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• Evelyn Sulca Delgado

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UNIVERSIDAD NACIONAL SAN CRISTÓBAL DE HUAMANGA

FACULTAD DE CIENCIAS AGRARIAS

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA AGRÍCOLA

PROFESORA

: PEÑA HUAMANI, Sara

CURSO

:

INTEGRANTES

:

Cálculo II (MA-241)

           

DURAN TORRES ,Elías HUAYCHA PACOTAYPE,Nilo MALLCCO LOAYZA, Luis Gustavo MENDOZA HUACAUSI,Daniel ORE ICHACCAYA,Elvis PALOMINO COLLAHUACHO, Alberto ROJAS NAVARRO,Luiggui Marcio RONDINEL ZUÑIGA,Khevin SICHA HUAMAN, Enrique Martin SULCA DELGADO, Evelyn Johaira TENORIO GARAMENDI,Franklin TORRES CANCHALLA,Antony

AYACUCHO

-

2019

(21172189) (21172118) (21172115) (21172104) (21170106) (21172503) (21172508) (21172192) (21170101) (21172183) (21172120) (21172511)

CÁLCULO II (MA-241)

ÍNDICE

INTRODUCCIÓN ------------------------------------------------------------------------------------- 3 CURVAS REGULARES ------------------------------------------------------------------------------- 4 2.1 CURVAS REGULARES ---------------------------------------------------------------------------------------------------- 4 2.1.1 Definición --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4 2.1.2 Ejemplo ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4 2.2 CURVAS PARAMÉTRICAS ---------------------------------------------------------------------------------------------- 5 2.2.1 Definición --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5 2.2.2 Observaciones --------------------------------------------------------------------------------------------------------- 7 2.2.3 Ejemplos ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 8 2.3 OBTENCIÓN DE LA ECUACIÓN CARTESIANA DE UNA CURVA A PARTIR DE SU REPRESENTACIÓN PARAMÉTRICA --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 11 2.3.1 Definición ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 11 2.3.2 ejemplo --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 12 2.4 PARAMETRIZACIÓN DE CURVAS ---------------------------------------------------------------------------------- 12 2.4.1 Definición ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 12 2.4.2 Ejemplo --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 13 2.5 PARAMETRIZACIÓN DE CURVAS PLANAS CON CENTRO C (h, k) ----------------------------------------- 14 2.5.1 Definicion ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 14 2.5.2 Ejemplo --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 14 2.6 PARAMETRIZACION DE ALGUNAS CURVAS PLANAS ESPECIALES---------------------------------------- 18 2.6.1 Definicion ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 18 2.6.2 Ejemplo --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 18 2.7 PARAMETRIZACIÓN DE CURVAS EN R3 -------------------------------------------------------------------------- 19 2.7.1 Definicion ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 19 2.7.2 Ejemplo:--------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 20 2.8 REPARAMATRIZACION DE UNA CURVA REGULAR ----------------------------------------------------------- 20 2.8.1 Definicion ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 20 2.8.2 Ejemplo --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 21

BIBLIOGRAFIAS ------------------------------------------------------------------------------------ 22

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CÁLCULO II (MA-241)

INTRODUCCIÓN

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CURVAS REGULARES 2.1

CURVAS REGULARES

2.1.1 DEFINICIÓN Se dice que una curva ƪ = ⊂ R𝑛 es una curva parametrizada, si existe función vectorial 𝛼 : [𝑎, 𝑏] → R𝑛 tal que 𝛼 ([𝑎, 𝑏]) = ƪ . A la función vectorial 𝛼 (𝑡) = ( 𝛼1 (𝑡), 𝛼2 (𝑡), … , 𝛼𝑛(𝑡)), se llama parametrización de la curva ƪ 2.1.2 EJEMPLO Halle la parametrización de la curva 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 𝑅2

,

𝑅 > 0

C: Z= a

,

0< a< R

Solución: Al reemplazar Z = a en la ecuación 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 𝑅 2 , Se obtiene  L1 : 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑅 2 − 𝑎2 La parametrización de la curva L1 es X = √𝑅 2 − 𝑎2 cost, t ∈ [0; 2𝜋] L1: Y = √𝑅 2 − 𝑎2 sent

Luego, existe una función vectorial 𝛼 : [ 0; 2𝜋]

→ R3

Tal que

𝛼 (𝑡) = (√𝑅 2 − 𝑎2 cost ; √𝑅 2 − 𝑎2 sent; a), t ∈ [0; 2𝜋]

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2.2

CURVAS PARAMÉTRICAS

Imaginemos un objeto que se mueve en un plano y, a medida que transcurre el tiempo, describe un camino como el representado por la curva de la Figura 1. Si bien notamos que esta curva no puede ser descrita por una ecuación de la forma y = F(x)

¿Porque no pueden ser descritas como una ecuación Y=F(x)? Sabemos que las coordenadas x e y de la posición de la partícula dependen del instante de tiempo t. Por lo tanto existirán funciones f y g de la variable (o parámetro) t, tales que x = f (t) e y = g (t). Este par de ecuaciones, que muchas veces es una forma conveniente para describir una curva, se llama ecuaciones paramétricas de la curva en el plano:

Cada valor de t determina un punto (x, y) en el plano. Cuando t varia (en un intervalo de números reales), el punto (x, y) = (f (t), g (t)) se mueve generando una curva en el plano. 2.2.1 DEFINICIÓN 𝑥 = 𝑓(𝑡) ……(1) 𝑦 = 𝑓(𝑡) Que expresan a x e y como funciones continuas del número real t (al parámetro) en algún intervalo [𝑎, 𝑏]. Cada valor del parámetro t determina un punto (f (t), g (t)) y el conjunto de todos los putos es la gráfica de la curva 𝛾. Las dos ecuaciones en (1) se denominan ecuaciones paramétricas de la curva 𝛾 que denotaremos por: 𝑥 = 𝑓(𝑡) 𝛾: { , 𝑡𝜖[𝑎, 𝑏]…….. (2) 𝑦 = 𝑓(𝑡) Una curva paramétrica 𝛾 en el plano, es un par de funciones: {

Las ecuaciones paramétricas.

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Con t real, definen una curva plana. Describir y graficar la curva para los siguientes casos: a) si t ∈ (−∞, +∞). b) si t ∈ [0, 4]. Solución: a) A cada valor del parámetro t ∈ R, le corresponde un punto sobre la curva. Por ejemplo, para t = 0 se tiene x = f (0) = 0 e y = g (0) = 1, o sea que el punto de la curva correspondiente a t = 0 es (0, 1). Podemos así evaluar x e y para varios valores del parámetro, por ejemplo asignar a t los valores −2, −1, 1, 2, 3, 4, y luego situar los puntos (x, y) = (f (t), g (t)) en el plano. Si unimos estos puntos para producir una curva continua obtenemos la Figura 2(a), en la que las flechas indican el sentido en el que se van generando los puntos de la curva a medida que t aumenta su valor (indique el valor de t que corresponde a cada punto marcado en la curva).

Observando la figura, parece que la curva trazada fuera una parábola. ¿Cómo podemos comprobarlo? Una forma es reescribir las ecuaciones paramétricas de la curva usando (solo) coordenadas cartesianas, esto es, buscar una relación entre x e y, sin el parámetro t. Para ello debemos eliminar t en las ecuaciones dadas. En este ejemplo es posible hacerlo, por ejemplo despejando t = y − 1 de la segunda ecuación y luego sustituyendo en la primera ecuación. Esto da: Y así vemos que la curva descripta por las ecuaciones paramétricas dadas es la parábola

b) Si t ∈ [0, 4], la correspondiente curva es la parte de la parábola x = y 2 − 4y + 3 que empieza en el punto que corresponde al valor t = 0 del parámetro, o sea A (0, 1), y termina en el punto que corresponde a t = 4, esto es en B (8, 5), como se muestra en la Figura 2(b). La flecha señala el sentido de recorrido de la curva cuando el parámetro aumenta su valor desde t = 0 hasta t = 4. Consideremos ahora un objeto que se mueve en el espacio, describiendo un camino imaginario representado por una curva en el espacio. Habrá entonces tres funciones del tiempo, f, g y h, que nos permitirán escribir las coordenadas de la posición de la partícula en cada instante t mediante las siguientes ecuaciones paramétricas: Página 6

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Observemos que para cada t, el punto P f (t), g (t), h (t) es el punto-posición de la partícula en el tiempo t. Luego podemos definir el vector que va de O a P, para cada t (ver Figura 3). Esto sugiere que una curva paramétrica podría ser descripta mediante una función que a cada valor del parámetro t le asigne el siguiente vector: Esto es, mediante una función con valores vectoriales. En el caso de una curva en el plano, se tiene:

2.2.2 OBSERVACIONES 1. En la mayor parte de los casos, el intervalo donde la curva paramétrica está definida es un intervalo cerrado [a, b] siendo los extremos de la curva (f(a), g(a)) y (f(b), g(b)). Ilustraremos las curvas que se dan:

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2. La grafica de una curva paramétrica se puede graficar con suficientes puntos que indiquen su forma probable. En algunos caos podemos eliminar el parámetro t, y así obtener una ecuación en x e y, que nos pueda dar más información acerca de la forma de la gráfica. 2.2.3 EJEMPLOS 𝑥 = cos 𝑡 1) Determine la gráfica de la curva 𝛾: { 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑡 , 𝑡 ∈ [0,2𝜋] Solución: Haciendo la tabulación correspondiente. 𝑡 0

𝑥 1

𝑦 0

𝜋 4 𝜋 2 3𝜋 4 𝜋

1

1

√2 0

√2 1

5𝜋 4 3𝜋 2 7𝜋 4 2𝜋

1

1

√2 −1

√2 0

−

−

1 √2 0 1

√2 1

−

1

√2 −1

−

1 √2 0

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Podemos verificar la gráfica eliminando el parámetro t para obtener la ecuación cartesiana. 𝑥 = cos 𝑡 𝑥 2 = 𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 {𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑡 de donde { 2 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛2 𝑡 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑠𝑒𝑛2 𝑡 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 = 1 Luego 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1 es el círculo unitario.

2) ¿la curva C dada a continuación, es parametrizable? 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 𝑅2, 𝑅 > 0 𝐶: { |𝑎| < 𝑅 𝑧=𝑎, Solución: Proyectando sobre el plano XY, la imagen de la curva C, se tiene. 𝐶0 : 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 𝑅 2 − 𝑎 Parametrizando 𝐶0 , tenemos. 𝑥 = √𝑅 2 − 𝑎2 cos 𝑡 𝑦 = √𝑅 2 − 𝑎2 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑡 ∈ [0.2𝜋]; Luego ∃∝: [0,2𝜋] → 𝑅 3 tal que ∝ (𝑡) = (√𝑅 2 − 𝑎2 cos 𝑡, √𝑅 2 − 𝑎2 𝑠𝑒𝑛 𝑡, 𝑎), ∀𝑡 ∈ [0,2𝜋] Las imágenes representativas se muestran en el siguiente imagen:

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3) Encuentre una función vectorial que representa la curva parametrizada de una intersección entre las superficies: 𝑥 2 + 𝑦 2 =1 y 4z =𝑥 2 − 𝑦 2 . Solución: Primero debemos parametrizar dichas superficies de la siguiente manera: 𝑥 2 + 𝑦 2 =1 Es la ecuación de una circunferencia en RxR el cual parametrizaremos en el espacio por coordenadas polares. 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑠𝑖𝑛2 𝑡 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 = 1 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑡 {𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑧=𝑢

𝑡 ∈ [0,2𝜋]

Con dichos valores trabajaremos en la otra superficie dada. 4𝑧 = 𝑥 2 − 𝑦 2 4𝑢 = 𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑡 Usando la identidad del coseno del ángulo doble tenemos: 4𝑢 = 𝑐𝑜𝑠2𝑡 𝑢=

𝑐𝑜𝑠2𝑡 4

Con los valores obtenidos tenemos la curva parametrizada: 1

R(t)=( 𝑐𝑜𝑠 t, 𝑠𝑒𝑛 𝑡, 4 𝑐𝑜𝑠 2𝑡), ∀𝑡 ∈ [0,2𝜋] Dicha curva representa la interacción de dos superficies mostrados en el siguiente gráfico:

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2.3

OBTENCIÓN DE LA ECUACIÓN CARTESIANA DE UNA CURVA A PARTIR DE SU REPRESENTACIÓN PARAMÉTRICA

2.3.1 DEFINICIÓN

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2.3.2 EJEMPLO 1. La ecuación de una curva es y 2 = x 3 . Halle la longitud del arco que une (1, −1) a (1, 1).

Parametrizamos la curva de la forma: x = t 2 , y = t 3 , (con esta parametrización evitamos los radicales). Así: α(t) = (t 2 , t3 ), α’ (t) = (2t, 3t 2 ), ∀t ∈ R α es de clase C 1 en R y además la parametrización dada recorre la curva en el sentido que se pide porque: α(−1) = (1, −1) , α(0) = (0, 0) , α(1) = (1, 1) ′ ‖𝛼 (𝑡)‖ = √4𝑡 2 + 9𝑡 4 = ‖𝑡‖√4 + 9𝑡 2 La longitud del arco será: 1

8 = ∫ |𝛼(𝑧)| ⅆ𝑡 = 1

−11

1

0

=∫ |𝑡|√4 + 9𝑡 2 ⅆ𝑡 = ∫ 𝑡√4 + 9𝑡 2 ⅆ𝑡 — ∫ 𝑡√4 + 9𝑡 2 ⅆ𝑡 −1 1

0

=27 [(4 +

1 9𝑡 2 )3∕2 ]0

1

− 27 [(4 + 9𝑡

1

3

2 )2

0

]

−1

−1

=27 (26√13 − 6)

2.4

PARAMETRIZACIÓN DE CURVAS

2.4.1 DEFINICIÓN Se dice que una curva 𝑦 ⊂ 𝑅 3 es una curva parametrizada, si existe una función ᾱ ∶ [𝑎, 𝑏] → 𝑅 3 , tal que ᾱ[𝑎, 𝑏] = 𝑦, a la función vectorial ᾱ(𝑡) = (𝛼1 (𝑡), 𝛼2 (𝑡), 𝛼3 (𝑡)) se denomina parametrizacion de la curva 𝑦.

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2.4.2 EJEMPLO 2𝑥 , 𝑥 ≤ 0 la curva 𝑦,dada por 𝑦 ∶

y=f(x)=

es una curva parametrizada 𝑥2 2

Y

,𝑥 > 0

Solución

1) si 𝒙 ≤ 𝟎 para 𝒙 = 𝒕, 𝒚 = 𝟐𝒕. Luego ᾱ(𝒕)=(𝒕 , 𝟐𝒕 ), 𝒕 ≤ 𝟎 2) 𝒙 > 𝟎, para 𝒙 = 𝒕,𝒚 = ᾱ(𝒕) =(𝒕 ,

𝒕𝟐 𝟐

𝒕𝟐 𝟐

, luego

), 𝒕 > 𝟎

Luego la curva ᾱ: 𝑅 → 𝑅 2 definida por (𝑡 , 2𝑡 ) , 𝑡 ≥ 0 ᾱ (t) =

es una parametrizada de la curva 𝑦 . (𝑡,

𝑡2 2

),𝑡 < 0

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2.5

PARAMETRIZACIÓN DE CURVAS PLANAS CON CENTRO C (H, K)

2.5.1 DEFINICION Sea C una curva en el espacio o en el plano. Una parametrización de C es una función 𝛾 ∶ (𝑎, 𝑏) → 𝑅 𝑛 Por n=2 o 3 (en el plano o en el espacio), de forma que para todo t del intervalo (a, b), le asigna un punto del plano (y sólo un punto) o del espacio. Esta 𝛾 debe ser una función continua y derivable. Dada una curva C del plano o del espacio, para obtener su parametrización 𝛾 se puede proceder de varias formas. Algunas veces, usaremos una de las coordenadas como variable de la parametrización, como en el ejemplo 3. Si tenemos una gráfica de una función, ésta misma ya nos servirá como parametrización. Es decir: Sea 𝑓(𝑥) una función continua y derivable, entonces 𝛾(𝑥) = (𝑥, 𝑓(𝑥)) es una parametrización de su gráfica. 2.5.2 EJEMPLO 1) Hallar una parametrización de la curva dada por: 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑥-4y=0 Indicar punto inicial Po y sentido de recorrido de la curva. Solución Veamos cómo se podría resolver esto en forma general. Tratemos de llevar la ecuación a la forma ordinaria. ¿Qué curva podría representar esta ecuación? Una circunferencia, porque los coeficientes de x2 y de y2 son iguales. Consideremos la ecuación ordinaria: (𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟 2 Dividamos ambos miembros por r2: (𝑥 − 𝑘)2 (𝑦 − 𝑘)2 + =1 𝑟2 𝑟2 Lo expresemos como suma de cuadrados: 𝑥−ℎ 2 𝑦−𝑘 2 ( ) +( ) =1 𝑟 𝑟 Aprovechemos la identidad trigonométrica, para realizar el siguiente cambio de variable: 𝑥−ℎ cos(𝑡) = 𝑟 𝑦−𝑘 𝑠𝑒𝑛(𝑡) = 𝑟 Despejemos x e y para obtener una posible parametrización: x=h+r.cos(t) t∈[0,2π] y=k+r.sen(t) Estas son las ecuaciones paramétricas de la circunferencia con centro en el punto (h,k) y radio r. Página 14

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Retomemos el ejemplo: 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑥-4y=0 Completando cuadrados: (x+12)2–(1/2)2+(y–2)2–22=0 (x+1/2)2+(y–2)2=1/4+4 (x+1/2)2+(y–2)2=17/4 Las coordenadas del centro y el valor del radio son: h=–12 k=2 r=√17/2 Una posible parametrización es: x=–12+√172cos(t) t∈[0,2π] y=2+√172.sen(t) 2) EJEMPLO:

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3) EJEMPLO

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2.6

PARAMETRIZACION DE ALGUNAS CURVAS PLANAS ESPECIALES

2.6.1 DEFINICION 2⁄ 3

2⁄ 3

2

= 𝑎 ⁄3 se paramétriza haciendo: 𝑥 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 3 𝑡, 𝑦 = 𝑎𝑠𝑒𝑛3 𝑡; 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋 b) El folium de Descartes: 𝑥 3 + 𝑦 3 = 3𝑎𝑥𝑦, se parametriza haciendo 𝑦 = 𝑡𝑥, obteniéndose: a) La astroide: 𝑥

3𝑎𝑡

+𝑦

3𝑎𝑡 2

𝑥 = 1+𝑡 3 , 𝑦 = 1+𝑡 3 , 𝑡 ≠ 1 c) La lemniscata de Bernoulli: (𝑥 2 + 𝑦 2 )2 = 𝑎2 (𝑥 2 − 𝑦 2 ) se parametriza de dos formas: FORMA 1: Haciendo 𝑦 = 𝑡 2 𝑥 se obtiene: 𝑎√1 − 𝑡 4 𝑎𝑡 2 √1 − 𝑡 4 𝑥= , 𝑦 = , −1 ≤ 𝑦 ≤ 1 1 + 𝑡4 1 + 𝑡4 FORMA 2: Aplicando de coordenadas: 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝑡 {𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝑡 La ecuación: (𝑥 2 + 𝑦 2 )2 = 𝑎2 (𝑥 2 − 𝑦 2 ) , 𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑖𝑒𝑟𝑡𝑒 𝑒𝑛 (𝑟 2 )2 = 𝑎2 (𝑟 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 − 𝑟 2 𝑠𝑒𝑛2 𝑡) 𝑟 4 = 𝑎2 𝑟 2 𝑐𝑜𝑠2𝑡 −𝜋 𝜋 3𝜋 5𝜋 𝑟 = 𝑎√𝑐𝑜𝑠2𝑡, ≤𝑡≤ , ≤𝑡≤ 4 4 4 4 La parametrizacion es: ᾱ(1) = (𝑎√𝑐𝑜𝑠2𝑡𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑎√𝑐𝑜𝑠2𝑡𝑠𝑒𝑛𝑡) −𝜋 𝜋 3𝜋 5𝜋 ≤𝑡≤ 𝑉 ≤𝑡≤ 4 4 4 4 d) La Lemnistia rosa de dos hojas (𝑥 2 + 𝑦 2 )2 = 2𝑎2 𝑥𝑦 , se parametriza haciendo 𝑦 = 𝑡 2 𝑥 , obteniéndose: √2𝑎𝑡 √2𝑎𝑡 3 𝑥= , 𝑦 = 1 + 𝑡4 1 + 𝑡4 También se puede parametrizar con las coordenadas polares obtenidas: 𝜋 𝑥 = 𝑎√𝑠𝑒𝑛2𝑡𝑐𝑜𝑠𝑡 { ,0 ≤ 𝑡 ≤ 2 𝑦 = 𝑎√𝑠𝑒𝑛𝑡𝑠𝑒𝑛𝑡 2.6.2 EJEMPLO Parametrizar la curva: 𝐶: {

𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 25 … . . . (1)𝐸𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 𝑥 + 𝑧 = 5 … … (2)𝑃𝑙𝑎𝑛𝑜

Solución: Hacer el grafico:

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La proyección de la curva C sobre el plano XY es otra curva cuya ecuación se halla despejando ¨z¨ del plano: 𝑥 + 𝑧 = 5 → 𝑧 = 5 − 𝑥 … … (3) Remplazando en la ecuación 1: 𝑥 2 + 𝑦 2 + (5 − 𝑥)2 = 25 5 2 2 (𝑥 − 2) 𝑦 Ɛ: + = 1 … … (4) 25 25 2 2 Q pertenece a la elipse Ɛ, lo cual las coordenadas modificadas del punto Q es: 5 5 5 5 𝑥 − = 𝑐𝑜𝑠𝑡 → 𝑥 = + 𝑐𝑜𝑠𝑡 2 2 2 2 5 𝑦= 𝑠𝑒𝑛𝑡 { √2 La función vectorial que parametrizar la curva es: ᾱ: ⦋0, 2𝜋⦌ → ℝ3 , ⅆ𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖ⅆ𝑜 𝑝𝑜𝑟: 5 5 5 5 5 ᾱ(1) = ( + 𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑠𝑒𝑛𝑡, − 𝑐𝑜𝑠𝑡) 2 2 2 2 √2 2.7

PARAMETRIZACIÓN DE CURVAS EN R3

2.7.1 DEFINICION Las curvas en R3,se obtienen de la intersección de dos superficies y que en mayor parte se obtiene circunferencias o elipses y su parametrización es similar a las curvas en R2 La curva parametrizada en R3 es la imagen de una función vectorial continua C definida para los puntos t de un intervalo. I⊆R. la variable independiente t de la función vectorial C se llama parámetro de la curva y la propia función C recibe el nombre de parametrización de la cura C: I ⊆ R Rn

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2.7.2 EJEMPLO: Parametrizar la curva Ƴ dada que es la intersección de dos superficies. 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 36 𝛾: { 𝑦+𝑧 =6 Solución. La intercesión de la elipse x2 + y2 + z2 =36 con el plano y + z = 6 se obtiene un elipse en R3. Como y + z = 6 → z = 6 – y, reemplazando en la ecuación de la esfera. x2 + y2 + (6 – y)2 = 36 desarrollando y simplificando. X2 + 2y2 – 12y = 0 completando cuadrados x2 +2(y2 -6y +9) = 18, de donde 𝑥2

+ (𝑦 − 3)2 = 9 Aplicando coordenadas polares modificadas se tiene X = 18 cosƟ, Y = 3 + 3cosƟ, z = 6 – y = 3 – 3senƟ 𝑥 = 18𝑐𝑜𝑠Ɵ 𝑦 = 3 + 3𝑐𝑜𝑠Ɵ , Ɵ Luego la parametrización de la curva Ƴ es : Ƴ: { є[0,2𝜋] 𝑧 = 3 − 3𝑠𝑒𝑛Ɵ 2

2.8

REPARAMATRIZACION DE UNA CURVA REGULAR

2.8.1 DEFINICION Sea⊂ 𝑅 3 es una curva regular, ósea que existe una función vectorial ᾱ ∶ [𝑎, 𝑏] → 𝑅 3 , tal que ᾱ[𝑎, 𝑏] = 𝐶, a y ᾱ(𝑡) ≠ 0 una reparametrización ᾱ(𝒕) es una curva 𝑦 = ᾱ 𝟎𝝎 ∶ [𝑐, ⅆ] → 𝑅 3 donde 𝝎 ∶ [𝑐, ⅆ] → [𝑎, 𝑏] es función diferencial con 𝝎(𝒖) ≠ 0 ,/ 𝑦(𝑢) = (ᾱ 𝟎𝝎)(𝒖) = ᾱ (𝝎(𝒖)); 𝒖 ∈ 𝒄, 𝒅

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2.8.2 EJEMPLO Ejemplo 1: Sea ᾱ: [0,2𝛑] → 𝑅 2 una curva regular definida por ᾱ(𝒕)=(𝒄𝒐𝒔𝒕, 𝒔𝒆𝒏) i) Sea 𝝎: [0,1] → [0,2𝛑] una función definida por 𝝎(𝒖) = 𝟐𝛑𝒖 entonces: 𝑟(𝑢) = (ᾱ 𝟎𝝎)(𝒖) = ᾱ (𝝎(𝒖)) = (𝒄𝒐𝒔𝟐𝛑𝐮, 𝐬𝐞𝐧 𝟐𝛑𝐮) es una parametrización de la curva ᾱ(𝑡) ii)Sea : [0,2𝛑] → [0,2π] una función definida por 𝜔(𝑢) = 2 π − u entonces: 𝑟(𝑢) = (ᾱ 𝟎𝝎)(𝒖) = ᾱ (𝝎(𝒖)) = (𝒄𝒐𝒔𝟐𝛑 − 𝐮), 𝐬𝐞𝐧 (𝟐𝛑 − 𝐮) Es una reparametrización de la curva ᾱ(𝑡) como 𝜔(𝑢) = −1 > 0 entonces se invierte la orientación. Ejemplo 2: Obtenga una reparametrización de la curva f : [0, 2] → R2 dada por f(t) = (3t + 2, t3 + 3) Solución: Proponemos t = ϕ(s) = 2s para la cual ϕ’ (s) = 2 > 0 no se anula para ningún valor. Ahora bien si t = 0 ⇒ s = 0 y t = 2 → s = 1 por lo tanto ϕ : [0, 1] → [0, 2] mientras que g(s) = f(ϕ(s)) = f(2s) = (3(2s) + 2,(2s)3 + 3) = (6s + 2, 8s3 + 3) s ∈ [0, 1] Tenemos entonces que g es una reparametrización de f. Vamos a comprobar que representan el mismo lugar geométrico. Para f(t) se tiene x = 3t+2 → t =

𝑥−2 3

y si y = t3+3 entonces y =

𝑥−2 3

+3 mientras que

para g(s) x = 6s+2 → s =

𝑥−2 6

.

Por tanto si y = 8s3 + 3 entonces y = ( 𝑥−2 𝑥−2 ( 3 )3+3=( 6 )3

1

𝑥−2 3 ) 6

igualando coordenadas:

8

→ 33 = 63 Página 21

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BIBLIOGRAFIAS 

Eduardo Espinoza Ramos, Análisis Matemático III

 

Moises lazaro Carrion – Analisis Matematico III Máximo Mitacc ,Luis Toro ,Tópicos de Cálculo ,VOLUMEN II

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