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• Maicol Mendoza Cantu

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26/10/2015 UNIVERSIDAD AUTÓNOMA METROPOLITANA Laboratorio del cuerpo rígido y oscilaciones.

Práctica 4: Cuerpos Rodantes Grupo: CTG06 Profesora: Catalina Ester Haro Pérez. Equipo 2:

 Muñoz Cuevas Víctor Manuel.  Moreno Navarrete Brandon Alan.  Almaraz Pedro Sergio.  Jose Miguel Hidalgo Mendoza.

1

INDICE Objetivos. ..................................................................................................................................................................3 Fundamentos Teóricos. ..........................................................................................................................................3 Material. .....................................................................................................................................................................5 Descripción del dispositivo experimental. ............................................................................................................6 Exposición de medidas experimentales..........................................................................................................6 Obtención de datos, tablas y gráficas. ...........................................................................................................7 Observaciones y conclusiones. .......................................................................................................................... 15 Bibliografía. ............................................................................................................................................................ 15

2

Objetivos. • Estudio del movimiento de un cuerpo rodante en un plano inclinado •

Medir la aceleración de un cuerpo rodante (esfera y cilindro)

Fundamentos Teóricos. A continuación se explican brevemente algunos conceptos muy importantes para la realización de esta práctica. Como hemos visto anteriormente en la UEA correspondiente a Cinemática, sabemos que un cuerpo se desliza sobre una superficie que ejerce fuerzas sobre él, y hemos usado los términos de fuerza normal y de fricción para describirlas. También es muy importante mencionar que los cuerpos rodantes Son todos aquellos cuerpos que, debido a su geometría, tienen la capacidad de rodar: esfera, aro, disco, superficie esférica, cilindro. Estos cuerpos pueden deslizar, rodar o ambas cosas simultáneamente. Cuerpo rodante sin rozamiento: Consideremos una esfera de radio R que desliza sobre una superficie, por tanto se está trasladando sin dar vueltas, y por tanto todos los puntos de la esfera tienen la misma velocidad v de traslación.

Si la esfera no está apoyada sobre ninguna superficie, y que ademas gira con velocidad angular ω ; los puntos superior e inferior de la superficie se mueven con velocidad v = Rω respecto al centro de la esfera (que se encuentra en reposo).

Supongamos que la esfera rueda sobre una superficie. Cuando la esfera ha girado un ángulo ϕ , el puntode contacto (A) entre la bola y el plano se mueve una distancia s = Rϕ

3

Como el centro de la esfera se encuentra sobre el punto de contacto, el centro de gravedad G también se ha movido la misma distancia s

Cuerpo rodante sin deslizamiento Estas condiciones “no deslizantes” se denominan condiciones de rodadura. El cuerpo está sobre el plano y rueda con velocidad v = Rω sin deslizamiento, se trata de un movimiento de rotación en torno a un eje que pasa por el punto de contacto. Ese punto está instantáneamente en reposo.

Con estos principios se formulan las siguientes expresiones matemáticas

F

 ma  m g sen  FR  ma



 I   FR R  I

x

i

m g sen  I

a a  FR  I 2 R R

a  ma R2

El momento de inercia de la esfera y el cilindro son: 1 2 I  mR 2 I  mR 2 5 2 Ec 

1 2 1 2 1 2 1 v2 mv  I  mv  I 2 2 2 2 2 R

Ep  mgh

Energía potencial

4

Material.  Plano Inclinado  Flexómetro  Cilindro  Esfera  Balanza  Smart timer  2 Fotocompuertas

5

Descripción del dispositivo experimental. 1. Para iniciar la práctica se medió la masa de la esfera y el cilindro que se utilizaron (esto es para obtener la incertidumbre del cuerpo). 2. Se colocó un plano con un Angulo aproximado a 1°, y de altura 0.04m. 3. Se instaló el Smart timer con las foto compuertas. 4. Se dejó rodar la esfera y cilindro a partir del reposo desde un punto 0 tomado como origen. 5. Se tomaron medidas de distancia x, y tiempo t para 8 distancias diferentes. Estas estaban comprendidas entre 0.1m y 0.4m por parte de las fotos compuertas. 6. Se determinó la dependencia funcional entre posición y tiempo, para cada uno de los cuerpos utilizados. 7. Se estimó la aceleración de caída de los cuerpos y se comparó el valor teórico con el experimental. 8. Después se calculó el cambio de la energía cinética (k) de los cuerpos tras recorres 0.4m. y se comparó con el cambio de la energía potencial (U) entre esos dos puntos. Exposición de medidas experimentales Datos acerca de los instrumentos utilizados. Cilindro Esfera Diámetro : (0.025 ± 0.001)m Masa : (0.06480 ± 0.00001)kg Diámetro : (0.025 ± 0.001)m Altura : (0.047 ± 0.001)m Masa : (0.06650 ± 0.00001)kg Radio : ( 0.0127 ± 0.0005)m Radio : ( 0.0127 ± 0.0005)m Es evidente que al medir la masa de los cuerpos en la abalanza, esta contiene una incertidumbre de la unidad más pequeña, pero así mismo las masas, ya que no es exacto, por lo tanto tomamos como error de masa, la mas grande. Además se ha utilizado el flexómetro cuya incertidumbre es de ± 0.001m. 𝑚 Gravedad en Azcapotzalco, Distrito federal es de 9.78 𝑠2 Al utilizar un plano inclinado de ángulo 1°grado, se tuvo que calcular la altura correspondiente con la formula 𝐶𝑜 𝑠𝑒𝑛 ∅ = ℎ Donde al despejar Co(altura) y sabiendo que la longitud del plano(h) utilizado es de (2.287 ± 0.001)m. tenemos: 𝑠𝑒𝑛 ∅ℎ = 𝐶𝑜 (0.040 ± 0.001)𝑚 = 𝐶𝑜 La altura a utilizar en el plano cuyo ángulo fue de 1°grado es de 0.04m

6

Obtención de datos, tablas y gráficas. Calculando la aceleración del cilindro a) Experimental RESULTADOS OBTENIDOS POR EL CILINDRO (CUERPO RODANTE) N° Posición (m) Tiempo (s) datos Resultado 1

2

0.100±0.001

0.135±0.001

3

0.170±0.001

4

0.205±0.001

5

6

0.240±0.001

0.2750±0.001

7

0.310±0.001

8

0.350±0.001

9

0.400±0.001

0.9734 0.9350 0.9504 0.9912 0.9299 0.9307 1.0925 1.1431 1.1167 1.1803 1.1095 1.1229 1.3236 1.3222 1.3127 1.5655 1.5500 1.5227 1.5985 1.6029 1.5988 1.6684 1.7079 1.6304 1.6261 1.6514 1.6360 1.7928 1.8607 1.8932 1.9073 1.8041 1.8535 1.8826 1.8578 1.8611 2.1188 2.1029 2.0586 2.0738 2.0251 2.0268 2.2140 2.2122 2.1632 2.2086 2.2349 2.2781

X= 0.95293 s Disp.= 0.0384 %= 4.0296 X= 0.951766 s D=0.015325 X= 0.83807s Disp.= 0.0506 %= 6.03 X= 1.1275 s D= 0.02195 X= 1.3195s Disp.= 0.0109 %=0.8260 X= 1.5460s Disp.= 0.0428 %= 2.7683 X= 1.57306s D= .02005 X= 1.68556s Disp.= 0.0495 %= 2.9366 X= 1.6617s D= 0.02295 X= 1.8589s Disp.= 0.1004 %= 5.4010 X= 1.85196s D= 0.028675 X= 1.8671s Disp.= 0.0248 %= 1.3282 X= 2.0934s Disp.= 0.0602 %= 2.8757 X= 2.0676s D= 0.02342 X= 2.19646s Disp.= 0.0508 %= 2.3128

(0.952 ± 0.015) s

(1.128 ± 0.022) s

(1.320 ± 0.011) s

(1.573 ± 0.020) s

(1.662 ± 0.023) s

(1.85 ± 0.03) s

(1.867 ± 0.022)

(2.066 ± 0.023) s

(2.2 ± 0.03) s

X= 2.2185s D=0.028725

7

N° 1 2 3 4 5 6 7 8 9

RESULTADOS FINALES DEL CILINDRO PARA GRAFICAR. Posición (m) ,y Tiempo (s) Tiempo (s˄2) , x 0.100±0.001 0.952 ± 0.015 0.906 ± 0.014 0.135±0.001 1.128 ± 0.022 1.272 ± 0.025 0.170±0.001 1.320 ± 0.011 1.742 ± 0.015 0.205±0.001 1.573 ± 0.020 2.47 ± 0.03 0.240±0.001 1.662 ± 0.023 2.76 ± 0.04 0.275±0.001 1.85 ± 0.03 3.42 ± 0.06 0.310±0.001 1.867 ± 0.022 3.49 ± 0.04 0.350±0.001 2.066 ± 0.023 4.27 ± 0.05 0.400±0.001 2.20 ± 0.03 4.84 ± 0.07

Por la ecuación 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏, donde m es la pendiente y b es la ordenada tenemos: 𝑆 = ( 0.07523 ± 0.00015)𝑡 2 + (0.03184 ± 0.00013) Además de la ecuación 1 𝑠 = 𝑎𝑡 2 2 8

Y despejando a (aceleración), sabiendo que 𝑡 2 es la variable x, de la misma ecuación de 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏. Entonces tenemos: 2𝑏 = 𝑎 Donde b es la pendiente y a es la aceleración. Entonces decimos que la aceleración en 2 veces la pendiente. Es decir; 𝑏 = 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 = ( 0.07523 ± 0.00015) 2𝑏 = ( 0.1505 ± 0.0003)

𝑚 𝑠2

Por lo tanto la aceleración experimental del cilindro es; 𝒎

a = ( 𝟎. 𝟏𝟓𝟎𝟓 ± 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟑) 𝒔𝟐 b) Teórico Para calcular el valor de la aceleración del cilindro teóricamente, tenemos; 𝑎=

2 𝑔 𝑆𝑒𝑛 ∅ … … … . . (𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1) 3 𝒎 𝒂 = 𝟎. 𝟏𝟏𝟑𝟖 𝟐 𝒔

Ahora partiendo de la ecuación; 𝑠𝑒𝑛 ∅ =

𝐶𝑜 ℎ

Se derivó parcialmente para obtener la incertidumbre del 𝜃; ∆𝜃 = [

𝛿𝜃 𝛿𝜃 ] ∆𝐿𝑜 + [ ] ∆ℎ 𝛿𝐿𝑜 𝛿ℎ

Después una vez obtenido esto se deriva parcialmente la ecuación 1, teniendo ya en cuenta la incertidumbre del Angulo. Aceleración del cilindro Experimental Teórica

m ( 0.1505 ± 0.0003) 2 s m 0.1138 2 s

fórmula 𝑉𝑡 − 𝑉𝑒 ∗ 100 𝑉𝑡 Donde; Vt = valor teórico Ve = valor experimental

Discrepancia

24.3953%

9

Calculando la aceleración de la esfera. a) Experimental N°

1

2

3

4

5

RESULTADOS OBTENIDOS POR LA ESFERA (CUERPO RODANTE) Posición (m) Tiempo (s) datos Resultado

0.100±0.001

0.135±0.001

0.170±0.001

0.205±0.001

0.240±0.001

6

0.275±0.001

7

0.310±0.001

8

9

0.350±0.001

0.400±0.001

0.8178 0.8821 0.8497 0.8254 0.8281 0.8401

X= 0.8498666 s Disp.= 0.0643 %= 7.565898

0.9544 0.9732 0.9946 0.9743 0.9809 0.9515

X= 0.974066s Disp.= 0.0402 %= 4.127030

1.1258 1.1925 1.1555 1.1680 1.1392 1.1951 1.3263 1.2713 1.3363 1.2472 1.3217 1.3756

(0.841 ± 0.016) s

X= 0.840533 s D=0.016075

(0.971 ± 0.011) s

X= 0.9714833 s D= 0.010775 X= 1.157933 s Disp.= 0.0667 %=5.760264

(1.163 ± 0.017) s

X= 1.1626833 s D= 0.017325 X= 1.3113s Disp.= 0.065 %= 4.956912

(1.31 ± 0.03) s

X= 1.313066s D= 0.0321

1.4435 1.3972 1.4270 1.3459 1.4306 1.4362

X= 1.422566 s Disp.= 0.0463 %= 3.254682

1.6152 1.5723 1.5858 1.6946 1.6814 1.7216

X= 1.5911s Disp.= 0.0429 %= 2.69624 X= 1.6992s Disp.= 0.0248 %= 2.365819

1.7748 1.8282 1.7446 1.7950 1.8082 1.8171

X= 1.782533s Disp.= 0.0602 %= 4.521655

1.8412 1.9253 1.8614 1.9329 1.8845 1.9628

X= 1.875966s Disp.= 0.0841 %= 4.483023

(1.413 ± 0.024) s

X= 1.4134s D= 0.0244 (1.59 ± 0.04) s

(1.699 ± 0.025) s

(1.795 ± 0.020) s

X= 1.79465s D= 0.0209

(1.90 ± 0.03) s

X= 1.90135s D=0.0304

10

N° 1 2 3 4 5 6 7 8 9

RESULTADOS FINALES DE LA ESFERA PARA GRAFICAR. Posición Tiempo (s˄2) , x Tiempo (s) (m) ,y 0.100±0.001 0.841 ± 0.016 0.707 ± 0.013 0.135±0.001 0.971 ± 0.011 0.943 ± 0.011 0.170±0.001 1.163 ± 0.017 1.353 ± 0.020 0.205±0.001 1.31 ± 0.03 1.72 ± 0.04 0.240±0.001 1.413 ± 0.024 2.00 ± 0.03 0.275±0.001 1.59 ± 0.04 2.53 ± 0.06 0.310±0.001 1.699 ± 0.025 2.89 ± 0.04 0.350±0.001 1.795 ± 0.020 3.22 ± 0.04 0.400±0.001 1.90 ± 0.03 3.61 ± 0.06

Por la ecuación 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏, donde m es la pendiente y b es la ordenada tenemos: 𝑆 = ( 0.0980 ± 0.0003)𝑡 2 + (0.0361 ± 0.0008)

11

Además de la ecuación 1 𝑠 = 𝑎𝑡 2 2 Y despejando a (aceleración), sabiendo que 𝑡 2 es la variable x, de la misma ecuación de 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏. Entonces tenemos: 2𝑏 = 𝑎 Donde b es la pendiente y a es la aceleración. Entonces decimos que la aceleración en 2 veces la pendiente. Es decir; 𝑏 = 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 = ( 0.0980 ± 0.0003) 2𝑏 = ( 0.1960 ± 0.0006)

𝑚 𝑠2

Por lo tanto la aceleración experimental del cilindro es; 𝒂 = ( 𝟎. 𝟏𝟗𝟔𝟎 ± 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟔)

𝒎 𝒔𝟐

b) Teórico Para calcular el valor de la aceleración del cilindro teóricamente, tenemos; 5 𝑔 𝑆𝑒𝑛 ∅ 7 𝒎 𝒂 = 𝟎. 𝟏𝟐𝟏𝟗 𝟐 𝒔 𝑎=

Ahora partiendo de la ecuación; 𝑠𝑒𝑛 ∅ =

𝐶𝑜 … … . (1) ℎ

Se derivó parcialmente para obtener la incertidumbre del 𝜃; ∆𝜃 = [

𝛿𝜃 𝛿𝜃 ] ∆𝐿𝑜 + [ ] ∆ℎ 𝛿𝐿𝑜 𝛿ℎ

Después una vez obtenido esto se deriva parcialmente la ecuación 1, teniendo ya en cuenta la incertidumbre del Angulo. Aceleración de la esfera

Experimental

( 0.1960 ± 0.0006)

m s2

formula 𝑉𝑡 − 𝑉𝑒 ∗ 100 𝑉𝑡 Donde; Vt = valor teórico Ve = valor experimental

Discrepancia

37.8061%

12

Calculando la energía cinética para la esfera. Hay que recordar que; 𝑘=

1 1 𝑚𝑣 2 + 𝐼𝑤 2 2 2

𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑐𝑖𝑛𝑒𝑡𝑖𝑐𝑎

Además de las ecuaciones:

𝑣 = 𝑟𝑤 𝑤= √

𝑚𝑔𝑟 𝐼

Y

𝐼 (𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎) =

𝑤2 =

𝑚𝑔𝑟 𝐼

2 𝑚𝑟 2 5

Donde:      

K = energía cinética (j) M= masa (kg) V = velocidad (m/s˄2) I = momento de inercia R = radio (m) w = velocidad angular (rad/s)

𝐾 (𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜) =

1 1 7 7 𝑚𝑣 2 + 𝐼𝑤 2 = 𝑚𝑔𝑟 = (0.06650)(0.0127)(9.78) = 0.014 𝐽. 2 2 4 4

Calculando la energía potencial para la esfera.

𝑈 𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = 𝑚𝑔ℎ = (0.06650)(9.78)(0.04) = 0.03 𝐽.

Entonces la conservación de energía dice: 𝐾≠𝑈 0.014 𝐽 ≠ 0.03 𝐽

13

Calculando la energía cinética para el cilindro. Hay que recordar que; 𝑘=

1 1 𝑚𝑣 2 + 𝐼𝑤 2 2 2

𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑐𝑖𝑛𝑒𝑡𝑖𝑐𝑎

Además de las ecuaciones:

𝑣 = 𝑟𝑤 𝑤= √

𝑚𝑔𝑟 𝐼

Y

𝐼 (𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎) =

𝑤2 =

𝑚𝑔𝑟 𝐼

1 𝑚𝑟 2 2

Donde:      

K = energía cinética (j) M= masa (kg) V = velocidad (m/s˄2) I = momento de inercia R = radio (m) w = velocidad angular (rad/s)

𝐾 (𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜) =

1 1 3 3 𝑚𝑣 2 + 𝐼𝑤 2 = 𝑚𝑔𝑟 = (0.06480)(0.0127)(9.78) = 0.012 𝐽. 2 2 2 2

Calculando la energía potencial para la esfera.

𝑈 𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = 𝑚𝑔ℎ = (0.06480)(9.78)(0.047) = 0.03 𝐽.

Entonces la conservación de energía dice: 𝐾=𝑈 0.012 𝐽 = 0.03 𝐽

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Observaciones y conclusiones. Podemos afirmar que la energía mecánica no se conserva ya que la energía potencial (U), y la energía cinética (K) no son iguales. Debido a que la K incrementa y al final la (U) es cero. 𝐾 ≠ 𝑈. Los resultados que obtuvimos no fueron los que esperábamos debido a que la energía potencial es mayor a la cinética.

Bibliografía. Física universitaria. Sears-Zemansky Física universitaria; Física universitaria con física moderna / Young, Hugh D.; Freedman, Roger A.; Ford, A. Lewis.; Sears, Francis Weston. - 12a. ed. -- Naucalpan de Juárez (México): Pearson Educación de México, 2009. (vol. 1) http://ocw.upm.es/ingenieria-agroforestal/fisica/contenido/material-de-clase/Tema-6/Teoria rodadura.pdf

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