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• Jose Vicente Melo Cortés

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Señale la respuesta que considere correcta, para lo cual Ud. Debe hacer los cálculos correspondientes 1.

El límite de (3 x 2 − 8 x + 6 x 4 ) ( x + 8 x 3 − 3 x 4 ) cuando x tiende a ∞ es: 2 x1 − x 2 + x3 = 3

x1 + x 2 = 3 x 2 − x3 = −1 A. B. C. D. E.

2.

(

)

−1 2 0 12 23 Ninguna de las anteriores

(

)

El límite de 4 − x x − 16 cuando x tiende a 16 es: A. B. C. D. E.

4.

)(

El límite de 2 x 2 − 3 x − 2 3 x 2 − 2 x − 8 cuando x tiende a 2 es: A. B. C. D. E.

3.

0 No existe −2 2 Ninguna de las anteriores

18 14 −1 8 0 Ninguna de las anteriores

El intervalo {x a < x ≤ b} también se puede escribir A. B. C. D. E.

(a, b ) (a, b] [a, b) [a, b] Ninguna de las anteriores

5.

La función f ( x) = x − 1 tiene como dominio A. B. C. D. E.

6.

La función es par. y no es función de x . La función es impar. y es función de x . Ninguna de las anteriores.

Si f ( x) = x 2 + 1 entonces f (2a + b) − f (2a − b) es igual a : A. B. C. D. E.

9.

Ejes coordenados. Tangentes. Asíntotas. Secantes. Ninguna de las anteriores.

Si una función es simétrica con respecto al eje x , entonces : A. B. C. D. E.

8.

Ninguna de las anteriores

Las rectas fijas a las cuales se aproxima la gráfica de una función se llaman: A. B. C. D. E.

7.

(1, ∞] [1, ∞ ) [1, ∞] (1, ∞ )

8 ab + 1 . 4 ab . 4a 2 + 4ab + b 2 . 8 ab . Ninguna de las anteriores.

Una función es continua en un punto x = a cuando : A. B. C. D. E.

Tiene puntos de inflexión Posee máximos y mínimos. Es creciente. El límite cuando x → a es igual a f (a ) . Ninguna de las anteriores.

10.

Si x 2 − xy + 2 y 2 − 64 = 0 , entonces dy dx esta dada por : A. (4 y − x ) ( y − 2 x) . B. ( y − 2 x ) (4 y − x) . C. ( x − 4 y ) ( y − 2 x ) . D. (2 x − y ) (4 y − x) . E. Ninguna de las anteriores.

11

El siguiente enunciado tiene dos respuestas correctas. Señálelas ambas Un punto crítico es aquel en el que: A. B. C. D. E.

12

Cuando una curva es cóncava hacia arriba entonces : A. B. C. D. E.

13

La tangente en cualquier punto está por debajo de la curva. La tangente a la curva en cualquier punto es horizontal. Tiene un mínimo. La tangente en cualquier punto está por encima de la curva. Ninguna de las anteriores.

En w = 36 − y 2 + x 3 , x crece con una rapidez de cambio de 2.5 pies/s, e y crece con una rapidez de 1.5 pies/s. En el momento en que x e y tienen los valores 2 pies y 1 pie respectivamente, entonces el ritmo de cambio de w es: A. B. C. D. E.

14

La curva crece y después decrece o viceversa. La curva es cóncava hacia arriba. La curva posee un máximo, un mínimo o la tangente no existe. No existe la curva de la función. Ninguna de las anteriores.

4.5 pies/s. 25 pies/s. 12 pies/s. 27 pies/s. Ninguna de las anteriores.

Si aplica la primera y segunda derivada a la función f ( x) =

x3 x2 − − 2 x + 12 , se 3 2

encuentra que: A. B. C. D. E.

La función tiene un máximo en x = −2 y un mínimo en x = 1 . La función no tiene máximos ni mínimos. La función tiene un máximo en x = 1 y un mínimo en x = −2 . La función tiene puntos de inflexión en x = −2 y x = 1 . Ninguna de las anteriores.

15

Si y = sen 6 8 x , entonces y ' está dado por : A. B. C. D. E.

16

Dado que y = sen 4 x ln 5 x , entonces y ' es igual a : A. B. C. D. E.

17

Ninguna de las anteriores.

8 sec 4 x . 8 sec 4 x tan 4 x . 8 sec 2 4 x tan 4 x . 8 sec 4 x tan 2 4 x Ninguna de las anteriores.

Si se sabe que y = −e ln (cos 5 x ) , entonces dy dx es: A. B. C. D. E.

19

(cos 4 x ) x . (sen 4 x ) x + 4 cos 4 x ln5 x . (sen 4 x ) x − 4 cos 4 x ln5 x . 4 cos 4 x ln5 x − (sen 4 x ) x

Si se tiene que y = sec 2 4 x , la expresión que da el valor de dy dx es: A. B. C. D. E.

18

48 sen 5 8 x cos 5 8 x 6 sen 5 8 x cos 8 x 48 sen 5 8 x cos 8 x 48 cos 5 8 x . Ninguna de las anteriores.

sen 5 x e ln (cos 5 x ) . − sen 5 x cos 5 x − e ln (cos 5 x ) . 5 tan 5 x e ln (cos 5 x ) . − 5 tan 5 x e ln (cos 5 x ) Ninguna de las anteriores.

Dada la función f ( x) =

x3 , la concavidad se da en los siguientes intervalos: x2 +1

A. Cóncava hacia abajo en (− ∞,0 ) y cóncava hacia arriba en (0, ∞ ) . B. Cóncava hacia arriba en (− ∞,0 ) y cóncava hacia arriba en (0, ∞ ) .

(

)

C. Cóncava hacia arriba en − ∞,− 3 y

(

) (

en − 3 ,0 y

)

3, ∞ .

(0, 3 ) y cóncava hacia abajo

(

)

D. Cóncava hacia abajo en − ∞,− 3 y

(

) (

(0, 3 ) y cóncava hacia arriba

)

en − 3 ,0 y 3 , ∞ . E. Ninguna de las anteriores. 20

Si el perímetro de un rectángulo es de 100 m. (a) ¿ cuáles deben ser sus dimensiones para que el área sea máxima ?. (b) ¿ cuál es el valor del área ? A. B. C. D. E.

(a) 50 y 50 ; (b) 2500 m2 (a) 25 y 25 ; (b) 625 m2 (a) 80 y 20 ; (b) 1600 m2 (a) 75 y 25 ; (b) 1875 m2 Ninguna de las anteriores.

21.En los siguientes ejercicios utilizar la función de posición s (t ) = −4.9t 2 + v0 t + s 0 para objetos en caída libre. a) Se lanza un proyectil hacia arriba desde la superficie terrestre con una velocidad inicial de 120 m s . ¿Cuál es su velocidad a los 5 segundos? ¿Y a los 10? b) Con el fin de estimar la altura de un edificio, se deja caer una piedra desde su parte más alta en el agua de una piscina que se encuentra a nivel del suelo. ¿Cuál es la altura del edificio, si el chapoteo se observa 6.8 segundos después de soltar la piedra? 22. Una población de 500 bacterias se introduce en un cultivo y aumenta de numero de acuerdo con la ecuación 4t   p (t ) = 5001 + 2   50 + t  Donde t se mide en horas. Calcular el ritmo de cambio al que está creciendo la población cuando t = 2 .

23. Calcular las siguientes derivadas a) ( x + y ) 3 = x 3 + y 3

f) h(θ ) = 5θ sec θ + θ tan θ

b) y = 3 x(6 x − 5 x 2 )

g) y =

c)

f ( x) = 3 x + 5 x

d) f (t ) = t e) f ( x) =

2

3

−t

2 3

x

1

3

+4

+ 3 cos x

3(1 − senx) 2 cos x

h) g ( x) = i) y =

5x + 4 x+2

senx − 3x x

j) f ( x) = sen3 x + 3 senx

24. Dibujar la grafica de la cúbica f ( x) = x − x 3 en el intervalo cerrado − 2 ≤ x ≤ 2 . Hallar las constantes m y b de modo que la recta y = mx + b sea tangente a la grafica f en el punto (−1,0) . Una segunda (a, c) . Determinar las coordenadas a y c .

25. El porcentaje de concentración de una droga en la sangre, x horas después de 4x ¿en qué intervalos es creciente haber sido administrada, esta dado por k ( x) = 2 3x + 27 la concentración y en cuales decreciente?

26. Una caja rectangular tiene un área de superficie de 600 centímetros cuadrados y una base cuadrada con una longitud de arista de x centímetros. Exprese el volumen V de la caja como función de x. 27. Suponga un rectángulo cuya base es x y su perímetro 100. La función que determina su área es ( A( x) = x(50 − x)) el área máxima del rectángulo corresponde a las medidas: 28. Una población de chimpancés se desplaza a una región nueva en el instante t = 0 . En el instante t (en meses), la población es de

p (t ) = 100(1 + 0.3t + 0.04t 2 ) ¿Cuánto tiempo tarda la población en duplicar su tamaño inicial p (0) ?¿cual es la razón v de crecimiento de la población cuando p = 200 29. Una compañía de impresión tiene ocho prensas, cada una de las cuales puedes imprimir 3600 copias por hora. La preparación de una prensa para la impresión cuesta $5.00 y cuesta 10 + 6n dólares el uso de n prensas por hora. La cantidad de prensas que se deben utilizar para imprimir 50000 carteles de la manera más rentable es: 5 prensas. 30. Un tren de conexión lleva 600 pasajeros cada día de los suburbios a la ciudad. La operación cuesta $1.50 por persona. Un estudio de mercado revela que 40 personas dejarían de utilizar el tren por cada aumento de $0.05 en la tarifa, pero 40 personas mas lo usarían por cada $0.05 menos en la tarifa. la tarifa que debe cobrarse para obtener la máxima ganancia posible es:

1.10 o 1.15.

31. Dadas las funciones y = f ( x) = e x + 2 y y = g ( x) = ln 2 x , 1. El valor de f (−2) es: a. 1

b. 0

c.

1 e2

32. La función inversa de g ( x), g −1 ( x)

d. e 4 es:

e. e

a. e 2 x

b.

ex 2

c. x + 2

d. e

x

2

d. 2 x

33. la función compuesta f ( g ( x)) es: a. ln(2 x + 2)

b. ln 2 x + 2

c. 2e 2 x

d. e 2 x + 2

e. 2( x + 1)

34. Obtener, si existen los límites de: a.

LIM

2+h − 2 h

h→0

b.

LIM

u4 −1 u3 −1

u →1

 3 − x, para x < 2  34. Dada la función: f ( x) = 2, si x=2 x  para x > 2 2

Es continua f ( x) en x = 2 ? . Justifique su respuesta.

 q 2 + 3  q 4 − 1   3  35. Hallar la primera y la segunda derivada de la función p =   12q  q 

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