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Cátedra de Geometría Analítica. La Parábola

A continuación se presentarán algunas definiciones de Parábola:

Definición

“Una parábola es el conjunto de todos los puntos (x,y) que equidistan de una recta fija (directriz) y un punto fijo (foco) que está fuera de dicha recta”. (Larson & Hostetler, 1.992, p. 655). “Es el lugar geométrico de un punto que se mueve de un plano de tal manera que su distancia de una recta fija, situada en el plano, es siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a la recta. El punto fijo se llama foco y la recta fija directriz de la parábola”. (Lehmann, C., 1.988, p. 149). “Una parábola es el conjunto de todos los puntos P del plano que son equidistantes de una recta fija L, llamada directriz, y de un punto F, llamado foco”. (Zill, D. , 1.987, p. 595). “Una parábola es el conjunto de todos los puntos en un plano, equidistantes de un punto fijo y una recta fija. El punto fijo se llama foco y la recta fija se llama directriz”. (Leithold, L., 1.986, p. 893). “Una parábola es el lugar geométrico de un punto P que se mueve de manera que su distancia a un punto fijo y a una recta fija es la unidad (excentricidad)”. (Oakley, C.O., 1.982, p. 97.). “Una parábola es el conjunto de todos los puntos de un plano que son equidistantes de un punto fijo y de una recta fija del plano. El punto fijo se llama foco y la recta fija se llama directriz”. (Fuller, G., 1.981, p. 102). “Una parábola es la gráfica de todos los puntos cuya distancia a un punto fijo es igual a su distancia a una recta fija. El punto fijo se llama foco y la recta fija, directriz”. (Protter and Morrey., 1.980, p. 255).

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“Parábola: conjunto de todos los puntos en un plano que equidistan de un punto fijo (el foco) y una recta fija (la directriz)”. (Johnson y Kiokemeister, 1.977, p. 35). “Es el lugar geométrico de los puntos de un plano que están a una misma distancia de un punto dado y de una recta dada El punto dado se llama foco y se designa por F y a la recta dada se llama directriz y se designa por D. (Orellana, M. Y otros, 1.974. p. 196.). ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA: Elementos

Y

P(x,y)

M

EF K

V

F(p,0) Lr CF X

L

•

Eje focal (EF): es la línea recta que pasa por el foco (F) y es perpendicular a la directriz (L).

•

Vértice: es el punto de intersección entre la parábola y el eje focal (EF). También es el punto medio del segmento KF.

•

K: punto de intersección entre la directriz (L) y el eje focal (EF).

•

Cuerda Focal (CF): es aquel segmento que pasa por el foco (F) y Lic. Giovanna Furioni M. 2

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une a dos puntos cualesquiera de la parábola. •

Lado Recto (Lr): es la cuerda focal que es perpendicular al eje focal (EF).

•

Constante p: es la longitud (distancia entre dos puntos) comprendida entre el foco (F) y el vértice (V) de la parábola.

ECUACIONES GENERALES DE LA PARÁBOLA: •

Ecuación general de la parábola, cuyo eje focal es paralelo o coincidente con el eje x:

Ecuación General

By² + Dx + Ey + F = 0, donde D ≠ 0. con h =

•

E ² − 4F E D ; k=− ; p=− 4D 2 4

Ecuación general de la parábola, cuyo eje focal es paralelo o coincidente con el eje y:

Ax 2 + Dx + Ey + F = 0, donde E ≠ 0. con k =

D ² − 4F D E ; h=− ; p=− 4E 2 4

OBSERVACIONES: Si p > 0 la parábola abre hacia la derecha o hacia arriba. Si p < 0 la parábola abre hacia la izquierda o hacia abajo.

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ECUACION DE LA PARABOLA CON EJE FOCAL COINCIDENTE CON EL EJE DE LAS “X”:

y

Ecuaciones Ordinarias

x

y ² = 4px

Ecuación Ordinaria: Coordenadas del vértice:

V (0,0)

Coordenadas del Foco:

F ( p,0)

Ecuación de la Directriz:

x = −p

Lado recto:

Lr = 4 p

ECUACION DE LA PARABOLA CON EJE FOCAL PARALELO AL EJE DE LAS “X”: y

x

( y − k )² = 4 p( x − h)

Ecuación Ordinaria: Coordenadas del vértice:

V (h, k )

Coordenadas del Foco:

F ( h + p, k )

Ecuación de la Directriz:

x = h− p

Lado recto:

Lr = 4 p Lic. Giovanna Furioni M. 4

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ECUACION DE LA PARABOLA CON EJE FOCAL COINCIDENTE CON EL EJE DE LAS “Y”:

Ecuaciones Ordinarias

y

x

x² = 4 py

Ecuación Ordinaria: Coordenadas del vértice:

V (0,0)

Coordenadas del Foco:

F (0, p )

Ecuación de la Directriz:

y = −p

Lado recto:

Lr = 4 p

ECUACION DE LA PARABOLA CON EJE FOCAL PARALELO AL EJE DE LAS “Y”:

y

x

( x − h)² = 4 p( y − k )

Ecuación Ordinaria: Coordenadas del vértice:

V (h, k )

Coordenadas del Foco:

F (h, k + p)

Ecuación de la Directriz:

y=k−p

Lado recto:

Lr = 4 p Lic. Giovanna Furioni M. 5

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1° Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice es el punto V(3,4) y cuyo foco es F(7,4). Solución: Si representamos gráficamente ambos puntos, vértice y foco, observaremos que se trata de una parábola cuyo eje focal es paralelo al eje “x” cuya ecuación es (y − k )2 = 4 p(x − k )

V(3,4)

F(7,4)

Como tenemos el vértice, V(3,4) tenemos entonces los valores de h = 3 y k = 4 . Pero además, necesitamos el valor de p, que lo podremos obtener del foco f(7,4), puesto que: f(h + p, k) → f(7 ,4 ). Si igualamos h+p a 7, podemos obtener el valor de p: como sabemos que h = 3, lo sustituimos en la ecuación anterior, 3+p = 7. Despejando el valor de p. obtendremos que p = 4. Ahora sustituiremos el valor de h = 3, k = 4, y p = 4 en la ecuación: (y - k)2 = 4p(x - h) Sustituyendo los valores: (y - 4)2 = 4(4)(x - 3) Resolviendo el producto notable y efectuando el producto: y 2 - 8y + 16 = 16(x - 3) Resolviendo la distributiva. y 2 - 8y + 16 = 16x - 48 Igualando a cero y ordenando: y 2 - 16x - 8y + 64 = O Lic. Giovanna Furioni M. 6

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2° Una parábola cuyo vértice esta en el origen y cuyo eje coincide con el eje X, pasa por el punto (8,-3). Hallar la ecuación de la parábola, coordenadas del foco, ecuación de la directriz y longitud del lado recto. Solución: Como nos piden hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice esta en el origen V(0,0) y su eje coincide con el eje x, la ecuación a utilizar será:

y 2 = 4px (I) Ahora, como sabemos que la parábola pasa por el punto (8,-3); si sustituimos dicho punto en la ecuación (I) podremos obtener el valor del parámetro p: y 2 = 4px ( - 3) 2 = 4p(8)

9 = 32p 9 32 Seguidamente, sustituiremos dicho valor en la ecuación (I) para obtener la p=

ecuación de la parábola:  36  Efectuando la distributiva: y ² =   x  32  9 Simplificando la fracción: y ² =   x 8 Multiplicando por 8 a ambos lados de la igualdad y simplificando, 8y 2 = 9x

8y 2 - 9x = 0 Ecuación Pedida.  9  Obteniendo el foco: F(p,O) → F    32  Hallando la ecuación de la directriz: x + p = 0 → x +

9 =0 32

9  9  Obteniendo el valor de lado recto: Lr = 4 p = 4 ⋅   = 8  32  Lic. Giovanna Furioni M. 7

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3° Hallar la ecuación de la parábola cuyo foco es (0,6) y la directriz es el eje X. Obtenga, además, el vértice. Grafique. Solución: Realicemos un primer bosquejo de la parábola, dado que tenemos dos de sus elementos el foco f(0,6) y la directriz el eje X: Como la directriz es el eje X entonces posee como ecuación y =0. La parábola abre hacia arriba y coincide (el eje focal) con el eje Y.

F(0,6)

V(0,3)

Se dice que "p" es la distancia que hay desde el foco al vértice ó del vértice ala directriz. Ahora, la directriz que para nuestro ejercicio es el eje las abscisas (Eje x), pasa por el origen de coordenadas (0,0). Si observamos bien del origen (0,0) al foco (0,6) hay 6 unidades. El vértice es el punto medio de estos dos puntos. Si calculamos el punto medio podremos obtener el valor de p: Obtención del punto medio entre (0,6) y (0,0):

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Xm =

x1 + x 2 0 + 0 = =0 2 2

ym =

y1 + y 2 0 + 0 = =3 2 2

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∴El punto medio será Pm(0,3). Entonces el vértice es V(0,3). Como se puede observar ahora hay tres unidades (en el eje "y") del vértice al foco, al igual que del vértice al origen. Lo que podemos concluir que p = 3. Para obtener la ecuación de la parábola sustituiremos los valores de h = 0, k = 3 y p = 3. Veamos: Ecuación de Parábola: (x - h) 2 = 4p(y - k). Sustituyendo los valores: (x - 0) 2 = 4(3)(y - 3). Efectuando el producto: x 2 = 12(y - 3). Resolviendo la distributiva: x 2 = 12y - 36 Igualando acero: x 2 - 12y + 36 = 0 ∴ x² -12y + 36 = 0 Ecuación Pedida.

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4° Demostrar que la ecuación x² - 4x + 8y -20 = 0 representa una parábola. Hallar las coordenadas del vértice y del foco. Ecuación de la directriz y lado recto. Solución: Para demostrar si dicha ecuación representa una parábola, debemos llegar, luego de una completación de cuadrados, a una ecuación que represente dicho lugar geométrico. x² - 4x + 8y -20 = 0 (x² - 4x) = - 8y + 20 Agrupando términos semejantes. (x²- 4x + 4) = -8y + 20 + 4 Completando cuadrados. (x- 2)² = 24 - 8y. Factorizando y efectuando la adición. (x- 2)² = -8(y -3) Extrayendo factor común. Si comparamos la ecuación obtenida con la ecuación canónica: (x -h)² = 4p(y - k), podemos observar que se trata de una ecuación de la parábola cuyo eje focal es paralelo al eje Y. Hallemos las coordenadas del vértice: V(h, k) → V(2,3) Coordenadas del foco: f(h, k + p) → f[2, 3 + (-2)] → f(2,1) El valor de p: 4p = – 8

→

p = –2

Ecuación de la directriz: y = k – p → y = 3 – (-2) → y = 5. Realicemos una representación gráfica: Ecuación de la directriz

y=5

V(2,3)

Como p es negativo, p = -2, la parábola abre hacia abajo

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5° Una parábola paralela al eje de las ordenadas (eje y) pasa a través de los puntos Pl(l,l); P2(2,2) y P3(-1,5). Hallar la ecuación del lugar geométrico.

Solución: En el problema nos indican que es una parábola paralela al eje "y", cuya ecuación general es: x² + Dx + Ey + F = o. Si sustituimos cada punto en dicha ecuación, obtendremos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas (el cual podrá ser resuelto por cualquiera de los métodos: reducción, sustitución o igualación): 1² + D(1) + E(1) + F = 0 P1(1,1)

1+D+E+F=0 D + E + F = -1 → 1era ecuación. 2² + D(2) + E(2) + F= 0

P2(2,2)

4 + 2D + 2E + F = 0 2D + 2E + F = -4 → 2da ecuación. (-1 )² + D(-1) + E(5) + F= 0

P3(-1,5)

1 – D + 5E + F = 0 -D + 5E + F = -1 → 3era ecuación.

El sistema sería: D + E + F = -1 (1era Ecuación) 2D + 2E + F = -4 (2da Ecuación) -D + 5E + F = -1 (3era Ecuación) Resolviendo el sistema por el método de reducción: Simplificando la variable F en la 1era y 3era ecuación: D + E + F = -1 -D + 5E + F = -1

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Multiplicando por (-1) la primera ecuación, queda: -D - E - F = 1 -D + 5E + F = -1 -2D+ 4E

= 0 → (4ta. Ecuación).

Ahora simplificaremos la variable F en la 2da y 3era ecuación: 2D + 2E + F = - 4 (2da Ecuación) -D + 5E + F = -1 (3era Ecuación) Multiplicando por (-1) la segunda ecuación: -2D – 2E - F = 4 -D + 5E + F = -1 = 3 → (5ta. Ecuación).

-3D + 3E

Trabajemos, ahora, con las ecuaciones 4ta y 5ta: -2D + 4E = 0 (4ta Ecuación) -3D + 3E = 3 (5ta Ecuación) Multiplicando a la 4ta ecuación por (3) y a la 5ta por (-2): (3) (-2)

→ →

-2D + 4E = 0 -3D + 3E = 3

-6D + 12E = 0 6D + 3E = -6 6E= -6

→ E = -1

Sustituyendo el valor de E = -1 en la 4ta. ecuación: -2D + 4E = 0

→

-2D + 4(-1) = 0

→ -2D = 4

→ D = -2

Sustituyendo los valores de E = -1 y D = -2 en la 1era. ecuación: D + E + F = -1

→ (-2) + (-1) + F = -1 → -3 + F = -1 → F = 2

Sustituyendo los tres valores en la ecuación general x² + Dx + Ey + F = 0: x2 + (-2)x + (-1)y + 2 = 0 x² –2x – y + 2 = 0 Ecuación pedida. Lic. Giovanna Furioni M.12

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6° Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C(4,-1) y que pasa por el foco de la parábola x² = -16y. Demostrar, además, que dicha circunferencia es tangente a la directriz de la parábola.

Solución: Comenzaremos por determinar el foco de la parábola: Dada la ecuación de la parábola x² = -16y. Por transitividad, podemos igual 4py a -16y para obtener el valor de p: 4py = -16y Despejando: p =

− 16y 4y

→ p = -4 lo que indica que la parábola abre hacia

abajo. Entonces las coordenadas del foco serán: f (0,p ) → f (0, -4 ). La ecuación de la directriz: y = -p

→

y = -(-4)

→

y = 4.

Como ya tenemos las coordenadas del foco, f (0,-4), y el centro de la circunferencia, C (4, -1), podemos calcular el radio de ésta a través de la fórmula de la distancia entre dos puntos: d=

(y 2

− y 1 ) + (x 2 − x 1 ) = 2

2

(− 1 + 4)2 + (4 − 0)2

= 25 = 5

Calculemos la ecuación de la circunferencia: ( x - h) 2 + (y - k) 2 = r 2 Sustituyendo: (x – 4)² + (y +1)² = 5² Resolviendo: x² + y² – 8x + 2y – 8 = 0. Ecuación de la circunferencia. Ahora, para demostrar que la circunferencia es tangente a la directriz y = 4, encontraremos el punto de intersección entre ambas ecuaciones:

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(x − 4)2 + (y + 1)2

= 25 (I)

y=4 Sustituyendo y = 4 en la ecuación (l):

(x − 4)2 + (4 + 1)2

= 25

Resolviendo:

(x − 4 ) 2

=0

→

x = 4.

Entonces, el punto de intersección o en otras palabras el punto de tangencia será: P(4,4).

Punto de tangencia: P(4,4)

C(4,-1)

y=4

Ecuación de la Circunferencia: x² + y² - 8x +2y – 8 = 0

F(0,4) Ecuación de la Parábola x² = -16y

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7° Hallar la ecuación de la recta que es perpendicular en el punto medio del segmento que une el vértice de la parábola y2 + 4x + 8 = 0 y el centro de la circunferencia x2 + y2 - 4x - 8 = 0. Solución: Encontremos el vértice de la parábola: y2 + 4x + 8 = 0 y2 + 4x + 8 = O Ecuación dada. y2 = - 4x - 8 Despejando y2. y2 = -4(x + 2) Sacando factor común (-4) a la derecha de la igualdad. Si comparamos la ecuación obtenida con la ecuación canónica, podemos obtener el vértice V(h,k) → V(-2,0). Ahora, hallemos el centro de la circunferencia: x2 + y2 - 4x - 8 = 0. Si comparamos dicha ecuación con la ecuación general de la circunferencia, podremos obtener los valores de D y E: h=−

D −4 = = −2 2 2

y

k =−

E 0 =− =0 2 2

∴ El centro es C(2,O). Seguidamente, obtendremos el punto medio (Pm) del segmento que une los puntos V( -2,0) y C(2,0): Xm =

x1 + x 2 − 2 + 2 0 = = =0 2 2 2

y

ym =

y1 + y 2 0 + 0 0 = = =0 2 2 2

∴ El punto medio es Pm(O,O) Busquemos la pendiente de la recta que pasa por el vértice de la parábola V(-2,0) y por el centro de la circunferencia C(2,0): m=

y 2 − y1 0−0 0 = =0 = x 2 − x 1 2 − (− 2 ) 4

Como la pendiente es nula significa que se trata de una recta que es paralela al eje x, es decir, en este caso como pasa por el punto cero (es el eje X), o en otras palabras la recta y = 0.

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Además, la recta que buscamos pasa por el punto (0,0) y es perpendicular a la recta y = 0. La cual representa al eje Y, y posee como ecuación x = 0. Representación gráfica:

y² + 4x + 8 = 0 x² + y² - 4x – 8 = 0 Punto medio del segmento P(0,0)

Vértice de la Parábola V(-2,0)

C(2,0) Centro de la Circunferencia

y=0 Recta Perpendicular que pasa por el vértice de la parábola y el centro de la circunferencia

x=0

Ecuación Pedida

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8° Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el vértice y los puntos extremos del lado recto de la parábola x2 - 4y = 0. Solución: Para resolver este ejercicio, debemos obtener los tres puntos por los cuales pasa dicha parábola: vértice y extremos del lado recto. Seguidamente, se resolverá el sistema que se formará de tres ecuaciones con tres incógnitas para obtener la ecuación general de la circunferencia que pasa por dichos puntos. Partiremos de la ecuación de la parábola: x2 – 4y = 0. Sumando 4y a ambos lado de la igualdad y simplificando, tenemos: x2 = 4y. Como podemos observar, la ecuación resultante es la ecuación de la parábola con eje focal coincidente con el eje Y. Como la parábola posee la forma: x2 = 4py el vértice de la parábola será V(0,0). Calculemos, ahora, el valor de p: (el cual necesitamos para obtener el foco de la parábola). Sabemos que: 4p = 4

→

p = 1.

Ahora, calculemos el foco de la parábola: Sustituyendo el valor obtenido de p = 1, el foco será entonces: f(0,1) Necesitamos el foco de la parábola: f(0,1), para calcular los lados extremos (puntos) del lado recto. Seguidamente, calcularemos el lado recto de la parábola: Lr = 4P = 4(1) = 4 = 4

Ahora bien, como el lado recto es la cuerda que pasa por el foco y que además es perpendicular al eje focal de la parábola (en este caso el eje "y" nos indican que esas 4 unidades de longitud que posee están equidistante del foco f(0,1); por lo que el lado recto corta (toca) a la parábola en los puntos P1(-2,1) y P2(2,1). Lic. Giovanna Furioni M.17

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Necesitamos obtener los puntos extremos del lado recto para hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por tres puntos. Graficaremos los datos que tenemos:

x² = 4y

Lado Recto P1(-2,1)

F(0,1)

P2(2,1)

V(0,0)

Como podemos observar, el lado recto es la cuerda perpendicular al eje foca' y que pasa por el foco f(0,1) tocando (cortando) los extremos de la parábola. También sabemos que el lado recto es igual a 4 unidades, lo que quiere decir que esta a 2 unidades a la derecha y 2 unidades a la izquierda del foco; por lo cual pudiéramos afirmar que los extremos del lado recto son: P1(-2,1)

y

P2(2,1).

Como nos piden hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos extremos del lado recto y el vértice de la parábola, emplearemos a la ecuación general de la circunferencia para un sistema de ecuaciones con éstos tres puntos. Seguidamente, calcularemos la ecuación de la circunferencia que pasa por los tres puntos: P1(-2,1); P2(2,1) y P3(0,0). Tomemos la ecuación general de la circunferencia: x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0. Generaremos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:

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P1(-2,1): (-2)2 + 12 + D(-2) + E(1) + F = 0 5 -2D + E+ F = 0 (I). P2(2,1):

(2)2 + (1)2 + D(2) + E(1) + F = 0 5 +2D + E+ F = 0 (Il).

P3(0,0): 02 + 02 + D(0) + E(0) + F = 0 F = 0 (Ill). Resolviendo el sistema de ecuaciones, empleando el método de reducción: 5 -2D + E + F = 0 (I) 5 +2D + E + F = 0 (II) Multiplicando por (-1) a la ecuación II: 5 -2D + E + F = 0 -5 -2D - E - F = 0 -4D

=0

→

D = 0.

Sustituyendo D = 0 y F = 0 en la ecuación II: 5 + 2D + E + F = 0. 5 + 2(0) + E + F = 0

→ E = - 5.

Sustituiremos los valores obtenidos, E = -5, D = 0 y F = 0, en la ecuación general de la circunferencia: Ecuación general de la circunferencia: x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0. Sustituyendo los valores obtenidos: x2 + y2 + (0)x – 5y + 0 = 0. Resolviendo y ordenando: x2 + y2 – 5y = 0.

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9° Determinar geométricamente y analíticamente la intersección de las siguientes cónicas: 3y + x2 - 3x - 1 = 0 y - 3x2 + y2 + 9x - 7 = 0. Solución: Despejaremos la variable "y" en la ecuación: 3y + x2 - 3x - 1 = 0. y=

3x + 1 − x ² 3

Sustituiremos ahora la "y" en la segunda ecuación:

− 3x ² + y ² + 9 x − 7 = 0 Sustituyendo: 2

 3x + 1 − x ²  y = −3x ² +   + 9x − 7 = 0 3   Resolviendo: -27x2 + [(3x+1) – x2]2 + 81x – 63 = 0 Efectuando el producto notable: -27x2 + 9x2 + 6x + 1 –2 (3x +1)(x2) + x4 + 81 x – 63 = 0. Resolviendo la distributiva: -27x2 + 9x2 + 6x + 1 – 6x3 – 2x2 + x4 + 81 x – 63 = 0. Sumando los términos semejantes y ordenando: x4 – 6x3 – 20x2 + 87x – 62 = 0 Para obtener los puntos de intersección, resolvamos la ecuación aplicando RUFFINI: 1-

6

-20

87

-62

1

1

-5

-25

62

1

-5

-25

62

0

2

2

-6

-62

1

-3

31

0

Completando el polinomio: x2 – 3x – 3 = 0. Aplicando la resolvente, obtendremos las demás raíces: Lic. Giovanna Furioni M.20

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x=

− (− 3) ±

(− 3)2 − 4(1)(− 31) 3 ± = 2(1)

donde x1 = 7,265

y

9 + 124 3 ± 133 = 2 2

x2 = – 4,265

Entonces la factorización será: (x –1) (x –2) (x – 7,265) (x + 4,265). Sustituyendo los valores de "x" encontrados, en la ecuación y =

3x + 1 − x ² , 3

encontraremos los valores de "y" de cada uno de ellos: y=

Para x = 1

3x + 1 − x ² 3(1) + 1 − (1)² 3 + 1 − 1 3 = = = =1 3 3 3 3

∴ P1(1,1) Primer punto de intersección. y=

Para x = 2

3x + 1 − x ² 3(2) + 1 − (2)² 6 + 1 − 4 3 = = = =1 3 3 3 3

∴ P2(2,1) Segundo punto de intersección. Para x = 7,265 y = 3x + 1 − x ² = 3(7,265) + 1 − (7,265)² = 21,795 + 1 − 52,78 = − 29,985 = −9,995 3

3

3

3

∴ P3(7,265;-9,995) Tercer punto de intersección. Para x = -4,265

y=

3x + 1 − x ² 3(− 4,265) + 1 − (− 4,265)² − 12,795 + 1 − 18,19 − 29,985 = = = = −9,995 3 3 3 3

∴ P4(-4,265;-9,995) Cuarto punto de intersección. Gráficamente, podremos observar los puntos de intersección entre ambas ecuaciones: -3x² + y² + 9x – 7 = 0

3y + x² – 3x – 1 = 0

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10° Determinar la ecuación de la parábola sabiendo que su lado recto tiene como extremos los puntos (3,5) y (3,-3). Solución: Grafiquemos para obtener una visión más clara del ejercicio:

P(3,5)

V(1,1)

F(3,1)

P(3,-3)

Como sabemos el lado recto es una cuerda foca I perpendicular que pasa por el foco. Entonces, el foco se debe encontrar a la misma distancia de sus extremos. Para encontrarlo, hallemos el punto medio de los puntos: P(3,5) y P(3,-3). xm =

x1 + x 2 3 + 3 6 = = =3 2 2 2

y

ym =

y1 + y 2 5 − 3 2 = = =1 2 2 2

∴El punto medio será Pm(3,1). Entonces el foco será: f(3,1 ). Ahora, como necesitamos determinar el valor de p, nos apoyaremos en la definición de lado recto. Si vemos en la gráfica, el lado recto tiene una longitud de ocho (8), dado que la distancia entre estos dos puntos es:

d=

(y 2 − y 1 )2 + (x 2 − x1 )2

=

(3 − 3)2 + (5 + 3)2

Lo que nos permitiría afirmar que: Lr = 4 p

= 8² = 8

→ 4p = 8 Lic. Giovanna Furioni M.22

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Despejando obtenemos el valor de p: p = 2 → abre hacia la derecha, por ser positiva. Como p es la distancia entre el vértice y el foco, afirmaríamos que el vértice es: V(1,1). Ahora para obtener la ecuación de la parábola sustituiremos los valores obtenidos en la ecuación (y – k)2 = 4p(x – h). Sustituyendo: (y –1)2 = 4(2) (x –1) Resolviendo: y2 – 2y + 1 = 8x – 8 Igualando a cero y sumando términos semejantes: y2 – 2y – 8x + 9 = 0.

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11° Hallar la ecuación de una parábola cuyo vértice este sobre la recta 2y - 3x = 0, que cuyo eje es paralelo al de coordenadas " x" y que pase por los puntos Pl(3,5) y P2(6,-1). Solución: Dado que el vértice de la parábola esta sobre la recta 2y – 3x = O, podemos escribir ésta en términos de h y k: 2k – 3h = 0. Despejando h: h=

2k (I). 3

Ahora, como la parábola es paralela al eje "X" posee como ecuación: (y – k)2 = 4p(x – h). A continuación, sustituiremos a los puntos P1 y P2 para crear un sistema de ecuaciones: 2

2 ( 5 − k) 4p = (3 − h )2

P1 (3,5):

(5 – k) = 4p(3 – h); → Despejando 4p:

P2 (6,-1):

(-1– k)2 = 4p(6 – h); → Despejando 4p: 4 p =

(− 1 − k )2 (6 − h )2

(ll)

(lll).

Aplicando la ley transitiva a las ecuaciones (ll) y (lll):

(5 − k )2 (3 − h )2

=

(− 1 − k )2 (6 − h )2

Resolviendo: (5 –k)² (6 – h) = (-1 – k)² (3 – h). Resolviendo el producto notable: (25 – 10k + k2) (6 – h) = (1 + 2k +k2) (3 – h). Efectuando el producto: 150 + 60k + 6k² –25h + 10kh – k2h = 3 + 6k +3k² – h – 2kh – k2h. Simplificando igualando acero: 150 – 60k + 6k2 –25h +10kh – 3 – 6k – 3k2 + h + 2kh = 0. Lic. Giovanna Furioni M.24

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Sumando términos semejantes: 147 – 66k + 3k2 – 24h + 12kh = 0. Sustituyendo la ecuación (I): h =

2k 3

 2k   2k  147 - 66k + 3k² - 24  + 12k   = 0 .  3   3  Efectuando el producto: 147 – 66k + 3k2 – 16k + 8k2 = 0. Sumando: 11k2 – 82k + 147 = 0. Apliquemos la resolvente para determinar las raíces de dicho polinomio: k=

(82)2 − 4(11)(147 ) 82 ± = 2(11)

82 ±

donde k1 =

82 + 16 49 = 22 11

6.724 − 6.468 82 ± 256 82 ± 16 = = 22 2 22 k2 =

y

82 − 16 =3 22

Sustituyendo los valores obtenidos en la ecuación (1): 2k – 3h = 0 k1 =

49 11

k2 = 3

 49  → 2  − 3h = 0  11 

→

h1 =

→ 2(2 ) − 3h = 0

→

h2 = 2

98 33

Entonces, los vértices para cada una de las ecuaciones serán: V1(h1,k1) →

 98 49  V1 =  ,   33 11 

y

V2(h2,k2) →

V2 = (2,3)

Busquemos ahora el valor de p, para cada una de las ecuaciones:  98 49  Con el P1(3,5) y el vértice V1 =  ,  :  33 11  (h – k)² = 4p(x – h). Sustituyendo: 2

49  98     5 −  = 4 p 3 −  11  33    Lic. Giovanna Furioni M.25

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Sacando m.c.m en cada uno de los paréntesis: 2

 55 − 49   99 − 98    = 4p   11   33  Efectuando las sustracciones dentro de los paréntesis: 2

 1  6   = 4p   33   11  Resolviendo la potencia, despejando (4p) y aplicando la doble "c": 4p =

1188 121

Despejando p: p=

1188 484

Simplificando: p=

27 11

Sustituyamos los valores encontrados de h, k y p para obtener la primera ecuación: (y – h)² = 4p(x – h). Sustituyendo: 2

49  98   27    y −  = 4  x −  11  33   11   Resolviendo: y² −

98 2401 108  98  y+ = x −  11 121 11  33 

Efectuando la distributiva e igualando a cero: y² −

98 2401 108 10.584 y+ − x+ =0 11 121 11 363

Sacando m.cm: − 363y ² − 3.234y + 7.203 − 3.564 x + 10.584 =0 363 Lic. Giovanna Furioni M.26

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Sumando los términos independientes y simplificando: 363y² + 1078y – 1188x + 5929 = 0. Simplificando: 33y2 – 98y – 108x + 539 = 0. 1era Ecuación. Calculemos el valor de p, partiendo de la ecuación: (y – k)2 = 4p(x – h). Recordemos que: k2 = 3; h2 = 2; debido a que el vértice es V2(2,3) y el punto P2(6,-1 ). Hallemos el valor de p: (y – k)² = 4p(x – h). Sustituyendo: (-1 – 3)2 = 4p(6 – 2). Resolviendo: (-4)2 = 4p (4)

→

p = 1.

Sustituyendo los valores de h, k y p para obtener la segunda ecuación: (y – k)² = 4p(x – h). Sustituyendo: (y – 3)² = 4(1) (x – 2) Resolviendo: y2 – 6y + 9 = 4x – 8 Ordenando y sumando: y² – 6y – 4x + 17 = 0. 2da Ecuación.

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12° Hallar la ecuación de la recta que es perpendicular en el punto medio del segmento que une al centro de la curva: y2 + x2 - 4x = 8 y al vértice de la parábola y2 - 4x + 8 = 0. Solución: Comencemos por obtener el centro de la curva: y2 + x2 – 4x = 8. Asociando los términos que poseen variables "x": y2 + (x2 – 4x) = 8. Completando cuadrados en la variable "x": y2 + (x –2)2 – 4 = 8. Sumando términos semejantes: y2 + (x –2)2 = 12 Ordenado: (x – 2)2 + y2 = 12. Como se puede observar se trata de una circunferencia, cuyo centro es: C(2,0). Ahora, obtengamos el vértice de la parábola: y2 – 4x + 8 = 0 Despejando la variable "y2": y2 = 4x – 8. Extrayendo factor común de 4 a la derecha de la igualdad: y2 = 4(x – 2). Si la comparamos con la ecuación canónica de la parábola con eje focal coincidente con el eje "X", y2= 4px, podemos obtener el vértice de la parábola: ∴V(0,0) Seguidamente, podremos construir en un sistema de coordenadas el segmento que une el centro de la curva C(2,0) y el vértice de la parábola V(0,0): y

Segmento que une al C(2,0) de la Circunferencia con el vértice V(0,0) de la Parábola

Representa el vértice de la Parábola

V(0,0)

Pm (1,0)

x

C(2,0)

Representa el centro de la Circunferencia

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Ahora debemos calcular el punto medio de dicho segmento: xm =

x1 + x 2 2 + 0 2 = = =1 2 2 2

y

ym =

y1 + y 2 0 + 0 0 = = =0 2 2 2

∴El punto medio será Pm(1,0). Para concluir, debemos calcular la ecuación de la recta que es perpendicular al segmento y pasa por el punto medio hallado: Pm (1,0). Calculemos la pendiente del segmento: m=

y 2 − y1 0 − 0 0 = = =0 x 2 − x1 0 − 2 − 2

Como la pendiente del segmento es cero, m = 0, la pendiente de dicho segmento es nula lo que indica que es paralela al eje "X". Pero como lo que deseamos es hallar la pendiente que sea perpendicular a esta debe ser recíproca y de signo contrario a la que acabamos de hallar, es decir: mseg =

0 −2

recíproca y de signo contrario: mrecta =

Como tenemos la pendiente de la recta m recta =

−2 2 = 0 0

2 y el Pm(1,0), podemos 0

hallar la ecuación de la recta, a través de la ecuación punto-pendiente: y - y 1 = m(x - x 1 )

Sustituyendo los valores: y –0=

2 (x –1) 0

Multiplicando a ambos lados por cero y simplificando a la derecha: 0(y – 0) = 2(x – 1) Efectuando el producto y la propiedad distributiva: 0 = 2x – 2 Despejando a la variable "x": x = 1.

Ecuación pedida.

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13° Hallar la intersección analítica y gráfica de las siguientes curvas: x = y – y2 y x2 = 2y. Solución: Para determinar el (Ios) punto(s) de intersección entre los dos lugares geométricos emplearemos el método de sustitución: Sustituiremos ala ecuación x2 = 2y en la ecuación x = y – y2. x2 = 2y Ecuación dada. Despejando la variable y: x² 2

y=

Sustituyendo

x² en la ecuación dada: x = y – y2. 2

 x²   x²  x =  −   2  2

2

Resolviendo:

x =

x2 x4 − 2 4

Sacando m.c.m.: x=

2x 2 − x 4 4

Multiplicando por 4 a ambos lados de la igualdad y simplificando al mismo en la parte derecha de ésta: 4x = 2x 2 − x 4 Igualando a cero y multiplicando por (-1) toda la ecuación: x4 – 2x2 + 4x = 0 Lic. Giovanna Furioni M.30

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Extrayendo factor común "x": x(x3 – 2x + 4) = 0 Obtendremos dos soluciones la primera x1 = 0 y la segunda de la obtención de raíces del polinomio: x3 – 2x + 4, para lo cual aplicaremos Rufinni: Completando el polinomio: x3 + 0x2 – 2x + 4 1

0 -2

-2 4

4 -4

1

-2

2

0

-2

Factorizando obtendremos: (x + 2) (x2 – 2x + 2), de la cual podremos obtener otra solución: x+2=0

→

x2 = -2.

Dado que el polinomio restantes es de segundo grado, se aplicó la resolvente 1 determinar si dicho polinomio, x2 – 2x + 2, poseía raíces reales. x2 – 2x + 2 = 0 → No tiene raíces reales. Sustituyendo los valores obtenidos x1 = 0 y x2 = -2 en la ecuación x2 = 2y: (puede haberse escogido la otra). Para x1 = 0:

02 = 2y

→

2y = 0

→ y1 = 0.

Para x2 = -2

(-2)2 = 2y →

4 = 2y

→

y2 = 2.

Entonces los puntos de intersección serán: ∴P1(0,0)

y P2(-2,2)

2

x=y–y

2

x = 2y.

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EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Hallar la ecuación de la parábola cuyo foco es (3,0) y posee como directriz x + 3 = 0. Resp. y2 = 12x ó

y2-12x = 0.

2. La directriz de una parábola es la recta y – 1 = 0 y su foco f(4,-3). Hallar la ecuación le la parábola. Resp. x2 – 8x + 4y + 8 = 0. 3. Hallar la ecuación de la parábola de foco f(0,8) y directriz el eje x. Resp. x2 -16y + 64 = 0. 4. Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice y foco son los puntos V(3,3) y f(3,1) respectivamente. Hallar también la ecuación de la directriz y la longitud del lado recto. Resp. x2 - 6x - 8y -15 = 0. Ecuación directriz: y = 5. Longitud del lado recto: Lr = 8. 5. Encontrar la ecuación de la parábola que tiene como directriz la recta y = 1 y foco (-3,7). Resp. x2 + 6x - 12y + 57 = 0. 6. Determine la ecuación de la parábola que tiene como vértice (1,4) y foco el punto (2,4). Resp. y2 - 4x - 8y + 20 = 0. Lic. Giovanna Furioni M.32

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7. Dada la ecuación de la parábola: y2 + 6x + 8y + 1 = 0. Encontrar el vértice, el foco y la directriz. Resp. V(5/2,-4); f(1,-4); x = 4. 8. Encontrar la ecuación de la parábola que tiene por foco el punto f(0,-3) y directriz y = 3. Res. x2 = -12y

ó

x2 + 12y = 0.

9. Escribir la ecuación de la parábola cuyo vértice es el punto (2,3) sabiendo que su eje es paralelo al eje "y" y pasa por el punto (4,5). 10. Hallar la ecuación de la parábola cuyos vértices y foco son (-4,3) y (-1,3) respectivamente. Hallar, además, la ecuación de la directriz y el lado recto. 11. Hallar la ecuación de la parábola de vértice en la recta 7x + 3y = 4 de eje horizontal y que pasa por los puntos P1(3,-5) y P2(3/2,1 ). 12. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el centro de la curva cuya ecuación es: 4x2 + 4y2 = 12x + 16y + 75 y por el vértice de la parábola y2 + 6x + 8y + 10 = 0. 13. Hallar el(los) punto(s) de intersección de las curvas: x – y = x2 y y + 3 = x2.

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