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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA EJERCICIOS, GRÁFICAS Y PROBLEMAS TAREA 3: DERIVADAS

Tarea 3

Estudiante: Jhon Jairo Alarcón Gutiérrez Código: 1052411532

Universidad Nacional Abierta y a distancia Duitama-Boyacá 2019

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA EJERCICIOS, GRÁFICAS Y PROBLEMAS TAREA 3: DERIVADAS

1. EJERCICIOS UNIDAD 3 Calcular la derivada Resolver el límite Calcular la Primera Derivada de las Siguientes Resolver la derivada de implícita de la por el método de Asignación Funciones orden superior solicitada. Siguiente L`Hoppital función 2 2 2𝑥 3 3 ln⁡𝑥 Estudiante A B C D E 𝑥2 + 𝑦2 3 4 2 4 2 3 𝑓(𝑥) = 4 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 𝑥 − 3𝑥 + 5𝑥 lim 𝑦 = ( − 4𝑥 ) ( 𝑥 + 3) 1 = 16 𝑥→1 𝑥 − 1 2 √𝑥 4 + 4 4 5 𝑓 ′′′ (𝑥) =? Respuestas: 

respecto al punto 1, no es clara la respuesta, logra las derivadas bien pero al operar (factorizar el numerador) no se opera correctamente o está incompleto A) Calcular la Primera Derivada de la Siguiente Función. 2𝑥 𝑓(𝑥) = 4 √𝑥 4 + 4 Expreso el denominador como potencia. 𝑓(𝑥) =

2𝑥 1

(𝑥 4 + 4)4 Aplico la regla del a derivada de un cociente 1 𝑥 2(𝑥 4 + 4)4 − 2 1 (

𝑓´(𝑥) =

1

𝑥3

3)

(𝑥 4 + 4)4

[(𝑥 4 + 4)4 ] 2

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2(𝑥 4 + 4)4 − 1 𝑓´(𝑥) =

2𝑥 4 3

(𝑥 4 + 4)4 1

(𝑥 4 + 4)2

Derivada del denominador 4

𝑔(𝑥) = √(𝑥 4 + 4)1 𝑔´(𝑥) =

1 1 4 (𝑥 + 4)4 4

Derivo 1 1 1 𝑔´(𝑥) = (𝑥 4 + 4)4−1 ∗ (4𝑥 3 ) 4 −3 1 𝑔´(𝑥) = (4𝑥 3 )(𝑥 4 + 4) 4 4 −3

𝑔´(𝑥) = 𝑥 3 (𝑥 4 + 4) 4

Expreso el exponente positivo 𝑔´(𝑥) =

𝑥3 3

(𝑥 4 + 4)4

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

PARa la derivada del segundo, tener presente que es la derivada de un producto B) Calcular la Primera Derivada de la Siguiente Función. 2 2 3 4 2 3 𝑦 = ( − 4𝑥 ) ( 𝑥 + 3) 4 5 Aplico la regla de la derivada de un producto 4 𝑦´ = (0 − 12𝑥 2 )( 𝑥 2 + 3)2 5 4 𝑦´ = (12𝑥 2 )( 𝑥 2 + 3)2 5

C) Calcular la derivada implícita de la Siguiente función 𝑥 2 + 𝑦 2 = 16 𝑑𝑦 𝑑 = (𝑥 2 + 𝑦 2 ) = ⁡⁡ (16)⁡ 𝑑𝑥 𝑑𝑥 = 2𝑥 + 2𝑦.

𝑑 =0 𝑑𝑥

Despejo 𝑑𝑦 −2𝑥 = 𝑑𝑥 2𝑦 Simplifico 𝑑𝑦 −𝑥 = 𝑑𝑥 𝑦 La derivada implícita de la presente función es 𝑑𝑦 −𝑥 = 𝑑𝑥 𝑦

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D) Resolver la derivada de orden superior solicitada. 3 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 + 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 5𝑥 2 𝑓 ′′′ (𝑥) =? Derivada de orden superior solicitada. Hallamos la primera derivada 9 𝑓´(𝑥) = 4𝑥 3 + 𝑥 2 − 6𝑥 + 5 2 Hallamos la segunda derivada

𝑓´´(𝑥) = 12𝑥 2 +

18 𝑥−6 2

Hallamos la tercera derivada

𝑓´´´(𝑥) = 24𝑥 + 9

Limite por método de L` hoppital E) Resolver el límite por el método de L`Hoppital ln⁡𝑥 lim 𝑥→1 𝑥 − 1

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= lim g´(𝑥) 𝑥→1

f´⁡lnx⁡

= lim g´(𝑥−1) 𝑥→1

= lim

𝑥→1

1 ⁡ 𝑥 1 1

Evaluó 1 1⁡ 1 1 =1

2. Realizar las Gráficas en GeoGebra Construyendo la Derivada desde las Pendientes de las Rectas Tangentes de acuerdo con el Contenido “Derivadas en GeoGebra” Estudiante 1

𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 3𝑥 2

𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 3𝑥 2

𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)

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𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)

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Asignación Estudiante 1

3. PROBLEMAS APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS Problemas A Calcular máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función 𝑓⁡(𝑥) = 1 𝑥 2 − 4𝑥 + 3 6

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B El costo de producción de 𝑥 cantidad de producto en una fábrica está determinado por la expresión: 𝐶(𝑥) = 0.020𝑥 3 + 0.04𝑥 2 ⁡ + 95 a. Encuentre la función de costo marginal 𝐶´(𝑥) b. Encuentre el costo marginal cuando 3000 unidades son producidas.



𝑷𝑼𝑵𝑻𝑶⁡𝑨) Máximo y mínimo Para el de aplicación el punto minimo hallado debe tener la coordenada completa (12, f(12))  Max no tiene (indicarlo) 1 A) 𝑓⁡(𝑥) = 6 𝑥 2 − 4𝑥 + 3

Para hallar el máximo o mínimo, elegimos un número mayor y otro menor, a cada punto de inflexión en este caso 12 ⏟ 11−13

1 𝑓´(11) = (11)2 − 4(11) + 3 6 𝑓´(11) =

1 (121) − 44 + 3 6

𝑓´(11) =

121 41 − 6 1

𝑓´(11) =

121 − 246 6

𝑓´(11) =

−125 6

Ahora evaluamos la primera derivada en 13

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1 𝑓´(13) = (13)2 − 4(13) + 3 6 𝑓´(13) =

1 (169) − 52 + 3 6

𝑓´(13) =

169 49 − 6 1

𝑓´(13) =

169 − 294 6

𝑓´(13) =

−125 6

En conclusión, en x=12 hay un mínimo 

Inflexión, es una constante.... revisar Puntos de inflexión 1

A) 𝑓⁡(𝑥) = 6 𝑥 2 − 4𝑥 + 3 2 𝑓´(𝑥) = 𝑥 − 4 + 0 6 Igualo a cero 2 𝑥−4=0 6 Despejo x: 4 𝑥=1 2 6

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24 2 𝑥 = 12 Para hallar el valor de f(x) remplazo el valor de x en f(x) 𝑥=

1 (12)2 − 4(12) + 3 6 1 𝑓(12) = (144) − 48 + 3 6 𝑓(12) = 24 − 48 + 3 𝑓(12) = −21

𝑓(12) =

Los puntos de inflexión son: (12,-21)

Punto B)

𝐶(𝑥) = 0.020𝑥 3 + 0.04𝑥 2 ⁡ + 95 Costo marginal c´(x) 𝑐´(𝑥) = 0.06𝑥 2 + 0.08𝑥 Para encontrar el costo marginal cuando 3000 unidades son producidas remplazo este valor en 𝑐´(𝑥) = 0.06(3000)2 + 0.08(3000)

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𝑐´(𝑥) = 0.06(9000000) + 240 𝑐´(𝑥) = 540000 + 240 𝑐´(𝑥) = 540240