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• MANUEL ARIZA

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VERANO DE 2004 MA2112 sección_7

UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR Departamento de Matemáticas Puras y Aplicadas.

Parametrización de curvas e integrales de linea. En Ma1116 Ud. estudió representaciones paramétricas de recta en el espacio en forma escalar

⎧ x= x0+lt ⎪y = y 0 + m t ⎨z = z + n t 0 ⎪ ⎩t ∈ R

⎛a s í c o m o e n f o r m a v e c t o r i a l : O P = r ( t ) ⎜ ⎜s i e n d o r : R → R 3 u n a f u n c i ó n c u y a i m a g e n ⎜ ⎜⎝ e s l a r e c t a q u e s e e s t á r e p r e s e n t a n d o .

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠

En manera análoga se pueden representar curvas en el plano y en el espacio, por medio de convenientes funciones r: A→ R 2 , r: A→ R 3 (siendo A un conveniente subconjunto del conjunto R de los números reales). Ejemplo 1. ⎧⎪ x = x 0 + r . c o s ( t ) ⎪ ⎨⎪y = y 0 + r . s e n ( t ) El sistema de ecuaciones ⎪⎩ 0 t 2 π representa la circunferencia de centro P 0 (x 0 ,y 0 ) y radio r ( en forma escalar). Si deseamos una representación paramétrica de la misma circunferencia en forma vectorial, podemos escribir : O P = O P 0 +r.( cos(t) , sen(t) ) o también , usando los vectores i=(1,0) , j=(0,1) : O P = O P 0 +r.cos(t)i+r.sen(t)j . Observe que esta última representación paramétrica vectorial de una circunferencia en el plano se puede facilmente generalizar para obtener una representación paramétrica de una circunferencia en el espacio R 3 , simplemente reemplazando los vectores i, j por dos vectores unitarios, paralelos al plano de la circunferencia y perpendiculares entre ellos. Ilustraremos esto en el siguiente : Ejemplo 2. Hallemos una representación paramétrica de la circunferencia intersección de la esfera de ecuación (x-2) 2 +(y+1) 2 + z 2 =9 con el plano de ecuación x+y-z=0. El centro P0 de la circunferencia dada , será el punto de intersección con el plano dado, de la recta que pasa por el centro C(2,-1,0) de la esfera y es perpendicular al plano; esta recta está representada por : y + 1 z 0 x-2 = = , es decir : x-2=y+1=-z , 1 -1 1

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5 -4 1 y su intersección con el plano dado es el punto P0 ( , , ) , 3 3 3 (verifíquelo). Dos vectores h =(u,v,w), k =(a,b,c) que sean mutuamente perpendiculares y paralelos al plano dado, deberán cumplir con las condiciones : au+bv+cw=0 , u+v-w=0 , a+b-c=0 , de manera que podemos, por ejemplo poner v=0 , u=w=1 , h =(1,0,1) , por lo cual deberá ser : au+bv+cw=a+c=0 , a+b-c=0 , luego poniendo b=2 resultará a=-1 , c=1 , k =(-1,2,1) ; para que los vectores h , k sean unitarios, bastará dividir cada uno por su módulo, obteniendo : 1 -1 2 1 1 ,0, ) , k= ( , ; ) . h= ( ⎯2 √ ⎯2 √ ⎯6 √ √ ⎯6 √ ⎯6 Por último, el radio de la circunferencia dada será igual a la longitud del segmento AP 0 siendo A cualquier punto de la circunferencia, es decir, cualquier punto cuyas coordenadas cumplan con el sistema de ecuaciones: ⎧⎪ 2 2 2 ⎨⎪ (x-2) + ( y + 1 ) + z = 9 ⎩x+y-z=0 78 . por ejemplo, podemos poner A(0,1,1) , (AP 0 ) 2 =r 2 = 9 Entonces (finalmente) obtenemos la representación paramétrica de la circunferencia dada : O P = O P 0 +r.cos(t)h +r.sen(t)k que se escribe, en forma escalar :

⎧⎪ x = 5 + √⎯⎯7 8 3 3 ⎪ ⎪ y = - 4 + √⎯⎯7 8 3 3 ⎨ ⎪ ⎪ z = 13 + √⎯⎯37 8 ⎪⎩ 0 t 2 π

1 1 cos(t) sen(t)] ⎯2 √ ⎯6 √ 2 [ + sen(t)] ⎯6 √ 1 1 [ cos(t) + sen(t)] ⎯2 √ ⎯6 √ [

Ejemplo 3. Hállese una representación paramétrica escalar del segmento AB siendo A(-1,2,5), B(0,3,-2). Un vector paralelo al segmento será A B =(1,1,-7), luego la recta completa por A,B se podrá representar, por ejemplo, con : 37

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x+1 y-2 z-5 = = = t de donde obtenemos : 1 1 -7

⎧ x=-1+t ⎪y = 2 + t ⎨z = 5 - 7 t ⎪ ⎩t ∈ R

.

Como en esta representación el punto A se obtiene con el valor t=0 del parámetro y el punto B con t=1 , una representación paramétrica de ⎧⎪ x = - 1 + t ⎨yz == 25+-t7 t nuestro segmento será : ⎪ ⎩0 t 1 . Ejercicios. Halle una conveniente representación paramétrica para cada una de las curvas siguientes: x2 y2 + = 1 (en el plano Oxy); E1. La elipse de ecuación 4 9 E2. La elipse de ecuación x2 +xy+y 2 = 4 ; E 3 . El arco de hipérbola de ecuación B(3,-2);

x2 -y 2 = 5 , de extremos A(3,2) ,

E4. La poligonal ABC con A(0,0), B(1,-3) , C(7,3) ; E 5 . La curva intersección del cilindro x2 +y 2 = 1 con el plano x-2y+3z=4 (en el espacio tridimensional Oxyz ); E 6 .La curva intersección de las dos superficies x2 +y 2 +z 2 = 169, x+y+z=5 ; E 7 . La curva intersección de las dos superficies x2 +y 2 = 1 , z=xy . E 8 . La curva intersección de la superficie z=6; E 9 . La curva intersección de la superficie 4x+6y-z+7=0;

z= 2x2 +3y 2 con el plano z= 2x2 +3y 2 con el plano

E10.La curva intersección de las dos esferas x2 +y 2 +z 2 = 2x , x2 +y 2 +z 2 = 1 . 38

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E11. La curva de ecuación x3 +y 3 -3xy = 0 (en el plano Oxy); E 1 2 . Halle una representación paramétrica de la circunferencia de ecuación x 2 + y 2 = 1 (en el plano Oxy) sin usar funciones trigonométricas ni raíces. Algunas

sugerencias.(para la resolución de los ejercicios anteriores).

1. Modifique en forma conveniente la representación paramétrica del ejemplo 1. 2. Observe que esta elipse es simétrica respecto a las bisectrices de los cuadrantes, luego con una rotación de ejes de 45º nos podemos reducir al caso anterior; en lugar de usar las fórmulas de una rotación de ejes, se pueden usar otras,como por ejemplo : x=x’+y’ , y=x’-y’ . 3. Use la identidad (para funciones hiperbólicas) : c o s h 2 (t) - senh2 (t) = 1 . Observando que cosh(t) siempre es positivo, ¿como se podría obtener una representación paramétrica de la rama de la misma hipérbola situada en 2º y 3er cuadrante? 4. Proceda para cada segmento como en el ejemplo 3, luego cambie parámetro en una de las dos representaciones. 5. Use la representación paramétrica de la circunferencia en el plano Oxy y despeje z en la ecuación del plano. 6. 7. 8. 9.

Use lo que se explicó en el ejemplo 2. Análogo al 5. Proyecte sobre el plano Oxy. Proyecte sobre el plano Oxy , escriba la ecuación de la curva (x-a) 2 (y-b) 2 + = 1 etc. proyección en la forma : A2 B2 10. La curva dada es una circunferencia que también se obtiene como intersección de una de las esferas dadas con el plano de ecuación x=1/2; De esto sigue que la curva se puede representar por medio del sistema de ecuaciones :

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⎧ 2 2 ⎪ y +z = ⎨ ⎪x = 1 2 ⎩

3 4

etc.

11. Haga sistema con una recta por el origen , de ecuación y=tx ; obtenga primero x=f(t) , luego y=t.f(t). 12. Proceda como en 11. con una recta por A(1,0) y simplifique por x-1 . Integrales Sean α la trayectoria definida por

de

linea.

⎧⎪ α ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) ⎨⎪ , ⎩ t1 ≤ t ≤ t2

F (x, y, z) un campo vectorial y f(x, y, z) un campo escalar (definidos en un conjunto abierto E que contiene la curva imagen α ( [ t 1 ,t 2 ]) de la trayectoria α ). Recuerde entonces las definiciones: t2 I 1 ) ∫F.d α = ∫F (x(t),y(t),z(t)).(x'(t),y'(t), z'(t) ) dt = α t1 I2)

∫ Pdx+Qdy+Rdz= α∫ Px'dt+Qy'dt+Rz'dt=

α

∫ [P(x(t),y(t),z(t))x'(t)+Q(x(t),y(t),z(t))y'(t)+R(x(t),y(t),z(t))z'(t)]dt

α

observe que si F =(P, Q, R) entonces I1, I2 representan lo mismo. t2 (x'(t)) 2 + ( y ' ( t ) ) 2 + ( z ' ( t ) ) 2 dt I 3 ) ∫f.ds = ∫f(x(t),y(t),z(t)) √⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ α t1 o b s e r v e que si T es el vector tangente unitario a la curva representada por α y si f(x,y,z)= F (x,y,z).T (producto escalar) , entonces I1, I 3 representan lo mismo.

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ejercicios. E13.- Dada la trayectoria

⎧⎪ α ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) ⎨⎪ , con : ⎩ t1 ≤ t ≤ t2

x(t) = t+1 , y(t) = 2-3t , z(t) = t2 , 1≤ t ≤ 2 , calcule cada una de las siguientes integrales de linea : 13a)

13b)

13c)

∫F .d α

α

∫f.ds

α

, siendo F (x,y,z) = (2xy, y-z, x2 -z ) ;

, siendo f(x,y,z) = x+⎥ y ⎥ ;

∫ Pdx+Qdy+Rdz

α

,

siendo P(x,y,z)=y , Q(x,y,z)=x+z , R(x,y,z)=1 . E14.- Sea OAB la poligonal (orientada de O hacia B) de vértices O(0, 0), A(1, 1), B(1, 1, 2) y sea F=(P,Q,R) con P=Q=R= x+y+z+1 ; 14a) halle una representación paramétrica OP= α (t) para la poligonal dada, de manera que la parte del segmento OA se recorra cuando el parámetro varía desde t=0 hasta t=1 y la parte del segmento AB se recorra cuando t varía desde t=1 hasta t=2 ; 14b) halle una representación paramétrica OP= β (t) para el segmento OB , orientado desde O hacia B; 14c) calcule las dos integrales

∫F.dα

α

, ∫F.d β ; β

¿ era de esperarse que el valor de las dos es el mismo ? E15.- Calcule

∫F.d α

α

, siendo F=(y, z, x) y siendo OP= α (t) una

parametrización del arco de curva, intersección de z = x 2 + 2 y 2 con el plano x+y-z = 0 , de extremos A(1, 0, 1) , B(4, -4, 8). 41

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Se demuestra que [ ver teorema 3, pag. 429 de Marsden-Tromba] : si F = ∇ g = (gx , gy , gz ) es gradiente de un campo escalar que tiene derivadas parciales continuas y si α (t) es una trayectoria también derivable con derivada continua, que comienza en α (t 1 ) y termina en α (t 2 ) , entonces :

∫F .d α

α

= g(α (t 2 )) - g(α (t 1 )) ;

observe que de paso esto significa que el resultado es independiente, no sólo de la parametrización de la curva considerada, sino también es independiente de la curva, con la única condición que no varíe el punto inicial ni el punto final de la curva. Ejemplo 4. Se quiere calcular la integral

∫F .d α

α

, siendo F =(2x+1, 4y, 6z) y siendo

α (t) una parametrización de la poligonal (recorrida en el sentido

correspondiente al orden en que estan escritas las letras) ABCDEFG , con A(1,2,3) , B(2,-7,5), C(1,0,3), D(-17,19,0), E(1,1,9), F(2,2,-7), G( 1,3,3) ., dado, es el gradiente del campo escalar definido por g(x,y,z) = x2 + x + 2 y 2 +3z 2 , se puede calcular la integral, por medio de otra curva, que igualmente comience en A y termine en G, por ejemplo el segmento AG , que tiene una parametrización muy sencilla, a saber : x=1, y= t , z=3 con 2≤ t ≤ 3 ; por lo tanto se 3 tiene : ∫F.d α = ∫(2x+1,4y,6z).(0,1,0)dt = α 2 3 3 = ∫4tdt = 2t2 2 = 18-8 = 10. 2

3 = ∫(3,4t,18).(0,1,0)dt = 2

]

O J O : si el campo F asignado hubiese sido por ejemplo: F =(2x+z, 4y, 6z) , todo esto n o habría funcionado. Es util observar que una condición necesaria para que el campo

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F =(P,Q,R) sea un gradiente, es que se tengan las siguientes igualdades entre las derivadas de sus componentes (supondremos que estas derivadas sean continuas) : Py =Q x , Pz =R x , Qz =R y . Esta condición, en el caso de un campo vectorial de n variables, x 1 ,...,x n ∂ fi ∂ fk se expresaría así : = , i, k = 1,2,..., n . ∂xk ∂x i En efecto, esta condición es consecuencia de la igualdad de las derivadas segundas mixtas de la función g , de la cual F sería el gradiente : si por ejemplo (en el caso de tres variables) se tiene F =(P,Q,R)= ∇ g = (gx , gy , gz ), entonces debe ser P=gx , Q=gy , R=gz , por lo cual , por ejemplo, gxy =g yx implica Py = Q x etc. Por ejemplo, el campo

F =(2x+z, 4y, 6z)

se tiene, por ejemplo,

∂P ∂R =1≠ = 0 . ∂z ∂x

no es un gradiente, ya que

E16.- Conociendo que el campo vectorial F = (P, Q, R) , definido por P= x+y+z, Q= x+2y+z , R= x+y+4z es un gradiente de cierto campo escalar g(x,y,z), halle un tal campo (que no es único) . Una posibilidad, para hallar g(x,y,z) es la siguiente : g(a,b,c) =

∫F .d α

α

a lo largo de la poligonal OABC de vértices O(0,0,0),

A(a,0,0), B(a,b,0), C(a,b,c).

Para ejercicios sobre: integrales dobles y triples, teorema de Fubini, teorema de Green, cambio del orden de integración, cambio de variables, uso de coordenadas polares, cilíndricas y esféricas y aplicaciones ver los textos de Marsden-Tromba y Apostol, así como la guía del prof. Morales Bueno.

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Algunos ejercicios sobre aplicaciones del teorema de Green campos conservativos y potencial.

∫ Pdx+Qdy

1.- Calcule la integrale de linea,

, en cada uno de los

α

siguientes casos, transformándola previamente en una integral doble mediante el teorema de Green. La curva, imagen de la función vectorial α , en cada ejercicio, es la que se indica en la hoja siguiente. 1a) P(x,y) = x+xy+y2 +y.cos(xy) , Q(x,y)= x2 +2xy+x.cos(xy) ; x -y 1b) P(x,y) = 2 2 , Q(x,y) = 2 2 ; 1d) P(x,y) = y2 , Q(x,y) = x2 ; x +y x +y 1c) P(x,y) = 3x2 y+y 3 , Q(x,y) = 2x3 +6xy 2 ;

2.- Calcule la integral de linea

⌠ ⎮y.dx-x.dy ⎮ 2 2 ⎮ ⌡ x +y α

,

siendo α la circunferencia de radio r, con centro en el origen, parametrizada con x=r.cos(t), y= r.sen(t) , 0 ≤ t ≤ 2π ; explique por qué en este caso no es válida la tesis del teorema de Green. 3.- Sean α , β las dos trayectorias (no cerradas) definidas en la manera siguiente : α = semicircunferencia parametrizada con β = poligonal ABCD x=r.cos(t), y= r.sen(t) , 0 ≤ t ≤ π , (parametrizada convenientemente) con A(2r, 0) , B(2r,2r), C(-2r,2r), D(-2r,0); Usando el teorema de Green, demuestre que ⌠ ⎮y.dx-x.dy ⎮ 2 2 ⎮ ⌡ x +y α

⌠ ⎮y.dx-x.dy = ⎮ 2 2 ⎮ ⌡ x +y β

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4.- Para cada uno de los siguientes campos vectoriales, averigue si es o no es gradiente y en caso afirmativo halle una función potencial. 4.1) F = ( y3 +1 , 3xy2 +2 ) ; 4.2) F = (yz2 ,xz 2 ,2xyz) ; 4.3) F = (x,y,z) ;

4.4) F = (y,z,x) ;

4.4) F = (z,y,x) ;

4.6) F = (y.cos(xy), x.cos(xy)) ;

2yz -1 2xz , , 2 2 ) . 4.7) F = ( 2 2 2 2 2 2 (x +y +1) (x +y + 1 ) (x +y +1) 5.-

Calcule cada una de las siguiente integrales de linea

∫Fdα :

α

5.1) α = poligonal P1 P 2 .....P 10 , siendo Pi =(i, (-1)i ) , y siendo F (x,y) = ( y3 +1 , 3xy2 +2 ) [= campo del ejercicio 5.1 ] ; 5.2) α = arco de la curva representada por x=t, y=t2 , z=t3 , 0 ≤ t ≤ 2 ; F (x,y,z)= (z,y,x) [= campo del ejercicio 5.4 ]; 5.3) α = arco de la curva representada por y = arcsen(sen(x)), 9 π con primer extremo O(0,0) y segundo extremo A( π , ) , 2 2 F (x,y)= (y.cos(xy), x.cos(xy)) ; Algunos 6.-

ejercicios

sobre

integrales

dobles

y

triples.

Para cada uno de los siguientes sólidos : a ) trate de hacer un bosquejo; b ) exprese mediante una integral triple, la masa de cada uno, suponiendo que la densidad sea d(x,y,z); c )exprese mediante una integral doble, en coordenadas cartesianas, el volumen de cada uno. 6.1) Sólido limitado por los cuatro planos de ecuaciones : x=0, y=0, z=0, 6x+3y+2z = 1 ; [ observe que es una pirámide de base triangular y ubique los 4 vértices ] . 6.2) sólido ubicado en primer octante (x ≥0, y≥ 0 , z≥ 0 ) , limitado por la esfera de ecuación x2 + y 2 +z 2 = 16 , los planos z=0, y=0 y el cilindro de ecuación x2 +y 2 -4y = 0. 6.3) pirámide de vértices O(0,0,0), A(1,0,1), B(0,1,1), D(0,0,2). 46

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6.4) E={ (x,y,z)⎪ (x2 +y 2 ) ≤ z ≤ √ 6-(x 2 +y 2 ) } . ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 6.5) Sólido interno a la esfera de ecuación x2 + y 2 + z 2 = 6 y externo al paraboloide de ecuación z = -(x2 + y 2 ) [es decir : x 2 +y 2 +z 2 ≤ 6 , z ≥ -(x2 +y 2 )]. 6.6) E={(x,y,z) ⎪ (x2 +y 2 ) ≤ z , 1 ≤ z ≤ 2 } ; 6.7) pirámide de base cuadrada, y vértices O(0,0,0), A(1,0,0), B(1,0,1), C(0,0,1), D(0,4,0) ; 7)

Aplicando el teorema de Fubini, cierta integral triple

∫d x d y d z E

se escribe en la forma que se indica en cada caso; a ) haga un bosquejo de E ; b ) cambie el orden de integración, escribiéndola en las formas : 1

∫dx ∫dy

7 . 1)

7.3)

1-x

0

0

1

2x

2

0

3

∫dz ;

7.2)

2x+2y

3-3x

∫dx ∫dy ∫dz

0

∫d y ∫d z ∫dx

0

+

2

2x

47

0

3 3- y 2

∫dx ∫dy ∫dz

0

0

2 2- x 3

∫d z ∫d x ∫d y 2y

∫dx ∫dy ∫dz

0

1

,

.

0

;