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Universidad Politécnica Salesiana. Ordoñes Israel, Pesantez Sebastián, Marca Christian. Trabajo Integrador.

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Parametrización de un objeto real. Ordoñez Israel, Pesantez Sebastián, Marca Christian. [email protected], [email protected], [email protected] Universidad Politécnica Salesiana  Resumen: En este presente informe se encuentran detalladas las respectivas resoluciones de los ejercicios planteados como son: 1,2.1, 2.3 y el 2.8, este presente trabajo se pudo realizar mediante la comprobación de los siguientes softwares como son el GEOGEBRA, MATEMATIC MICROSOFT Y MATLAB. De esa manera comprobando los respectivos ejercicios

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ABSTRACT: In this present report provides detailed the respective resolutions of the exercises as: 1,2.1, 2.3 and 2.8, this present work could be performed by checking the following software such as the GEOGEBRA, Math MICROSOFT AND MATLAB. Thus checking the respective years

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I. INTRODUCCIÓN La resolución de los respectivos ejercicios planteados conlleva diferentes métodos y diferentes fórmulas para cada ejercicio que se encuentra planteado. Dentro de los parámetros que pudimos encontrar en la resolución de cada ejercicio es los diferentes métodos que podemos aplicar para la correcta resolución de cada ejercicio que se nos asignó.

II. OBJETIVOS 1.

2.

Reconocer los ejercicios planteados para de esa manera obtener un resultado correcto al culminar la resolución de cada ejercicio. Utilizar las formulas aprendidas para cada resolución de los problemas.

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Al tener la foto escalada procedemos a pasar líneas alrededor del contorno de nuestra imagen esto nos servirá para tomar medidas de nuestra pieza. Analizamos cada uno de los segmentos del objeto para buscar que tipo de figura es la más precisa y aplicarla. Sabiendo las medidas y el tipo de figura más precisa para parametrizar nuestro objeto procedemos a desarrollar las ecuaciones que definen nuestro objeto. Procedemos a determinar el recorrido del parámetro que definirá cada una de las ecuaciones de nuestro objeto. Revolucionamos nuestro objeto con las ecuaciones obtenidas. Con las ecuaciones obtenidas y aplicando integrales procedemos a determinar la longitud de arco de nuestra figura y la superficie de revolución de la misma.

IV. LA MATEMÁTICA Las ecuaciones paramétricas utilizadas son las siguientes: Para las rectas tenemos 𝑥 = 𝑥0 + 𝑎𝑡 𝑙: { 𝑦 = 𝑦0 + 𝑏𝑡

𝑅≤𝑡≤𝑅

(1)

En donde 𝑃0 (𝑥0, 𝑦0 ) es el punto inicial y 𝑢 ⃗ < 𝑎, 𝑏 > es el vector dirección de la recta. Para las circunferencias tenemos 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠(𝑡) + ℎ 𝑐: { 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛(𝑡) + 𝑘

𝑅≤𝑡≤𝑅

(2)

III. PROCEDIMIENTO  

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Tomamos el objeto al cual se realizara la parametrización y lo analizamos. Al tener un objeto físico un tanto difícil de tomar medidas, procedemos a resolver el problema de mediadas mediante la toma de una foto de dicho objeto buscando obtener una imagen plana. Habiendo obtenido la imagen procedemos a tomar una medida del objeto a parametrizar (es recomendable tomar la medida de mayor modulo), dicha medida será el referente para la escala de nuestra imagen. Cargamos la foto al software de AutoCAD, como ya mencionamos antes escalamos la foto a la medida de la distancia tomada del objeto.

En donde r es el radio de la circunferencia y 𝑃(ℎ, 𝑘) es el centro de la circunferencia. Para determinar el recorrido del parámetro en rectas primero verificamos cuál de las dos variables es en la que se desplaza el parámetro y sustituimos el valor del punto inicial y despejamos el parámetro t determinando desde donde comienza el parámetro de la función y el mismo proceso para el punto final encontrando hasta donde se mueve la función. Para determinar el recorrido del parámetro de las circunferencias realizamos un análisis de la siguiente forma: Teniendo una circunferencia de radio r y centro 𝐶(𝑥0, 𝑦0 ) el cual

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Universidad Politécnica Salesiana. Ordoñes Israel, Pesantez Sebastián, Marca Christian. Trabajo Integrador. tomaremos de valor 𝐶(0, 0)

𝑡2

𝑙 = ∫ √( 𝑡1

2

𝑑𝑥 2 𝑑𝑦 ) + ( )2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡

(8)

O lo que sería lo mismo 𝑡2

𝑙 = ∫ √(𝑓′(𝑡))2 + (𝑔′(𝑡))2 𝑑𝑡

(8)

𝑡1

Para determinar el área del objeto que tengamos utilizamos las fórmulas de la superficie de revolución en paramétricas las cuales son las siguientes: Dada la ecuación paramétrica 𝐶: { Fig. 1 Para determinar cuánto es el recorrido del parámetro de la circunferencia desde el punto 𝑃 al punto 𝑃′ procedemos a realizar el siguiente análisis. Como sabemos que

𝑥 = 𝑓(𝑡) 𝑦 = 𝑔(𝑡)

𝑏

𝑚=

𝑦2 − 𝑦1 𝑥2 − 𝑥1

𝑎

(3)

𝑑𝑥 2 𝑑𝑦 ) + ( )2 𝑑𝑡 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏(9) 𝑑𝑡 𝑑𝑡

Para revolucionar en torno al eje y (𝑓(𝑡) ≥ 0)

(4)

𝑏

Entonces para encontrar el ángulo (a) se tendría

𝑆 = 2𝜋 ∫ 𝑓(𝑡)√( 𝑎

𝑦 𝑎 = tan−1 ( ) 𝑥

(7)

Para revolucionar en torno al eje x (𝑔(𝑡) ≥ 0)

𝑆 = 2𝜋 ∫ 𝑔(𝑡)√( tan(𝜃) = 𝑚

𝑎≤𝑡≤𝑏

𝑑𝑥 2 𝑑𝑦 ) + ( )2 𝑑𝑡 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏(10) 𝑑𝑡 𝑑𝑡

(5) V. ANÁLISIS DE DATOS

Y para el ángulo (b) se tiene 𝑦′ 𝑏 = tan ( ) 𝑥′ −1

Teniendo el objeto (5)

Como consecuente se tiene que el recorrido del parámetro (t) es: 𝑎≤𝑡≤𝑏 𝑦 𝑦′ tan−1 ( ) ≤ 𝑡 ≤ tan−1 ( ′ ) 𝑥 𝑥

(6) Fig. 2

Para determinar la longitud de arco de una función paramétrica procedemos a utilizar la siguiente formula: Dada la ecuación paramétrica 𝑥 = 𝑓(𝑡) 𝐶: { 𝑦 = 𝑔(𝑡)

𝑡1 ≤ 𝑡 ≤ 𝑡2

(7)

Como podemos apreciar, tenemos una figura bastante difícil de medir físicamente además posee una fallas de construcción, así que utilizamos el software de AutoCAD para tomar medidas, previo debemos escalar la figura de acurdo a una medida tomada en la figura real. Entonces en AutoCAD tendríamos

La ecuación de la longitud de arco viene dada por

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Fig. 4 Con esto tenemos los datos suficientes para realizar nuestra parametrización. Fig. 2.1 VI. RESOLUCIÓN Así podemos tomar medidas de una forma más sencillas además evitando en gran cantidad el error. De aquí podemos determinar el número de ecuaciones que necesitaremos, las cuales ascienden a 21 ecuaciones. Además hacemos girar la figura para obtener ejes, con esto tendremos ya lisita la figura para sacar medidas y por ultimo las ecuaciones.

Teniendo las medidas ya encontradas en el análisis de datos se obtienen las siguientes ecuaciones paramétricas, además obtendremos la longitud de arco de cada una y el área de superficie de revolución. E1 ((x,y) = (1.284+t,5.0463); -0.6388