x 0 ; δ2

)

⇒

g ( x)

]

− λ 2 < ε (2)

δ2 } , podemos asegurar al sumar miembro a miembro (1) y (2)que:

∈ E ' ( x 0 ; δ) ⇒

− λ1 +

f( x )

g ( x)

− λ2 < 2 ε

ε

'

Como el módulo de una suma es siempre menor o igual que la suma de los módulos, resulta:

[f( x)

− λ1

]

+[ g ( x ) − λ2

]

≤|

f ( x)

− λ1

|

Por propiedad transitiva podemos asegurar que: Es decir, se ha probado que: ∀ε > 0 , ∃ δ = mín{

∀x

: [x

∈ D f ∩ D g ∧ x ∈ E ' ( x0 ; δ) ⇒

[f( x)

Entonces: lím

x → x0

+|

g ( x)

[f( x)

− λ2

|

+ g(x)

]

− ( λ1 + λ2

)

< ε'

δ1 ; δ 2 ) > 0 /

+ g ( x )] − ( λ 1 + λ 2

(f ( x ) + g ( x ) ) = λ

1

)

< ε' ]

+ λ2

2) Si dos funciones tienen límite finito para x→x0, entonces el límite de su producto es igual al producto de sus límites. Hipótesis: Tesis:

lím

lím

x →x 0

x → x0

f( x)

= λ1

;

(f ( x ). g ( x ) = λ

1

lím

x → x0

.λ2

g( x)

= λ2

.

Demostración: Vimos que si una función tiene límite finito para x→x0 , la función se puede escribir como la suma entre su límite y otra función que es infinitésimo para x→x0.

Entonces:

U.T.N. Facultad Regional Avellaneda lím

f( x)

= λ 1 ⇒ ∃ ϕ1

lím

g( x)

= λ 2 ⇒ ∃ϕ 2 ( x ) /

x → x0

x →x o

47

Análisis Matemático I: Límite

= ϕ1

( x) / f ( x )

+ λ1

( x)

= λ 2 + ϕ2

g( x)

,siendo

lím

x →x 0

( x ) siendo

lím

x →x o

ϕ1

=

( x)

0

ϕ2 ( x ) = 0

Entonces podemos escribir:

= ⋅[λ 1 + ϕ1

f ( x ). g ( x )

( x)

]⋅ [λ

2

+ ϕ 2 ( x ) ] = λ 1 ⋅ λ 2 + λ 1 ⋅ ϕ 2 ( x ) + λ 2 . ϕ1

( x)

+ ϕ1

( x)

⋅ ϕ2 ( x )

Tomamos, en ambos miembros, límite para x→x0 lím

x → x0

=

[ f ( x ). g ( x )]

lím

x → x0

(

λ 1 . λ 2 ) + lím ( λ 1 . ϕ 2 ( x )) + lím ( λ 2 . ϕ1 ( x )) + lím ( ϕ1 ( x ). ϕ2 ( x )) x → x0 x → x0 x → x0

es constante

son 0 por ser producto de infinitésimo por función acotada

Resulta: lím

x → x0

(f ( x ). g ( x ) = λ

es 0 por ser producto de infinitésimos

.λ2

1

3) El límite de un cociente de dos funciones que tienen límite finito para x→x0 , es igual al cociente de los límites, siempre que el límite de la función que está en el denominador sea distinto de cero. 4) Si

5) Si

6)Si 7)Si

lím

x →x 0

lím

x →x 0

lím

x →x 0

lím

x →x 0

f( x)

f( x)

f( x)

f( x)

entonces

=λ

=λ

[f ( x ) ]

n

y k ∈ R + , entonces

=λ

= λ1

lím

x → x0

;

lím

x → x0

g( x)

lím

n

= λ .(Si n es fraccionario, debe ser λ >

x → x0

k

f(x)

=k

lím

x →x 0

ln[

f ( x )]

= ln λ

)

λ

= λ 2 , y λ 1 > 0 ∧ λ 1 ≠ 1 , entonces

> 0, entonces

0

lím

x →x 0

[f ( x ) ]

g ( x)

= λ1

λ2

48

U.T.N. Facultad Regional Avellaneda

Análisis Matemático I: Límite

Generalización del concepto de límite 1.- Límite finito variable infinita: Sea f:A→R, con A⊆ R, A no acotado lím

x →∞

f(x)

= l ⇔ ∀ε > 0 , ∃ δ( ε ) > 0

/

∀x

:[x

∈A∧|

x |

> δ ⇒|

f ( x)

− l |< ε]

f (x’)

λ λ

x’

-

+

λ

f(x)

ε

ε

-δ

-δ

x

Esta definición puede dividirse en dos , si se considera x→+ ∞ ó x→- ∞. 2.- Límite infinito variable finita Sea f:A→R, con A⊆ R, xo punto de acumulación de A. lím

x →x 0

f( x)

= +∞ ⇔ ∀ε >

0,

∃ δ( ε) > 0

/

∀x

:[ x

∈A ∧

x

∈ E '( x 0 ; δ) ⇒

f( x)

> ε]

g( x)

< − ε]

f(x )

ε x0-δ

x0 x0+δ x

Sea g:A→R, con A⊆ R, xo punto de acumulación de A. lím g ( x ) = −∞ ⇔ ∀ ε > 0 , ∃ δ( ε ) > 0 / ∀x : [ x ∈ A ∧ x ∈ E ' ( x 0 ; δ ) ⇒ x →x 0 x x0-δ x +δ

x0

-ε g(x) (sin signo).1 También puede definirse límite infinito

1

Hay autores que consideran que, en este caso, el límite no existe.

U.T.N. Facultad Regional Avellaneda lím

x →x 0

h( x)

49

Análisis Matemático I: Límite

= ± ∞ ⇔ ∀ε > 0 , ∃ δ( ε ) > 0

/

∀x

:[x

∈ A ∧ x ∈ E ' ( x 0 ; δ ) ⇒| h ( x )

|

> ε]

y h(x’

) ε

x’ x

x

ε h(x ))

3.- Límite infinito, variable infinita Sea f:A→R/ A⊆ R y A no acotado. y

lím

x → +∞

ε δ

f(x)

= −∞ ⇔ ∀ε > 0 , ∃ δ( ε) > 0

/

∀x

:[ x

∈A ∧

x

>δ⇒

x

x

-ε f(x)

Con el mismo criterio puede definirse límite igual a menos infinita para x tendiendo a más infinito, ó límite igual a infinito (sin signo) para x tendidendo a menos infinito, etc.

f(x)

< − ε]

U.T.N. nuidad Facultad Regional Avellaneda

Análisis Matemático I: Conti-

50

Continuidad de una función en un punto Consideremos una función f:A→R, con A⊆ R, y x0 punto de acumulación de A. Decimos que f es continua en x0 si y sólo si se cumplen las siguientes tres condiciones: 1.- ∃ f ( x 0 ) 2.-∃ límf ( x) finito x→ x 0 3.- límf ( x) = f (x0) x→ x 0 Cuando alguna de las condiciones falla, se dice que f es discontinua en x0 . Si es discontinua pero existe límite finito, la discontinuidad es evitable, en caso contrario es esencial. y

Esta función presenta una discontinuidad esencial en x=2 pues

f

lím f ( x) = ∞ x→ 2

x 2

-30

y

Esta función presenta una discontinuidad evitable en x=1 pues aunque no está definida en ese punto tiene límite finito cuando x tiende a 1.

x 1

Esta función presenta una discontinuidad esencial en x=1 pues como los límites laterales son distintos, no tiene límite.

y

x 1

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Análisis Matemático I: Conti-

51

Esta función presenta una discontinuidad evitable en x = 1 porque aunque está definida en 1 y tiene límite para x tendiendo a 1, ambos valores son distintos. y

f(1

) λ

1

1

x

Álgebra de funciones continuas. La suma (o producto) de dos funciones continuas en x = x0 es una función continua en x = x0. El cociente de dos funciones continuas en x = x0 es una función continua en x = x0 sólo si la función que figura en el denominador no se anula en x0. Continuidad lateral f es continua a derecha en x = x0 si y sólo si se cumplen las siguientes tres condiciones: 1.- ∃ f ( x 0 ) 2.-∃ límf ( x) finito y f(x 0) x→ x + 0 3.- límf ( x) = f (x0) x→x + x 0 x y f es continua a izquierda en x = x0 si y sólo si se cumplen las siguientes tres condiciones: 1.- ∃ f ( x 0 ) y 2.-∃ límf ( x) finito x→ x − 0 f(x 0) 3.x x0

límf ( x) = f (x0) x→x − 0

Continuidad en un intervalo cerrado f es continua en el intervalo cerrado [a,b] si y sólo si : f es continua ∀x ∈ (a,b) , f es continua a derecha en a y f es continua a izquierda en b. Gráficamente decir que una función es continua en un intervalo cerrado significa decir que los extremos del arco de curva que la representa están “pegados” al arco.

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Análisis Matemático I: Conti-

y

y

f es continua en [a,b]

52

g es continua en (a,b) pero no en [a,b]

x a

x

Propiedades de las funciones continuas en un intervalo cerrado 1.- Primer teorema de Weierstrass Toda función continua en un intervalo cerrado permanece acotada en él f continua en [a,b] ⇒

∃ k ∈ R + / | f ( x )| < k , ∀x ∈ [ a, b ]

2.- Segundo teorema de Weierstrass Toda función continua en un intervalo cerrado alcanza en él un máximo y un mínimo absoluto. y

f continua

en [a, b]

⇒ ∃c∈ [ a , b ] / f ( c ) es

∃d ∈ [ a , b ] / f ( d ) es

mín

.absoluto

Máx . absoluto

y

M

.

m

a c b=d

x

3.- Teorema de los ceros de Bolzano Si una función es continua en un intervalo cerrado y tiene valores de distinto signo en los extremos del mismo, entonces existe por lo menos un punto interior al intervalo en el que la función se anula. y

H) f continua en [a,b] Sg[f(a)] ≠ Sg [f(b)] T)

∃ c ∈ ( a, b ) / f ( c) = 0

4.- Teorema del valor intermedio

a b

c x

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Análisis Matemático I: Conti-

53

Si f es continua en un intervalo cerrado y k es un número comprendido entre el mínimo y el máximo absoluto que la función alcanza en él, entonces existe por lo menos un punto interior al intervalo en el que la función es igual a k. H) f continua en [a,b] T) ∃ c ∈ (a , b) / f ( c) = k M máximo absoluto de f en [a,b] m mínimo absoluto de f en [a,b] k∈R/m0, a≠1)

Aplicamos logaritmos a ambos miembros: lnf(x) = ln [a

u(x)

] ⇒

ln f ( x )

=

u ( x ). ln a

1

Derivamos ambos miembros: 1

Derivando como función compuesta

f( x)

⋅ f ' ( x ) = ln

a

⋅u

'( x )

Derivada de una cte.por una función

Resulta: f ' (x) = f (x). ln a. u ' (x) ⇒ f ' (x) = au(x ). ln a . u ' (x)

Si u(x) = x, se tiene: f(x) = ax ⇒ f ' (x) = ax . ln a Si a=e , resulta:

f (x) = e u(x ) ⇒ f ' (x) = eu(x).u' (x)

Si a = e y u(x) = x:

f (x ) = e x ⇒ f ' (x ) = e x

Aplicación a funciones potenciales exponenciales Ejemplo f ( x)

=

(sen

x)

x

Aplicamos ln a ambos miembros y tenemos en cuenta (1): ln f (x) = x. ln(sen x) Derivamos el primer miembro como función compuesta y el segundo como producto: 1 1 ⋅ f ' (x) = 1. ln(sen x) + x ⋅ ⋅ cos x. ⇒ f(x) sen x  cos x   cos x  f ' (x) = f (x).ln(sen x) + x ⋅ ⇒ f ' (x) = (sen x) x .ln(sen x) + x ⋅  sen x  sen x    Derivación de funciones hiperbólicas:

1

El log.de una potencia es igual al exponente por el log.de la base

69

70

U.T.N. I:Derivadas Facultad Regional Avellaneda

(

1

1) f(x) = Shx=

2

(

2) f(x) = Chx =

1

3) f(x) = Thx=

Shx

2

− e − x)

x

e

e

+ e − x)

x

Chx

)

Análisis Matemático

(

)

⇒ f ' (x ) =

⇒ f ' (x ) =

) (

)

) (

)

1 x 1 x e − (− 1)e− x = e + e− x = Chx 2 2

⇒ f ' (x ) =

(

1 x 1 x e + (− 1)e− x = e − e− x = Shx 2 2

Chx .Chx − Shx.Shx 2

Ch x

=

Ch2x − Sh2x 2

Ch x

=

1 Ch2x

DERIVACIÓN DE FUNCIONES INVERSAS Sea f:A→B biyectiva / y = f(x), y sea g:B→A, su inversa / x = g(y) Resulta x = g[f(x)] ⇒

x

= ( g o f )(

x)

Derivando ambos miembros y recordfando quje el segundo es función compuesta, se tiene: 1= g‘ y .f ‘

x

⇒

g 'y

=

1 f 'x

Aplicación a funciones circulares inversas 1)

f(x) = arc sen x ⇒

x

= sen

f(x)

Derivando ambos miembros: 1 = cos f(x) . f ‘(x) 1 1 1 ⇒ f ' (x) = = = cos f (x) 1 − sen2 f (x) 1 − x2

cos2 a + sen2 a = 1

2) De la misma forma se prueba que si: 1

f(x) = arc cos x, resulta f ‘(x) = − 1

3) f(x) = arc tg x ⇒ x = 1= sec2 f(x). f ’(x) ⇒

tg f ( x )

f '( x )

−x2

. Derivando ambos miembros: 1

= sec

2

. f( x)

(*)

U.T.N. I:Derivadas Facultad Regional Avellaneda

Análisis Matemático

Como sen2 a + cos 2a= 1 , al dividir ambos miembros por cos2 a , se tiene: tg

2

a

+1 =

1 2

cos

a

=

2

sec

Reemplazando en (*):

a

f '( x)

⇒

sec

2

a

=

1 1

+ tg

1

=

+ tg

1

2

2

1

= f ( x)

a

1

+ x2

2)Aplicación a la derivación de funciones hiperbólicas inversas y = Arg Shx ⇒

1)

=

x

Sh y

Derivamos ambos miembros: 1 = Chy. y ’ ⇒

Pero: Ch2 a – Sh2 a = 1 ⇒ 1

Es decir: y ’= 1

+ Sh

Cha

=

y

+ Sh

2

a

1 Chy

(**)

1

=

2

1

y '=

1

+ x2

2) De la misma forma se prueba que : y

=

⇒

ArgChx

1

y '= x

3)y = Arg Thx ⇒

x

=

2

Thy

−1 1

. Derivamos ambos miembros: 1 =

Ch

Si en (**) dividimos ambos miembros por Cha, resulta: Th2 a – 1 =

1 Ch

Por lo tanto:

2

a

1 = ( Th2 y – 1) . y ‘ ⇒ y' =

1 2

Th y − 1

=

1 x

2

−1

2

.y ' y

71

72

U.T.N. I:DIFERENCIAL Facultad Regional Avellaneda

Análisis Matemático

Diferencial de una función en un punto Consideremos una función f derivable en x0; esto significa que existe y es finito el límite del cociente incremental.

lím

f (x) − f(x 0 )

x → x0

x − x0

= f ' (x 0 ) ⇒

f (x) − f (x 0 ) x − x0

= f ' (x0 ) + ϕ(x), con lím ϕ(x) = 0 x → x0

Si una función tiene límite finito para x →x 0 , entonces puede escribirse como la suma de su límite más un infinitésimo para x→x 0

Resulta: f (x) − f(x 0 ) = f ' (x 0 ).(x − x 0 ) + ϕ(x).(x − x0 ), con

∆x

∆x

∆y

lím ϕ(x) = 0

x→ x0

Definición: Dada una función f derivable en xo, punto interior de su dominio, se llama diferencial de f en el punto x0 con respecto al incremento ∆ x al producto de la derivada de f en x0 por. En símbolos:

df(x0; ∆ x )= f ’(x0). ∆ x

Resulta entonces que: (Tener en cuenta que

∆ x =x

∆ y = df

( x0 ;

∆x ) + ϕ( ∆x ). ∆x

, con

lím

∆ x →0

- x 0 ⇒x=x 0 + ∆ x ; además si x→ x o, entonces

ϕ( ∆x ) = 0

∆ x →0)

Como el segundo término tiende a cero, cuando ∆ x →0, se tiene que: ∆ y ≅ df

( x0 ;

∆x )

Probaremos que la variación de la función y su diferencial son infinitésimos equivalentes para ∆ x →0. En efecto: lím

∆y

∆x →0 df (x 0; ∆ x)

= lím

∆y

∆x →0 f ' (x0 ).∆x)

=

f ' (x 0 ) 1 ∆y lím = = 1; si f ' (x 0 ) ≠ 0 f ' (x 0 ) ∆x →0 ∆ x f ' (x 0 )

Interpretación geométrica:

Q P

U.T.N. I:DIFERENCIAL Facultad Regional Avellaneda

73

Análisis Matemático

f(x0 + ∆x )

df (x 0 ; ∆x) = f ' (x0 ).∆x = tg α.∆x =

RQ ∆x

⋅ ∆ x = RQ

∆x) representa la variación de ordenada de la recta tangente a la curva en P0(x0; f(x0)), al pasar de x0 a x0 +∆x. Es una aproximación de la variación de la función. df(x0;

Ejemplo: Calcular usando diferenciales el valor aproximado de e0, 3 Consideremos f(x) = ex; x0 =0 y ∆x=0,3 Resulta:f(xo+∆x)= f(x0) +∆y ≅

f ( x0 )

+ df

f(y ( x0 ;

∆x )

e valor aprox.

Como f ‘(x)= e e0,5 ≅

e

0

+e0

x

2.0

0

y e =1, se tiene:

. 0 ,3

0 ,3

2.5

⇒

e

0 ,3

≅1

1.5 1.0

,3

Usando calculadora: e0,3=1,3498588...

0.5 -0.4-0.3-0.2-0.1

Cuanto mayor sea ∆x, mayor es el error que se comete

Reglas y fórmulas de diferenciación: Veamos algunos ejemplos:

0.10.20.30.40.50.60.7 0.7

x

74

U.T.N. I:DIFERENCIAL Facultad Regional Avellaneda

Análisis Matemático

1)Diferencial de un producto Sea f(x) = u(x).v(x), con u y v derivables . df(x)=d[u(x).v(x)]=[u(x).v(x)]’ ∆ x = [u’(x).v(x)+u(x).v ’(x)]. ∆ x df(x)= u’(x).v(x) ∆ x + u(x).v ’(x) ∆ x du

⇒

d [ u ( x ). v ( x )]

=du. v(x) +u(x). dv

dv

2) Diferencial de f(x)= lnx df=d(lnx)=

1

∆x

x

En general, Las reglas y fórmulas de diferenciación son idénticas a las de derivación. y

= sen

y

=

y

=x

x

x

⇒

dy

= d (sen

= cos

x)

dy

=d(

⇒

dy

= dx = 1 . ∆x

x )

=

1

⇒

2

x

x . ∆x

∆x

(*) (*)

Se puede redefinir el concepto de diferencial utilizando dy=f ’(x). dx ⇒

f '( x0 )

=

dy dx

   x0

(Notación diferencial de la derivada)

Aplicaciones 1) Derivación de funciones definidas paramétricamente Ejemplo:  x =2t Sea y = f(x) definida mediante:  2 , Para obtener la relación entre las variables x e y y = 5 t debe eliminarse entre ellas el parámetro t. De la primera ecuación sale: t =

x 2

⇒

y

x  = 5 .  2 

Si nos interesa obtener y ‘(2), hacemos: y ‘=

5 4

2

. 2 .x

⇒ ⇒

y

=

5 4

y '( 2 )

x

2

=

. 5 4

.2 .2

=5

Se pretende encontrar esta derivada sin llevar la función a su expresión cartesiana: dy  x = 2 t ⇒ dx = 2 dt 10 t . dt Como y ‘ = y  ⇒ y'= = 5t 2 dx y =5t ⇒ dy = 10 tdt 2 dt  dy  Como para que x sea igual a 2, debe ser t=1, se tiene: y ' ( 2 ) = = 5 .1 = 5  dx  t =1

U.T.N. I:DIFERENCIAL Facultad Regional Avellaneda

75

Análisis Matemático

x = En general, dada y = f(x) mediante  y =

x( t ) y( t)

y ’=

, se puede obtener

dy dx

=

x 't dt y 't . dt

x 't

=

y 't

De la misma forma, para obtener y”, que es la derivada de la derivada, procederemos así:

=

y"

dy '

.

dx

5 dt

En el ejemplo: y”=

2 dt

= 2,5.

2) Derivación de funciones definidas en forma implícita. Dada una expresión del tipo F(x;y)=0 que defina una y = ϕ( x ) , interesa obtener y ‘ sin despejar. Ejemplo: Supongamos que: x.ey+ cos(x.y) – 2x2.y3 –1=0 define y = ϕ( x ) ,interesa obtener dy

ϕ' ( x ) =

dx

Primer procedimiento: Derivando y como función compuesta ey+x.ey.y ’-sen(x.y).[y +x.y ’]- 4.x.y3 –6.x 2 .y2.y ’=0 y ’[x.ey –x sen(xy)-6.x 2.y2 ]= -ey + y sen(xy) + 4.x.y3 Luego:

y '

=

−e xe

y

y

+

y sen(

−x

sen(

xy ) xy )

+4

xy

−6 x2

y

3 2

Segundo procedimiento: Usando diferenciales d(x.ey)+ d[cos(x.y)] – d[2x2.y3 ]=0 y

⇒

dx . e

⇒

e

⇒

dy . x . e

y

+ x .d ( e

. dx

+ x .e

[

y

−

y

y

)

. dy

y . sen(

− sen(

xy ). d ( xy )

−[ d ( 2 x 2

− sen(

x . y ).[ y . dx

+ x . dy

xy )

− 6 .x 2

y'=

.y

2

] = [− dx .

]

e

). y

3

+ 2 x 2 .d (

−[ 4 .x.y y

+

3

y . sen(

. dx

y

3

+ 6 .x 2

xy )

)

=0 .y

+ 4 . x. y

dy − e y + y sen( xy) + 4 xy 3 = dx xe y − x sen( xy) − 6 x 2y 2

2

3

. dy ]

=0

] ⇒ como y ’=

dy dx

, se tiene:

76

U.T.N. Análisis Matemático I:Propiedades de las funciones derivables Facultad Regional Avellaneda

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DERIVABLES 1.-Crecimiento y decrecimiento de una función Definiciones Considero f: A→ R y a y b interiores a A y f(a)

f(b) a

b x

•

•

•

•

f es estrictamente creciente en x=a ⇔ existe un entorno de “a” tal que :  x < a ⇒ f ( x ) < f (a ) ∀ x ∈ E ( a) :   x > a ⇒ f ( x ) > f (a ) x < a ⇒ f es creciente en x=a ⇔ existe un entorno de “a” tal que : ∀ x ∈E ( a ) :  x > a ⇒

f(x)

≤

f(a )

f ( x)

≥

f(a )

f es estrictamente decreciente en x=b ⇔ existe un entorno de “b” tal que :  x < b ⇒ f ( x ) > f ( b) ∀ x ∈ E (b ) :   x > b ⇒ f ( x ) < f ( b) x < b ⇒ f(x) ≥ f (b) f es decreciente en x=b ⇔ existe un entorno de “b” tal que : ∀x∈E(b):  x > b ⇒ f(x) ≤ f (b)

Si una función crece ( o decrece ) estrictamente en un punto, también lo hace en sentido amplio. La recíproca no es cierta. Una función puede crecer ( o decrecer) en sentido amplio y no hacerlo en sentido estricto . (Piense en y = cte) Relación entre el crecimiento de una función y el signo de la derivada primera TEOREMA: Si f es derivable en x = a y f ’ (a) >0, entonces f es estrictamente creciente en “a” H) f derivable en x = a T) f estrictamente creciente en “a” f ‘ (a) >0 Demostración: f derivable en x = a ⇒ existe y es finito el límite del cociente incremental. Como además, por hipótesis

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f ‘(a) > 0, entonces

lím

x →a

77

f (x ) − f (a ) > 0. Por una propiedad de los límites finitos, si un límite x−a

para x→a es distinto de cero, existe un entorno reducido de “a” en el que la función conserva el signo de su límite. Es decir:

f ( x ) − f ( a) > 0 ⇒ Sg[ f ( x) − f ( a)] = Sg[ x − a] ⇒ x−a < a ⇒ x − a < 0 ⇒ f (x ) − f (a ) < 0 ⇒ f ( x ) < f (a )   ⇒ f estrictamente creciente en x = a > a ⇒ x − a > 0 ⇒ f (x ) − f (a ) > 0 ⇒ f ( x ) > f (a ) 

∃δ > 0 / ∀ x ∈ E '( a; δ ): x ⇒ x

De manera similar se demuestra que si la derivada en “a" es negativa, la función es estrictamente decreciente.

2.- Extremos absolutos y locales Consideremos f: A→R, con A ⊆ R , y

x0 ∈ A, x1 ∈ A

Definiciones :

f (x0) es un máximo relativo o local de f⇔∃ δ > 0/ ∀ x∈ E[x0,δ] : f(x) ≤ f(x0) f(x0 )

y

f(x1 ) x x1 x0

f(x1 ) es un mínimo relativo o local de f⇔ ∃ δ > 0/ ∀x∈ E[x1 ,δ] :f(x) ≥ f(x1 ) f(a) es extremo relativo o local de f ⇔ f(a) es máximo o mínimo relativo Más Definiciones f(a ) es Máximo absoluto de f en A ⇔ f(a) ≥ f(x), ∀x∈ A f(b ) es mínimo absoluto de f en A ⇔ f(b) ≤ f(x), ∀x∈ A

78

U.T.N. Análisis Matemático I:Propiedades de las funciones derivables Facultad Regional Avellaneda

Los Máximos o mínimos absolutos de f en A se llaman extremos absolutos de f en A y

f(c) máximo absoluto y relativo. f(a)mínimo absoluto pero no relativo. f(d) mínimo relativo pero no absoluto.

f(c) f(d) f(a)

a

c

d

b

x

OBSERVACIONES: 1.- Los extremos absolutos no tienen porqué ser extremos relativos. 2.- Si un extremo absoluto se produce en un punto interior del dominio de la función, el extremo es también relativo. 3.- En los puntos de extremo relativo la función no es creciente ni decreciente.

Condición necesaria para la existencia de extremos relativos.Si f(x) es derivable en x = a y f(a) es un extremo relativo, entonces f ’ (a) = 0 En efecto:  f ' ( a ) > 0 ⇒ f estrict . crec. en x = a Supongamos que f ’ (a) ≠ 0, entonces sería:  absurdo pues  f ' ( a ) < 0 ⇒ f estrict . decrec. en x = a en x=a f presenta un extremo y por lo tanto no es estrictamente creciente ni decreciente. El absurdo surgió de suponer f ’ (a) ≠ 0, luego es f ’ (a) = 0 IMPORTANTE: La condición es necesaria pero NO suficiente. La derivada puede anularse en puntos en los que no hay extremos y puede haber extremos en puntos en los que f no es derivable Ejemplos: y = x3

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79

y ‘ = 3 x2 ⇒ 3 x2 =0⇒ x = 0 0.2

Pero en x= 0 la función es estrictamente creciente

0.1

-2

-1

1

2

-0.1

-0.2

-0.3

y = | x| presenta un extremo en x = 0 y sin embargo no es derivable en ese punto.

y

x

3.-Teorema de Rolle

Si f es continua en [a,b] , derivable en (a,b) y se cumple que f(a) = f(b), entonces existe un punto c interior al intervalo (a,b) en el que se anula la derivada de f.

H) f cont. en [a,b] T) ∃ c ∈ (a,b)/ f ‘(c)=0 f deriv. en (a,b) f(a) = f(b) Demostración: Por el segundo teorema de Weiersstras, toda función continua en un intervalo cerrado presenta en él un máximo (M) y un mínimo (m) absolutos. Se pueden presentar los siguientes casos: I) M = m En este caso, la función sería constante en el intervalo [a,b] y por lo tanto la derivada es cero. Es decir:

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U.T.N. Análisis Matemático I:Propiedades de las funciones derivables Facultad Regional Avellaneda

M=m ⇒ f(x) = k , ∀ x∈ [a,b] ⇒ f ‘(x)= 0, ∀ x ∈ (a,b) f(a)=f(b) a

II.- M ≠ m Se presentan tres posibilidades:

b

x

II.1.- M = f(a)=f(b) (El máximo se presenta en los extremos del intervalo) y M=f(a)=f(b)

f(c)

a

c

b

Como el máximo se presenta en los extremos, el mínimo debe presentarse en un punto interior del intervalo, es decir ∃ c ∈ (a,b) / m= f(c) . Pero si un extremo absoluto se presenta en un punto interior de un intervalo es a la vez relativo. Como la función es derivable en (a,b), por la condición necesaria para la existencia de extremos relativos: f ’ (c) = 0 Es decir, encontramos un punto c interior a (a,b) en el que se anula f ‘

II.2.- m = f(a) =f(b) (El mínimo se presenta en los extremos del intervalo)

f(c)

f(a)=f(b)=m

a

c

Como el mínimo se presenta en los extremos,el máximo debe presentarse en un punto interior del intervalo, es decir ∃ c’ ∈ (a,b) /M= f(c’) . Pero si un extremo absoluto se presenta en un punto interior de un intervalo es a la vez relativo. Como la función es derivable en (a,b), por la condición necesaria para la existencia de extremos relativos: f ’ (c’) = 0 Es decir, encontramos un punto c interior a (a,b) en el que se anula f ‘

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81

II.3.- El máximo y el mínimo absolutos se presentan en puntos interiores al intervalo. Con un razonamiento similar al seguido en los dos casos anteriores, podemos asegurar la existencia de, por lo menos, dos puntos c y c’ interiores a (a,b) en los que se anula f ‘

y f(c)

f(a)=f( f(c’ b) ) a c

c’

b

x

Como no hay más posibilidades para considerar, la tesis se cumple. Interpretación geométrica Geométricamente asegurar la existencia de un punto en el que la derivada es nula significa establecer que existe un punto en el que la recta tangente es horizontal. 4.-Teorema de Lagrange (o de los incrementos finitos , o del valor medio del Cálculo diferencial) Si f es continua en [a,b] , derivable en (a,b) , entonces existe un punto “ c” interior al intervalo (a,b) tal que la variación que experimenta la función al pasar de “a” a “b” es igual al producto de la derivada de f en dicho punto “c” por la amplitud del intervalo. H) f cont. en [a,b] f deriv. en (a,b)

T) ∃ c ∈ (a,b)/ f(b)-f(a)= f ‘(c).(b-a)

y

t

f f(b)

r

ϕ

A

a

c

Demostración: Consideramos los puntos A (a;f(a)) y B (b;f(b)). y − f (a) x−a La ecuación de la recta AB es: = f(b) − f (a) b − a Si despejamos y, obtenemos: f (b) − f(a) ⋅ (x − a) + f (a) ⇒ b −a f (b) − f(a) f (b) − f (a) y = ⋅x− ⋅ a + f(a) b −a b−a y =

x Llamamos r(x) a la función lineal cuya representación gráfica es la recta AB, entonces: b

r(x) =

f (b) − f (a) f (b) − f (a) ⋅ x + k con k = − ⋅ a + f (a) b− a b −a

Por ser una función lineal, podemos asegurar que r(x) es continua y derivable ∀ x∈R. Por representar la recta AB, podemos asegurar que: r(a) = f(a) y r(b) = f(b). Además r ’ (x) =

f (b) − f (a) , ∀ x∈R. (*) b− a

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Inventamos una función que verifique las hipótesis del Teorema de Rolle: Definimos ϕ (x) = f(x) - r(x) ϕ (x) es continua en [a,b] y derivable en (a,b) por ser resta de funciones continuas y derivables en esos intervalos ϕ (a) = f(a) -r(a)=f(a) -f(a) =0 ⇒ ϕ (a)= ϕ (b) ϕ (b) = f(b) -r(b)=f(b) -f(b) =0 Por el Teorema de Rolle , aplicado a ϕ , podemos asegurar que existe “c” ∈ (a,b) /ϕ‘(c)=0 f (b) − f (a) Como ϕ‘ (x)= f ’ (x) - r’ (x)= f ’ (x) por (*) b− a f (b) − f (a) f (b) − f (a) Entonces: ∃ “c” ∈ (a,b) / f ’ (c) =0 ⇒ f ’ (c)= b− a b− a Luego:

∃ “c” ∈ (a,b) / f(b) - f(a) = f ‘(c). (b-a)

Interpretación geométrica (Ver dibujo página anterior) El T. de Lagrange asegura que si f es continua en un intervalo cerrado [a,b] y derivable en el f (b) − f (a) correspondiente abierto, entonces ∃ “c” ∈ (a,b) / f ’ (c)= b− a El primer miembro representa la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto (c;f(c)), mientras que el segundo representa la pendiente de la cuerda que une los extremos del arco. Por lo tanto el teorema asegura que : Si f es continua en un intervalo cerrado [a,b] y derivable en el correspondiente abierto, entonces existe un punto en el arco representativo de f en (a,b) en el que la recta tangente es paralela a la cuerda que une los extremos del arco. 5.-Teorema de Cauchy (o del Valor Medio generalizado) Si f y g son dos funciones continuas en [a,b] y derivables en (a,b) , siendo g’ (x) no nula en cualquier punto de (a,b), entonces existe un punto “c” interior al intervalo tal que el cociente entre las variaciones de las funciones f y g al pasar de “a” a “b” es igual al cociente de sus respectivas derivadas en dicho pounto “c”. f (b) − f (a) f ' (c) H) f y g cont. en [a,b];f y g deriv. en (a,b) T) ∃ c ∈ (a,b)/ = g(b) − g (a) g'(c) g’(x) ≠0,∀ x∈(a,b) (La demostración es similar a la del Teorema de Lagrange. La función que permite aplicar el T. de Rolle es ϕ(x)=[f(b)-f(a)] .g(x) - [g(b)-g(a)]. f(x) 6.- Concavidad y convexidad de una función Definición:

y

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t

f x

b a t

Consideremos una función f derivable en x= a y x = b. f o su gráfico representativo es convexo, cóncavo hacia las “y”negativas o cóncavo hacia abajo en x = a ⇔ ∃ δ >0/ ∀x∈E’(a,δ) : f(x) - t(x) < 0 , siendo t(x) la función que representa la recta tangente a la curva en x = a. f o su gráfico representativo es cóncavo, cóncavo hacia las “y”positivas o cóncavo hacia arriba en x = b ⇔ ∃ δ >0/ ∀x∈E’(b,δ) : f(x) - t(x) > 0 , siendo t(x) la función que representa la recta tangente a la curva en x = b. Gráficamente significa que la función es convexa en A(a;f(a)) si y sólo si existe un entorno reducido de x=a tal que los puntos correspondientes del gráfico quedan por debajo de la recta tangente en A. Definición : (x0 ;f(x0 )) es un punto de inflexión de f ⇔ f es derivable en x0 y la recta tangente atraviesa la curva representativa de F. Es decir: y (x0 ;f(x0 ) es un punto de inflexión de f ⇔ es derivable en x0 ∀δ > 0 : [∃x∈E' (x 0; δ) /f (x) > t(x)∧ ∧ f(x) ∃x'∈E' (x 0 ; δ ) /f (x' ) n0 ⇒ an − l < ε ) Las sucesiones con límite finito son convergentes Por ejemplo: 3n lím = 3 ⇒ sucesión convergent e n→∞ n + 2

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Análisis Matemático I: Sucesiones y Series

Propiedades de las sucesiones convergentes: 1.- Toda sucesión convergente está acotada. 2.- Si una sucesión es convergente, su límite es único. 3.- Para las sucesiones convergentes valen las propiedades del álgebra de lími tes finitos .(límite de una suma, de un producto, etc) Definición 3: tiene límite infinito  lím an = ∞  si y sólo si n→∞  ∀ k >0, ∃ no ∈ N/∀ n :[ n ≥ n0 ⇒|a n | > k] La sucesión {an}n

≥1

Si una sucesión tiene límite infinito, es divergente Si no tiene límite , es oscilante. Ejemplos: lím (−2)n = ∃ → la sucesión es oscilante

n→ ∞

lím n

n→∞

2

= ∞ ⇒ la sucesión es divergente

Definición 4: ♦ La sucesión {an}n ≥1 está acotada inferiormente si y sólo si ∃ k ∈ R/ a n ≥ k, ∀ n (k es cota inferior) ♦ La sucesión {an}n ≥1 está acotada superiormente si y sólo si ∃ M∈ R/ a n ≤ M, ∀ n (M es cota superior) ♦ La sucesión {an}n ≥1 está acotada si y sólo está acotada superior e inferiormente Definición 5: La sucesión {an}n ≥1 es creciente si y sólo si ∀n: an ≤ an+1 Definición 6: La sucesión {an}n ≥1 es decreciente si y sólo si ∀n: an ≥ an+1 Definición 7: La sucesión {an}n ≥1 es monótona si y sólo si {an}n ≥1 es creciente o de creciente.

•

Propiedades de las sucesiones monótonas: i) Si la sucesión {an}n ≥1 es monótona y acotada, entonces es convergente.

ii) Si la sucesión {sn}n ≥1 se cumple que:

es monótona y no está acotada, entonces, si es

lím an = +∞ , y si es decreciente: lím an = − ∞ . n→ ∞ n→ ∞

creciente

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Análisis Matemático I: Sucesiones y Series

SERIES Definición 1: Sea la sucesión{ an }n ≥ 1 . Se llama serie de términos an a la sucesión de sumas parciales de n

{ an }n ≥ 1, es decir a la sucesión { Sn }n ≥ 1 donde Sn =

∑ ak

.

k =1

Como una serie es una sucesión, la serie es convergente si y sólo si la sucesión de sumas parciales es convergente. El límite de Sn es la “suma de la serie”. ∞

∑ ak

Para expresar la suma de una serie se utiliza la siguiente notación:

k =1

Pero, por abuso de notación, se suele representar con el mismo símbolo a la serie, aunque no se sepa si es o no convergente (Se lee “serie de los ak “ ) Propiedades: ∞

1.-

∑ ak

k =1

y

∞

∑ bk

k =1

∞

convergentes ⇒

∞

2.- ∀ α ≠ 0 :

∑ ak

k =1

+ bk )

y

∑ (a k

k =1

− bk )

convergentes.

∞

y

∑ α ⋅ ak

k +1

∞

3.-

∑ (a k

k =1

∞

∑ ak convergente

k =1

⇒

son ambas convergentes o ambas divergentes.

an = 0 lím n →∞

Definición 2:

∞

∑ ak

k =1

es una serie geométrica de razón r ⇔ a

Propiedades

n

= a .r n (con a y r ctes, a≠0)

∞

∑ a ⋅ r k converge ⇔ |r | 0 se cumple que: ak converge ⇔ bk converge bn k =1 k =1 ∞

Definición 3:

Se llama serie armónica a la serie

1

∑k.

k =1

La serie armónica diverge. En efecto: La serie armónica es: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1+ + + + + + + + + + + ... 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 >

La comparamos con:

1+

≥

≥

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + + + + + ... 2 4 4 8 8 8 8 16 16 16

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Análisis Matemático I: Sucesiones y Series

La segunda serie puede agruparse de tal forma que desde el segundo término en adelante se obtiene una serie geométrica de razón 1, es decir, divergente. Entonces por si la serie armónica admite una serie minorante divergente, es divergente. ∞

Se llama serie armónica generalizada o serie “ p”armónica

∑

a la serie

k =1 k

. Esta serie sólo converge si p >1; en los demás casos diverge. Veamos el caso p=2 ∞

1

∑n

n =1

2

=1 +

1 2

2

+

1 3

2

+

1 4

1

+

2

5

2

+

1 6

2

+

1 7

2

+

1 8

2

+

1 9

2

+

1 10 2

Λ =

1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + + Λ 4 9 16 25 36 49 64 81 = < = < < < 1 1 1 1 1 1 1 1 1+ + + + + + + + Λ 4 4 16 16 16 16 64 64

=1 +

La comparamos con

Entonces:

1+

2

1 + 4

Κ 4

1 Λ +Λ 16

1 Λ 64

La segunda serie puede agruparse de tal forma que se obtiene una serie geométrica de razón 1/2, es decir, convergente. Entonces por si la serie armónica admite una serie mayorante convergente, es convergente. II.- Criterio de D’Alembert Si { a n}

es una sucesión de términos positivos tal que

n ≥1

an + 1

lím n→ ∞ a n

∞

∑ ak

= l , entonces: l 1 ⇒

k =1

diverge

(Si l =1, el criterio no permite obtener conclusiones) III.- Criterio de Cauchy Si { a n} n ≥1 es una sucesión de términos positivos tal que

lím

∞

n an =

l , entonces:

l 1

∑

ak diverge. k =1 (Si l =1, el criterio no permite obtener conclusiones) ⇒

IV.- Criterio de Raabe (Se utiliza cuando al aplicar D’Alembert se obtiene límite 1)

Si {

a n} n ≥1 es una sucesión de términos positivos tal que

1 p

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Análisis Matemático I: Sucesiones y Series ∞

 an  − 1  = límn ⋅  a  n +1  n→ ∞

`

l

, entonces:

l >1

∑ ak

⇒

k =1

converge

∞

l 1, las sucesiones numéricas que se obtienen divergen. ♦ Si -10, para cada x ∈A, existe no(ε) ∈N tal que para todo n ≥ no se cumple que |f n(x)- f(x)|< ε . La expresión remarcada nos indica que, en realidad n0 depende de ε y del valor de x consi derado.

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Análisis Matemático I: Sucesiones y Series

I.3.-Definición : Dada la sucesión de funciones (fn )n≥1 , de A en R ( con A⊆R), se dice que la sucesión converge uniformemente a una cierta función f:B→R (con B⊆A) si y sólo si se verifica que para cualquier ε>0, existe no(ε) ∈N tal que si x∈B y n ≥ no , entonces |f n(x)- f(x)|< ε. Obsérvese que en este caso el valor de n para un ε dado es el mismo, independientemente del valor de x que se considere. En el gráfico que sigue puede verse que la sucesión del ejemplo no converge uniformemente en (-1,1] ya que para ε= 0,5 (rectángulo) no se verifica que, Independientemente del valor de x, exista n0 / n ≥ n0 ⇒|f n(x)- f(x)|< ε.

f1

y

•

f2

ε

f3

f4

x f

-ε

Otro ejemplo:

1 sen( nx ) . n

Consideremos A=R y (fn )n≥1 / fn(x)= 2 Como:

|f n(x)|=

1 1 1 2 sen( nx ) = 2 ⋅ sen( nx ) ≤ 2 , n n n

resulta que si se toma n0
0, ∃n0
1, f 1 |fn -0|