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• Maria Moreno Farias

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UNIVERSIDAD DE CARABOBO-FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA SEGUNDO EXAMEN PARCIAL DE ÁLGEBRA LINEAL CEAN 2009-SECCIÓN 72 Profesor Giovanni Pizzella P. 1) Sea E el conjunto formado por todas las sucesiones de números reales decrecientes E = {(a1, a2, a3, . . . , an) / a1>a2>a3> . . . >an y lim→∞  = 0} con las operaciones

tales que el límite de su término n-ésimo es cero cuando n tiende a infinito, esto es, de suma de dos sucesiones y producto de un escalar por una sucesión usuales. Verifique si E forma un espacio vectorial real. 2) Sea {v1, v2, v3, · · ·, vn} un subconjunto linealmente independiente en un espacio vectorial E cualquiera. Supongamos que tenemos un vector w ∈ E pero no perteneciente al subespacio L(v1, v2, v3, · · ·, vn). Demuestre que el conjunto {v1, v2, v3, · · · , vn, w} es linealmente independiente. 3) Determine la dimensión de cada uno de los subespacios vectoriales indicados:

i)

S = L(-x + x2, -5 + x, -x2, 3 + x2) en el espacio vectorial P2(x), de todos los polinomios

con coeficientes reales y de una variable de grado igual o menor que dos . ii) S = real.

L(lnx, lnx2, lnx3)

en el espacio vectorial F(x), de todas las funciones de una variable

4x − y + 2z − w = 0  iii) El subespacio solución del sistema de ecuaciones 3x + 2y + z + w = 0 x− y + 2z − w = 0 

2 −1  4) Sea φ : R2 → R3 una función definida por ∅ = −6 3   . Demuestre que φ es una  −2 1 transformación lineal y determine una base del K(φ) e Im(φ). ¿Cuál es la dimensión de cada subespacio? Determine Rgo(∅ y Nul(∅ .

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RESPUESTAS: 1) Primero debemos probar que las dos operaciones usuales para las sucesiones son cerradas para este conjunto, veamos: Si a, b ∈ E entonces: a = (a1, a2, a3, . . . , an) / lim an = 0 y b = (b1, b2, b3, . . . , bn) / lim bn = 0, n→∞ n→∞ a + b = (a1+b1, a2+b2, a3+b3, . . . , a n+bn) / lim (an+bn) = 0. Luego, La suma de dos n→∞

sucesiones decrecientes es decreciente también, pero, α·a = (αa1, αa2, αa3, ..., αan) ∉ E pues si α < 0, la sucesión deja de ser decreciente pues αa1