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Universidad Nacional De Ancash “SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO” FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS, GEOLOGIA Y METALURGIA

Ecuaciones diferenciales parciales

CURSO:

DOCENTE:

ALUMNO:

MATEMATICA IV

RUBEN LEIVA BERNUY

AGUIRRE JARA VLADIMIR…………101.0802.428

HUARAZ JULIO - 2012

ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones desconocidas. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en: 1. Si la función incógnita depende de una sola variable independiente en la cual solo aparecen derivadas ordinarias, la ecuación diferencial se llama ‘’ecuación diferencial ordinaria’’ Ejemplos: a) (

)

b) (

)

( [

(

)

(E.D de Legendre)

) ]

(E.D de Gauss)

2. Si la función incógnita depende de varias variables independientes y las derivadas son derivadas parciales, la ecuación diferencial se llama ‘’ecuación diferencial parcial’’ Ejemplos:

(

a)

b)

c)

(

) (E.D de Laplace)

) (E.D bidimensional de Poisson)

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Una ecuación diferencial parcial para una función ( parciales

) con derivadas

, es una relación de la forma (

)

( )

Donde es una función de las variables

En donde solamente ocurrirán un número finito de derivadas. Una función (

) es solución de (1) si en alguna región del espacio

de sus variables independientes, la función y sus derivadas satisfacen la ecuación idénticamente en (

).

Se puede también considerar un sistema de ecuaciones diferenciales parciales; en este caso se consideran varias expresiones como las de arriba conteniendo una o más incógnitas y sus derivadas parciales. Una ecuación diferencial parcial es de orden n, si las derivadas de mayor orden que ocurren en F son de orden n. Las ecuaciones diferenciales parciales se clasifican también según el tipo de función F considerada. En particular tenemos la ecuación diferencial parcial lineal si F es lineal en la función incógnita y sus derivadas, y la ecuación diferencial parcial casilineal que es más general, si F es lineal en al menos una de las derivadas de más alto orden. El problema objeto de las EDP es el estudio de las soluciones. Por solución de una EDP indicamos a una función teniendo todas las

derivadas parciales que ocurren en la EDP y que cuando se sustituye en la ecuación la reducen a una identidad en todas las variables. Por ejemplo la EDP de primer orden

donde x e y

son las variables independientes y es la función incógnita tiene a

Por solución donde F(Y) es cualquier función diferenciable en y. asi tenemos que

Son soluciones. En esta forma vemos que las soluciones se pueden clasificar en soluciones generales y soluciones particulares. Para la determinación de las soluciones particulares se requiere de condiciones auxiliares las cuales constituyen las llamadas las condiciones iniciales y las condiciones de frontera. En esta forma el problema de las EDP consiste en hallar las soluciones bajo condiciones auxiliares, iniciales y/o en la frontera; obteniendo así los llamados problemas de frontera o problemas de valores iniciales. En el estudio de las soluciones de una EDP, se tienen tres preguntas básicas: 1. ¿Existen las soluciones? 2. ¿Es la solución única? 3. ¿Es la solución estable? Para la determinación de una solución particular se usan condiciones especiales llamadas como ya lo dijimos las condiciones iniciales y/o las condiciones de frontera.

TIPOS DE CONDICIONES Se pueden clasificar en cuatro tipos: 1. CONDICIONES DE CAUCHY: Se desean soluciones donde las funciones desconocidas y posiblemente sus derivadas ut donde son predeterminadas en la frontera cuando t=0 Este tipo de condiciones son catalogadas como condiciones iniciales. 2. CONDICIONES DE DIRICHLET: La función incógnita es especificada en cada punto en la frontera de la región de interés. Es pues un problema de frontera. 3. CONDICIONES DE NEUMANN: Los valores de la derivada normal y de la función incógnita son predeterminadas en cada punto en la frontera de la región de interés.

4. CONDICIONES DE ROBIN: Valores de la suma de la función incógnita u y de sus derivadas normales son predeterminadas en cada punto de la frontera de la región de interés. Un ejemplo típico ilustrando algunas de estas condiciones es dado por

Condiciones de Dirichlet son dadas por CF cuando x=0 y condiciones Neumann ocurren en CF cuando x=p y condiciones de Cauchy se tienen en CI cuando t=0. La ecuación

Es llamada ecuación diferencial parcial lineal de segundo orden en dos variables. Cuando (

)

segundo orden

la ecuación es llamada EDP lineal homogénea de

ECUACIONES LINEALES Y CASI-LINEALES Las ecuaciones de primer orden, en general, presentan interpretaciones geométricas interesantes. Será conveniente entonces restringir la discusión al caso de dos variables independientes, pero es claro que la teoría podrá ser extendida inmediatamente a cualquier número de variables. Consideramos entonces ecuaciones de la forma (

)

(

)

( )

ECUACIÓN GENERAL DE PRIMER ORDEN PARA FUNCIONES EN DOS VARIABLES Una ecuación diferencial parcial general de primer orden para funciones de dos variables (

) y sus derivadas

, puede ser escrita

en la forma (

)

( )

Sorprendentemente al resolver una ecuación de primer orden más general el análisis se reduce a la resolución de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias. La geometría, sin embargo, no necesariamente es tan simple como para las ecuaciones casi-lineales, donde se hacía referencia principalmente a las curvas integrales. En el caso general nos referiremos, como se verá, a objetos geométricos más complicados, llamados fajas (o tiras).

METODO DE SOLUCIONES DE LA ECUACION

= = a) METODO DE LAS PROPORCIONES De la ecuación original obtenemos dos relaciones de la forma: (

)

(

)

Involucrando dos constantes arbitrarias, entonces variando estas dos constantes obtenemos una familia a dos parámetros cumpliendo la ecuación original. En particular, para hallar las funciones se observa que para cualquier dirección tangencial a través del punto (

Si

) a la superficie

(

)

se satisface la relación

es un adecuado sistema de superficies a un parámetro, la

dirección tangencial a la curva integral a través de cualquier punto (

) es también una dirección tangencial a esta superficie. Por lo

tanto:

Para hallar

(y, análogamente

) experimentamos con un buen

número de funciones P’, Q’, R’, de tal manera que se cumpla:

y tales que exista una función

con la propiedad

Es decir, tal que

Sea una forma diferencial exacta

.

b) METODO DE CHARPIT Para resolver la ecuación diferencial parcial (

)

( )

Donde como siempre

Charpit introduce una segunda ecuación diferencial parcial de primer orden (

)

( )

La cual contiene una constante arbitraria 

y tal que,

Las ecuaciones (1) y (2) pueden resolverse para dar (

)

(

)

 La ecuación (

)

(

)

( )

Es integrable. Cuando tal función g ha sido determinada, la solución de la ecuación ( ) (

)

conteniendo dos funciones arbitrarias

la solución de la ecuación (1)

c) MÉTODO DE JACOBI Para resolver la ecuación diferencial parcial (

)

( )

Donde

Dependiendo del hecho de que si ( Es una relación entre

)

entonces …….(2)

será

Donde

denota (

)

( )

Si sustituimos las ecuaciones (2) en (1) obtenemos una ecuación diferencial parcial del tipo (

)

( )

En la cual la nueva variable dependiente u no aparece. La idea fundamental del método de Jacobi es la introducción de dos ecuaciones diferenciales de primer orden (

)

(

)

( )

Involucrando dos constantes a y b, de tal manera que  Las ecuaciones (4) y(5) pueden resolverse para  La ecuación

Obtenida para estos valores

sea integrable.

Cuando estas funciones pueden ser determinadas, la solución de la ecuación (6) contiene tres constantes arbitrarias y será la solución completa de (4) Como en el método de Charpit, la dificultad radica en la determinación de las ecuaciones auxiliares (5). Tenemos, en efecto, que hallar dos ecuaciones que sean compatibles con (4). Es un ejercicio muy fácil pero laborioso mostrar que (

)

y (

)

son compatibles si ( (

) )

( (

) )

( (

) )

Ahora g y h tendrán su solución dada por la ecuación diferencial parcial siguiente: ( ) Se procede entonces como en el método de Charpit.

ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES DE SEGUNDO ORDEN En las páginas anteriores consideramos la solución de una ecuación diferencial parcial de primer orden. Ahora procedemos a discutir las ecuaciones deferenciales parciales de segundo orden. El origen de las ecuaciones de segundo orden. Supóngase que la función z está dada por una expresión del tipo ( )

( )

Donde f y g son funciones arbitrarias de x y a y, respectivamente, y u,v y w

son funciones respectivamente de x y de y. Entonces

escribiendo ……………2 Diferenciando ambos lados de (1) con respecto a x y a y, hallamos que

y de aquí se sigue que

Ahora tenemos cinco ecuaciones involucrando cuatro funciones arbitrarias,

. Si eliminamos estas cuatro

cantidades de las cinco

……….3

La cual envuelve solamente las derivadas de

y

. Es por lo tanto una ecuación

diferencial parcial de segundo orden. Además si expandemos el determinante en el lado izquierdo de la ecuación (3) en términos de la primera columna, obtenemos una ecuación de la forma ………………….4 Donde R, S, T, P, Q, W son funciones conocidas de x e y. Por lo ión diferencial parcial

del procedimiento del último parágrafo, suponemos que: ……….5

Donde f y g son funciones arbitrarias y a es una constante. Si diferenciamos (5) dos veces con respecto a x obtenemos la relación Mientras que si derivamos dos veces con respecto a y, obtenemos la relación:

Así que las funciones z las cuales pueden ser expresadas en la forma (5) deben satisfacer la ecuación diferencial parcial .............6 Métodos análogos se aplican en el caso de ecuaciones de mayor orden. Es fácilmente demostrable que cualquier relación del tipo: ……………7

Donde las funciones fr son arbitrarias y las funciones vr son conocidas, conduce a una ecuación diferencial parcial lineal de orden n. Las ecuaciones diferenciales parciales que consideramos en esta sección son ecuaciones lineales.

Ecuaciones diferenciales parciales lineales con coeficientes constantes Consideremos ahora la solución de un tipo especial de ecuación diferencial parcial lineal con coeficientes constantes. Para tales ecuaciones utilizamos la siguiente notación: ……………1 Donde F (D, D’) denota un operador diferencial del tipo: …………….2

En donde las cantidades crs son constantes La solución más general, es decir, conteniendo el número correcto de elementos arbitrarios, de la correspondiente ecuación diferencial homogénea …………….3 es llamada la función complementaria de la ecuación (1), justo como en la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias. Análogamente alguna solución de la ecuación (1) es llamada solución particular. Como en la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias el siguiente resultado es básico.

CLASIFICACION DE LAS E.D.P LINEALES DE SEGUNDO ORDEN EN DOS VARIABLES

CASO DE LOS COEFICIENTES CONSTANTES

METODO DE SEPARACION DE VARIABLES: nos permite determinar

OTROS METODOS DE SOLUCION PARA EDPH

BIBLIOGRAFIA 

Análisis matemático. Eduardo Espinoza ramos

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Haberman R. Elementary Applied Partial Differential Equations Prentice-Hall. 1983

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Mijálov, V.P, Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales Mir Moscú. 1980.

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Peral, A.I. Addison-Ecuaciones en Derivadas Parciales Wesley/Universidad autónoma de Madrid

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Ecuaciones Diferenciales Parciales

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http://web.fc.uaem.mx:8080/material/matematicas/192 notas1.pdf