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Tópicos de Geometría Analítica.

10122009 Tema 25. Parábolas con vértice fuera del origen. A diferencia de las Parábolas con Vértice en el Origen las cuales solo pueden abrirse hacia cuatro lados (por lo menos las más simples), desde el punto de origen de cualquier sistema coordenado cartesiano, el resto de parábolas pueden estar colocadas en cualquier lugar del mismo, pero igual que las otras se abren hacia cuatro lados (arriba, abajo, derecha e izquierda), a estas últimas se les designa con el nombre de Parábolas con Vértice Fuera del Origen. Don René Descartes decía:

Caso 1. Si la parábola se abre a la derecha se relaciona con la ecuación:

(y-k)2= 4p(x-h) Caso 2. Si la parábola se abre a la izquierda se relaciona con la ecuación:

(y-k)2= – 4p(x-h) Caso 3. Si la parábola se abre hacia arriba se relaciona con la ecuación:

(x-h)2= 4p(y-k) Caso 4. Si la parábola se abre hacia abajo se relaciona con la ecuación:

(x-h)2= – 4p(y-k) Esta vez será solo teoría. Resolvamos un problema…

Sea la ecuación: (y-3)2= – 8(x+2) ¿Qué datos puedes obtener con solo analizar la ecuación? Solución. 1. La ecuación se “parece” al caso 2, entonces la parábola tiene su Vértice Fuera del Origen y además se abre a la izquierda.

2. La Longitud del Lado Recto (4p) de la parábola es de 8 unidades. 3. La distancia del Vértice al Foco (valor de p) de la parábola es: |4p|=|8|; p=|8/4|= 2 Unidades. 4. Las coordenadas del Vértice de la parábola son: P(h, k), es decir: P(-2, +3). Son los números que forman un binomio con la X y la Y de la ecuación. 5. Si el valor de p es 2 quiere decir que la parábola tiene su Foco a 2 unidades a la izquierda del Vértice, por lo tanto sus coordenadas serán: F(-4, 3). 6. Igual que el punto anterior, la Directrízestará desplazada a 2 unidades, solo que hacia la derecha del Vértice por lo tanto su ecuación será: X=0, coincidiendo exactamente con el eje Y del sistema coordenado. Ahora bien, con todos estos datos ya puedes “ver” la gráfica correspondiente la cual sería semejante a la que te muestro arriba.

Pero… ¿A qué conclusión nos lleva todo esto? La conclusión inmediata es que con solo analizar una ecuación puedes darte cuenta de que figura se trata, y cuáles son sus características particulares. Otra forma de saber lo mismo es graficando la ecuación, pero es más sencillo A-NA-LI-ZAR las expresiones, tal es uno de los objetivos de la Geometría A-NA-LI-TI-CA.

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4122009 Tema 24. Distancia entre dos rectas paralelas. Si alguien te preguntara ¿Cuál es la distancia existente entre el par de rieles de la vía del ferrocarril? Lo más probable es que la obtendrías midiendo con una cinta de un riel a otro formando una perpendicular entre ambos, lo cual está bien, solo que esa es la antigua geometría de Euclides, la cuestión es: ¿cómo hacer lo mismo aplicando la geometría moderna de R. Descartes que ya sabemos que es más exacta y no requiere reglas escuadras ni compaces? Te diré tres formas de hacerlo aplicando la Geometría Analítica.

Si ya sabes calcular la distancia de un punto a una recta te resultará sencillo determinarla entre dos rectas que sonPARALELAS. Veamos un problema. Hallar la distancia entre las rectas: 1) y=2x+1; 2) y=2x-4

Solución… Puesto que ambas rectas están expresadas de la forma: y=mx+b es fácil determinar su pendiente (m), que en este caso es 2 Para que sean paralelas recuerda que su pendiente debe ser igual (coeficiente de x). De lo anterior deducimos que una recta PERPENDICULAR a las otras dos tendría una pendiente: m = -1/2 Un punto de una de las dos rectas, por ejemplo de: y=2x+1 sería: Si x=1; entonces: y=(2)(1)+1=2+1=3; por lo tanto las coordenadas de uno de sus puntos son: P(1, 3)

Entonces si ya conocemos las coordenadas de un punto P(1, 3) y ya tenemos la ecuación de la otra recta: y=2x-4 que es PARALELA podemos aplicar la fórmula de Descartes para calcular la distancia entre un punto y una recta, solo necesitamos expresar la ecuación de la recta 2) en la forma general para saber cuáles son los valores: A, B y C. Procedamos pues… y=2x-4 -2x+y+4=0; por lo tanto: A=-2; B=1; C=4 Ahora sí, sustituyendo datos en la fórmula de Descartes… 2

2

d= |(-2)(1)+(1)(3)+4|/±√[(-2) +(1) ] d= |-2+3+4|/±√[4+1] d= |5|/±√5 d= 5/±2.23

d = ± 2.24 Unidades. Pero… qué tal si comprobamos el resultado anterior encontrando dos puntos por donde pase una perpendicular a ambas rectas y aplicamos la fórmula de la distancia entre dos puntos, también ¡Obvio! de R. Descartes. Hagámoslo… Ya tenemos un punto P(1, 3) y la pendiente: m=-½ de la recta PERPENDICULAR a ambas rectas PARALELAS entonces podemos conocer la ecuación de la recta que pasa por dicho punto. Sustituyamos pues ambos datos en la fórmula y-y1=m(x-x1) de Descartes para determinar la ecuación. y-3=-1/2(x-1) y=-1/2x+1/2+3 y=-1/2x+7/2 Ok´ ya tenemos la ecuación de la recta que pasa por P(1, 3) y que es PERPENDICULAR a ambas PARALELAS, ahora tenemos que encontrar las coordenadas del otro punto mismo que resulta de la intersección de la PERPENDICULAR con la recta 2) y=2x-4 Igualando ambas ecuaciones… y=y 2x-4 = -½x+7/2 2x+½x = 7/2+4 2.5x = 3.5+4 2.5x = 7.5 x = 7.5/2.5 x=3

Sustituyendo en la ecuación 2) y = 2x-4 = (2)(3) – 4 = 2 Bien entonces las coordenadas del puntode intersección (o de cruce) de la PERPENDICULAR con la otra recta PARALELA son: Q(3, 2) 2

2

Ahora sí, apliquemos la fórmula de la distancia entre dos puntos: d=√[(x2-x1) +(y2-y1) ] Sustituyendo datos… 2

2

d = √[(3-1) +(2-3) ] 2

2

d = √[(2) +(-1) ] d = √[4 + 1] d = √5

d = 2.23 Unidades. Como podrás observar el resultado es prácticamente igual, la pequeña diferencia se da por las decimales que se recortan al momento de estar dividiendo las fracciones, si utilizas todas las decimales el resultado es exactamente el mismo. Pero, pero, pero… hay otra manera todavía más sencilla de hacerlo, simplemente utiliza la fórmula:

En donde: b1 y b2 son los independientes de ambas ecuaciones y m es la pendiente de las rectas paralelas.

términos

Sustituyendo datos… 2

d = [b1-b2] / ±√[1+m ] 2

d = [1-(-4)] / ±√[1+2 ] d = [1+4] / ±√[1+4] d = 5 / ±√5

d = ± 2.24 Unidades. Bueno… ¿y físicamente todo lo anterior en dónde diablos puedes aplicarlo? Si por ejemplo necesitaras calcular la distancia entre dos banquetas paralelas, entre dos rieles de las vías del tren, entre dos paredes paralelas, entre dos galaxias en forma de espiral por las cuales pasan dos paralelas, etc., en cualquier lugar en donde existan dos cosas u objetos que parezcan dos rectas PARALELAS.

Solo por practicar calcula la distancia entre ambas rectas representadas por las ecuaciones: ………………….. 1) y=-4x-2 2) y=-4x+3

………………….. 1) y=(1/2)x + 1 2) y=(1/2)x +4

………………….. 1) y=x+3 2) y=x-5

…………………..

Tópicos de Geometría Analítica. Tema 23_c. Distancia de un punto a una Recta. ¿Que cómo lo hizo don René Descartes? ¡Bah! Como no tenía nada más importante que hacer (debes saber que en el año 1620 (±) no había computadoras, internet para “chatear”, cine, “discos”, y demás distractores comunes de la actualidad), entonces inventó una fórmula (¡Bendito Dios!) para calcular más fácil, rápidamente y con precisión (sin reglas, escuadras ni compás) la distancia de un punto a unarecta. Es la fórmula que te muestro a continuación.

Pero… ¿Cómo interpretarla? ¿Quién demonios es A, B y C? y ¿quién es X e Y? ¿Y qué con las dos barritas verticales que encierran al numerador? A, B y C, son los coeficientes de la ecuación general de la recta hacia la cual quieres determinar la distancia (la pared). X e Y son las coordenadas del punto desde el cual quieres calcular la distancia (o sea tu persona); las dos barritas verticales que encierran al numerador indican un valor absoluto, es decir que no importa el signo del resultado de la operación. Para nuestro caso tenemos el punto: P(1, 6) y la recta: y=x-2, entonces…

Primero convirtamos la ecuación y=x-2 que está expresada de la forma y=mx+b, a la formaAx+By+C=0 (forma General de la ecuación de una recta). Para hacerlo simplemente “pasamos” todos los términos del lado izquierdo del signo igual. y=x-2, trasponiendo y reacomodando términos quedaría… -x+y+2=0; por lo tanto: A=-1; B=1 y C=2

Y del punto P(1, 6); x=1; y=6; sustituyendo en la fórmula quedaría: d= d d d = 7 / ±1.4142

=

2

/

|(-1)(1)+(1)(6)+2|

/

|-1+6+2| =|7|

/

2

±√[(-1) +(1) ] ±√[1+1] ±√2

d = 4.94 Unid. (Metros, centímetros, kilómetros o lo que se te pegue la gana en unidades de longitud). Exactamente lo mismo que con el procedimiento descrito en los temas anteriores. ¿¡Qué tal!? A poco no es más sencillo…

sOLo pOr pRAcTICAr reSUeLVe LOs sIGUIeNTes eJErCIciOS.Leer el resto de esta entrada »

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27112009 Tema 23_b. Distancia de un punto a una Recta. ¿Entonces cómo lo hizo? ¿Cómo determinó Descartes la pendiente(m) de la recta que es perpendicular a la recta: y=x-2? ¡Fácil! ¿Recuerdas el tema de perpendicularidad entre dos rectas?

Dos rectas expresadas de la forma: y=mx+bson perpendiculares entre sí, si sus pendientes son inversas y de signo contrario (o recíprocamente inversas y de signo contrario), es decir, si por ejemplo una tiene pendiente igual a: 2, la otra deberá tener una pendiente igual a: -1/2. Otro ejemplo: si una tiene una pendiente de 4/5 la otra tendrá una pendiente de -5/4 Por lo tanto para el caso que tenemos en donde conocemos la recta y=x-2; cuya pendiente es 1 (coeficiente de x) la perpendicular a ella debe tener una pendiente de: – (1/1)= -1 Entonces ya tenemos los datos necesarios para determinar la ecuación de la recta perpendicular a la recta: y=x-2, y son: P(1, 6) y m=-1; los cuales sustituyéndolos en la fórmula de Descartes: y-y1=m(x-x1) quedaría:

y-6=-1(x-1) y y = -x+7

=

-x+1+6

Bien… ya tenemos las dos ecuaciones que nos permiten determinar las coordenadas del punto de intersección de las rectas que representan.

1) 2) y = -x+7

y

=

x-2

Al colocar las dos ecuaciones (juntándolas de la manera anterior) se forma un sistema de ecuaciones lineales de primer grado, mediante el cual, al resolverlo, se determina un valor para x y otro para y, que son precisamente las coordenadas del punto de intersección entre ambas rectas. Para hacerlo utilizaremos el método de igualación,pero igual puedes utilizar otro procedimiento por ejemplo el de reducción. Si y=y, entonces: x-2=-x+7; resolviendo quedaría…Leer el resto de esta entrada »

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23112009 Tema 23_a. Distancia de un punto a una Recta. Si alguien te preguntara ¿Cuál es la distancia de ti hacia la pared más próxima, contestarías midiéndola en línea recta hacia qué punto de ella? Lo cierto es que cuando se trata de distancias el que pregunta (o contesta) debe ser muy claro en su cuestionamiento (o respuesta), porque no es igual medirla de ti al punto más alto de una pared, o al más bajo o hacia un lado o hacia otro.

Si el que te pregunta no especificara el lugar de la pared al que quisiera saber la distancia, entonces, lo más lógico es medirla en línea “recta” al punto de la pared más cercano a ti. Entonces, de la figura… ¿Cuál de las tres rectas determina la distancia de la persona a la pared mostrada? Evidentemente la recta dos. Ahora bien, la recta 2 tiene una característica “especial” respecto de las demás, esPERPENDICULAR de la pared hacia ti (o viceversa). Entonces, cuando se trate de medir físicamente la distancia de una persona hacia una pared de la cual no se especificó ningún punto, la medición debe hacerse siempre en forma perpendicular. Todo lo anterior expresado “matemáticamente” significaría que:

La distancia de un punto a una recta siempre tiene que medirse en forma perpendicular a los objetos a los que se hace referencia. Y si la pregunta fuera… ¿Cuál es la distancia de tu cabeza a la pared? Obvio, tendrías que trazar una perpendicular de la pared hacia tu cabeza. Y si la pregunta fuera… ¿Cuál es la distancia de tu rodilla a la pared? Obvio, tendrías que trazar una perpendicular de la pared a tu rodilla. Etc, etc, etc.

Ahora bien, si relacionamos lo anterior con don René Descartes, tendríamos que colocar todo en un Sistema Coordenado Cartesiano de la siguiente manera…Leer el resto de esta entrada »

La distancia de un punto a una recta siempre tiene que medirse en forma perpendicular a los objetos a los que se hace referencia. Y si la pregunta fuera… ¿Cuál es la distancia de tu cabeza a la pared? Obvio, tendrías que trazar una perpendicular de la pared hacia tu cabeza. Y si la pregunta fuera… ¿Cuál es la distancia de tu rodilla a la pared? Obvio, tendrías que trazar una perpendicular de la pared a tu rodilla. Etc, etc, etc. Ahora bien, si relacionamos lo anterior con don René Descartes, tendríamos que colocar todo en un Sistema Coordenado Cartesiano de la siguiente manera…

Entendido lo anterior, sabiendo ya de que se trata cuando se habla de medir distancias de un punto a una recta, resolvamos un problema que les dio muchísimos dolores de cabeza a los matemáticos antiguos, razón por la cual algunos terminaron en el manicomio (es broma), se trata de lo siguiente…

Determinar la distancia existente entre el punto P(1,6) y la recta: y=x-2 Nota. El punto puede representar: un auto, una hormiga voladora, una mosca aterrizando, Ana Sofía Henao (según mis alumnos), William Levy (según mis alumnas), una galaxia, Mamá campanita, la abuelita de Batman, o cualquier cosa que se te ocurra. La recta puede representar una pared, una viga, una escalera, la trayectoria de un cohete, una “resbaladilla”, un tobogán, el cable que sujeta a un poste, la cuerda con la que un vaquero de cachucha y tenis lazó al caballo prieto azabache, etc, etc. Primero dibuja un sistema coordenado, luego coloca en él el punto P(1, 6). En el mismo sistema grafica la recta: y=x-2, te quedará algo como la siguiente figura.

¿Cómo habría hecho Euclides para medir la distancia del punto a la recta? ¡Bah! El santo señor simplemente habría encimado su transportador sobre la recta para determinar los 90° en dirección al punto P, y con su regla habría medido la distancia. ¿Sencillo? Sí, pero ya sabemos que esta forma de resolver problemas geométricos es inexacta por mucho que los trazos se realicen con todos los cuidados. Cabe recordarte que una de las cosas -y solo una- que buscan las matemáticas es la EXACTITUD en todos los cálculos. Lo anterior, desde luego, no resta absolutamente ningún mérito al gran trabajo realizado por el llamado “padre de la Geometría”, es solo que, las cosas deben ir perfeccionándose cada día. Pero la naturaleza, Dios, o quien sabe quién diablos (para desgracia de todos los estudiantes de bachillerato que no les gustan las matemáticas), hizo que naciera Descartes el cuál encontró, a diferencia de Euclides, una primera solución sin utilizar reglas, escuadras, ni transportadores. Descartes sabía que para calcular la distancia entre dos puntos, aplicando una de sus fórmulas, necesitaba conocer sus coordenadas.

Distancia= √[(x2-x1)2 + (y2-y1)2] Pero solo tenía uno, el punto P(1,6), el otro tenía que ser de la recta ¿pero cuál de todos? Quizás ya lo adivinaste, es exactamente el punto en donde “choca” el segmento que inicia en el punto P formando una recta perpendicular a la pared. Pero… ¿Cómo determinar ese punto? A Descartes se le ocurrió la siguiente solución. 1. Haciendo pasar una recta por el punto P que fuera exactamente perpendicular a la recta: y=x-2 2. Determinar la ecuación de la nueva recta. 3. Encontrar el punto de intersección (punto de cruce) entre ambas rectas. Pero… ¡Oh problema! para aplicar esta solución tenía que determinar la ecuación de la nueva recta, y ya sabemos que para hacerlo mediante la fórmula (también inventada por él)…

y-y1=m(x-x1) se requiere conocer las coordenadas de un punto (en este caso P(1, 6)) y la pendiente(m=?) de la misma… ¿Entonces cómo lo hizo? ¿Cómo determinó la pendiente (m) de la recta que es perpendicular a la recta: y=x-2? Continuaremos en próxima ocasión…

20102009 La Parábola. Episodio 3. Actualización: Octubre 19 Fecha de publicación inicial: Diciembre 12 de 2007

de

2009

El final. 2

Ahora bien en la “fórmula” de Descartes (X =4pY) el valor de p siempre es la distancia que existe del vértice al foco, y el foco para el caso de la parábolas con vértice en el origen puede ser que esté en el eje de las X o en el de las Y, y puede ser también que tenga valor sea positivo o negativo, todo depende de cómo y hacia donde se abre la Parábola.

Si la Parábola se abre hacia arriba pes mayor que cero. Si se abre hacia abajo p es menor que cero. Si se abre hacia la derecha p es mayor que cero. Si se abre hacia la izquierda p es menor que cero. Todo lo anterior parte de un a-na-li-sis de las figuras. 2

Volviendo al problema que nos ocupa, si tenemos: Y=2X , reacomodando términos es igual a: 2 2 X =(1/2)Y, la cual se parece a: X =4pY, ecuación que representa a una Parábola que se abre hacia arriba o hacia abajo. También por simple inspección puedes ver que en ambos casos los coeficientes de Y (términos que la “acompañan”) son: ½, y 4p. A partir de esto puedes igualarlos y obtener: ½ = 4p; (½)/4 = p; 1/8 = p; o bien: p = 1/8 Por lo tanto el Foco se encuentra a una distancia de 1/8 respecto del vértice y es positivo. De todo lo anterior deducimos lo siguiente: La Parábola tiene su eje sobre el eje de las Y; se abre hacia arriba, puesto que p es positivo; las coordenadas del Foco son (0, 1/8); la longitud de su lado recto es: I 4p I=I4(1/8)I=I4/8I=I1/2I=0.5;

La ecuación de la Directriz es: y=-1/8 Ves que fácil es, y todo lo anterior puedes determinarlo por simple inspección de la ecuación particular de una Parábola, complementándolo con algunas operaciones matemáticas sencillas.

The End. Solo por practicar resuelve los siguientes ejercicios por simple inspección… nada de darle valores a X y obtener valores de Y o viceversa. Solo aplica tu inteligencia y al ver la ecuación deduce: hacia donde se abre, la distancia del vértice al foco, la ecuación de la directriz y la longitud de su lado recto. 2

Y=X 2 Y=5X 2 X=4Y 2 X=6Y 2 Y=-X 2 Y=-5X 2 X=-4Y 2 X=-6Y

17102009 La Parábola. Episodio 2. Sus partes y un problema resuelto. La siguiente figura es una parábola con sus partes principales. Si te sirve apréndetelas de memoria.

Foco. Es un punto localizado al “interior” de la curvatura de la Parábola. Físicamente es el punto hacia donde se refleja o “rebota” todo aquello que “choca” con su cara. La distancia del vértice al foco se conoce como p.

Lado Recto. Es la distancia que hay entre dos puntos simétricos de la parábola con la condición de que se mida pasando por el foco en forma paralela a la Directriz. Directriz. Recta desplazada a la misma distancia p del vértice pero en sentido contrario. Perpendicular al eje de la parábola. Vértice. Punto desde donde se “abre” la Parábola. La Geometría Analítica de don René Descartes permitió trabajar con ocho casos de Parábolas (por lo menos son los más básicos). Las que se abren a la derecha, a la izquierda, hacia arriba y hacia abajo e igual número de casos para cuando tienen su vértice fuera del origen.

Parábolas con vértice en el origen. Según Descartes hay dos ecuaciones principales que rigen geométricamente a las parábolas 2 2 con vértice en el origen, a saber: Y =4pX, y X =4pY. Después te explico cómo las obtuvo por el momento aprende a utilizarlas. Grafiquemos la ecuación particular de una Parábola en la forma tradicional (dando valores a X y obteniendo valores de Y).

Y=2X2 Grafiquemos la ecuación particular de una Parábola en la forma tradicional (dando valores a X y obteniendo valores de Y).

Y=2X2 Asignando valores arbitrarios a X… 2

Si X=0; Y=2(0) =0; entonces P1(0, 0) 2 Si X=1; Y=2(1) =2; entonces P2(1, 2) 2 Si X=2; Y=2(2) =8; entonces P3(2, 8.0) 2 Si X=3; Y=2(3) =18; entonces P4(3, 18) 2 Si X=-1; Y=2(-1) =2; entonces P5(-1, 2) 2 Si X=-2; Y=2(-2) =8; entonces P6(-2, 8.0) 2 Si X=-3; Y=2(-3) =18; entonces P7(-3, 18)

Al ubicar todos los puntos en un sistema coordenado común se forma la siguiente figura.

Bien, hasta ahí lo común, pero, ¿existe otra manera de hacer lo mismo, que sea más ágil? 2 Pues sí, para tu beneplácito existe, solo tienes que a-na-li-zar la ecuación particular Y=2X y 2 2 relacionarla con dos ecuaciones principales que inventó René Descartes (Y =4pX, y X =4pY). ¿A cuál de las dos ecuaciones principales se parece más la ecuación que graficamos? Es 2 2 2 decir: Y=2X se parecería más a: Y =4pX, o a X =4pY Tal vez no encuentres mucho parecido con ninguna tal como está escrita la ecuación, pero si la “reacomodas” transponiendo términos de la siguiente manera: 2

2

Y=2X , es exactamente lo mismo que si tuvieras: X =(1/2)Y. Quizá ahora si notes mejor su relación con las ecuaciones de Descartes. ¿Entonces a cuál se parece más? ¿Acaso, a 2 X =4pY? Bien… espero que lo hayas determinado tú, voy a suponer que así fue. Pero este tema no ha concluido, lo continuaremos en próxima ocasión.

13102009 La Parábola. Episodio 1. Actualización: Octubre 13 Fecha de publicación inicial: Diciembre 10 de 2007

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2009

El inicio… Antes de explicar el siguiente tema, conviene que estudies el Tema 5, sobre todo la última parte del mismo. Si ya lo revisaste, ahora te lo explicaré con mayor amplitud.

¿Qué es una Parábola? Por ejemplo ésta… En aquel tiempo dijo Jesús a sus discípulos: “He aquí el que sembraba salió a sembrar. Y sembrando, parte de la simiente cayó junto al camino; y vin…”

¡Alto ahí!… La anterior es una parábola de Jesucristo, y ¡demonios! aquí estamos en Geometría Analítica, por lo tanto las parábolas que veremos serán exclusivamente figuras geométricas.

Charles H. Lehmann en su texto de Geometría Analítica en desuso por culpa de Internet- define técnicamente a una Parábola como: el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que su distancia de una recta fija situada en el plano es siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a la recta. No. No es un trabalenguas.¿Entiendes la definición anterior? ¡Bah! yo tampoco la entendí la primera vez que la leí. Recuerdo que me quedé con cara de ¿¿¡¡Que qué!!?? Me pregunto… ¿Para qué diablos utilizar tantos tecnicismos?, acaso no es mejor decirle a un estudiante ¿Has visto una antena parabólica? Es igual que una parábola, solo que ésta última se traza en el papel, mientras que la otra se construye físicamente. Una Parábola es una curva que tiene una característica muy especial que a continuación te revelaré (es el Top-Secret y te lo voy a decir). Interpretémoslo físicamente para que te sea más claro. Resulta que todas las antenas parabólicas –¡Ojo con esto!- reflejan todo tipo de radiación que reciben en su cara hacia un punto llamado FOCO. ¡No me refiero a ningún foco de los que consumen electricidad! ¿Y que es radiación?Leer el resto de esta entrada »

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6102009 Tema 22. Otra fórmula de don René Descartes. Actualización: Octubre Fecha de publicación inicial: Octubre 09 de 2007

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¿De dónde sacó don René la fórmula:

Tg(a)=(m2-m1)/(1+m2m1) ¿La soñó, o le cayó una manzana y le nació la idea como a Newton?

2009

En realidad no es complicado saber como llegó don René a la fórmula anterior, solo se basó en los conocimientos de “Fulano de tal” su antecesor, cuando inventó la identidad:

TgΘ = Tg(α2–α1) = [tgα2–tgα1]/[1+tgα2 tgα1] A la cual llegaremos partiendo de nuestro problema particular con la relación: Ángulo a = ángulo b menos ánguloc, o expresado con literales:

a = b – c. Hagamos algunas manipulaciones algebraico/trigonométricas ¡¡¡Ufff!!! Se oye muy feo, dicho de otra manera hagamos especulaciones matemáticas… ¡¡¡Recontra Ufff!!! Se escucha peor… ¡Bah! en realidad no es tan complicado.Leer el resto de esta entrada »

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1102009 Tema 21b. Ángulo con que se cruzan dos rectas. Actualización: Octubre 01 Fecha de publicación inicial: Septiembre 28 de 2007

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¿Con qué ángulo se cortan dos rectas? Veámoslo mediante un ejemplo práctico.

2009

Dos aviones siguen durante cierto tiempo trayectorias rectilíneas definidas por las siguientes ecuaciones: Y=3X+1 Y=X- 1 Hallar su ángulo de intersección. Si recuerdas ya vimos algo semejante en el Tema 13 (dos caminos que se cruzan) solo que ahí buscábamos el punto de cruce (intersección) entre ambas rectas, en este caso podríamos hacer lo mismo, pero además buscamos el ángulo con que se cruzan ambas trayectorias. Procedamos…

Grafiquemos las dos ecuaciones. Graficar es simple, recuerda que solo tienes que asignar valores arbitrarios a X ¿Cuáles? Los que se te pegue la gana. Con esto obtendrás valores para Y. ¡Claro! si asignas un valor a la X por ejemplo de 1,000, entonces tendrás que hacer circo, maroma y teatro para acomodar este valor de X en tu sistema coordenado e igual para el que resulte de Y junto con otros valores pequeños que asignaras X.Las rectas resultantes son las trayectorias de los aviones.

Si por el punto de intersección trazas una paralela al eje X, obtendrás los ángulos b, y c. El ángulo a es el que buscamos. Analiza los ángulos b y c. Te pregunto ¿el ángulo a se puede obtener a partir de los ángulos b y c? Te doy un minuto para que respondas antes de dar un “click” en: Leer el resto de esta entrada…Leer el resto de esta entrada »

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22092009 Tema 21. Pendiente de la recta que se forma con dos puntos, conocidos ambos (teoría y práctica). Actualización: Septiembre 20 Fecha de publicación inicial: Septiembre 21 de 2007

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2009

Determinemos la pendiente del pasamanos de una escalera, igual podría ser la pendiente de la torre inclinada de pisa, o del monte everest. En Geometría Analítica la pendiente de una recta se determina conociendo las coordenadas de dos de sus puntos Tema 7, desde luego que hay más formas, pero en este caso nos aplicaremos a saber ¿cuáles son esos dos puntos?, ¿cómo determinarlos? y ¿cuál es la pendiente de la recta que los une?

¿Y de dónde vas a sacar dos puntos si solo tienes el pasamanos? Te lo explicaré a continuación. En la imagen simplemente coloca el punto de origen de un sistema coordenado cartesiano en cualquier lugar, ya sea en el pintarrón (si es que está proyectada la imagen en él) o en cualquier otro lugar en donde esté la figura. De ahí traza los dos ejes del sistema. Luego pasa por el punto origen una recta que coincida con la superficie del pasamanos y sobre ella coloca los dos puntos como en la figura. ¿Y físicamente? En este caso hay varias soluciones. Se me ocurre que… 1. Si el pasamanos está en una pared puedes pegar dos tiras de cinta adhesiva (Masking Tape) en ella (o en donde sea) simulando los ejes X e Y, ambas deben ser perpendiculares entre sí (90º entre sus ángulos). Después marca un punto en el pasamanos y mide la distancia hacia de él hacia el eje X (verticalmente) y luego hacia el eje Y (horizontalmente), con lo cual obtendrás sus coordenadas (Punto P1). Haz lo mismo para otro punto (P2). Lo demás son operaciones artméticas y algebraicas en tu cuaderno.

2. Puedes marcar la pared simulando los dos ejes utilizando para ello una cuerda impregnada de polvo de un color que contraste con el de la pared, la recta sería el pasamanos. Cabe mencionar que los dos ejes coordenados (X e Y) puedes trazarlos en cualquier lugar del pasamanos, ya sea al principio del mismo, a la mitad, o al final, en donde se acomoden mejor para medir distancias de los puntos a ellos.

En cualquier solución que apliques evita dañar la pared. También puedes utilizar un transportador para determinar el ángulo del pasamanos respecto del eje X y luego aplicas la fórmula m = tg α, o en su defecto puedes utilizar un instrumento llamado Inclinómetro o un Goniómetro, etc. puede haber más soluciones.Leer el resto de esta entrada »

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18092009 Tema 20. Punto medio de la recta que se forma con dos puntos colocados en un Sistema Coordenado Cartesiano. Actualización: Septiembre 16 Fecha de publicación inicial: Septiembre 19 de 2007

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2009

Igual que en el tema anterior, el problema de calcular el Punto Medio de una recta es bastante sencillo, así se trate de un sistema bidimensional. En este caso simplemente forma un triángulo rectángulo –igual que debes haberlo hecho en otras ocasiones- y proyecta los catetos hacia cada uno de los ejes. Veamos un ejemplo.

Dos hormiguitas (igual pueden ser dos planetas, dos personas, dos autos, dos galaxias) salen de su residencia (en este caso un agujero) y se disponen a tomar el Sol colocándose a unos cuantos centímetros de él, tal como se muestra en la figura. Una tercera hormiguita no quiere alejarse mucho de su “casa” y se acomoda exactamente en el punto medio de la recta que se forma con las otras dos. ¿Cuáles son las coordenadas del dichoso lugar (Punto medio) en donde se colocó la última hormiguita? Evidentemente la “casa” de la hormiguita es el punto de referencia, por lo tanto ahí colocaremos nuestro punto de origen de un Sistema Coordenado Cartesiano. Proyectando los catetos del triángulo rectángulo que se forma hacia sus respectivos ejes simplemente calculamos el Punto Medio para cada caso. Aplicando la regla que establecimos en el tema anterior:

X = (x1+x2)/2 = (-3+1)/2 Y = (y1+y2)/2 = (-2+3)/2 = 1/2 = .5

= -2/2

= -1

Entonces las coordenadas del Punto Medio son:

P.m. (-1, 0.5) Cms. ¿Complicado? Si en lugar de los dos puntos extremos tuvieras un Punto medio y un punto extremo y quieres determinar el otro punto extremo solo aplica las siguientes fórmulas: X1=(2)(Pmx)-X2 y Y1=(2)(Pmy)-Y2 obtenidas a partir de un simple despeje de las fórmulas para el punto medio y con ello obtendrás el punto en cuestión, por ejemplo:

Hallar las coordenadas de un punto extremo de un segmento que tiene su punto medio en: (4, 2) y el otro extremo es: (9, 5) Solución. X=(2)(4)-9=8-9=-1 Y=(2)(2)-5=4-5=-1 Por lo tanto, las coordenadas del otro punto extremo del segmento son: (-1, -1)

Bien, te dejo algunos ejercicios para que practiques solo por divertirte… Dos objetos están colocados en las siguientes coordenadas. P1(-2, 3); P2(6, 9) P1(2, -3); P2(4, 3) P1(-1, 6); P2(7, 3) P1(-6, 0); P2(2, 4) P1(0, 4); P2(2, 7) P1(8, 2); P2(2, 3) P1(0, 0); P2(4, 4) P1(-2, 2); P2(2, 2) P1(6, 4); P2(-6, 5)

Únelos y encuentra en todos los casos el Punto Medio, aplicando las fórmulas utilizadas para resolver el problema de las hormiguitas.

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15092009 Tema 19. Punto medio del segmento que se forma con dos puntos colocados en un sistema rectilíneo. Actualización: Septiembre 13 Fecha de publicación inicial: Septiembre 17 de 2007

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2009

Este es uno de los temas más simples de la Geometría Analítica, tan sencillo y tan lógico que puedes preguntarle a un bebe de preescolar cuál es la mitad de una cuerda estirada -en forma semejante a una recta- y seguro que te indicará el punto medio, sin embargo ¡no hay de otra! ¡veámoslo! El punto medio es la mitad de la recta que se forma entre dos puntos. Así de fácil. Tienes dos puntos en un sistema rectilíneo (una sola dimensión) y quieres encontrar el punto que está colocado exactamente a la mitad entre los dos, a este punto se le llama: Punto Medio. Veamos un “raro” ejemplo para no fomentar el aburrimiento.

Sean dos bebes sumamente molestos porque nadie les da su chupón.

Uno está a 3 Mts. del chupón y el Otro está a 2 Mts. de él pero en la dirección contraria. Tú quieres tranquilizarlos y les hablas colocándote exactamente en el punto medio entre ambos. ¿Cuál es la coordenada en la que estás?

¡¡¡OBVIOOO!!! Seguro que contarás los segmentos y concluirás que el punto medio está exactamente entre el chupón y el uno positivo, o dicho de otra manera estás en el Punto Mediocuya coordenada es: 0.5, o bien ½. Pero bueno… construyamos una regla que pueda servir tanto para este caso como para aquellos en donde sea muy lento contar “rayitas” es decir, cuando los puntos se encuentren más alejados uno del otro. Te doy tres minutos para construirla…Leer el resto de esta entrada »

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11092009 Tema 18. Ángulo de la recta que se forma al unir dos puntos dados. Actualización: Septiembre 09 Fecha de publicación inicial: Septiembre 14 de 2007

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2009

Vayamos directamente al grano. Resolvamos un problema. Te doy dos puntos: P1(2, 3); P2(5, 6) que pueden representar los lugares en donde están dos cosas, por ejemplo dos autos, dos personas, dos planetas, dos hormigas, etc. Ubícalos en un Sistema Coordenado Cartesiano y determina:

1). Ángulo respecto al eje de las X, de la recta que se forma al unir P1 y P2. 2). Distancia (c) entre ambos puntos. Solución. 1). Al colocar los puntos y unirlos mediante una recta resulta una gráfica como la de al lado, puedes prolongarla en sus extremos. Después –tal y como ya lo hemos hecho en otra ocasiónformamos un triángulo rectángulo (catetos a, b y c). De inmediato podemos ver que se forma un ángulo θ (theta) entre la recta y el cateto adyacente (a). Nota. Recuerda que puedes utilizar las letras que quieras para designar a los catetos y a la hipotenusa del triángulo. Si no te gustan la a, b, y la c, utiliza otras, es perfectamente legal, puedes estar completamente seguro que no irá la policía de los escrúpulos matemáticos por ti (y si tienes un profesor que te dice que siempre deben ser: a, b y c; además en un orden específico, simplemente ignora sus palabras). A estas alturas debes saber –o recordar- que hay una identidad trigonométrica denominada Tangente, la cual es igual al Cateto Opuesto (b) entre el Cateto Adyacente (a), matemáticamente:

Tg θ = Cat.Op./Cat.Adyac. Pero el Cateto Opuesto (b) es exactamente igual a Y2-Y1, y el Cateto Adyacente (a) es exactamente igual a X2-X1, por lo tanto:

Tg θ = (Y2-Y1)/(X2-X1) Entonces sustituyendo las coordenadas de los puntos quedaría:

Tg θ = (6-3)/(5-2) = 3/3 = 1 Luego…Leer el resto de esta entrada »

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8092009 Tema 17. Perpendicularidad entre dos rectas. Actualización: Septiembre 06 Fecha de publicación inicial: Septiembre 13 de 2007

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2009

Iniciemos nuestro estudio igual que lo hicimos en el tema anterior, determina la gráfica de las siguientes ecuaciones.

Y=-2X+1 Y= (1/2)X-3

Al graficarlas obtendrás algo semejante a lo que ves en la imagen de al lado. Ahora a-na-li-ce-mos lo que obtuviste. ¿Qué observas en la gráfica? ¿Las rectas se cruzan formando ángulos de 90º? Puedes medir con tu transportador. Analizando las ecuaciones de las cuales se originaron ¿observas algo similar en ellas? Olvídate del tres y del uno, atiende solamente a los coeficientes de la X (el número que la acompaña). Tienes que encontrar una relación entre los dos números. Antes de dar un “Clic” en Leer el resto de esta entrada… debes haber encontrado algo que es común en ambas ecuaciones. Del análisis del par de ecuaciones debiste haber determinado lo siguiente. 1). Los coeficientes de 2). Los coeficientes de X tienen signo contrario.

X

son

inversos.

Cuando dos ecuaciones escritas de la forma: Y=mX+b tienen el coeficiente de X inverso y de signo contrario, representan a dos rectas perpendiculares entre sí. Ahora bien ¿es suficiente con el análisis que hiciste?

A mi juicio sería suficiente con un buen a-ná-li-sis, sin embargo no nos quedaremos ahí y comprobaremos lo que descubriste. Pero… ¿Cómo hacerlo? ¿Cómo comprobar que efectivamente descubriste una propiedad entre dos rectas? Lo comprobaremos de la siguiente manera (no es la única forma de hacerlo).Leer el resto de esta entrada »