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• Pedro Florez

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• Matemáticas

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A-0

Escuela de Matem´ aticas. Universidad Nacional de Colombia, Sede Medell´ın.

En los ejercicios 1 a 5 complete en el espacio se˜ nalado. El procedimiento no se tendr´ a en cuenta al calificar. 1. (15%) Marque si el enunciado es verdadero o falso. (a) La funci´ on x2 e

|x|

es una funci´ on par

V

F

5. (16%) En el panel superior se muestra la gr´afica de la funci´ on f y en la parte de abajo, el resultado de aplicar sucesivamente transformaciones elementales sobre f . Escriba encima de cada gr´afica, la f´ormula correspondiente en t´erminos de la funci´on f .

(b) Si g es una funci´ on creciente entonces

f(x)

3

f (x) = g(2

x) + 4

2 1

es decreciente.

V

F

0 -1

(c) Si una poblaci´ on de bacterias se multiplica por si misma cada hora, entonces el numero de bacterias es una funci´on exponencial del tiempo. V F (d) Toda funci´ on lineal es invertible 1

(e) sen

(sen(⇡)) = ⇡

V

F

V

F

2. (9%) Halle la f´ ormula de la par´abola que se muestra en la figura y 4

���������

-2 -3 -4

3

-2

-1

f1(x) = ______________________

0

1

3

2

2

1

1

0

0

-1

-1

-2

-2

-3 -4

3

-3

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

2

3

4

f2(x) = ______________________

-3 -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

2 1

3

1

2

3

4

5

6

x

y= 3. (9%) Considere las siguientes funciones dadas por tablas x f (x) g(x)

1 0 6

2 1 0

3 4 2

4 2 7

5 7 1

6 5 3

Calcule: (a) Dom(f

g) =

(b) (g f )(3) =

(c) f (g

1

(3)) =

4. (6%) Suponga que usted conoce el ´angulo ✓ = cos 1 (1/6). Exprese, en t´erminos de ✓, todos los ´angulos en el intervalo [ 2⇡, 2⇡] que tienen coseno igual a 1/6.

f3(x) = ______________________

3

2

2

1

1

0

0

-1

-1

-2

-2

-3 -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

f4(x) = ______________________

-3 -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

A-0

Escuela de Matem´ aticas. Universidad Nacional de Colombia, Sede Medell´ın.

6. (24%) Usted quiere comprar cierta producto qu´ımico por internet, y tiene dos opciones. • El proveedor A le cobra 15 d´ olares por litro, adem´as de un cargo fijo de 10 d´ olares por la transacci´ on. • Con el proveedor B la transacci´ on es gratis. El costo por litro es de 20 d´ olares para compras menores a los 5 litros, y de 10 d´ olares por litro, por cada litro que se compre en exceso de los 5 litros. (a) Sea x el n´ umero de litros a comprar y A(x), B(x) el valor a pagar con cada proveedor por x litros. Escriba las f´ ormulas de A(x) y B(x).

(b) Grafique en el siguiente plano las funciones A y B.

140 120 100 80 60 40 20 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

(c) Use las f´ormulas de A(x) y B(x) para calcular los valores de x para los cuales sale m´as barato comprar con el proveedor A.

A-0

Escuela de Matem´ aticas. Universidad Nacional de Colombia, Sede Medell´ın.

7. (21%) En el a˜ no de su fundaci´ on, el ´area construida de la poblaci´ on de Aposentos Tuta era de tres hect´areas y se ha venido duplicando cada 10 a˜ nos. (a) Sea t el tiempo en a˜ nos desde la fundaci´ on de Aposentos Tuta y A el ´area construida en hect´areas. Halle una f´ ormula para A(t) (b) Calcule A

1

(x) y explique su significado.

(c) Cu´anto tiempo tard´ o el ´area construida en triplicar su valor inicial?

B-0

Escuela de Matem´ aticas. Universidad Nacional de Colombia, Sede Medell´ın.

En los ejercicios 1 a 5 complete en el espacio se˜ nalado. El procedimiento no se tendr´ a en cuenta al calificar. 1. (15%) Marque si el enunciado es verdadero o falso. (a) Si g es una funci´ on creciente entonces f (x) = 4

g(1

5. (16%) En el panel superior se muestra la gr´afica de la funci´ on f y en la parte de abajo, el resultado de aplicar sucesivamente transformaciones elementales sobre f . Escriba encima de cada gr´afica, la f´ormula correspondiente en t´erminos de la funci´on f .

2x)

f(x)

3

es tambi´en creciente.

V

2

F

1

(b) Si una poblaci´ on de bacterias se multiplica por si misma cada hora, entonces el numero de bacterias es una funci´on lineal del tiempo. V F

-1

(c) Una funci´ on par no puede ser invertible

-3 -4

1

(d) cos

(cos(⇡)) = ⇡

(e) La funci´ on x3 e

|x|

es una funci´ on par

V

F

V

F

V

F

2. (6%) Suponga que usted conoce el ´angulo ✓ = cos 1 (1/6). Exprese, en t´erminos de ✓, todos los ´angulos en el intervalo ���������� [ 2⇡, 2⇡] que tienen coseno igual a 1/6.

0

-2

3

1 0 6

2 1 0

3 4 2

4 2 7

5 7 1

6 5 3

Calcule: (a) Dom(g f ) =

(b) (f

(c) f

g)(3) =

1

(g(3)) =

4. (9%) Halle la f´ ormula de la par´abola que se muestra en la figura y 1 -1 -2 -3 -4 -5

y=

2

3

4

x

-1

0

1

3

2

2

1

1

0

0

-1

-1

-2

-2

3

x f (x) g(x)

-2

f1(x) = ______________________

-3 -4

3. (9%) Considere las siguientes funciones dadas por tablas

-3

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

f3(x) = ______________________

2

2

1

1

0

0

-1

-1

-2

-2

-3 -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

3

4

f2(x) = ______________________

-3 -4

3

2

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

f4(x) = ______________________

-3 -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

B-0

Escuela de Matem´ aticas. Universidad Nacional de Colombia, Sede Medell´ın.

6. (24%) Usted quiere comprar cierta producto qu´ımico por internet, y tiene dos opciones. • Con el proveedor A, el costo por litro es de 20 d´olares para compras menores a los 5 litros, y de 10 d´olares por litro, por cada litro que se compre en exceso de los 5 litros. • El proveedor B le cobra 15 d´ olares por litro, adem´as de un cargo fijo de 10 d´ olares por la transacci´ on. (a) Sea x el n´ umero de litros a comprar y A(x), B(x) el valor a pagar con cada proveedor por x litros. Escriba las f´ ormulas de A(x) y B(x).

(b) Grafique en el siguiente plano las funciones A y B.

140 120 100 80 60 40 20 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

(c) Use las f´ormulas de A(x) y B(x) para calcular los valores de x para los cuales sale m´as barato comprar con el proveedor B.

B-0

Escuela de Matem´ aticas. Universidad Nacional de Colombia, Sede Medell´ın.

7. (21%) En el a˜ no de su fundaci´ on, el ´area construida de la poblaci´ on de Aposentos Tuta era de cinco hect´areas y se ha venido triplicando cada 20 a˜ nos. (a) Sea t el tiempo en a˜ nos desde la fundaci´ on de Aposentos Tuta y A el ´area construida en hect´areas. Halle una f´ ormula para A(t) (b) Calcule A

1

(x) y explique su significado.

(c) Cu´anto tiempo tard´ o el ´area construida en duplicar su valor inicial?

C-0

Escuela de Matem´ aticas. Universidad Nacional de Colombia, Sede Medell´ın.

En los ejercicios 1 a 5 complete en el espacio se˜ nalado. El procedimiento no se tendr´ a en cuenta al calificar. 1. (15%) Marque si el enunciado es verdadero o falso. (a) La funci´ on: x sen(1/x) es una funci´ on par

V

F

5. (16%) En el panel superior se muestra la gr´afica de la funci´ on f y en la parte de abajo, se indican transformaciones elementales sucesivas sobre f . Use los planos cartesianos dados para hacer la gr´afica de cada una de las funciones indicadas. 2 1 0 -1

(c) Si g es una funci´ on peri´ odica de periodo 3 entonces f (x) = 2g(1

(d) tan(tan

1

-2 -3 -4

x) + 4

es tambi´en peri´ odica con el mismo periodo. (⇡)) = ⇡

V

F

V

F

(e) Si f es una funci´ on impar, entonces es invertible V 2. (9%) Considere la siguiente tabla de valores para x, y

F

����������

0 0

3 18

6 0

y=

4. (9%) Para las funciones definidas en el siguiente gr´afico, calcule las cantidades indicadas ●

2.5 2.0

f g

1.5 1.0

●

0.5 1

2

3

(a) Dom(g f ) =

(b) (f

g)(5) =

(c) g(f

1

(3)

1) =

4

5

6

7

-1

0

1

2

3

f (x)+1 2

2

1

1

0

0

-1

-1

-2

-2 -3

-2

-1

0

1

2

3

4

-3 -4

-3

-2

3

2

2

1

1

0

0

-1

-1

-2

-2

● 8

9

-2

-1

0

1

-1

0

1

2

3

4

2

3

4

-f (2x+2)-1

3

-3

4

f (2x)+1 3

-3 -4

3. (6%) Suponga que usted conoce el ´angulo ✓ = cos 1 (1/6). Exprese, en t´erminos de ✓, todos los ´angulos en el intervalo [ 2⇡, 2⇡] que tienen coseno igual a 1/6.

���������

-2

f (2x+2)+1

Halle la f´ ormula de un polinomio de grado dos que cumpla con los datos de la tabla.

3.0

-3

3

-3 -4

x y

f(x)

3

(b) Si el n´ umero de individuos en una poblaci´ on aumenta 20% cada a˜ no, podemos decir que la poblaci´ on es una funci´on lineal del tiempo V F

2

3

4

-3 -4

-3

-2

-1

0

1

C-0

Escuela de Matem´ aticas. Universidad Nacional de Colombia, Sede Medell´ın.

6. (24%) Los siguientes autos parten al mismo tiempo a viajar en la misma direcci´ on sobre una carretera que comienza en Guarne: • El auto A comienza en Guarne con una velocidad de 60 Km/h por los primeros 120 Km, y a partir de all´ı, viaja con velocidad de 30 km/h. • El auto B empieza 20 km adelante de Guarne y viaja a velocidad constante de 40 Km/h. (a) Sea t el tiempo en horas desde que los autos comenzaron el viaje y A(t), B(t) las distancias entre cada auto y Guarne. Escriba las f´ ormulas de A(t) y B(t).

(b) Grafique en el siguiente plano las funciones A y B. 240 200 160 120 80 40 0 0

1

2

3

4

5

(c) Use las f´ormulas de A(t) y B(t) para calcular los valores de t para los cuales el auto A estuvo adelante del B

C-0

Escuela de Matem´ aticas. Universidad Nacional de Colombia, Sede Medell´ın.

7. (21%) Desde que se comenz´ o un tratamiento, el radio de un tumor que inicialmente era de 35 mm, se ha ido reduciendo a su tercera parte cada dos meses. (a) Sea t el tiempo en meses desde que se inici´o el tratamiento y R el radio del tumor. Halle una f´ ormula para R(t) (b) Calcule R

1

(x) y explique su significado.

(c) Cu´anto tiempo tard´ o el radio del tumor en reducirse a la d´ecima parte de su tama˜ no original?

D-0

Escuela de Matem´ aticas. Universidad Nacional de Colombia, Sede Medell´ın.

En los ejercicios 1 a 5 complete en el espacio se˜ nalado. El procedimiento no se tendr´ a en cuenta al calificar. 1. (15%) Marque si el enunciado es verdadero o falso. (a) Si el n´ umero de individuos en una poblaci´ on aumenta 20% cada a˜ no, podemos decir que la poblaci´ on es una funci´on exponencial del tiempo V F

5. (16%) En el panel superior se muestra la gr´afica de la funci´ on f y en la parte de abajo, se indican transformaciones elementales sucesivas sobre f . Use los planos cartesianos dados para hacer la gr´afica de cada una de las funciones indicadas. f(x)

3 2 1

(b) Si f es una funci´ on peri´ odica entonces

0 -1

g(x) = f (2x) + 4

-2 -3 -4

es tambi´en peri´ odica.

V

F

V

F

(d) Si f es una funci´ on impar, entonces es invertible V

F

(c) La funci´ on: x cos(1/x) es una funci´ on par

(e) cos

1

(cos(2⇡)) = 2⇡

V

2. (9%) Considere la siguiente tabla de valores para x, y

F

����������

0 0

5 20

10 0

y=

4. (9%) Para las funciones definidas en el siguiente gr´afico, calcule las cantidades indicadas ●

2.5 2.0

f g

1.5 1.0

●

0.5 ● 1

(a) Dom(f

2

3

g) =

(b) (f

g)(8) =

(c) g(f

1

(3) + 1) =

4

5

6

7

0

1

2

3

f (2x) 2

2

1

1

0

0

-1

-1

-2

-2 -3

-2

-1

0

1

2

3

4

-3 -4

-3

-2

3

2

2

1

1

0

0

-1

-1

-2

-2

8

9

-2

-1

0

1

-1

0

1

2

3

4

2

3

4

-f (2x+2)-1

3

-3

4

f (2x+2) 3

-3 -4

3. (6%) Suponga que usted conoce el ´angulo ✓ = sin 1 (1/3). Exprese, en t´erminos de ✓, todos los ´angulos en el intervalo [ 2⇡, 2⇡] que tienen seno igual a 1/3.

����������

-1

f (2x+2)+1

Halle la f´ ormula de un polinomio de grado dos que cumpla con los datos de la tabla.

3.0

-2

3

-3 -4

x y

-3

2

3

4

-3 -4

-3

-2

-1

0

1

D-0

Escuela de Matem´ aticas. Universidad Nacional de Colombia, Sede Medell´ın.

6. (24%) Los siguientes autos parten al mismo tiempo a viajar en la misma direcci´ on sobre una carretera que comienza en Medell´ın: • El auto A empieza 20 km adelante de Guarne y viaja a velocidad constante de 40 Km/h. • El auto B comienza en Guarne con una velocidad de 60 Km/h por los primeros 120 Km, y a partir de all´ı, viaja con velocidad de 30 km/h. (a) Sea t el tiempo en horas desde que los autos comenzaron el viaje y A(t), B(t) las distancias entre cada auto y Guarne. Escriba las f´ ormulas de A(t) y B(t).

(b) Grafique en el siguiente plano las funciones A y B. 240 200 160 120 80 40

0

1

2

3

4

5

(c) Use las f´ormulas de A(t) y B(t) para calcular los valores de t para los cuales el auto B estuvo adelante del A

D-0

Escuela de Matem´ aticas. Universidad Nacional de Colombia, Sede Medell´ın.

7. (21%) Desde que se comenz´ o un tratamiento, el radio de un tumor que inicialmente era de 35 mm, se ha ido reduciendo a su tercera parte cada dos meses. (a) Sea t el tiempo en meses desde que se inici´o el tratamiento y R el radio del tumor. Halle una f´ ormula para R(t) (b) Calcule R

1

(x) y explique su significado.

(c) Cu´anto tiempo tard´ o el radio del tumor en reducirse a la d´ecima parte de su tama˜ no original?