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´ CUADERNOS DE ALGEBRA

No. 5 Cuerpos

Oswaldo Lezama

Departamento de Matem´aticas Facultad de Ciencias Universidad Nacional de Colombia Sede de Bogot´a

30 de mayo de 2017

ii

Cuaderno dedicado a Wilma, mi esposa.

Contenido Pr´ ologo

iv

1. Polinomios 1.1. Generalidades . . . . . . . . . . . . 1.2. Polinomios sobre cuerpos . . . . . . 1.3. Algoritmos de la divisi´on y Euclides 1.4. Teorema de Gauss . . . . . . . . . 1.5. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Polinomios en varias variables . . . 1.7. Polinomios sim´etricos . . . . . . . . 1.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . en K[x] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Extensiones de cuerpos 2.1. Extensiones simples . . . . . . . . . . . . . 2.2. Extensiones algebraicas . . . . . . . . . . . 2.3. El cuerpo de los n´ umeros algebraicos . . . 2.4. Cuerpo de descomposici´on de un polinomio 2.5. Clausura algebraica de un cuerpo . . . . . 2.6. Dependencia e independencia algebraica . 2.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Fundamentos de la teor´ıa de Galois 3.1. Extensiones normales . . . . . . . . . . . . 3.2. Ra´ıces de la unidad . . . . . . . . . . . . . 3.3. Cuerpos finitos . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Extensiones separables y cuerpos perfectos 3.5. Teorema del elemento primitivo . . . . . . 3.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1 1 5 7 18 24 25 30 35

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38 38 46 48 50 57 61 68

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70 70 73 75 77 80 82

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4. Teor´ıa de Galois 83 4.1. El grupo de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.2. Teorema fundamental de la teor´ıa de Galois . . . . . . . . . . . . . . 86 iii

iv

CONTENIDO

4.3. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 5. Solubilidad por radicales 92 5.1. Polinomios solubles por radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 5.2. Teorema de Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Bibliograf´ıa

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Pr´ ologo La colecci´on Cuadernos de ´algebra consta de 10 publicaciones sobre los principales temas de esta rama de las matem´aticas, y pretende servir de material para preparar los ex´amenes de admisi´on y de candidatura de los programas colombianos de doctorado en matem´aticas. Los primeros cinco cuadernos cubren el material b´asico de los cursos de estructuras algebraicas y ´algebra lineal de los programas de maestr´ıa; los cinco cuadernos siguientes contienen algunos de los principales temas de los ex´amenes de candidatura, a saber: anillos y m´odulos; categor´ıas; ´algebra homol´ogica; ´algebra no conmutativa; ´algebra conmutativa y geometr´ıa algebraica. Cada cuaderno es fruto de las clases dictadas por el autor en la Universidad Nacional de Colombia en los u ´ltimos 25 a˜ nos, y est´an basados en las fuentes bibliogr´aficas consignadas en cada uno de ellos, como tambi´en en el libro Anillos, M´ odulos y Categor´ıas, publicado por la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional de Colombia, y cuya edici´on est´a totalmente agotada (v´ease [8]). Un material similar, pero mucho m´as completo que el presentado en estas diez publicaciones, es el excelente libro de Serge Lang, Algebra, cuya tercera edici´on revisada ha sido publicada por Springer en el 2004 (v´ease [7]). Posiblemente el valor de los Cuadernos de ´ algebra sea su presentaci´on ordenada y did´actica, as´ı como la inclusi´on de muchas pruebas omitidas en la literatura y suficientes ejemplos que ilustran la teor´ıa. Los cuadernos son: 1. 2. 3. 4. 5.

Grupos Anillos M´odulos ´ Algebra lineal Cuerpos

6. Anillos y m´odulos 7. Categor´ıas ´ 8. Algebra homol´ogica ´ 9. Algebra no conmutativa 10. Geometr´ıa algebraica

Los cuadernos est´an divididos en cap´ıtulos, los cuales a su vez se dividen en secciones. Para cada cap´ıtulo se a˜ nade al final una lista de ejercicios que deber´ıa ser complementada por los lectores con las amplias listas de problemas que incluyen las principales monograf´ıas relacionadas con el respectivo tema. Cuaderno de cuerpos. Uno de los problemas cl´asicos que motiva la teor´ıa que se estudia en este cuaderno es la solubilidad de ecuaciones polin´omicas, es decir, el problema de determinar condiciones necesarias y suficientes para saber si una ecuaci´on polin´omica p(x) = 0, de grado n ≥ 1, y con coeficientes en un cuerpo K, v

vi

´ PROLOGO

tiene ra´ıces expresables por medio de radicales. Para ello es necesario desarrollar la teor´ıa de cuerpos, estudiar sus extensiones y sus automorfismos. Una vez estudiada la teor´ıa b´asica de cuerpos, se introduce la noci´on de grupo de Galois de una extensi´on finita, normal y separable, se establece la correspondencia que existe entre extensiones y subgrupos del grupo de Galois, para llegar finalmente al teorema fundamental de la teor´ıa de Galois. En la parte final del cuaderno, como aplicaci´on, se estudia la solublilidad de ecuaciones polin´omicas por medio de radicales. Para una mejor comprensi´on de los temas tratados en el presente cuaderno se asume que el lector est´a familiarizado con las nociones b´asicas de la teor´ıa de grupos, teor´ıa de anillos y a´lgebra lineal (v´eanse por ejemplo [6], [9], [10] y [12]). A denotar´a un anillo no necesariamente conmutativo y con unidad 1. A∗ es el grupo multiplicativo de los elementos invertibles del anillo A. Si f es un homomorfismo de anillos, entonces f (1) = 1. El autor desea expresar su agradecimiento a Fabio Alejandro Calder´on Mateus por la lectura cuidadosa y las correcciones finales introducidas al presente cuaderno. Oswaldo Lezama Departamento de Matem´aticas Universidad Nacional de Colombia Bogot´a, Colombia [email protected]

Cap´ıtulo 1 Polinomios El primer cap´ıtulo del presente cuaderno estudia la aritm´etica b´asica del anillo de polinomios en varias variables con coeficientes en un cuerpo. Destacamos el algoritmo de la divisi´on y el algoritmo de Euclides, para lo cual consideramos ´ordenes monomiales sobre la colecci´on de los monomios est´andar. El teorema de Gauss y los polinomios sim´etricos tambi´en ocupan un lugar importante en este cap´ıtulo.

1.1.

Generalidades

Iniciamos recordando la construcci´on del anillo de polinomios como subanillo del anillo de series. Los detalles completos de la construcci´on se pueden consultar en [10]. Sean A un anillo y S el conjunto de sucesiones en A, S := {(a0 , a1 , a2 , . . .) := (ai ) | ai ∈ A, i = 0, 1, 2, . . .}; entonces las operaciones de adici´on y multiplicaci´on definidas en S de la siguiente manera a = (ai ), b = (bi ), a + b := c = (ci ) , ciP := ai + bi , i = 0, 1, 2, . . . ab := d = (di ), di := j+k=i aj bk , i = 0, 1, 2, . . . dan a S una estructura de anillo (dos sucesiones son iguales si, y s´olo si, ai = bi , para cada i = 0, 1, 2, . . .). El cero de S es la sucesi´on nula 0 := (0, 0, . . .), y la opuesta de a = (ai ) es −a := (−ai ). Es f´acil comprobar que el uno de S es la sucesi´on 1 := (1, 0, 0, . . .) 1

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CAP´ITULO 1. POLINOMIOS

y que el producto se distribuye sobre la adici´on. El anillo S se denomina anillo de sucesiones formales en A. Algunas propiedades relativas a esta construcci´on se presentan a continuaci´on: (i) Notemos que el anillo S de sucesiones formales es conmutativo si, y s´olo si, A es un anillo conmutativo. (ii) La funci´on ι:

A a

−→ 7−→

S (a, 0, 0, . . .)

es un homomorfismo inyectivo. (iii) En el anillo S se destacan de manera especial las sucesiones que tienen un n´ umero finito de t´erminos no nulos. Se dice que la sucesi´on a = (a0 , a1 , a2 , . . .) es un polinomio si existe un entero n tal que ai = 0 para i > n. Se denomina grado del polinomio a al mayor entero n tal que an 6= 0, y se denota por gr (a). Los polinomios de grado 0 se denominan constantes. La sucesi´on nula es un polinomio sin grado. Si a es un polinomio de grado n, entonces an+k = 0 para k ≥ 1: a = (a0 , a1 , . . . , an , 0, . . .). Los elementos a0 , a1 , . . . , an se denominan coeficientes del polinomio a; a0 se denomina coeficiente independiente de a. El elemento an se denomina el coeficiente principal de a y se denota por lc(a). Se dice que a es m´ onico si lc(a) = 1. (iv) El conjunto P de polinomios de S es un subanillo de S. (v) Queremos ahora presentar los polinomios en su forma habitual de sumas finitas. Si x denota la sucesi´on: x := (0, 1, 0, . . .) entonces x2 = (0, 0, 1, 0, . . .) x3 = (0, 0, 0, 1, 0, . . .) .. . xn = (0, . . . , 0, 1, 0, . . .).

1.1. GENERALIDADES

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Adem´as, podemos identificar los polinomios constantes en la forma (a0 , 0, . . .) := a0 , a0 ∈ A, y un polinomio de grado n se escribir´a a (x) := (a0 , a1 , . . . , an , 0, . . .) = a0 + a1 x + · · · + an xn . El conjunto P de los polinomios en x con coeficientes en A ser´a denotado por A [x]. Al anillo S de sucesiones lo denotaremos por A [[x]]. (vi) Para cada a ∈ A: ax = (a, 0, . . .) (0, 1, 0, . . .) = (0, a, 0, . . .) = xa. (vii) Se tienen las inclusiones A ,→ A[x] ,→ A[[x]]. (vii) Cada a = (ai ) ∈ A[[x]] se puede escribir como una serie, a = P∞ elemento i a x , y las operaciones que hemos definido en A[[x]] corresponden a la i=0 i suma y producto de series que se estudian en los cursos de c´alculo. Por esta raz´on, el anillo A[[x]] se conoce tambi´en como el anillo de series formales en A. (viii) Los anillos de series y polinomios en varias variables se pueden definir en forma recurrente de la siguiente manera: A[[x, y]] := A[[x]][[y]], A[[x1 , . . . , xn ]] := A[[x1 , . . . , xn−1 ]][[xn ]], A[x, y] := A[x][y], A[x1 , . . . , xn ] := A[x1 , . . . , xn−1 ][xn ]. (ix) Para cualesquiera polinomios no nulos a (x), b(x) ∈ A [x] tales que a (x) + b(x) 6= 0, se cumple que: gr (a (x) + b(x)) ≤ m´ax {gr (a (x)) , gr (b(x))}. Para a (x) b(x) 6= 0 se tiene tambi´en que gr (a (x) b(x)) ≤ gr (a (x)) + gr (b(x)). Si A es un dominio, entonces en la u ´ltima relaci´on se cumple la igualdad.

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CAP´ITULO 1. POLINOMIOS

(x) A es un dominio si, y s´olo si, A [[x]] es un dominio si, y s´olo si, A [x] es un dominio. (xi) Si A es un dominio, A [x]∗ = A∗ . (xii) Sean A un anillo y a un elemento fijo de A. La funci´on definida por: ϕa : A [x] −→ A p(x) 7→ p0 + p1 a + · · · + pn an donde p(x) := p0 + p1 x + ... + pn xn , es un homomorfismo de anillos, el homomorfismo evaluaci´ on en a. (xiii) Con la notaci´on del numeral anterior, se dice que a ∈ A es una ra´ız o un cero del polinomio p(x), si p(x) ∈ ker(ϕa ), es decir, si p0 + p1 a + · · · + pn an = 0. Se escribe entonces p(a) = 0. Si C es un anillo extensi´ on de A, es decir, A es un subanillo de C, entonces podemos considerar p(x) ∈ C[x] y buscar ra´ıces de p(x) en C. (xiv) Si R es un DI (dominio de integridad:= dominio connmutativo), los conceptos de divisibilidad, m´aximo com´ un divisor, m´ınimo com´ un m´ ultiplo, elemento primo y elemento irreducible pueden entonces ser aplicados al dominio R [x] . Cerramos esta secci´on con un par de ejemplos sobre irreducibilidad y ra´ıces. M´as adelante consideraremos estas tareas de manera sistem´atica. Ejemplo 1.1.1. La irreducibilidad de un polinomio es relativa al anillo de coeficientes. As´ı por ejemplo, el polinomio p(x) = 2 + 2x2 puede ser considerado como elemento de Z [x] , Q [x] , R [x] y C [x]. p(x) es reducible sobre Z: p(x) = 2(1 + x2 ). Veamos una prueba directa de la irreducibilidad sobre Q: sean m(x), n(x) ∈ Q [x] tales que m(x)n(x) = 2 + 2x2 , entonces gr(m(x)n(x)) = gr(m(x)) + gr(n(x)) = 2, luego gr(m(x)) ≤ 2 y gr(n(x)) ≤ 2. Se presentan entonces tres casos, gr(m(x)) = 2, gr(n(x)) = 0 ´o gr(m(x)) = 0, gr(n(x)) = 2 ´o gr(m(x)) = 1 = gr(n(x)). En el primer caso se tiene que n(x) es constante no nulo. En el segundo caso se tiene que m(x) es constante no nulo. Veamos que el tercer caso no es posible: sean b 6= 0 y d 6= 0 tales que m(x) = a+bx, n(x) = c+dx, entonces ac+(ad+bc)x+bdx2 = 2+2x2 , con lo cual ac = 2, ad + bc = 0, bd = 2, y de aqu´ı obtenemos acd + bc2 = 0, es decir, 2d + bc2 = 0, luego 2d2 + bdc2 = 0 = 2d2 + 2c2 = d2 + c2 . Resulta, d = c = 0, una contradicci´on. De manera an´aloga se establece que p(x) es tambi´en irreducible sobre R. Finalmente, p(x) es reducible sobre C: p(x) = 2(x + i)(x − i). Ejemplo 1.1.2. Calculemos todas las ra´ıces del polinomio x5 +3x3 +x2 +2x ∈ Z5 [x]. Sea a ∈ Z5 una ra´ız de p(x) = x5 + 3x3 + x2 + 2x, entonces a5 + 3a3 + a2 + 2a = 0. Seg´ un el teorema de Fermat (v´ease [9]), a5 = a, luego 3a3 + a2 + 3a = 0, pero como

1.2. POLINOMIOS SOBRE CUERPOS

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Z5 no tiene divisiones de cero, entonces a = 0 o bien 3a2 + a + 3 = 0. As´ı pues, a = 0 o bien 5 | (3 + a + 3a2 ). Para la segunda opci´on ensayamos los valores a = 0, 1, 2, 3, 4 y encontramos que solo a = 4 satisface la relaci´on de divisibilidad, por lo tanto, las ra´ıces de p(x) son 0 y 4.

1.2.

Polinomios sobre cuerpos

Posiblemente el resultado m´as importante de los polinomios en una variable sobre cuerpos es el teorema que afirma que si K es un cuerpo entonces K [x] es un DE (dominio eucilidano), y en consecuencia, un DIP (dominio de ideales principales) y un DF U (dominio de factorizaci´on u ´nica, conocido tambi´en como dominio de Gauss). Teorema 1.2.1. Sea Kun cuerpo y sea K [x] su anillo de polinomios. Entonces K [x] es un DE. Demostraci´on. V´ease [10]. Notemos que si R es un dominio euclidiano, entonces no necesariamente R[x] es un dominio euclidiano. En efecto, el contraejemplo cl´asico es Z[x]: si fuera euclidiano ser´ıa un DIP , pero el ideal h2, xi no es principal (v´ease [10]). Este mismo ejemplo muestra que si R es un DIP , entonces no siempre R[x] es un DIP . Sin embargo, m´as adelante mostraremos que si R es un DF U , entonces R[x] es un DF U (v´ease tambi´en [10]). Este resultado se conoce como el teorema de Gauss. Del teorema anterior se desprenden inmediatamente los siguientes resultados. Corolario 1.2.2. Sea K un cuerpo. Entonces, (i) K [x] es un DIP y un DF U . (ii) Cada par de polinomios no nulos f (x), g(x) tienen un m´ aximo com´ un divisor (m.c.d.) d(x), el cual se puede expresar en la forma: d(x) = f 0 (x)f (x) + g 0 (x)g(x), donde f 0 (x), g 0 (x) ∈ K [x]. (iii) Para cada polinomio no nulo f (x) se cumple que f (x) es irreducible si, y s´ olo si, hf (x)i es maximal. (iv) Si p(x) es un polinomio irreducible de K [x], entonces para cualquiera polinomios f (x), g(x) ∈ K [x] se cumple p(x) | f (x)g(x) implica p(x) | f (x), o, p(x) | g(x).

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CAP´ITULO 1. POLINOMIOS

(v) Cada par de polinomios no nulos f (x), g(x) tienen un m´ınimo com´ un m´ ultiplo (m.c.m.) m(x) que satisface f (x)g(x) = m(x)d(x), con d(x) = m.c.d.(f (x), g(x)). Demostraci´on. Las afirmaciones del primer numeral se desprenden de las inclusiones generales DE ⊂ DIP ⊂ DF U (ve´ase [10]). Las afirmaciones de los otros numerales son v´alidas en cualquier DIP . En realidad las propiedades (iv) y (v) son v´alidas en cualquier DF U . En efecto, la prueba de la afirmaci´on (iv) se puede consultar en [10]; veamos la demostraci´on de la propiedad (v). Sea R un DF U y sean a, b dos elementos no nulos de R. Si a ∈ R∗ , entonces d := m.c.d.(a, b) = a y m := m.c.m.(a, b) = b. Una situaci´on similar se tiene si b ∈ R∗ . Sean a, b no invertibles, entonces se tienen las descomposiciones irreducibles a = pr11 · · · prnn , b = q1s1 · · · qtst ; si {p1 , . . . , pn } ∩ {q1 , . . . , qt } = ∅, entonces d = 1 y m = ab. Supongamos entonces que {p1 , . . . , pn } ∩ {q1 , . . . , qt } 6= ∅, podemos entonces asumir que {p1 , . . . , pn } ∩ {q1 , . . . , qt } = {p1 , . . . , pu }, donde u satisface 1 ≤ u ≤ n, de tal forma que a = ru+1 su+1 pr11 · · · pruu pu+1 · · · pnrn , b = ps11 · · · psuu qu+1 · · · qtst . Entonces notemos que m=

pz11

d = pv11 · · · pvuu , con vi := m´ın{ri , si }, 1 ≤ i ≤ u, ru+1 su+1 · · · pzuu pu+1 · · · prnn qu+1 · · · qtst , con zi := m´ax{ri , si }, 1 ≤ i ≤ u,

y se cumple que ab = dm ya que zi + vi = ri + si para cada 1 ≤ i ≤ u. Ejemplo 1.2.3. En relaci´on con la propiedad (i) del corolario anterior, veamos que K[x, y] no es un DIP . En efecto, probemos que el ideal hx, yi no es principal. Supongamos lo contrario, es decir, hx, yi = hp(x, y)i, para alg´ un p(x, y) ∈ K[x, y]. Entonces x = q(x, y)p(x, y), pero como x es irreducible se tiene que q(x, y) = x y p(x, y) = 1 ´o q(x, y) = 1 y p(x, y) = x. El primer caso es imposible ya que ya que hx, yi es propio. El segundo tambi´en es imposible ya que entonces y ∈ / hp(x, y)i. Este mismo razonamiento aplica al caso de varias variables. Veamos ahora un par de propiedades relativas a ra´ıces. Proposici´ on 1.2.4. Sean K un cuerpo, a ∈ K y f (x) ∈ K [x]. Entonces, (x − a) | f (x) si, y s´olo si, f (a) = 0, e.d., si a es un cero de f (x). Demostraci´on. ⇒): f (x) = (x − a)g(x) = 0, con g(x) ∈ K [x]. Utilizando el homomorfismo evaluaci´on ϕa encontramos que f (a) = 0. ⇐): Teniendo en cuenta que K[x] es euclidiano, existen p(x), r(x) ∈ K [x] tales que f (x) = (x − a)p(x) + r(x), con gr(r(x)) = 0 ´o r(x) = 0. Si r(x) = 0 entonces se tiene que (x − a) | f (x). Si r(x) 6= 0, entonces f (x) = (x − a)p(x) + k, con k := r(x) ∈ K ∗ . Aplicando nuevamente el homomorfismo evaluaci´on encontramos que f (a) = 0 = k, contradicci´on.

´ Y EUCLIDES EN K[X] 1.3. ALGORITMOS DE LA DIVISION

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Proposici´ on 1.2.5. Sean K un cuerpo y f (x) un polinomio no nulo de K [x]. Entonces, f (x) tiene m´aximo n ra´ıces en K, donde n = gr(f (x)). Demostraci´on. La prueba la realizamos por inducci´on sobre el grado n del polinomio f (x). Para n = 1, f (x) = ax + b, con a, b ∈ K. Si a = 0 y b 6= 0, entonces f (x) es un polinomio constante el cual no posee ra´ıces. Este caso se cumple trivialmente. Si a 6= 0 entonces la u ´nica ra´ız de f (x) es −b y la proposici´on en este caso es tambi´en a v´alida. Supongamos que la afirmaci´on es v´alida para todos los polinomios de K [x] con grado < n. Sea f (x) ∈ K [x] con gr(f (x)) = n. Si f (x) no tiene ra´ıces en K entonces la proposici´on se cumple trivialmente. Sean a1 , . . . , ar , r ra´ıces distintas del polinomio f (x) que est´an en K, entonces f (x) = (x − a1 )q(x). N´otese que gr(q(x)) = n − 1 y q(x) ∈ K [x], se tiene que f (a2 ) =(a2 − a1 )q(a2 ) = 0, f (a3 ) = (a3 − a1 )q(a3 ) = 0, . . . , f (ar ) = (ar − a1 )q(ar ) = 0. Como K no tiene divisiones de cero, entonces a2 , . . . , ar son ra´ıces distintas de q(x) las cuales est´an en K. Seg´ un la hip´otesis de inducci´on, r − 1 ≤ n − 1, de donde r ≤ n. Ejemplo 1.2.6. Veamos que el polinomio f (x) = x3 + 3x + 2 ∈ Z5 [x] es irreducible. Si f (x) es reducible entonces existen q(x) y p(x) no constantes tales que f (x) = p(x)q(x), por lo tanto gr(p(x)) = 1 o gr(q(x)) = 1. En otras palabras un factor lineal divide a f (x). De acuerdo con la proposici´on 1.2.4, f (a) = 0 para alg´ un a ∈ Z5 , pero f (0) 6= 0, f (1) = 1 6= 0, f (2) = 1 6= 0, f (3) = 1 6= 0, f (4) = 3 6= 0. As´ı pues, f (x) es irreducible. Ejemplo 1.2.7. Descompongamos en factores lineales el polinomio f (x) = x4 + 4 ∈ Z5 [x]. Notemos que f (x) = x4 − 1 = (x − 1)(x3 + x2 + x + 1) ∈ Z5 [x]. Con el polinomio g(x) = x3 + x2 + x + 1 podemos proceder como en el ejemplo anterior: g(0) 6= 0, g(1) = 4 6= 0, g(2) = 0, luego f (x) = (x − 1)(x − 2)(x2 + 3x + 2), donde el polinomio x2 + 3x + 2 resulta al dividir g(x) entre x − 2 (v´ease la secci´on siguiente donde trataremos el algoritmo de la divisi´on). En total se tiene que f (x) = (x − 1)(x − 2)(x + 2)(x + 1).

1.3.

Algoritmos de la divisi´ on y Euclides en K[x]

En esta secci´on daremos una mirada constructiva al ´algebra de los polinomios K[x], con K un cuerpo arbitrario. Este enfoque nos permitir´a construir procedimientos (algoritmos) para calcular el m´aximo com´ un divisor de dos o m´as polinomios y tambi´en para expresar ´este como combinaci´on de los polinomios dados. Para 0 6= f (x) ∈ K[x] recordemos que el grado de f (x) , denotado por gr(f (x)), es el mayor exponente de x que aparece en f (x). El t´ ermino principal de f (x) , denotado por lt(f (x)), es el t´ermino de f (x) con mayor grado. El coeficiente principal de f (x), denotado por lc((x)f ), es el coeficiente del t´ermino principal de f (x).

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CAP´ITULO 1. POLINOMIOS

As´ı pues, si f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 , donde a0 , . . . , an ∈ K y an 6= 0, entonces gr(f (x)) = n, lt(f (x)) = an xn y lc(f (x)) = an . La principal herramienta en el algoritmo de Euclides para calcular el m´aximo com´ un divisor de dos o m´as polinomios es el algoritmo de la divisi´on (tambi´en conocido como divisi´on larga de polinomios), el cual ilustraremos inicialmente con el siguiente ejemplo. Ejemplo 1.3.1. Sean f (x) = x3 − 2x2 + 2x + 8 y g(x) = 2x2 + 3x + 1 polinomios en Q[x]. Dividimos f (x) por g(x) para obtener el cociente 12 x − 74 y el res´ıduo 27 x + 39 , 4 4 de la siguiente manera: x3 − 2x2 + 2x + 8 −x3 − 32 x2 − 12 x − 72 x2 + 32 x + 8 7 2 x + 21 x + 74 2 4 27 x + 39 4 4 Se tiene entonces que f (x) =

1 x 2

−

7 4




2x2 + 3x + 1 1 x − 74 2

g(x) +

27 x 4

+

39 4




.

Vamos a analizar los pasos de la divisi´on anterior. Primero multiplicamos g(x) por 12 x y restamos el producto resultante de f (x). La idea fue multiplicar g(x) por un t´ermino apropiado, precisamente por 12 x, tal que el t´ermino principal de g(x) tantas veces este t´ermino cancele el t´ermino principal de f (x). Despu´es de esta cancelaci´on obtenemos el primer res´ıduo h(x) = f (x) − 12 xg(x) = − 72 x2 + 32 x + 8. En general, si tenemos dos polinomios f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 y g(x) = bm xm + bm−1 xm−1 + · · · + b1 x + b0 , con n = gr((x)f ) ≥ m = gr(g(x)), entonces el primer paso en la divisi´on de f (x) por g(x) es restar de f (x) el producto an n−m x g(x). Usando la notaci´on introducida anteriormente, notamos que el factor bm (x)) (x)) g(x) y as´ı obtenemos h(x) = f (x) − lt(f g(x) de g(x) en este producto es lt(f lt(g(x)) lt(g(x)) como res´ıduo. Llamaremos a h(x) una reducci´ on de f (x) por g(x) y el proceso de calcular h(x) es denotado por f (x)

g(x) −−→

h(x).

Volvamos al ejemplo 1.3.1; despu´es de la cancelaci´on repetimos el proceso para h(x) = − 72 x2 + 32 x + 8 restando lt(h(x)) g(x) = − 72 x2 − 21 x − 74 de h(x), y obteniendo el lt(g(x)) 4 segundo (y en este ejemplo el u ´ltimo) res´ıduo r(x) = 27 x + 39 . Esto puede escribirse 4 4 usando nuestra notaci´on de reducci´on como f (x)

g(x) h(x) g(x) r(x) −−→ −−→ El uso repetido, como arriba, de los pasos de reducci´on ser´a denotado por

´ Y EUCLIDES EN K[X] 1.3. ALGORITMOS DE LA DIVISION

f (x)

g(x)+ −−→

9

r(x)

N´otese que en la reducci´on f (x)

g(x) h(x), el grado de h(x) es estrictamente −−→ menor que el grado de f (x). Cuando se continua el proceso el grado permanece bajando hasta que es menor que el grado de g(x). De esta forma obtenemos una prueba constructiva del teorema 1.2.1.

Proposici´ on 1.3.2. Sea g(x) un polinomio no nulo en K[x]. Entonces para cada f (x) ∈ K[x] existen q(x) y r(x) en K[x] tales que f (x) = q(x)g(x) + r(x), con r(x) = 0 ´ o gr(r(x)) < gr(g(x)). Adem´ as, q(x) y r(x) son u ´nicos (q(x) es llamado el cociente y r(x) el res´ıduo). Demostraci´on. Podemos suponer que f (x) 6= 0 ya que de lo contrario tomamos 0 = 0g(x) + 0. Sean entonces f (x) , g (x) ∈ K[x] no nulos, digamos f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 + a0 , g (x) = bm xm + bm−1 xm−1 + · · · + b1 + b0 . Podemos suponer que n ≥ m ya que de lo contrario se tiene f (x) = 0g (x) + f (x) . Consideremos para cada polinomio de K[x] su t´ermino principal, as´ı por ejemplo, lt (f (x)) = an xn y lt (g (x)) = bm xm . La divisi´on de polinomios, tal como vimos en el ejemplo 1.3.1, implica realizar las siguientes operaciones f (x) −

lt (f (x)) g (x) = r1 (x) . lt (g (x))

Si r1 (x) = 0 ´o gr (r1 (x)) < g (x), entonces hemos terminado ya que tomamos q (x) = lt(f (x)) y r(x) = r1 (x) . Supongamos entonces que r1 (x) 6= 0 y gr (r1 (x)) ≥ g (x), lt(g(x)) repetimos el anterior procedimiento para r1 (x) y g (x): r1 (x) −

lt (r1 (x)) g (x) = r2 (x) . lt (g (x))

Esto puede escribirse usando nuestra notaci´on de reducci´on como f (x)

g(x) −−→

r1 (x)

g(x) −−→

r2 (x).

10

CAP´ITULO 1. POLINOMIOS

Si r2 (x) = 0 ´o gr (r2 (x)) < g (x), entonces hemos terminado ya que se tiene lt (f (x)) g (x) lt (g (x)) lt (r1 (x)) lt (f (x)) g (x) + g (x) + r2 (x) = lt (g (x)) lt (g (x)) = q (x) g (x) + r2 (x) ,

f (x) = r1 (x) +

(x)) 1 (x)) donde q (x) := lt(r + lt(f . Supongamos entonces que r2 (x) 6= 0 y gr (r2 (x)) ≥ lt(g(x)) lt(g(x)) g (x), repetimos el anterior procedimiento para r2 (x) y g (x); pero notemos que este procedimiento termina ya que

gr (f (x)) > gr (r1 (x)) > gr (r2 (x)) > · · · Esta prueba adem´as indica como construir el cociente q(x) y el res´ıduo r (x): para O (x)) calcular el nuevo cociente qN (x), al u ´ltimo cociente le adicionamos lt(r , donde lt(g(x)) rO (x) es el u ´ltimo res´ıduo, es decir, qN (x) = qO (x) +

lt(rO (x)) . lt(g(x))

Para calcular el nuevo res´ıduo rN (x), al u ´ltimo res´ıduo le restamos decir, rN (x) = rO (x) −

lt(rO (x)) g lt(g(x))

lt(rO (x)) g lt(g(x))

(x), es

(x).

Finalmente, observemos que el algoritmo anterior sugiere que el cociente y el res´ıduo son u ´nicos: sean c(x) y s (x) polinomios que cumplen las mismas condiciones de q (x) y r(x), entonces q (x) g (x) + r (x) = c (x) g (x) + s (x), luego [q (x) − c (x)] g (x) = r (x) − s (x), por el grado se tiene que [q (x) − c (x)] g (x) = r (x) − s (x) = 0, de donde r (x) = s (x) y q (x) = c (x). N´otese que la prueba anterior da un algoritmo para calcular q(x) y r(x). Este algoritmo es conocido como el algoritmo de la divisi´ on: ENTRADA: f (x), g(x) ∈ K[x] con g(x) 6= 0 SALIDA: q(x), r(x) tales que f (x) = q(x)g(x) + r(x) y r(x) = 0 ´o gr(r(x)) < gr(g(x)) INICIO: q(x) := 0 ; r(x) := f (x) MIENTRAS r(x) 6= 0 Y gr(g(x)) ≤ gr(r(x)) HAGA lt(r(x)) q(x) := q(x) + lt(g(x)) lt(r(x)) r(x) := r(x) − lt(g(x)) g(x) Algoritmo 1.3.1: Algoritmo de la divisi´on

´ Y EUCLIDES EN K[X] 1.3. ALGORITMOS DE LA DIVISION

11

Los pasos en en ciclo MIENTRAS del algoritmo corresponden al proceso de reducci´on mencionado. El ciclo se ejecuta hasta que el polinomio r(x) en el algoritmo satisface r(x) = 0 ´o tiene grado estrictamente menor que el grado de g(x). Como mencionamos antes esto es denotado por f (x)

g(x)+ −−→

r(x).

Ejemplo 1.3.3. Vamos a repetir el ejemplo 1.3.1 usando el algoritmo de la divisi´on. INICIO: q(x) := 0, r(x) := f (x) = x3 − 2x2 + 2x + 8. Pasamos a trav´es del ciclo MIENTRAS: x3 1 q(x) := 0+ 2x 2 = 2x x3 7 2 3 2 r(x) := x3 − 2x2 + 2x + 8 − 2x 2 (2x + 3x + 1) = − 2 x + 2 x + 8. Pasamos a trav´ es del ciclo MIENTRAS: − 72 x2 1 q(x) := 2 x + 2x2 = 12 x − 74
− 7 x2 r(x) := − 72 x2 + 32 x + 8 − 2x2 2 (2x2 + 3x + 1) = 27 x + 39 . 4 4 El ciclo MIENTRAS se detiene ya que gr(r(x)) = 1 < 2 = gr(g(x)). Obtenemos el cociente q(x) y el res´ıduo r(x) como en el ejemplo1.3.1. Con el algoritmo de la divisi´on podemos dar una prueba constructiva de que K[x] es un DIP (v´ease el corolario 1.2.2). Proposici´ on 1.3.4. Cada ideal de K[x] es principal. Demostraci´on. Sea I un ideal no nulo de K[x] y g(x) ∈ I tal que g(x) 6= 0 y n = gr(g(x)) es m´ınimo. Para cualquier f (x) ∈ I tenemos, por la proposici´on 1.3.2, que f (x) = q(x)g(x) + r(x) para algunos polinomios q(x), r(x) ∈ K[x], con r(x) = 0 ´o gr(r(x)) < gr(g(x)) = n. Si r(x) 6= 0, entonces r(x) = f (x) − q(x)g(x) ∈ I, y esto contradice la escogencia de g(x). Entonces r(x) = 0, f (x) = q(x)g(x) y por lo tanto I ⊆ hg(x)i. La igualdad se sigue del hecho que g(x) est´a en I . Basados en al algoritmo de la divisi´on, pasamos ahora a estudiar el algoritmo de Euclides el cual permite calcular el m´aximo com´ un divisor de dos o m´as polinomios. Veamos primero c´omo calcular el polinomio g de la demostraci´on de la proposici´on 1.3.4. Para comenzar nos concentraremos en ideales I ⊆ K[x] generados por dos polinomios no nulos, digamos, I = hf1 (x), f2 (x)i. Recordemos que el m´aximo com´ un divisor de f1 (x) y f2 (x), denotado por m.c.d.(f1 (x), f2 (x)), es un polinomio g(x) tal que g(x) divide a f1 (x) y f2 (x); si h(x) ∈ K[x] divide a f1 (x) y f2 (x), entonces h(x) divide a g(x); y adem´as asumiremos que lc(g(x)) = 1, es decir, g(x) es m´onico. Proposici´ on 1.3.5. Sean f1 (x), f2 (x) ∈ K[x] polinomios no nulos. Entonces, el m.c.d.(f1 (x), f2 (x)) existe y hf1 (x), f2 (x)i = hm.c.d.( f1 (x), f2 (x))i.

12

CAP´ITULO 1. POLINOMIOS

Demostraci´on. Por la proposici´on 1.3.4 existe g(x) ∈ K[x] tal que hf1 (x), f2 (x)i = hg(x)i. Ya que g(x) es u ´nico salvo una constante no nula, podemos asumir que lc(g(x)) = 1. Veamos que g(x) = m.c.d.( f1 (x), f2 (x)). Ya que f1 (x), f2 (x) ∈ hg(x)i, g(x) divide tanto a f1 (x) como a f2 (x). Sea h(x) tal que h(x) divide a f1 (x) y f2 (x). Ya que g(x) est´a en el ideal hf1 (x), f2 (x)i, existen u1 (x), u2 (x) ∈ K[x] tal que g(x) = u1 (x)f1 (x) + u2 (x)f2 (x). De esta forma h(x) divide a g(x), y hemos terminado. Como consecuencia de lo anterior, si tenemos un algoritmo para calcular el m´aximo com´ un divisor, entonces podemos realmente encontrar un generador para el ideal hf1 (x), f2 (x)i. El algoritmo para calcular el m´aximo com´ un divisor es el algoritmo de Euclides. Este algoritmo depende del algoritmo de la divisi´on y del siguiente hecho. Proposici´ on 1.3.6. Sean f1 (x), f2 (x) ∈ K[x] polinomios no nulos. Entonces, m.c.d.(f1 (x), f2 (x)) = m.c.d.(f1 (x) − q(x)f2 (x), f2 (x)), para cada q(x) ∈ K[x]. Demostraci´on. Es f´acil ver que hf1 (x), f2 (x)i = hf1 (x) − q(x)f2 (x), f2 (x)i. Entonces, por la proposici´on anterior, hm.c.d.( f1 (x), f2 (x))i = hf1 (x), f2 (x)i = hf1 (x) − q(x)f2 (x), f2 (x)i = hm.c.d.(f1 (x) − q(x)f2 (x), f2 (x))i. Ya que el generador de un ideal principal es u ´nico, salvo una constante invertible, y ya que el m.c.d. de dos polinomios tiene coeficiente principal igual a 1, entonces m.c.d.(f1 (x), f2 (x)) = m.c.d.(f1 (x) − q(x)f2 (x), f2 (x)). Se tiene entonces el algoritmo de Euclides para el c´alculo del m.c.d.: ENTRADA: f1 (x), f2 (x) ∈ K[x], polinomios no nulos SALIDA: f (x) = m.c.d.(f1 (x), f2 (x)) INICIO: f (x) := f1 (x), g := f2 (x) MIENTRAS g(x) 6= 0 HAGA f (x) g(x)+ r(x), donde r(x) es el res´ıduo de la divisi´on de f (x) por g(x) −−→ f (x) := g(x) g(x) := r(x) f (x) := lc(f1(x)) f (x) Algoritmo 1.3.2: Algoritmo de Euclides Observemos que el algoritmo termina ya que el grado de r(x) en el ciclo MIENTRAS es estrictamente menor que el grado de g(x), el cual es el inmediatamente anterior r(x), y por lo tanto, el grado de r(x) es estrictamente decreciente a medida que el algoritmo avanza. Adem´as, el algoritmo da el m.c.d.(f1 (x), f2 (x)) como dato de salida ya que seg´ un la proposici´on 1.3.6, en cada paso a trav´es del ciclo MIENTRAS

´ Y EUCLIDES EN K[X] 1.3. ALGORITMOS DE LA DIVISION

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se tiene que m.c.d.(f1 (x), f2 (x)) = m.c.d.(f (x), g(x)) = m.c.d.(r(x), g(x)), siempre que g(x) 6= 0. Cuando g(x) = 0 entonces m.c.d.(f1 (x), f2 (x)) = m.c.d.(f (x), 0) = 1 f (x). El u ´ltimo paso en el algoritmo asegura que el resultado final tiene coelc(f (x)) ficiente principal 1, es decir, es m´onico. Para ilustrar el algoritmo consideremos el siguiente ejemplo. Ejemplo 1.3.7. Sean f1 (x) = x3 − 3x + 2 y f2 (x) = x2 − 1 polinomios en Q[x]. INICIO:f (x) = x3 − 3x + 2, g(x) = x2 − 1. Pasamos a trav´es del ciclo MIENTRAS: x3 − 3x + 2 x2 − 1 − 2x + 2 −−−→ f (x) := x2 − 1 g(x) := −2x + 2. Pasamos a trav´es del ciclo MIENTRAS: x2 − 1 −2x + 2 x−1 −2x + 2 0 −−−−−→ −−−−−→ f (x) := −2x + 2 g(x) := 0. El ciclo MIENTRAS se detiene f (x) = lc(f1(x)) f (x) = x − 1. Entonces m.c.d.(f1 (x), f2 (x)) = x − 1. Retornamos nuestra atenci´on al caso de ideales generados por m´as de dos polinomios no nulos, I = hf1 (x), . . . , fs (x)i. Proposici´ on 1.3.8. Sean f1 (x), . . . , fs (x) polinomios no nulos de K[x]. (i) hf1 (x), . . . , fs (x)i = hm.c.d.(f1 (x), . . . , fs (x))i. (ii) Si s ≥ 3, entonces m.c.d.(f1 (x), . . . , fs (x)) = m.c.d.(f1 (x), m.c.d.(f2 (x), . . . , fs (x)). Demostraci´on. La prueba de la parte (i) es similar a la demostraci´on de la proposici´on 1.3.5. Para probar la parte (ii), sea h(x) := m.c.d. (f2 (x), . . . , , fs (x)). Entonces, por (i), hf2 (x), . . . , fs (x)i = hh(x)i, y por lo tanto, hf1 (x), . . . , fs (x)i = hf1 (x), h(x)i. Nuevamente por (i), m.c.d.(f1 (x), . . . , fs (x)) = m.c.d.(f1 (x), h(x)) = m.c.d.(f1 (x), m.c.d.(f2 (x), . . . , , fs (x)), como se hab´ıa anunciado. Con las ideas constructivas desarrolladas en esta secci´on podemos ahora resolver algunos problemas sencillos, pero interesantes, relacionados con polinomios en una variable con coeficientes en un cuerpo. Esto lo haremos a trav´es de los siguientes ejemplos.

14

CAP´ITULO 1. POLINOMIOS

Ejemplo 1.3.9. Sean f1 (x), . . . , fs (x) ∈ K[x] polinomios no nulos. Queremos encontrar el conjunto soluci´on en K del sistema simult´aneo fi (x) = 0, 1 ≤ i ≤ 0. Para resolver este problema podemos razonar al menos de dos maneras: una forma es calculando las ra´ıces en K de cada fi (x) y luego realizar la intersecci´on de los conjunto soluci´on encontrados. La otra forma es calcular f (x) := m.c.d.(f1 (x), . . . , fs (x)) mediante el algoritmo de Euclides y luego encontrar las ra´ıces en K de f (x). La justificaci´on de este segundo m´etodo la da la proposici´on 1.3.8. Veamos un ejemplo concreto. Resolvamos el sistema simult´aneo real x6 − 1 = 0, x4 + 2x3 + 2x2 − 2x − 3 = 0. Aplicamos el algoritmo de Euclides al par de polinomios dados para calcular el m´aximo com´ un divisor f (x) (podemos obviar la terminolog´ıa propia del algoritmo): x6 − 1 x4 + 2x3 + 2x2 − 2x − 3 3 2 2x − 5x − 2x + 5 x2 − 2x + 2 x4 + 2x3 + 2x2 − 2x − 3 2x3 − 5x2 − 2x + 5 57 2 1 x − 57 x + 94 4 4 2 57 2 x − 57 4 4 8 x − 20 57 57

2x3 − 5x2 − 2x + 5 0 f (x) =

4 57

57 2 x 4

−

57 4




= x2 − 1

Por lo tanto, las solciones del sistema dado son x = ±1. Ejemplo 1.3.10. Otro problema interesante es decidir si un polinomio f (x) est´a en el ideal generado por un conjunto finito de polinomios dados, I = hf1 (x), . . . , fs (x)i. Para esto primero calculamos g(x) := m.c.d.(f1 (x), . . . , fs (x)), luego usamos el algoritmo de la divisi´on para dividir f (x) por g(x). El res´ıduo de la divisi´on es cero si, y s´olo si, f (x) est´a en el ideal I = hf1 (x), . . . , fs (x)i = hg(x)i. Usando la notaci´on de reducci´on se tiene que f (x) ∈ I = hg(x)i si, y s´olo si, f (x)

g(x)+ −−→

0.

Veamos un ejemplo ilustrativo. ¿El polinomio f (x) = x5 + x3 + x2 − 7 ∈ I = hx6 − 1, x4 + 2x3 + 2x2 − 2x − 3i? La misma pregunta para g(x) = x4 + 2x2 − 3. Seg´ un el ejemplo 1.3.9, m.c.d.(x6 − 1, x4 + 2x3 + 2x2 − 2x − 3) = x2 − 1, y con el algoritmo de la divisi´on encontramos que el res´ıduo de dividir f (x) entre x2 − 1 es 2x − 6, por lo tanto, f (x) ∈ / I. En cambio, la divis´on de g(x) entre x2 − 1 tiene como residuo 0, es decir, g(x) ∈ I.

´ Y EUCLIDES EN K[X] 1.3. ALGORITMOS DE LA DIVISION

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Ejemplo 1.3.11. Sea I un ideal del anillo K[x], queremos calcular una base para el K-espacio cociente K[x]/I. Si I = 0, entonces una base de K[x] es {1, x, x2 , x3 , . . . }. Sea I no nulo; entonces I es principal, I = hg(x)i, con g(x) = xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 6= 0 (siempre podemos tomar el generador de I m´onico). Notemos entonces que X := {xn−1 , xn−2 , . . . , x, 1} es una base de K[x]/I. En efecto, dado f (x) ∈ K[x] dividimos f (x) entre g(x) y encontramos q(x), r(x) ∈ K[x] tales que f (x) = g(x)q(x) + r(x), con r(x) = 0 ´o gr(r(x)) < gr(g(x)). Pasando al cociente encontramos que cada elemento f (x) de K[x]/I es una K-combinaci´on lineal de los elementos de X. Sean bn−1 , bn−2 , . . . , b1 , b0 ∈ K tales que bn−1 xn−1 + bn−2 xn−2 + · · · + b1 x + b0 = 0, entonces bn−1 xn−1 + bn−2 xn−2 + · · · + b1 x + b0 ∈ hgi, pero gr(g(x)) = n, entonces todos los coeficientes bn−1 , bn−2 , . . . , b1 , b0 son necesariamente nulos. Ejemplo 1.3.12. Sea p un entero irreducible, veamos que si f (x) = p0 + p1 x + · · · + xn es un polinomio irreducible de Zp [x] de grado n, entonces Zp [x] / hf (x)i es un cuerpo de pn elementos: puesto que f (x) es irreducible, entonces hf (x)i es maximal, con lo cual Zp [x] / hf (x)i es un cuerpo (v´ease [10]). Como vimos en el ejemplo anterior, Zp [x] / hf (x)i es un Zp -espacio de dimensi´on n, es decir, Zp [x] / hf (x)i ∼ = n n Zp , con lo cual el n´ umero de elementos de este espacio es p . Este resultado se puede extender a cualquier cuerpo finito K de q elementos de tal forma que en este caso |K[x]/hf (x)i| = q n . Ejemplo 1.3.13. Terminamos esta secci´on con un algoritmo que calcula no solo el m.c.d. sino los polinomios coeficientes en la expansi´on del m.c.d. de dos polinomios como combinaci´on de ´estos (v´ease la proposici´on 1.3.5). ENTRADA: f1 (x), f2 (x) ∈ K[x] polinomios no nulos SALIDA: f (x) = m.c.d.(f1 (x), f2 (x)), u1 (x), u2 (x) ∈ K[x] tales que f (x) = u1 (x)f1 (x) + u2 (x)f2 (x) INICIO: f (x) := f1 (x), g(x) := f2 (x), u1 (x) := 1, u2 (x) := 0, v1 (x) := 0, v2 (x) := 1, w(x) = 1, z(x) = 0 MIENTRAS g(x) 6= 0 HAGA f (x) g(x)+ r(x), donde r(x) es el residuo de la divisi´on de f (x) por g(x) −−→ f (x) := g(x) , g(x) := r(x) w(x) := u1 (x) − q(x)v1 (x), donde q(x) es el cociente de la divisi´on de f (x) por g(x) z(x) := u2 (x) − q(x)v2 (x) u1 (x) := v1 (x), u2 (x) := v2 (x), v1 (x) = w(x), v2 (x) = z(x) f (x) := lc(f1(x)) f (x) u1 (x) := lc(f1(x)) u1 (x) u2 (x) := lc(f1(x)) u2 (x)

Algoritmo 1.3.3: Algoritmo de Euclides con coeficientes Vamos a aplicar este algoritmo a los polinomios del ejemplo 1.3.9: ENTRADA: f1 (x) = x6 − 1, f2 (x) = x4 + 2x3 + 2x2 − 2x − 3 6 4 INICIO: f (x) := x −1, g(x) := x +2x3 +2x2 −2x−3, u1 (x) = 1, u2 (x) = 0, v1 (x) = 0, v2 (x) = 1, w(x) = 1, z(x) = 0.

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CAP´ITULO 1. POLINOMIOS

Primer paso por el ciclo MIENTRAS: x6 − 1 x4 + 2x3 + 2x2 − 2x − 3 2x3 − 5x2 − 2x + 5 x2 − 2x + 2 x6 − 1

x4 + 2x3 + 2x2 − 2x − 3 −−−−−−−−−−−−−−−−−→

2x3 − 5x2 − 2x + 5

f (x) := x4 + 2x3 + 2x2 − 2x − 3 g(x) := 2x3 − 5x2 − 2x + 5 w(x) := 1 − (x2 − 2x + 2)(0) = 1 z(x) := 0 − (x2 − 2x + 2)(1) = −x2 + 2x − 2 u1 (x) := 0 u2 (x) := 1 v1 (x) := 1 v2 (x) := −x2 + 2x − 2. Segundo paso por el ciclo MIENTRAS: x4 + 2x3 + 2x2 − 2x − 3 2x3 − 5x2 − 2x + 5 1 − 57 + 57 x2 x + 94 4 4 2

x4 + 2x3 + 2x2 − 2x − 3

2x3 − 5x2 − 2x + 5 −−−−−−−−−−−−−→

−

57 57 2 + x 4 4

f (x) := 2x3 − 5x2 − 2x + 5 57 57 g(x) := − + x2 4 4 1 9 1 9 w(x) := 0 − ( x + )(1) = − x − 2 4 2 4 1 9 1 5 7 11 z(x) := 1 − ( x + )(−x2 + 2x − 2) = x3 + x2 − x + 2 4 2 4 2 2 u1 (x) := 1 u2 (x) := −x2 + 2x − 2 1 9 v1 (x) = − x − 2 4 1 3 5 2 7 11 v2 (x) = x + x − x + . 2 4 2 2

´ Y EUCLIDES EN K[X] 1.3. ALGORITMOS DE LA DIVISION

Tercer paso por el ciclo MIENTRAS: 2x3 − 5x2 − 2x + 5 − 57 + 57 x2 4 4 8 0 x − 20 57 57

2x3 − 5x2 − 2x + 5

f (x) := −

57 57 − + x2 4−−−− 4−→ −−−

0

57 57 2 + x 4 4

g(x) := 0 

   8 20 1 9 8 4 4 w(x) = 1 − x− − x− = x + x2 + 57 57 2 4 57 57 19   
8 20 1 3 5 2 7 11 2 z(x) = −x + 2x − 2 − x− x + x − x+ = 57 57 2 4 2 2 4 4 4 − x2 − x4 − 57 57 57 9 1 u1 (x) := − x − 2 4 1 3 5 2 7 11 u2 (x) := x + x − x + 2 4 2 2 8 4 2 4 v1 (x) = x+ x + 57 57 19 4 2 4 4 4 v2 (x) = − x − x − . 57 57 57 El ciclo MIENTRAS se detiene y: 1 4 f= f = x2 − 1 lc(f ) 57 1 4 1 9 2 3 u1 (x) := u1 = (− x − ) = − x − lc(f ) 57 2 4 57 19 1 4 1 3 5 2 7 11 u2 (x) := u2 = ( x + x − x + ) = lc(f ) 57 2 4 2 2 2 3 5 14 22 x + x2 − x + . 57 57 57 57 f (x) :=

Por tanto, m.c.d.(f1 (x), f2 (x)) = x2 − 1 = 2 3 2 3 5 2 (− 57 x − 19 )(x6 − 1) + ( 57 x + 57 x − 14 x+ 22 )(x4 + 2x3 + 2x2 − 2x − 3). 57 57

17

18

CAP´ITULO 1. POLINOMIOS

Podemos complementar este ejemplo y expresar h(x) := x4 + 2x2 − 3 como combinaci´on lineal de f1 (x) y f2 (x). En primer notemos que h(x) est´a en el ideal generado por f1 (x) y f2 (x): en efecto, con el algoritmo de la divisi´on encontramos que h(x) = (x2 − 1)(x2 + 3), por lo tanto, h(x) = u1 (x)(x2 + 3)(x6 − 1) + u2 (x)(x2 + 3)(x4 + 2x3 + 2x2 − 2x − 3).

1.4.

Teorema de Gauss

En esta secci´on probaremos el siguiente teorema debido a Gauss: Sea R un DF U . Entonces, R [x] es un DF U . La prueba de este resultado requiere de algunas definiciones y afirmaciones preliminares (una demostraci´on diferente usando localizaciones de anillos conmutativos por sistemas multiplicativos puede ser consultada en [10]). Definici´ on 1.4.1. Sea R un DF U y sea f (x) = p0 + p1 x + · · · + pn xn un polinomio no nulo de R [x]. Se denomina contenido del polinomio f (x) al m.c.d. de sus coeficientes y se denota por c(f (x)), c(f (x)) := m.c.d. {p0 , p1 , . . . , pn } . Se dice adem´as que f (x) es un polinomio primitivo si c(f (x)) = 1. Ejemplo 1.4.2. Sean f (x) = 8 + 3x + 4x2 y g(x) = 30 − 12x + 6x2 ∈ Z [x], entonces c(f (x)) = 1 y c(g(x)) = 2. Obs´ervese que f (x) es primitivo pero g(x) no lo es. Para el caso cuando R = F es un cuerpo, el concepto de contenido y polinomio primitivo pierden sentido ya que el contenido de cada polinomio no nulo es 1. Proposici´ on 1.4.3. Sean R un DF U y a1 , . . . , an ∈ R. (i) Si d := m.c.d.(a1 , . . . , an ) y ai = da0i , con a0i ∈ R, 1 ≤ i ≤ n, entonces m.c.d.(a01 , . . . , a0n ) = 1. (ii) Para cada c ∈ R − {0}, m.c.d.(ca1 , . . . , can ) = cd. Demostraci´on. (i) Sea e := m.c.d.(a00 , a01 , . . . , a0n ), entonces a0i = ea00i , para cada i, por lo tanto, dea00i = ai , es decir, de divide a cada ai , luego de divide a d, con lo cual d = deb, de donde e ∈ R∗ y as´ı 1 = ee−1 es tambi´en m.c.d. de a00 , a01 , . . . , a0n . (ii) Sea r := m.c.d.(ca1 , . . . , can ), entonces para cada i, cai = rqi ; adem´as, cai = 0 cdai , luego cd divide a cada cai , con lo cual cd|r, es decir, r = cds, y por lo tanto cai = cdsqi , es decir, ai = dsqi y de esta manera ds divide a cada ai , es decir, ds|d. Resulta de aqu´ı que s ∈ R∗ con lo cual cd es tambi´en m´aximo com´ un divisor de los elementos ca1 , . . . , can . Proposici´ on 1.4.4. Sea R un DF U . Entonces,

1.4. TEOREMA DE GAUSS

19

(i) Cada polinomio no nulo f (x) de R [x] se puede expresar en la forma f (x) = cf1 (x), donde c := c(f (x)) y f1 (x) es un polinomio primitivo. Si f (x) tiene otra descomposici´on en la forma f (x) = df2 (x), con d ∈ R y f2 (x) primitivo, entonces c y d son asociados lo mismo que f1 (x) y f2 (x). (ii) El producto de polinomios primitivos es primitivo. (iii) El contenido de un producto de polinomios no nulos es igual al producto de los contenidos, salvo asociados. Demostraci´on. (i) Sea f (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn , entonces f1 (x) = a00 + a01 x + · · · + a0n xn , con ca0i = ai , 0 ≤ i ≤ n. Seg´ un la parte (i) de la proposici´on anterior 0 0 0 m.c.d.(a0 , a1 , . . . , an ) = 1. Veamos ahora la unicidad: sea f (x) = cf1 (x) = df2 (x), con f2 (x) = b00 +b01 x+· · ·+ b0n xn primitivo; entonces m.c.d.(ca00 , . . . , ca0n ) = m.c.d.(db00 , . . . , db0n )u, con u ∈ R∗ , luego por la parte (ii) de la proposici´on anterior, c = du, con u ∈ R∗ , de donde f2 (x) = uf1 (x). (ii) Sean f (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn , g(x) = b0 + b1 x + · · · + bm xm polinomios primitivos de R[x] y sea p(x) := f (x)g(x). Sea q un irreducible de R, entonces q no divide todos los coeficientes ai de f (x) ni tampoco todos los coeficientes qj de g(x); sea ar el primer coeficiente de f (x) que q no divide y bs el primero de g(x) que q no divide. Notemos que el coeficiente de xr+s en p(x) es pr+s = a0 br+s + · · · + ar−1 bs+1 + ar bs + ar+1 bs−1 + · · · + ar+s b0 , por lo tanto q no divide pr+s . As´ı pues, dado cualquier irreducible q ∈ R alg´ un coeficiente de p(x) no es divisible por q, es decir, p(x) es primitivo. Para tres o m´as polinomios, el resultado se obtiene por recurrencia. (iii) Sea p(x) = f (x)g(x), donde f (x) y g(x) son polinomios no nulos de R [x]. Seg´ un (i), p(x) = c(p(x))p1 (x), f (x) = c(f (x))f1 (x), g(x) = c(g(x))g1 (x), donde p1 (x), f1 (x), g1 (x) son primitivos, por lo tanto c(p(x))p1 (x) = c(f (x))c(g(x))f1 (x)g1 (x). Seg´ un (ii), f1 (x)g1 (x) es primitivo, luego por la unicidad de (i) se tiene que c(p(x)) coincide con c(f (x))c(g(x)), salvo asociados. Para tres o m´as polinomios, el resultado se obtiene por recurrencia. Sea R un DI y sea F su cuerpo de fracciones (v´ease [10]). La funci´on

R [x] −→ F [x] p0 p1 pn p0 + p1 x + · · · + pn xn 7→ + x + · · · + xn 1 1 1 es un homomorfismo inyectivo de anillos, el cual permite considerar a R [x] como subanillo de F [x] de tal forma que se tiene R ,→ R[x] ,→ F [x]. De otra parte,

20

CAP´ITULO 1. POLINOMIOS

cada polinomio f (x) = f0 (x) q

p0 q0

+

p1 x q1

+ ··· +

pn n x qn

∈ F [x] se puede expresar en la forma

1 f (x), q 0

f (x) = := donde f0 (x) ∈ R [x] y q ∈ R − {0}. En efecto, basta tomar i , 1 ≤ i ≤ n. q := q0 · · · qn y f0 (x) = r0 + r1 x + · · · + rn xn , con ri := qp qi Proposici´ on 1.4.5. Sea R un DF U y sea F su cuerpo de fracciones. Si f (x) ∈ R [x] es irreducible no constante, entonces f (x) considerado como polinomio de F [x] es irreducible. Rec´ıprocamente, si f (x) ∈ R [x] es un polinomio primitivo tal que considerado como elemento de F [x] es irreducible, entonces f (x) es irreducible como elemento de R [x]. Demostraci´on. Para la primera afirmaci´on sup´ongase que f (x) es reducible como polinomio de F [x]. Existen entonces polinomios m(x), n(x) en F [x] de grado ≥ 1 tales que f (x) = m(x)n(x). Cada uno de estos factores se puede escribir como m(x) = m1m(x) , n(x) = n1n(x) , donde m1 (x) y n1 (x) ∈ R[x] y m, n ∈ R − {0}; adem´as, m1 (x) es producto de su contenido m1 y un polinomio primitivo m01 (x) ∈ R[x], lo mismo se tiene para n(x). Resulta, mnf (x) = m1 n1 m01 (x)n01 (x), relaci´on que podemos considerar en R [x]. Si c := c(f (x)), entonces mnf (x) = mncf1 (x) = m1 n1 m01 (x)n01 (x), con f1 (x) primitivo, como m01 (x)n01 (x) es primitivo podemos aplicar la proposici´on 1.4.4 y obtenemos que m1 n1 = mncu, con u ∈ R∗ , de donde f (x) = cf1 (x) = cum01 (x)n01 (x), pero notemos que gr(m01 (x)) = gr(m(x)) ≥ 1, gr(n01 (x)) = gr(n(x)) ≥ 1, por lo tanto, f (x) es reducible en R[x]. La afirmaci´on rec´ıproca es evidente ya que f (x) es primitivo y R[x] ,→ F [x]. Teorema 1.4.6 (Teorema de Gauss). Sea R un DF U . Entonces, R [x] es un DF U . Demostraci´on. Existencia. Sea f (x) ∈ R[x] un polinomio no nulo y no invertible; debemos probar que f (x) tiene una descomposici´on en producto de irreducibles. Como f (x) es no nulo, entonces f (x) se puede expresar en la forma f (x) = c(f (x))f 0 (x), donde f 0 (x) es primitivo (v´ease la proposici´on 1.4.4). Consideremos dos casos. Caso 1. gr(f 0 (x)) = 0. Entonces f 0 (x) = 1 y procedemos a descomponer c(f (x)) en R; como f (x) no es invertible, entonces c(f (x)) no es invertible y por lo tanto tiene una descomposici´on en producto finito de irreducibles de R, los cuales a su vez son irreducibles de R[x] y obtenemos la descomposici´on irreducible de f (x) buscada. Caso 2. gr(f 0 (x)) ≥ 1. Si c(f (x)) es invertible, entonces pasamos a descomponer f 0 (x); si c(f (x)) no es invertible, entonces primero lo descomponemos como vimos en el caso anterior, y luego procedemos a descomponer f 0 (x). As´ı pues, solo nos resta ver la descomposici´on de f 0 (x). Consideremos a f 0 (x) como elemento de F [x], donde F es el cuerpo de fracciones de R; si f 0 (x) es irreducible, entonces por la proposici´on 1.4.5, f 0 (x) es irreducible en R [x], y hemos terminado. Supongamos pues que f 0 (x) es reducible en F [x]. Entonces gr(f 0 (x)) ≥ 2; como F [x] es DF U , entonces f 0 (x) es factorizable en un producto

1.4. TEOREMA DE GAUSS

21

finito de polinomios irreducibles de F [x]: f 0 (x) = f1 (x) · · · fr (x), fi (x) ∈ F [x] e irreducible, gr(fi (x)) ≥ 1, 1 ≤ i ≤ r, r ≥ 2. Cada polinomio fi (x) se puede expresar f 0 (x) en la forma fi (x) = iqi , con fi0 (x) ∈ R[x], qi ∈ R−{0}. A su vez cada fi0 (x) se puede escribir en la forma fi0 (x) = c(fi0 (x))fi00 (x), con fi00 (x) ∈ R[x] primitivo. Notemos que fi00 (x) es irreducible de R[x] ya que si fuese reducible, entonces por la proposici´on 1.4.5 Q ser´ıa reducible en Q F [x], pero esto no es posible ya que fi (x) es irreducible. Sean q := ri=1 qi y c := ri=1 c(fi0 (x)), entonces qf 0 (x) = cf100 (x) · · · fr00 (x). Como f 0 (x) y cada f 00 (x) es primitivo, entonces por la proposici´on 1.4.4, existe u ∈ R∗ tal que f 0 (x) = uf100 (x) · · · fr00 (x). Esta es la descomposici´on irreducible buscada para f 0 (x). Unicidad. Supongamos que f (x) tiene dos descomposiciones en la forma f (x) = g1 (x) · · · gr (x) = h1 (x) · · · hs (x), donde los gi (x), hj (x) son polinomios irreducibles de R[x] de grado ≥ 0. Resulta c1 g10 (x) · · · cr gr (x)0 = d1 h01 (x) · · · ds hs (x)0 , con ci := c(gi (x)), dj := c(hj (x)), gi0 (x), h0j (x) primitivos, 1 ≤ i ≤ r, 1 ≤ j ≤ s. Pero como gi (x) = ci gi0 (x) es irreducible de R[x], entonces se presentan dos posibilidades: ci es irreducible de R y gi0 (x) = 1 o bien ci ∈ R∗ y gi0 (x) es irreducible de R[x] de grado ≥ 1; lo mismo se tiene para cada hj (x). Podemos entonces escribir 0 c1 · · · ct ct+1 · · · cr g10 (x) · · · gt0 (x)gt+1 (x) · · · gr0 (x) = 0 0 0 d1 · · · dm dm+1 · · · ds h1 (x) · · · hm (x)hm+1 (x) · · · h0s (x),

con c1 , . . . , ct irreducibles de R, ct+1 , . . . , cr ∈ R∗ , g10 (x) = · · · = gt0 (x) = 1 y 0 gt+1 (x), · · · , gr0 (x) irreducibles de R[x] de grado ≥ 1; d1 , . . . , dm irreducibles de R, dm+1 , . . . , ds ∈ R∗ , h01 (x) = · · · = h0m (x) = 1 y h0m+1 (x), · · · , h0s (x) irreducibles de R[x] de grado ≥ 1. Pero de la proposici´on 1.4.4 se tiene que c1 · · · ct ct+1 · · · cr = d1 · · · dm dm+1 · · · ds u, con u ∈ R∗ 0 g10 (x) · · · gt0 (x)gt+1 (x) · · · gr0 (x) = h01 (x) · · · h0m (x)h0m+1 (x) · · · h0s (x), con v ∈ R∗ , luego c1 · · · ct = d1 · · · dm w, con w ∈ R∗ 0 gt+1 (x) · · · gr0 (x) = h0m+1 (x) · · · h0s (x), con y ∈ R∗ , Como R es un DF U , t = m y di = ci wi , con wi ∈ R∗ , 1 ≤ i ≤ t; adem´as como F [x] es DF U , entonces r − t = s − m, es decir, r = s y h0j (x) = gj0 (x)zj , con a zj ∈ F ∗ , t + 1 ≤ j ≤ r. Sea zj = bjj , entonces en R[x] tenemos bj h0j (x) = aj gj0 (x), pero como h0j (x) y gj0 (x) son primitivos, entonces aj = bj vj , con vj ∈ R∗ . Resulta, h0j (x) = gj0 (x)vj . Volviendo al principio de la prueba de la unicidad concluimos que hi (x) = gi (x)wi , 1 ≤ i ≤ t, y hj (x) = gj (x)dj c−1 j vj , t + 1 ≤ j ≤ r. Esto completa la demostraci´on. Corolario 1.4.7. Si R es un DF U , entonces R [x1 , . . . , xn ] tambi´en es un DF U . Demostraci´on. Consecuencia directa del teorema de Gauss.

22

CAP´ITULO 1. POLINOMIOS

El problema de factorizar o determinar si un polinomio sobre un DF U , o sobre su cuerpo de fracciones, es irreducible en general no es muy f´acil de resolver. Existen algunos criterios que vamos a considerar a continuaci´on para el caso particular de Z y Q. Proposici´ on 1.4.8. Si f (x) ∈ Z [x] es m´ onico y se factoriza como el producto de dos polinomios racionales, entonces f (x) se factoriza como el producto de dos polinomios enteros m´onicos. Demostraci´on. Si gr(f (x)) = 0, entonces f (x) = 1 y se tiene la descomposici´on trivial f (x) = 1·1. Sea f (x) = p0 +· · ·+pn−1 xn−1 +xn de grado ≥ 1 el cual es producto de 0 q 0 (x) dos polinomios con coeficientes racionales, f (x) = p(x)q(x) = p p(x) , con p0 , q0 ∈ q0 0 0 0 0 0 Z − {0} y p (x), q (x) ∈ Z[x] − {0}. Resulta, p0 q0 f (x) = c(p (x))c(q (x))p00 (x)q 00 (x), con p00 (x), q 00 (x) primitivos. De la proposici´on 1.4.4 se sigue que f (x) = up00 (x)q 00 (x), con u = ±1. Como f (x) es m´onico, entonces 1 = ±lc(p00 (x))lc(q 00 (x)). Si 1 = lc(p00 (x))lc(q 00 (x)), entonces lc(p00 (x)) = 1 = lc(q 00 (x)) y tenemos la factorizaci´on deseada, ´o, lc(p00 (x)) = −1 = lc(q 00 (x)) y la factorizaci´on requerida es f (x) = (−p00 (x))(−q 00 (x)). Si 1 = −lc(p00 (x))lc(q 00 (x)), entonces lc(p00 (x)) y lc(q 00 (x)) son de signo contrario y las fatorizaciones requeridas se obtienen cambiando el signo de alguno de los dos factores. Proposici´ on 1.4.9 (Criterio de Eisenstein). Sea f (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn ∈ Z [x], con n ≥ 1. Si existe p ∈ Z irreducible tal que (i) p - an . (ii) p|ai para cada 0 ≤ i ≤ n − 1. (iii) p2 - a0 Entonces f (x) es irreducible sobre Q. Demostraci´on. Basta probar la proposici´on para f (x) := a0 + a1 x + · · · + an xn primitivo. En efecto, sea f (x) = cf1 (x), con c := c(f (x)) y f1 (x) := a00 + a01 x + · · · + a0n xn primitivo; notemos entonces que ca0i = ai para cada 0 ≤ i ≤ n, con lo cual p - a0n , p2 - a00 ; adem´as p|a0j para cada 0 ≤ j ≤ n − 1: en efecto, ya que p|aj entonces p|c o p|a0j , pero p - c pues de lo contrario dividir´ıa a an . As´ı pues, f1 (x) satisface las mismas condiciones de f (x). Sea entonces f (x) primitivo; sup´ongase que f (x) es reducible sobre Q. Entonces por la proposici´on 1.4.5, f (x) es reducible sobre Z y por lo tanto existe b(x) ∈ Z[x] tal que b(x)|f (x), b(x) ∈ / Z[x]∗ y b(x) no es asociado de f (x), luego existe c(x) ∈ Z[x] tal que c(x) ∈ / Z[x]∗ y f (x) = b(x)c(x) = (b0 + b1 x + · · · + br xr )(c0 + c1 x + · · · + cs xs ).

1.4. TEOREMA DE GAUSS

23

Como f (x) es primitivo, r ≥ 1 y s ≥ 1 (si por ejemplo c(x) fuera una constante, entonces tomando contenidos a ambos lados c(x) resultar´ıa invertible). Se tiene que a0 = b0 c0 con lo cual p|b0 o p|c0 . La o es excluyente ya que de lo contrario p|a20 . Sup´ongase entonces que p|b0 y p - c0 ; notemos que p - br ya que lo contrario dividir´ıa a an = br cs . Sea bk el menor coeficiente de b(x) que p no divide, 0 < k ≤ r < n, de donde p|b0 , . . . , p|bk−1 , pero ak = bk c0 + bk−1 c1 + · · · + b0 ck , por lo tanto p|bk c0 , pero como p - c0 , entonces p|bk , lo cual es una contradicci´on. El caso p|c0 produce una contradicci´on similar. As´ı pues, f (x) es irreducible sobre Q. Corolario 1.4.10. Sea p ∈ Z irreducible y m ≥ 1. Entonces el polinomio xm − p es irreducible sobre Q, y por lo tanto, sobre Z. Demostraci´on. Consecuencia de la proposici´on anterior y de la proposici´on 1.4.5. Observaci´ on 1.4.11. (i) Observemos que la proposici´on y corolario anteriores son v´alidos en cualquier DF U . (ii) Si en el criterio de Eisenstein el polinomio f (x) es primitivo, entonces f (x) tambi´en resulta irreducible sobre R[x]. Pero si f (x) no es primitivo, podr´ıa resultar reducible sobre R[x], por ejemplo f (x) = 6x2 + 10x + 10 = 2(3x2 + 5x + 5) ∈ Z[x], con p = 5. √ Corolario 1.4.12. Sea p ∈ Z irreducible y m ≥ 2. Entonces m p es irracional. √ Demostraci´on. Supongamos que m p = ab ∈ Q, entonces ab es una ra´ız racional de xm − p, y por la proposci´on 1.2.4, x − ab es un factor de xm − p, es decir, xm − p es reducible sobre Q, contradicci´on. Proposici´ on 1.4.13 (Polinomios ciclot´ omicos). Sea p ∈ Z irreducible. El polip−1 p−2 nomio: fp (x) := x + x + · · · + x + 1 se denomina ciclot´ omico y es irreducible sobre Q. Demostraci´on. Supongamos que fp (x) es reducible sobre Q, existen h(x), f (x) ∈ Q [x] tales que fp (x) = h(x)f (x), gr(h(x)), gr(f (x)) ≥ 1, entonces g(x) := fp (x + 1) = h(x + 1)f (x + 1) en Q [x], donde gr(h(x + 1)) ≥ 1 y gr(f (x + 1)) ≥ 1, es decir, g(x) es reducible sobre Q. p−1 Notemos que fp (x) = xx−1 , luego g(x) =

(x+1)p −1 x+1−1 p−1

x

+

p xp +(p1)xp−1 +···+(p−1 )x+1−1 (kp)xp−k −1 = = x
x
p p p−2 p−3 x + 2 x + · · · + p−2 x + p.

Pp

=
p 1

k=0

24

CAP´ITULO 1. POLINOMIOS


Pero p - 1, p | kp , 1 ≤ k ≤ p − 1, p2 - p, luego por la proposici´on 1.4.9, g(x) es irreducible en Q [x], contradicci´on. Proposici´ on 1.4.14. Sea f (x) = xn + pn−1 xn−1 + · · · + p0 ∈ Z [x], con p0 6= 0, n ≥ 1. Si f (x) tiene una ra´ız z en Q, entonces f (x) tiene una ra´ız m en Z y adem´ as m|p0 . Demostraci´on. Sea mt ∈ Q con m.c.d.(m, t) = 1 una ra´ız racional de f (x), entonces f (x) = (x − mt )p(x), donde p(x) = q(x) con q(x) ∈ Z [x] , a ∈ Z − {0}; se obtiene a entonces que taf (x) = (tx − m)q(x) = (tx − m)c(q(x))q 0 (x), con q 0 (x) primitivo; como f (x) es primitivo (por ser pn = 1) y adem´as (tx − m), q 0 (x) son primitivos, entonces ta = u−1 c(q(x)) y f (x) = uv(tx − m)q 0 (x), con u, v ∈ Z∗ . De aqu´ı obtene0 mos que m|p0 ; adem´as, uvtqn−1 = pn = 1, luego t ∈ Z∗ , es decir, t = ±1, y de esta forma m ∈ Z es ra´ız de f (x). Observaci´ on 1.4.15. La proposici´on 1.4.14 es v´alida en cualquier DF U .

1.5.

Ejemplos

En esta secci´on ilustraremos y aplicaremos los resultados obtenidos en las secciones anteriores a trav´es de ejemplos. Ejemplo 1.5.1. (i) Notemos que f (x) = x2 + 8x − 2 es irreducible sobre Q: para p = 2 se tiene que 2 - 1, 2|8, 2| − 2 y 4 - −2. (ii) f (x) = x2 + 6x + 12 es irrreducible sobre Q: similar al anterior con p = 3. (iii) f (x) = 2x10 − 25x3 + 10x2 − 30 es irreducible sobre Q: como en (i) con p = 5. Ejemplo 1.5.2. Probemos que p(x) = x3 +3x2 −8 es irreducible sobre Q: sup´ongase que p(x) es factorizable en Q, p(x) = m(x)n(x) = (ax + b)n(x), con a, b ∈ Q, a 6= 0; puesto −b es una ra´ız racional, entonces por la proposici´on 1.4.14, p(x) tiene una a ra´ız c en Z tal que c| − 8, pero se puede comprobar por c´alculo directo que ninguno de los divisores de −8 es ra´ız de p(x). Ejemplo 1.5.3. Sea p ≥ 2 un irreducible y sea fp : Z −→ Zp el epimorfismo natural, fp (k) := k. Notemos que fp : Z [x] −→ Zp [x] fp (k0 + k1 x + · · · + km xm ) := k0 + k1 x + · · · + km xm es un epimorfismo. Si g(x) ∈ Z [x] es de grado m ≥ 2 y fp (g(x)) no es factorizable en Zp [x] en un producto de 2 polinomios no constantes de grado menor que m, entonces g(x) es irreducible sobre Q [x]. En efecto, g(x) se puede tomar primitivo y aplicar la proposici´on 1.4.5. Por ejemplo, notemos que g(x) = x3 + 17x + 36 es

1.6. POLINOMIOS EN VARIAS VARIABLES

25

irreducible sobre Q [x]: para p = 17 se tiene que f17 (g(x)) = x3 + 2, pero x3 + 2 no se puede factorizar en Z17 [x] un producto de 2 polinomios no constantes de grado ≤ 3: en caso contrario uno de los factores ser´ıa lineal, x − a, con 0 ≤ a ≤ 17, pero esto implicar´ıa que a3 = −2 en Z17 , pero tal a con 0 ≤ a ≤ 16 no existe. Ejemplo 1.5.4. Sea R un DI y sea F su cuerpo de fracciones; sabemos que F [x] es un DI, por lo tanto, tiene cuerpo de fracciones que denotamos por F (x). Notemos que los elementos de F (x) son fracciones de la forma p(x) , con p(x), q(x) ∈ F [x], q(x) q(x) 6= 0. Se puede probar f´acilmente que F (x) es isomorfo al cuerpo de fracciones de R[x] (v´ease el ejercicio 20). Ejemplo 1.5.5. Vimos en la proposici´on 1.2.4 que si K es un cuerpo y a ∈ K es una ra´ız de un polinomio f (x) ∈ K[x], entonces f (x) = (x − a)g(x), con g(x) ∈ K[x]. La ra´ız a se dice de multiplicidad m ≥ 1 si f (x) = (x − a)m h(x), con h(x) ∈ K[x] y a no es ra´ız de h(x). Notemos que a es una ra´ız de multiplicidad m ≥ 2 si, y s´olo si, a es una ra´ız del polinomio f 0 (x), donde f 0 (x) denota la derivada del polinomio f (x) definida de la manera usual como se hace en c´alculo.

1.6.

Polinomios en varias variables

Sea R un anillo conmutativo y sea R[X] := R[x1 , . . . , xn ] su anillo de polinomios en n variables. Existen varias maneras de escribir cada elemento de R[X] en dependencia del prop´osito. Por ejemplo, podemos entender a R[X] como R[X] = R[x1 , . . . , xn−1 ][xn ] de tal manera que cada elemento p(X) := p(x1 , . . . , xn ) ∈ R[X] se puede representar en la forma p(X) = p0 (x1 , . . . , xn−1 )+p1 (x1 , . . . , xn−1 )xn +· · ·+ pr (x1 , . . . , xn−1 )xrn ; de manera similar podemos proceder con respecto a las demas variables. Otra forma usada muy frecuentemente es expresar los elementos de R[X] en la forma P p(X) = ti=1 cαi xαi , con cαi ∈ R, xαi := xα1 1i · · · xαnni , αi := (α1i , . . . , αni ) ∈ Nn ; los elementos cαi se conocen como los coeficientes de p(X), los productos xαi son los monomios y los elementos cαi xαi son los t´ erminos. Por ejemplo, si p(x, y, z) = 3 − 2xy + 6xz + 7z 2 − 4xy 2 z ∈ Z[x, y, z], entonces los coeficientes de este polinomio son 3, −2, 6, 7, −4, los monomios son 1, xy, xz, z 2 , xy 2 z y sus t´eminos son 3, −2xy, 6xz, 7z 2 , −4xy 2 z. Definici´ on 1.6.1. Sean R un anillo conmutativo y R[X] := R[x1 , . . . , xn ] su anillo de polinomios en n variables. (i) El conjunto de monomios est´ andar de R[X] se define por M on(R[X]) := M on{x1 , . . . , xn } := {xα := xα1 1 · · · xαnn |α = (α1 , . . . , αn ) ∈ Nn }.

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CAP´ITULO 1. POLINOMIOS

(ii) Si xα ∈ M on(R[X]), exp(xα ) := α y gr(xα ) := |α| := α1 + · · · + αn . Pt αi (iii) Sea p(X) = ∈ R[X], donde cada coeficiente cαi es no nulo, se i=1 cαi x define el grado de p(X) por gr(p(X)) := m´ax{gr(xαi )}ti=1 . (iv) Sea p(X) como en (iii), se dice que p(X) es homog´ eneo de grado n ≥ 0 si todos sus monomios son de grado n. Los siguientes polinomios enteros son homog´eneos, 2xy −x2 +yz −5z 2 ; x−y +8z; 3; x3 − 5x2 z + z 3 ; en cambio 3xy − y 2 + 4z no es homog´eneo. Proposici´ on 1.6.2. M on(R[X]) tiene estructura de monoide conmutativo. Adem´ as, R[X] es un R-m´odulo libre a izquierda con base M on(R[X]). Demostraci´on. La estructura de monoide de M on(R[X]) es isomorfa con la de Nn : en efecto, en Nn se tiene que si α = (α1 , . . . , αn ), β = (β1 , . . . , βn ) ∈ Nn , entonces α + β := (α1 + β1 , . . . , αn + βn ); el neutro en Nn es (0, . . . , 0). De otra parte, en M on(R[X]) se tiene que xα xβ = xα1 1 · · · xαn xβ1 1 · · · xβnn = xα1 1 +β1 · · · xαnn +βn = xα+β , donde el elemento neutro es 1 := x01 · · · x0n . As´ı pues, el isomorfismo entre Nn y M on(R[X]) viene dado por α 7→ xα . La segunda afirmaci´on de la proposici´on se prueba de manera recurrente ya que seg´ un la definici´on de R[x1 ] que vimos al principio del cap´ıtulo, R[x1 ] es claramente un R-m´odulo libre a izquierda con base {xi }i≥0 (v´ease [11]), y para el caso general se tiene que R[X] = R[x1 , . . . , xn−1 ][xn ]. Observaci´ on 1.6.3. N´otese que la proposici´on anterior es tambi´en v´alida cuando el anillo de coeficientes no es conmutativo. A diferencia del caso de una sola variable, para los polinomios 2xy −x2 +yz −5z 2 y 3xy − y 2 + 4z no es claro c´omo definir el monomio principal; por ejemplo, para el primer polinomio todos los monomios son del mismo grado. Sin embargo, en el caso general de varias variables, es necesario, en muchos contextos y aplicaciones, escribir un polinomio en forma ordenada seg´ un alg´ un orden dado a su conjunto (monoide) de monomios est´andar. De estos ´ordenes sobre M on(R[X]) nos ocuparemos a continuaci´on. Hay muchas maneras de ordenar M on(R[X]), sin embargo, nosotros ya conocemos algunas propiedades que debe satisfacer un orden deseable. Por ejemplo, el orden mediante el grado en el caso de una variable fue usado para establecer un algoritmo de divisi´on (o reducci´on) y para extender relaciones de divisibilidad. Por lo tanto, en el caso general, si xα ha de dividir a xβ entonces deber´ıamos tener que xβ ≥ xα , o equivalentemente, si βi ≥ αi para cada i = 1, . . . , n , entonces xβ ≥ xα .

1.6. POLINOMIOS EN VARIAS VARIABLES

27

Tambi´en, en las divisiones descritas en la secci´on 1.3 nosotros arreglamos los t´erminos de los polinomios en orden creciente o decreciente, y por lo tanto, fuimos capaces de comparar cualesquiera dos monomios. As´ı, el orden debe ser total, esto es, dados cualesquiera xα , xβ ∈ M on(R[X]), exactamente una de las siguientes relaciones debe cumplirse: xβ > xα , xβ = xα ´o xα > xβ . Adem´as, la reducci´on −→+ descrita en la secci´on 1.3 debe parar despu´es de un n´ umero finito de pasos. Por lo tanto, para que la reducci´on sea finita necesitamos que el orden sea un buen orden, es decir, no exista una cadena infinita descendente xα1 > xα2 > xα3 > · · · en M on(R[X]). Un orden que satisface todas estas condiciones es conocido como un orden monomial y esas condiciones ser´an tenidas en cuenta en la siguiente definici´on. Definici´ on 1.6.4. Sea ≥ una relaci´ on de orden en M on(R[X]). Si xβ ≥ xα pero xβ 6= xα se escribe xβ > xα , o tambi´en, xα < xβ . Se dice que ≥ es monomial si satisface las siguientes condiciones: (i) ≥ es un orden total. (ii) Para cada xβ 6= 1 en M on(R[X]) se tiene que xβ > 1. (iii) Si xβ ≥ xα , entonces xβ xγ ≥ xα xγ para cada xγ en M on(R[X]). Ejemplo 1.6.5. El orden lexicogr´ afico (lex) en M on(R[x]) se define de la siguiente manera: (i) x1 > x2 > x3 > · · · > xn . (ii) Para α = (α1 , . . . , αn ) y β = (β1 , . . . , βn ) ∈ Nn definimos xβ > xα si, y s´olo si, existe i ≥ 1 tal que β1 = α1 , . . . , βi−1 = αi−1 , βi > αi . De esta forma, en el caso de dos variables, se tiene que 1 = x01 x02 < x2 = x01 x2 < x22 = x01 x22 < x32 = x01 x32 < · · · < x1 = x1 x02 < x1 x2 < x1 x22 < · · · < x21 = x21 x02 < · · · . Veamos que lex es realmente un orden monomial: sea xβ = xβ1 1 · · · xβnn 6= 1 y sea i el menor ´ındice tal que βi 6= 0. Entonces claramente xβ1 1 · · · xβnn = xβ > 1 = x01 · · · x0n ; sea ahora xβ = xβ1 1 · · · xβnn > xα1 1 · · · xαnn = xα y sea xγ = xγ11 · · · xγnn , sea i el menor ´ındice tal que βi > αi , entonces i es el menor ´ındice tal que βi + γi > αi + γi , luego xβ xγ > xα xγ . Es obvio que lex es un orden total.

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CAP´ITULO 1. POLINOMIOS

Ejemplo 1.6.6. Se define el orden lexicogr´ afico graduado (deglex) en R[X] de la siguiente manera: (i) x1 > x2 > x3 > · · · > xn . (ii) Para α = (α1 , . . . , αn ) y β = (β1 , . . . , βn ) ∈ Nn definimos   |β| > |α| ´o xβ > xα ⇐⇒  |β| = |α|

y xβ > xα en el orden lex.

De esta forma, en este orden primero ordenamos por el grado total y luego por el orden lex. En el caso de dos variables x1 y x2 tenemos: 1 = x01 x02 < x01 x2 = x2 < x1 x02 = x1 < x22 = x01 x22 < x1 x2 < < x21 = x21 x02 < x01 x32 = x32 < x1 x22 < x21 x2 < x31 x02 = x31 < · · · . Veamos este orden en R[x, y] con x < y: 1 < x < y < x2 < yx < y 2 < x3 < < yx2 < y 2 x < y 3 < · · · . Notemos que deglex es realmente un orden monomial: sea xβ = xβ1 1 · · · xβnn 6= 1 n y sea i el menor tal que βi 6= 0. Entonces claramente xβ = xβ1 1 · · · xβnP > 1 = n β γ α1 1 1 0 0 β βn α αn γ γn x1 · · · xn ; sea x = x = x1 P · · · xn y sea 1 · · · xn > n ; si i=1 βi > P P Px Pnx = x1 · · · xP n n n n n α , entonces β + γ > α + γ , luego (β + i i=1 i i=1 i i=1 i i=1 i Pi=1 Pn i=1 i Pnγi ) > n β γ α γ i=1 (αi + γi ) de tal forma que en este caso x x > x x . Si i=1 αi = i=1 βi , β α β γ α γ entoncesP x > x en el orden Pn lex, y en este caso ya probamos que x x > Pnx x , y n adem´ a s (α + γ ) = (β + γ ) . El orden deglex es total ya que i iP i i i=1 i=1 i=1 βi > Pn P Pn Pn n n o i=1 βi = i=1 αi (y el orden lex es total) ´o i=1 αi > i=1 βi . i=1 αi ´ Observaci´ on 1.6.7. (i) Es importante anotar que en cualquier orden monomial se necesita especificar un orden para las variables. Por ejemplo, si tenemos un orden monomial ≥ en R[x, y], sabemos que x 6= y, pero no tenemos ning´ un criterio para deducir que x > y o y > x, debemos postular alguna de estas relaciones en la definici´on de ≥. (ii) Si usamos el orden lexicogr´afico en R[x, y], con x < y (en lugar de x > y), entonces 1 < x < x2 < x3 < · · · < y < yx < yx2 < · · · < y 2 < · · · . Regresamos a la definici´on general de orden monomial. Queremos demostrar que cualquier monomial extiende la divisibildad y es un buen orden. Comencemos con la divisibilidad. Consideramos a los monomios est´andar con alg´ un orden monomial ≥; teniendo en cuenta que M on(R[X]) ⊂ R[X], podr´ıamos entonces decir que xα divide a xβ si, y s´olo si, existe un polinomio c1 xγ1 + · · · +

1.6. POLINOMIOS EN VARIAS VARIABLES

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ct xγ1 ∈ R[X] tal que xβ = (c1 xγ1 + · · · + ct xγ1 )xα , donde xγ1 > · · · > xγ1 , resulta xβ = c1 xγ1 xα , de donde c1 = 1 y xβ = xγ1 xα . Rec´ıprocamente, si esta u ´ltima igualdad se tiene, entonces xα divide a xβ . As´ı pues, la relaci´on de divisibilidad se puede definir en el monoide M on(R[X]), es decir, entre monomios. Definici´ on 1.6.8. Sean xα , xβ ∈ M on(R[X]), se dice que xα divide a xβ , lo cual se denota por xα |xβ , si existe xγ ∈ M on(R[X]) tal que xβ = xγ xα . Observemos que la relaci´on | es un orden en M on(R[X]) que cumple las condiciones (ii) y (iii) de la definici´on 1.6.4, pero no es total. Se tiene sin embargo la siguiente propiedad. Proposici´ on 1.6.9. Sea ≥ un orden monomial en M on(R[X]). Para xα , xβ ∈ M on(R[X]) se tiene que si xα |xβ , entonces xβ ≥ xα . Demostraci´on. Existe xγ ∈ M on(R[X]) tal que xβ = xγ xα . Por la condici´on (i) de la definici´on 1.6.4 se tiene que xγ ≥ 1 y por la condici´on (ii) de dicha definici´on se obtiene que xβ = xγ xα ≥ xα , como se anunci´o. Aplicamos ahora los ´ordenes monomiales para representar cada polinomio de R[X] de una manera ordenada: fijemos un orden monomial sobre M on(R[X]), entonces dado P (X) no nulo en R[X] podemos escribir p(X) = a1 xα1 + a2 xα2 + · · · + ar xαr , donde 0 6= ai ∈ R, xαi ∈ M on(R[X]) y xα1 > xα2 > · · · > xαr . Definimos entonces lm(P (X)) := xα1 , el monomio principal de p(X); lc(P (X)) := a1 , el coeficiente principal de P (X); lt(P (X)) := a1 xα1 , el t´ ermino principal de P (X). Tambi´en definimos lm(0) = lc(0) = lt(0) := 0. N´otese que si R es un DI, lp, lc y lt son funciones multiplicativas, es decir, lm(f (X)g(X)) = lm(f (X))lm(g(X)), lc(f (X)g(X)) = lc(f (X))lc(g(X)), lt(f (X)g(X)) = lt(f (X))lt(g(X)). En efecto, sean f (X) = a1 xα1 + · · · + an xαn y g(X) = b1 xβ1 + · · · + bm xβm , entonces n P m
P f (X)g(X) = ai bj xαi xβj y n´otese que xα1 xβj > xαi xβj con i ≥ 2, j ≥ 1 y tamα i β1

i=1 j=1 α i βj

bi´en x x > x x con i ≥ 1, j ≥ 2. Esto garantiza que xα1 xβ1 = lm(f (X)g(X)) y entonces lm(f (X)g(X)) = lm(f (X))lm(g(X)). De otra parte, si cambiamos el orden monomial, entonces lm(f (X)), lc(f (X)) y lt(f (X)) pueden cambiar. Por ejemplo, sea f = 2x2 yz + 3xy 3 − 2x3 ∈ Z[x, y]; si el orden es lex con x > y > z, entonces lm(f ) = x3 , lc(f ) = −2 y lt(f ) = −2x3 ; si el orden es deglex con x > y > z, entonces lm(f ) = x2 yz, lc(f ) = 2 y lt(f ) = 2x2 yz.

30

CAP´ITULO 1. POLINOMIOS

Cerramos esta secci´on demostrando que los ´ordenes monomiales sobre anillos conmutativos noetherianos (v´ease [13]), es decir, aquellos que no tienen cadenas ascendentes infinitas de ideales, son buenos ´ordenes. Ejemplos importantes de anillos noetherianos son los cuerpos, o m´as generalmente, los DIP s. Proposici´ on 1.6.10. Sea R un anillo conmutativo noetheriano. Entonces, cada orden monomial sobre M on(R[X]) es un buen orden, es decir, cada subconjunto no vac´ıo C de M on(R[X]) tiene elemento m´ınimo. Demostraci´on. Sup´ongase contrariamente que existe un orden monomial que no es un buen orden. Entonces existe un subconjunto no vac´ıo C de M on(R[X]) de tal forma que existen xαi ∈ C, i = 1, 2, . . . tales que x α 1 > x α2 > x α 3 > · · · .

(1.6.1)

Esto define una cadena de ideales en R[X] hxα1 i ⊂ hxα1 , xα2 i ⊂ hxα1 , xα2 , xα3 i ⊂ · · · .

(1.6.2)

N´otese que efectivamente hxα1 , . . . , xαi i = 6 hxα1 , . . . , xαi+1 i: si tuvieramos la igualdad entonces i X αi +1 x = uj x αj , (1.6.3) j=1

Pi αj donde uj ∈ R[X], j = 1, 2, . . . , i. Sea p(X) := j=1 uj x ; si expandimos cada uj como una R-combinaci´on de monomios vemos que cada monomio de P (X) es divisible por alg´ un xαj , 1 ≤ j ≤ i, por lo tanto lm(P (X)) = xγ xαj , de donde xαi +1 es divisible por xαj , y en consecuencia, xαi +1 ≥ xαj , lo cual contradice (1.6.1). Por lo tanto, la cadena de ideales en (1.6.2) es estrictamente creciente, pero esto es una contradicci´on con el teorema de la base de Hilbert que dice que las cadenas ascendentes de ideales en R[X] no son infinitas (v´ease [13]).

1.7.

Polinomios sim´ etricos

Una posible justificaci´on para introducir y estudiar los polinomios sim´etricos en varias variables es cuando se permutan las ra´ıces de un polinomio, tal como veremos a continuaci´on. Consideremos el polinomio p(z) := (z −r1 ) · · · (z −rn ) ∈ R[z]; n´otese que si desarrollamos los factores de p(z) obtenemos: n−2 −(r r r +r r r + p(z) = z n −(r1 +· · ·+rn )z n−1 +(r1 r2 +· · ·+r 1 rn +r2 r3 +· · ·+rn−1 rn )z 1 2 3 1 2 4 P · · · + rn−2 rn−1 rn )z n−3 + · · · + (−1)n−1 ( i1