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• Maria Haydee Leon

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Parábola

Índice     



La parábola. La parábola como lugar geométrico. Elementos de la parábola. Ecuación analítica de la parábola. Ejemplo. Propiedades de reflexión de la parábola.

Parábola 

La parábola, se forma al cortar el cono con un plano que no pase por el vértice y sea paralelo a una generatriz. Plano

Vértice Generatriz

La parábola como Lugar Geométrico: 

Parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que están a igual distancia de un punto fijo, llamado foco, y una recta dada, llamada directriz.

Foco

Directriz

Elementos de la Parábola En toda Parábola conviene considerar:

e

F : Es el punto fijo llamado Foco.

D : Es la recta fija llamada Directriz.

F V

D

e : Es la recta perpendicular a la Directriz trazada por F y es el eje de Simetría de la Parábola. V : Se llama Vértice y es el punto de intersección de la Parábola con el Eje de Simetría.

Elementos de la Parábola e

p F V P ( x, y ) Q

D

p : Se conoce como Parámetro y es la distancia que existe entre el Foco y la Directriz. Su valor se representa por p ( FQ = p) Se cumple que el vértice por equidistar del foco y la directriz, es el punto medio del segmento FQ. Es por ello que VQ = VF =p/2 P : Es un punto determinado de la Parábola.

Elementos de la Parábola e

p F V P ( x, y )

Q B

D

Radio Vector: Para un punto cualquiera de la Parábola, P, se denomina vector PF que va desde el punto al Foco. Según la definición de la Parábola el radio vector, PF, es igual a la distancia, PB, del punto a la Directriz.

Ecuación analítica de la parábola La Ecuación de la parábola con vértice en el origen de coordenadas y foco en el punto: F ( a , 0 ) es y2 = 4ax.

 Demostración La Directriz es una recta vertical D de ecuación x = - a.

Dado el punto: P ( x, y ) de la parábola, distinta lo mismo del foco que de la Directriz, y se tiene que:

x  a2  y 2

 xa

La expresión anterior se obtiene mediante la formula de distancia entre dos puntos:

Después en esta ecuación se elevan al cuadrado los binomios y se agrupan términos

 

2

2  y   x  a   x  a 2  y 2  x  a 2

x  a 

2

2

x 2  2ax  a 2  y 2  x 2  2ax  a 2 y 2  4ax Como a > 0, puede tomar cualquier valor positivo. El eje de simetría de la parábola es el eje x positivo.

La parábola es simétrica con respecto a su eje, pues y =± 2

ax

Para finalizar… La cuerda trazada por el foco y perpendicular al eje de la parábola se le da el nombre de Lado Recto.

Lado Recto

Se determina mediante las coordenadas de sus extremos. Sustituyendo a con x en la ecuación y2 = 4ax, se encuentra:

y2 = 4a2 y 2  4ax

y

y = ±2a

Los extremos son (a, -2a) y (a, 2a)

Y la longitud del Lado Recto es 4a

Generalizando… Las Ecuaciones de la parábola con vértice en el origen 

La ecuación de una parábola con vértice en el origen y foco en (a, 0) es y2=4ax La parábola se abre hacia la derecha si a>0 y se abre hacia la izquierda si a0 y se abre hacia la abajo si a