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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA EJERCICIOS, GRÁFICAS y PROBLEMAS TAREA 2: LÍMITES Y CONTINUIDAD

A continuación, se presentan los ejercicios y grafícas asignados para el desarrollo de Tarea 2, en este grupo de trabajo: Calcular los siguientes límites. 1. La siguiente imagen representa la gráfica de la función 𝒇(𝒙), de acuerdo con ella, identifique los siguientes límites.

Gráfica Estudiante 1.

Límites a) 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) 𝒙→−∞

b) 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) 𝒙→∞

c) 𝐥𝐢𝐦− 𝒇(𝒙) 𝒙→−𝟐

d) 𝐥𝐢𝐦+ 𝒇(𝒙) 𝒙→−𝟐

e) 𝐥𝐢𝐦− 𝒇(𝒙) 𝒙→𝟎

f) 𝐥𝐢𝐦+ 𝒇(𝒙) 𝒙→𝟎

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Estudiante 2.

a) 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) 𝒙→−∞

b) 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) 𝒙→∞

c) 𝐥𝐢𝐦− 𝒇(𝒙) 𝒙→−𝟒

d) 𝐥𝐢𝐦+ 𝒇(𝒙) 𝒙→−𝟒

e) 𝐥𝐢𝐦− 𝒇(𝒙) 𝒙→𝟏

f) 𝐥𝐢𝐦+ 𝒇(𝒙) 𝒙→𝟏

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Estudiante 3

a) 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) 𝒙→−∞

b) 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) 𝒙→∞

c) 𝐥𝐢𝐦− 𝒇(𝒙) 𝒙→−𝟏

d) 𝐥𝐢𝐦+ 𝒇(𝒙) 𝒙→−𝟏

e) 𝐥𝐢𝐦− 𝒇(𝒙) 𝒙→𝟏

f) 𝐥𝐢𝐦+ 𝒇(𝒙) 𝒙→𝟏

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Estudiante 4

a) 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) 𝒙→−∞

b) 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) 𝒙→∞

c) 𝐥𝐢𝐦− 𝒇(𝒙) 𝒙→𝟎

d) 𝐥𝐢𝐦+ 𝒇(𝒙) 𝒙→𝟎

e) 𝐥𝐢𝐦− 𝒇(𝒙) 𝒙→𝟐

f) 𝐥𝐢𝐦+ 𝒇(𝒙) 𝒙→𝟐

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a) 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙)

Estudiante 5

𝒙→−∞

b) 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) 𝒙→∞

c) 𝐥𝐢𝐦− 𝒇(𝒙) 𝒙→𝟎

d) 𝐥𝐢𝐦− 𝒇(𝒙) 𝒙→𝟏

e) 𝐥𝐢𝐦+ 𝒇(𝒙) 𝒙→𝟏

f) 𝐥𝐢𝐦− 𝒇(𝒙) 𝒙→𝟐

Temática

1. Evaluar el siguiente límite

2. Calcular el siguiente límite

3. Calcular el siguiente límite al infinito

4. Evaluar el siguiente límite trigonométrico

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indeterminado de 0 la forma 0

Estudiante 1 Estudiante 2

𝑙𝑖𝑚 √𝑧 4 + 5𝑧 3 −

𝑧→−3

𝑙𝑖𝑚

𝑥→−2

4𝑥 5 √𝑥 2

Estudiante 3 Estudiante 4 Estudiante 5

4

3

√𝑥 − 3 − √9 lim x→12 𝑥 − 12

27 𝑧2

− 3𝑥 + 6𝑥 − 9𝑥 +7x

𝑙𝑖𝑚

𝑥→−1

3

𝑙𝑖𝑚 𝑦 − 𝑦→3

√𝑦 2

4 + 𝑦 3

lim

𝑥→∞

lim

𝑥→0

1

2𝑥 3 − 𝑥 3 + 7 8 𝑥5

tan(2𝑥) cos(𝑥) − 𝑥 𝑥+2

lim

𝑥→0

𝑥 + 𝑥 cos 𝑥 sin 𝑥 cos 𝑥

+ 3𝑥 + √𝑥

√3 + 𝑦 − √3 lim y→0 𝑦

4 3 2 2 𝑥 + 𝑥 lim 5 4 5 x→∞ 3𝑥 − 4x

𝑡𝑎𝑛3𝑥 − 𝑠𝑒𝑛3𝑥 𝑥→0 3𝑥

𝑧4 + 𝑧3 + 𝑧2 + 𝑧 − 4 z→1 𝑧−1

5 − 2𝑥 3∕2 x→∞ 3𝑥 2 − 4

𝑠𝑒𝑛 3𝑥 𝑡𝑎𝑛 2𝑥 𝑥→0 𝑥

2𝑥 4 − 3𝑥 3 + 5𝑥 2 + 𝑥 3𝑥

4 𝑙𝑖𝑚 𝑦 3 − √𝑦 2 + 𝑦 𝑦→3 3

𝑥→∞

5

𝑣 2 − 3𝑣 lim v→3 (𝑣 3 − 27)

2

√𝑥 2 − 9 2𝑥 − 6

lim

lim

√𝑏 + 𝑡 − √𝑏 − 𝑡 lim t→0 𝑡

lim

lim

lim

3

lim

𝑥→∞

√𝑥 − 5𝑥 + 3 2𝑥 +

2 𝑥3

−4

(4 + 2𝑥)𝑠𝑒𝑛 (6 + 3𝑥) 𝑥→0 1 − cos(4 + 2𝑥) lim

Graficar función a trozos encontrando el punto de (a) que hace que la función sea continua. (Geogebra). Demostrar matemáticamente y realizar el respectivo análisis. Estudiante 1

a)

2 𝑓(𝑥) = {2𝑥2 − 5𝑎 + 3 𝑥 +2

𝑆𝑖 𝑥 < 2 𝑆𝑖 𝑥  2

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𝑥3 + 𝑎

𝑆𝑖 𝑥 < 3 𝑆𝑖 𝑥  3

b) 𝑓(𝑥) = { 6 𝑥

2 𝑆𝑖 𝑥 < 2 a) 𝑓(𝑥) = {𝑥 + 3𝑎2− 5 2𝑥 𝑆𝑖 𝑥  2

Estudiante 2 b) 𝑓(𝑥) = {

−𝑥 2 + 𝑎 √𝑥

𝑆𝑖 𝑥 < 4 𝑆𝑖 𝑥  4

2 𝑆𝑖 𝑥 < 1 a) 𝑓(𝑥) = {𝑥 2− 1 3𝑥 + 𝑎 𝑆𝑖 𝑥  1

Estudiante 3

𝑥 3 + 2𝑎

𝑆𝑖 𝑥 < 2 𝑆𝑖 𝑥  2

b) 𝑓(𝑥) = { −8 2𝑥

2 𝑆𝑖 𝑥 < 1 a) 𝑓(𝑥) = {2𝑥 +2 3𝑎 − 6 𝑥 + 4𝑥 𝑆𝑖 𝑥  1

Estudiante 4

b) 𝑓(𝑥) = {

𝑥2 + 7 𝑥 + √𝑎

𝑆𝑖 𝑥 < 2 𝑆𝑖 𝑥  2

2 a) 𝑓(𝑥) = {𝑥 −2 3𝑥 + √𝑎 𝑥 −2

Estudiante 5

b) 𝑓(𝑥) = {

−𝑥 3 + 3𝑎 2 𝑥

𝑆𝑖 𝑥 < 2 𝑆𝑖 𝑥  2

𝑆𝑖 𝑥 < 2 𝑆𝑖 𝑥  2

Problemas Límites y continuidad.

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1.a. Límites. El voltaje de carga de un capacitor en un circuito alimentado por una fuente DC viene dado por la siguiente expresión 𝒗(𝒕) = 𝟏𝟐(𝟏 − 𝒆−𝟎.𝟏𝒕 ) donde 𝑣 representa el voltaje del capacitor en Voltios, y 𝑡 representa el tiempo en segundos. a) Determine el voltaje del capacitor al momento de encender el circuito. b) Calcule el voltaje del capacitor a los 30 segundos de encendido el circuito. Estudiante 1

c) ¿Qué ocurre con el voltaje del capacitor cuando el tiempo crece indefinidamente?

1.b. Continuidad En un circuito eléctrico es necesario garantizar que el voltaje de alimentación sea continuo. El voltaje del circuito está dado por la siguiente función: 𝑡2 + 2 − 𝑎 𝑣(𝑡) = { 𝑏 − 8𝑎 𝑏

𝑡−1

𝑠𝑖 0 < 𝑡 ≤ 2 𝑠𝑖 2 < 𝑡 ≤ 6 𝑠𝑖 𝑡 > 6

Calcule los valores de 𝑎 𝑦 𝑏 que hacen que el voltaje sea continuo. 2.a. Límites. El voltaje de descarga de un capacitor viene dado por la siguiente expresión Estudiante 2

𝒗(𝒕) = 𝟐𝟒𝒆−𝟎.𝟐𝒕 donde 𝑣 representa el voltaje del capacitor en Voltios, y 𝑡 representa el tiempo en segundos. a) Determine el voltaje del capacitor al momento de iniciar la descarga.

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b) Calcule el voltaje del capacitor a los 10 segundos iniciar la descarga. c) ¿Qué ocurre con el voltaje del capacitor cuando el tiempo crece indefinidamente?

2.b. Continuidad En un circuito eléctrico es necesario garantizar que la corriente sea continua en todo momento. La corriente del circuito está dada por la siguiente función: 1

𝑎+𝑡

𝑖(𝑡) = { 𝑏 − 7 𝑎 2 −𝑡 2 + 2𝑏

𝑠𝑖 0 < 𝑡 ≤ 1 𝑠𝑖 1 < 𝑡 ≤ 3 𝑠𝑖 𝑡 > 3

Calcule los valores de 𝑎 𝑦 𝑏 que hacen que la corriente sea continua.

2.a. Límites. La corriente de carga de un inductor en un circuito alimentado por una fuente DC viene dado por la siguiente expresión 𝒊(𝒕) = 𝟏. 𝟓(𝟏 − 𝒆−𝟎.𝟓𝒕 ) donde 𝑖 representa la corriente del inductor en Amperios, y 𝑡 representa el tiempo en segundos. Estudiante 3

a) Determine la corriente del inductor al momento de encender el circuito. b) Calcule la corriente del inductor a los 5 segundos de encendido el circuito. c) ¿Qué ocurre con la corriente del inductor cuando el tiempo crece indefinidamente?

2.b. Continuidad

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En un circuito eléctrico es necesario garantizar que la resistencia sea positiva y continua en todo momento. La resistencia del circuito está dada por la siguiente función: 𝑎𝑡 + 1 𝑟(𝑡) = {𝑏 − 3𝑎 𝑏−𝑡

𝑠𝑖 0 < 𝑡 ≤ 2 𝑠𝑖 2 < 𝑡 ≤ 6 𝑠𝑖 𝑡 > 6

Calcule los valores de 𝑎 𝑦 𝑏 que hacen que la resistencia sea continua. 2.a. Límites. En cierto experimento de microbiología, la población de una colonia de bacterias (en millones) después de x días está dada por: 𝑦=

4 2 + 8𝑒 −2𝑥

a) ¿Cuál es la población inicial de la colonia?

Estudiante 4

b) Si hacemos que el tiempo tienda a infinito, se obtiene información acerca de si la población crece indefinidamente o tiende a estabilizarse en algún valor fijo. Determine cuál de estas situaciones ocurre. 2.b. Continuidad En la construcción de un oleoducto por la situación topográfica, se deben unir tres tuberías cuyo trazado obedece a las siguientes funciones 2𝑥 + 𝑎 𝑠𝑖 ≤ −2 𝑓(𝑥) = {−𝑥2 + 1 𝑠𝑖 − 2 < 𝑥 < 3 𝑥 + 𝑏 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 3

Calcule los valores de 𝑎 𝑦 𝑏 que hacen que los tramos de la tubería sean continuos. Estudiante 5

2.a. Límites.

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Estudiando el comportamiento de crecimiento de la población de los ciervos se han puesto en su habitad un numero de 50. Se cree que el número de ciervos crecerá siguiendo el modelo: 10(5 + 3𝑡) 𝑁(𝑡) = 1 + 0.04𝑡 donde t es el tiempo en años a) Calcule el número de animales que habrá luego de 5 y 10 años. b) ¿A qué valor tenderá la población cuando t tiende a infinito?

2.b. Continuidad Las siguientes funciones determinan el trazado de una atracción mecánica, si la condición es que en su totalidad dicha atracción sea continua, cuál debe ser los valores de a y b, para lograr este objetivo. 𝑥 2 + 3𝑎𝑥 + 2 𝑠𝑖 ≤ −1 𝑓(𝑥) = {5 𝑠𝑖 − 1 < 𝑥 ≤ 2 𝑏𝑥 − 1 𝑠𝑖 𝑥 > 2

Cordial saludo. Estimado compañero para esta actividad desarrollare los ejercicios correspondientes al estudiante 4. En lo pronto estaré haciendo aportes con relación a los ejercicios correspondiente Cordial mente Freiler mena rojas