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UNIVERSIDAD NACIONAL “PEDRO RUIZ GALLO” ´ FACULTAD DE CIENCIAS F´ISICAS Y MATEMATICAS ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA ELECTRONICA

trabajo de Matematica Basica

´ “PARABOLA”

Presentado por:

Burga Regalado Alexander Cruz Ugaz Carlos Joel Flores Cruz Efrain Fustamamnte Bustamante Ricardo Jauregui Seclen Franco

´ LAMBAYEQUE − PERU 2012

Codigo: 112369 G Codigo: 112374 K Codigo: 115658 J Codigo: 112377 J Codigo: 115660 D



Serie de Ejercicios de Par´abola

P´ agina: 2


1. Halle el vertice , el foco y la ecuaci´on de la directriz , de cada una de las siguientes parabolas . a) x2 − 4x − y + 3 = 0 (x2 − 4x + 4) − 4 − y + 3 = 0 (x − 2)2 = (y + 1) V = (2, −1) p =

1 4

>0

F = (2, −1 + 14 ) → F = (2, −3/4) directriz: L : y = −1 − 1/4 =

−5 4

b) 3y 2 − 4x + 12y + 16 = 0 (y + 2)2 = ( 43 )(x − 1) V = (1, −2) p =

1 3

>0

F = (1 + 13 , −2) → F = (4/3, −2) directriz: L : x = 1 − 1/3 =

2 3

c) 4x2 − 8x − 3y − 2 = 0 4(x2 − 1x) = 3(y + 2) (x − 1)2 = ( 34 )(y + 2) V = (1, −2) p = F = (1, −2 +

3 ) 16

3 16

>0

→ F = (1, −29/16)

directriz: L : y = −2 − 3/16 =

−35 16

d ) y 2 − 6x + 6y + 15 = 0 (y + 3)2 = 6(x − 1) V = (1, −3) p =

3 2

>0

F = (1 + 32 , −3) → F = (5/2, −3) directriz: L : x = 1 − 3/2 = 2. Halle la ecuaci´on de la parabola a) V = (2, 5),

F = (2, −3)

−1 2



Serie de Ejercicios de Par´abola

P´ agina: 3
(x − 2)2 = 4p(y − 5)

F = (2, 5 + p) = (2, 3) 5 + p = −3

(x − 2)2 = −32(y − 5)

p = −8 Y

Y R

S x

b) V = (5, 2), F = (7, 2) F = (5 + p, 2) = (7, 2)

(y − 2)2 = 4p(x − 5) (y − 2)2 = 8(x − 5)

p=2 Y

V

F

2

7

5

X

c) L : y = 5, F = (7, −2) 2p = 5 − (−2) (x − 7)2 = 4( −7 )(y − 3) 2 p=

7 2

(x − 7)2 = −14(y − 3)

V 3/2

7 −2

F



Serie de Ejercicios de Par´abola

P´ agina: 4


d ) L : x = −2 y V = (5, −1) p = 5 − (−2) (y + 1)2 = 4p(x − 5) p=7

(y + 1)2 = 28(x − 5)

F = (5 + 7, −1) F = (12, −1) e) V = (2, 6) y extremos del lado recto (6,8) y (-2,8) |AB| = 4p (x − 2)2 = 4p(y − 6) √ 82 = 4p (x − 2)2 = 8(y − 6) p=2 f) L : x = −1 y del punto (7,1) 2p = 7 − (−1) (y − 1)2 = 4p(x − 3) p=4

(y − 1)2 = 16(x − 3)

V = (7 − 4, 1) F = (3, 1)

DIRECTRIZ

V −1

F

1 3

7

3. Demuestre que la longitud del lado recto de cualquier par´abola mide 4|p| unidades RR′ : lado recto d[F, L] = 2|p| d[R, R′ ] = 2d[R, F ] Ademas d[R, F ] = d[R, L] = d[F, L] entonces d[R, R′ ] = 2d[R, F ] = 2d[p, L] = 2(2|p|) d[R, R′ ] = 4|P | 4. El ancho de un reflector parabolico es 12m y su profundidad es 4m. Localizar el foco Diametro = 12m , r=6m Ecuacion x2 = 4py (6, 4) ∈ P : x2 = 4py



Serie de Ejercicios de Par´abola

P´ agina: 5


x2 = 4py 62 = 4p(4) 36 = 4p(4) → p = 9/4 Foco a 9/4 del vertice Y 6m

12

(6,4)

4m

X

5. Halle la ecuacion y la longitud del lado recto de la parabola con vertice y foco en (5,6). Encuentre ademas los extremos del lado recto. V = (2, 2),

F = (5, 6)

vector unitario =VF F −V =

(3,4) 5

Ecuacion del lado recto LRR′ : (5, 6) + T (−4, 3) (x, y)(3, 4) = (5, 6)(3, 4) 3x + 4y = 15 + 24 → 3x + 4y = 39 Longitud de RR′ d(V, F ) = |p| ∥(3, 4)∥ = p p>0→p=5 d[RR′ ] = 4|p| d[RR′ ] = 4(5) → d[RR′ ] = 20 Extremos del lado recto: Vector unitario V F ⊥ F R = 2P V R − F = 2(5)( −4,3 ) 5 R − (5, 6) = (−8, 6) R = (−3, 12)



Serie de Ejercicios de Par´abola

P´ agina: 6


F R′ = 2P V ⊥ R′ = F + 2(5)( 4,−3 ) 5 R′ = (5, 6) + (8, −6) R′ = (13, 0) y

P

6

F

V P’

5

x

6. Dado los 3 puntos (−1, 2), (1, −1) y (2, 1) a) Halle la ecuacion de la recta paralela que pase por los puntos dados y talque su eje focal sea paralelo al eje X P : y 2 + ay + bx + c = 0 (−1, 2) ∈ P → 2a − b + c = −4 . . . (α) (1, −1) ∈ P → −a + b + c = −1 . . . (β) (2, 1) ∈ P → a + 2b + c = −1 . . . (θ)

Sumando (α) y (β) a + 2c = −5 . . . (A) a − 32/7 = −5 a = −3/7 Restando (2α) y (θ) 5a + 3c = −9 . . . (B) Restando (5A) y (B) 5a + 10c = −25

∧

−5a − 3c = 9

→ c = −16/7 En (β) → −a + b + c = −1 3 7

+b−

16 7

= −1 → b = 6/7



Serie de Ejercicios de Par´abola P : y 2 − 37 y + 67 x −

16 7

P´ agina: 7
=0

P : 7y − 3y + 6x − 16 = 0 2

b) Halla la ecuacion de la parabola que pasa por los puntos dados y tal que su eje focal sea paralela al eje y P : x2 + ax + by + c = 0 (−1, 2) ∈ P → −a + 2b + c = −1 . . . (γ) (1, −1) ∈ P → a − b + c = −1 . . . (α) (2, 1) ∈ P → 2a + b + c = −4 . . . (β)

Sumando (α) y (β) b + 2c = −2 . . . (i) Restando (2γ) y (β) −2a + 4b + 2c = −2

∧

2a + b + c = −4

5b + 3c = −6 . . . (u) Restando (i) y (u) (b + 12c = −2)5

∧

−10c + 3c = 4 → c =

5b + 3c = −6 −4 7

→ en (u): 5b = −6 − 3(−4/7) → b =

−6 7

Luego en (α): a + 67 −

4 7

= −1 → a =

P : x2 − 97 x − 76 y −

9 7

−9 7

=0

P : 7x2 − 9x − 6y − 4 = 0 7. Grafique la ecuaci´on (2x + y − 3)(x2 + y 2 − 4)(x2 − 8y) = 0 Se iguala cada uno de los parentisis a cero obteniendose: Una recta (2x + y − 3) Una circuferencia (x2 + y 2 − 4) Una parabola (x2 − 8y)



Serie de Ejercicios de Par´abola

P´ agina: 8
Y

L

(0,3) P

(2,0)

X

C

8. Demuestre que los centros de todas las cuerdas de la par´abola de ecuaci´on x2 = 4py, con pendiente m=3, se encuentran en una recta, y halle la ecuaci´on de esta recta. Considere P > 0 P : x2 = 4py Y

P

P2

m2

P1

L2

L1

m1 P2 P1

X

L

P1 = (x1 , y1 ) P 1 = (x1 , y 1 ) P2 = (x2 , y2 ) P 2 = (x2 , y 2 ) Considere la familia de cuerdas paralelas {Lα : y = mx + bα } pero m = 3 ⇒ {Lα : y = 3x + bα } ahora, Lα ∩ P x2 = 4p(3x + bα ) 2 x =0 8 − 12px − 4pbα √

>> AD = D − A = (−p + a, y0 ) = FP −→ >< DP = P − D = (x0 + p, 0) = AF Lqqd > −→ −→ >> AP = (x0 + a, y0) ; − DF = (2p, −y0 ) , donde

>:

= (x0 − p, y0 )

= (a − p, y0 )

⇒

= (P + a, 0) −→−−→ AP DF

= (x0 + P, 0)

⇒

= 4px0 − y0

= (2x0 , y0 )

L

= (9x0 , y0 )(2p, −y0 )

Y L

D

A(−a,0)

P(x0,y0)

X

F(p,0)

17. Halle angulo formado por las rectas que pasan por el origen y por los puntos que trisecan la cuerda 2x + 3y − 12 = 0 de la parabola 2x2 − 9y = 0 x2 = 98 y,

p=

9 8

*A ∈ L,

2a + 3b = 12 → a =

*A ∈ P,

a2 = 92 b → b =

Y

12−3b 2

2a2 9

2

⇒ 2a + 3( 2a9 ) − 12 = 0

L1

a2 + 3a − 18 = 0

L2

A B

(a + 6)(a − 3) = 0 * si a = 3 entonces b = 2 → A = (3, 2)

X

si a = 6 entonces b = 8 → B = (−6, 8) mL1 = 2/3,

mL2 = −4/3 → tan α =

tan α = 18 → α = arctan(18)

2 + 43 3 1− 89



Serie de Ejercicios de Par´abola



P´ agina: 15 

18. Una piedra arrojada hacia arriba formando un angulo agudo con la horizontal describe el arco de una parabola y a una distancia de 16m , halle el parametro p de ´esta par´abola, si la altura m´axima alcanzada es 12m.

Y

x2 = 4py

X

2

8 = 4p(12) 64 24

=p

p=

12

4 3

16

19. En la parabola y 2 = 8x encuentra un punto para el cual su vector focal mide 10 unidades D(P, F ) = (x − 2)2 + y 2 = 100 (x − 2)2 + 8x = 100

R

x − 4x + 4 + 8x = 100 2

11

x2 + 4x − 96 = 0

F(1,0)

(x−8)(x+12) = 0 entonces x = 8 y x = −12 y 2 = (8)(8) entonces y = ±8

10

p = (8, ±8)

R’

√ → R′ = (a, − 8a) = (8, −8) 20. Halle la ecuacion de la cuerda comun a la parabola y 2 = 18x , y a la circuferencia (x + 6)2 + y 2 = 100 L:x=2 21. Halle en la parabola x2 = 4y un punto para el cual su vector focal mide 17 unidades A ∈ P : x2 = 4y → a2 = 4b √ a = ±2 b √ √ A = (2 b, b), B = (−2 b, b)



Serie de Ejercicios de Par´abola

C : (x + 6)2 + y 2 = 100, c = (−6, 0),



P´ agina: 16 

P : y 2 = 18

A(2,4)

r = 10

→ (x + 6)2 + 18x = 100 (−6,0)

x2 + 30x − 64 = 0

F

(4,0)

(x − 2)(x + 32) = 0 pero x > 0 → x = 2

B(2,−4)

→ d[f, A] = 17 √ (2 b)2 + (b − 1)2 = 289 b2 + 2b − 288 = 0 → (b + 18)(b − 16) = 0 pero b > 0 → b = 16

A B

17

17

F(0,1)

√ A = (2 b, b) = (8, 16),

√ B = (−2 b, b) = (−8, 16)

22. El espejo del faro de un auto tiene la forma de una parabola en su seccion transversal, halle el parametro de esta parabola , si el diametro del faro mide 20cm y la profundidad de 15 cm. El eje OX es eje del faro y el origen se ubica en la parte profunda del espejo Diametro AB = 20,

r = 10

→ (15, 10) ∈ P : y 2 = 4px 102 = 4(15)p → p = 5/3



Serie de Ejercicios de Par´abola



P´ agina: 17  Y A

(15,10)

10 15 X

B

23. Halle la longitud de la cuerda focal de la par´abola y 2 + 8x = 0, que sea paralela a la recta 4x + 3y = 7. y 2 = −8x, −4 3 −4 L//Lc entonces mLC = 3 entonces LC : y − 0 = −4 (x + 3

L : 4x + 3y = 7,

P = −2 entonces F = (−2, 0)

mL =

2)

LC : 3y = −4x − 8 Hallando los puntos de contacto de LC con la circuferencia , y 2 = −8x entonces −y 2 8

x=

entonces 3y = −4( −y8 ) − 8 2

3y =

y2 8

− 8 entonces 6y = y 2 − 16 entonces y 2 − 6y − 16 = 0

(y − 8)(y − 2) = 0 Si y = 8 ⇒ x = −8 ⇒ P0 = (−8, 8) Si y = −2 ⇒ x = − 12 ⇒ Q0 = (− 21 , −2)

È

È 225

Luego la distancia entre las dos rectas es : D=

(−8 + 12 )2 + (8 + 2)2 =

4

+ 100 = D=

È 625 4

25 2

24. Demuestre que la longitud del radio vector (vector focal) de cualquier punto p = (x1 , y1 ) de la parabola y 2 = 4px es ||x1 + p| p ∈ P : y 2 = 4px,

È

FP = =

È

(x1 , y1 ) − (p, 0)

(x1 − p)2 + y12 =

|F P | =

y12 = ypx1

È

(x1 + p)2

|F P | = |x1 + p|

È

x21 − 2x1 p + p21 + 4px1



Serie de Ejercicios de Par´abola



P´ agina: 18  Y

P(X,Y)

F(P,0) X

25. Halle la longitud del vector focal del punto de la parabola de ecuacion y 2 −16x = 0 cuya ordenada sea igual a 12 y 2 − 16x = 0,

V = (0, 0),

4p = 16 → p = 4 > 0

È

d[P, F ] = d[P, L] ( (4 − x)2 + (−122 ))2 = |x + 4|2 → x = 9 |F P | = PF = (9, 12) − (4, 0) = (5, 12) Y

(x,12)

12

F

(4,0) X

d(P, F ) = 13 26. Halle la ecuaci´on de la circuferencia que pasa por el vertice y los extremos del lado recto de la parabola y 2 = 4x V = (0, 0)

4p = 4 → p = 1

Ecuacion de la circuferencia: C : x2 + y 2 + Ax + By + C = 0 (0, 0) ∈ C : (0)2 + (0)2 + A(0) + B(0) + C = 0 → C = 0 (1, 2) ∈ C : (1)2 + (2)2 + A(1) + B(2) + 0 = 0 → A + 2B = −5 . . . (1) (1, −2) ∈ C : (1)2 + (−2)2 + A(1) + B(−2) + 0 = 0 → A − 2B = −5 . . . (2) de (1) y (2) tenemos: A=-5 y B=0 C : x2 + y 2 − 5x = 0



Serie de Ejercicios de Par´abola



P´ agina: 19  Y

(1,2)

2

X

F(1,0)

2

(1,−2)

27. Demuestre que los extremos del lado recto de una parabola cualquiera se une mediante rectas tangentes a la parabola con el punto de interseccion del eje focal y la directriz Sea y 2 = 4px,

p>0

La 8 ecuaci´on de la cuerda que pasa por el foco perpendicular al eje es x = +p < y2 = 4px 2 2 : x = p ⇒ y = 4p ⇒ y = ±2

8 < R(p, 2p) : R′(p, −2p)

⇒ y 2 = 4p2 ⇒ y = ±2

Ademas L : x = −p Luego mL1 = L1 :

2p 2p

=1

y = mx + b

mL2 = L2 :

2p −2p

= −1

y = mx + b

2p = 1(p) + b

−2p = −1(p) + b

b=p

b = −p

L1 : x − y + p = 0

L2 :

x+y−p=0 Y

L

R(p,2p)

(−p,0) V(0,0)

F(p,0) X

R’(p,−2p)

Luego L1 ∩ L2 : 2x + 2p = 0 entonces x = −p y y = 0 28. Una circuferencia cuyo centro es el punto (-1,4) pasa por el foco de la parabola y 2 + 16x = 0 Demuestre que es tangente a la recta directriz de la parabola y 2 + 16x = 0 y 2 = −16x → p = −4



Serie de Ejercicios de Par´abola



P´ agina: 20 

(x + 1)2 + (y − 4)2 = 52 en x=4 tenemos: (4 + 1)2 + (y − 4)2 = 25 → y = 4 L Y

C(−1,4)

F(−4,0)

(0,0) X

x=4

entonces el punto de tangencia es: (4,4) 29. Demuestre que la longitud del radio vector (o vector focal) de cualquier punto P (x1 , y1 ) de la parabola (y − k)2 = 4p(x − h) es igual a |x1 − h + p| y de la parabola (x − h)2 = 4p(y − k) es igual a |y1 − k + p| (y − k)2 = 4p(x − h) p ∈ P entonces (y1 − k)2 = 4p(x1 − h) |F P | =

È

È

(x1 − h − p) È = (x1 − h)2 − 4(x1 − h) + p2 + 4p(x1 − h) È = (x1 − h)2 + 2p(x1 − h) + p2 È 2 =

(x1 − h − p)2 + (y1 − k)2 =

2

+ 4p(x1 − h)

[(x1 − h) − p]

|F P | = x1 − h − p (x − h)2 = 4p(y − k) p ∈ P entonces (x1 − h)2 = 4p(y1 − k) |F P | = =

È

È

(x1 − h)2 + (y1 − k − p)2 =

È

4p(y1 − k) + [(y1 − k) − p]2

4p(y1 − k) + (y1 − k)2 − 2p(y1 − k) + p2

|F P | = y1 − k + p 30. Halle la longitud del vector focal del punto de la parabola de ecuacion x2 + 4y + 2x − 19 = 0. cuya abscisa es 3 x2 + 2x + 1 − 1 = 19 − 4y (x + 1)2 = −4y + 20 (x + 1)2 = −4(y − 5) → p = −1

È

d[P, F ] = d[P, L] ( 42 + (y − 4)2 )2 = |y − 6|2



Serie de Ejercicios de Par´abola



P´ agina: 21 

y=1 |F P | = P − F |F P | = (3, 1) − (−1, 4) Y y=6

V

(−1,5)

F(−1,4) p(3,y)

3

−1

X

|F P | = 5 31. Halle e identifique la ecuaci´on del lugar geometrico del centro de una circuferencia que es siempre tangente a la recta x=1, y a la circuferencia de ecuaci´on x2 +y 2 = 9.

L

Y

p(h,k)

C

C

V1

V2

c

X

x=1

a) L : y − 0 = hk x ⇒ L : y = hk x ⇒ L ∩ C = Q(x, y) x2 + y 2 = 9 ⇒ x2 + ( hk x)2 = 9 2

√ 9h h2 +k2

8 0

V = (0, 0),

y = mx + b y = −x + b pero y 2 = 8x y 2 = 8(b − y) y 2 + 8y − 8b = 0 = y 2 + 8y + 16 −8b = 16 b = −2 Y

L:m=−1

(2,4)

F(2,0) X 2p

(2,−4)

→ y = −x − 2 34. Halle la ecuaci´on de la recta tangente a la parabola de ecuaci´on: x2 +4x+12y−8 = 0 que sea perpendicular a la recta de ecuaci´on 3x − y + 1 = 0 x2 + 4x + 12 y − 8 = 0 x2 + 4x + 4 − 4 + 12y − 8 = 0 (x + 2)2 = −12y + 12 (x + 2)2 = −12(y − 1) . . . (1) L : 3x − y + 1 → m = 3 pero LT ⊥ L → mT .m = −1 ⇒ mT = −1/3 LT : y = mx + b → y =

−1 x 3

+ b . . . (2)

de (1) y (2) tenemos: x + 12b − 8 = 0 a = b2 − 4ac = 0 2



Serie de Ejercicios de Par´abola



P´ agina: 25 

0 − 4(1)(12b − 8) = 0 −48b + 32 = 0 → b = 2/3 reemplazando en (2) tenemos: y=

−1 x 3

+

2 3

→ LT : 3y = 2 − x

35. Halle la ecuaci´on de la recta tangente a la parabola y 2 − 2x + 2y + 3 = 0 que sea paralela a la recta x − 2y + 4 = 0 y 2 − 2x + 2y + 3 = 0 y 2 + 2y + 1 − 1 − 2x + 3 = 0 (y + 1)2 = 2(x − 1) . . . (1) → V = (1, −1) LT : y = mx + b L : x − 2y + 4 = 0(m = 1/2) L//LT → m = mT → mT = 1/2 y = 21 x + b . . . (2) de (1) y (2): x2 + (4b − 4)x + 4b2 + 8b + 12 = 0 a = (4b − 4)2 − 4(1)(4b2 + 8b + 12) = 0 16b2 − 32b + 16 − 16b2 − 32b − 48 = 0 → b = −1/2 LT : y =

x 2

−

1 2

x = 2y + 1 36. Halle las ecuaciones de las rectas tangentes tratadas desde el punto (3, −3) a la parabola x2 − 3y − 8x + 10 = 0 x2 − 3y − 8x + 10 = 0 x2 − 8x + 16 − 16 − 3y + 10 = 0 (x − 4)2 = 3(y + 2) . . . (1) → V = (4, −2) L : y = mx + b, pero (3, −3) ∈ L −3 = m(3) + b → b = −3 − 3m y = mx − 3 − 3m . . . (2) (2) en (1) tenemos: x2 − 8x + 16 = 3(mx − 3 − 3m + 2) x2 − x(8 + 3m) + 19 + 9m = 0 a = (8 + 3m)2 − 4(1)(19 + 9m) = 0 64 + 48m + 9m2 − 76 − 36m = 0 9m2 + 12m − 12 = 0 → m = 2/3 Reemplazando los valores de m

m = −2



Serie de Ejercicios de Par´abola



P´ agina: 26  Y

L

4

X

−2 V −3

y = −2x + 3

∧

y = 23 x − 5

37. Halle las ecuaciones de las recas tangentes trazadas desde el punto (4, 1) a la parabola x2 + 3y − 6x + 9 = 0 x2 + 3y − 6x + 9 = 0 (x − 3)2 = −3y . . . (1) → V = (3, 0) (4, 1) ∈ L 1 = m(4) + b → b = 1 − 4m y = mx + 1 − 4m . . . (2) De (2) en (1) tenemos: x2 − 6x + 9 = −3(mx + 1 − 4m) x2 − x(6 − 3m) + 12 − 12m = 0 a = (6 − 3m)2 − 4(1)(12 − 12m) = 0 3m2 + 4m − 4 = 0 → m = 2/3 m = −2 Reemplazando m en y tenemos: Y L:y=mx+b

1

1

3y = 2x − 5

∧

y = −2x + 9

2

3

4

X



Serie de Ejercicios de Par´abola



P´ agina: 27 

38. Halle el angulo agudo formado por las tangentes a la parabola de ecuaci´on y 2 + x − 4y + 6 = 0 trazadas desde el punto (1,1) Sea LT : y − 1 = m(x − 1),

P : y 2 + x − 4y + 6 = 0

y = mx − m + 1 En P se tiene: m2 x2 + m2 + 1 − 2m2 x + 2mx − 2m − 4mx + 4m − 4 + x + 6 = 0 x2 m2 − x(2m2 + 2m − 1) + (m2 + 2m + 3) = 0 △=0

8 < m2 12m2 + 4m − 1 = 0 ⇒ (6m − 1)(2m + 1) = 0 : m1

(2m2 + 2m − 1)2 − 4m2 (m2 + 2m + 3) = 0

tan θ =

m2 −m1 1+m1 .m2

=

1 + 12 6 1 1− 12

=

173 6 11 12

=

=

1/6

= −1/2

8 11 Y

L:y=mx+b

L1

1

1

−2

X

8 θ = arctan( 11 )

39. Con respecto a la parabola y 2 − 2x + 6y + 9 = 0; halle los valores de T para los cuales las rectas de familia x + 2y + T = 0 a) cortan a la parabola en dos puntos diferentes. b) son tangentes a la parabola. c) no cortan a la parabola. y 2 − 2x + 6y + 9 = 0; halle los valores de T, los cuales las rectas de la familia x + 2y + T = 0 teneos que x = −2y − t Reemplazando en la ecuacion de la parabola y 2 − 2(−2y − t) + 6y + 9 = 0 y 2 + 4y + 6y + 2t + 9 = 0 y 2 + 10y + 2t + 9 = 0, tenemos que

a

= descriminante



Serie de Ejercicios de Par´abola a a



P´ agina: 28 

= 100 − 4(1)(2t + 9)

= 64 − 8t, entonces : a a) > 0 → 64 − 8t > 0 → t < 8 a b) = 0 → 64 − 8t = 0 → t = 8 a c) < 0 → 64 − 8t < 0 → t > 8 40. Demuestre que la par´abola y 2 −4y +8x−20 = 0,

y 2 −4y +4x+4 = 0, son ortogoP1 : y 2 − 4y + 8x − 20 = 0 ; P2 : y (y − 2)2 = −8(x − 3) 4p = −8

nales entre si en cada uno de sus puntos de intersecci´on.

p = −2 V = (3, 2) Y L1 L2

Q1

V1

V2

X

Q2

L2 L1

Vemos los puntos de interseccion de P1 con P2 , entonces resolviendo (y − 2)2 = −8(x − 3) (y − 2)2 =

4x

= 4x + 8(x − 3)

0 12x

=

24

⇒ (y − 2)2 = 4x = 4(2) = 8 √ y−2 = ±2 2 √ y = 2±2 2 √ √ ⇒ Q1 = (2, 2 + 2 2) y Q2 = (2, 2 − 2 2) x

=

2

Por teorema: La tangente a la parabola P : (y −k)2 = 4p(x−h) en cualquier punto R(x1 , y1 ) de la curva tiene por ecuaci´on L : (y1 −k)(y−k) = 2p[(x1 −h)+(x−h)] ∗ entonces nuestro caso: √ a) Para el punto Q1 = (2, 2 + 2 2), participan P1 y P2 1) Para P1

√ entonces L1 : (2 + 2 2 − 2)(y − 2) = 2(1)[(2 − 0) + (x − 0)]



Serie de Ejercicios de Par´abola



P´ agina: 29 

√ 2 2(y − 2) = 2(x + 2) √ y = √12 x + 2 + 2, donde m1 =

√1 2

(pendiente)

2) Para P2

√ entonces L2 : (2 + 2 2 − 2)(y − 2) = 2(−2)[(2 − 3) + (x − 3)] √ 2 2(y − 2) = −4(x − 4) √ −2 −2 y=√ x + 4 2 + 2, donde m2 = √ (pendiente) 2 2 Como m1 .m2 = √ (2, 2 + 2 2)

−2 √1 ( √ ) 2 2

= −1, entonces P1 es ortogonal a P2 en Q1 =

√ b) Para el punto Q2 = (2, 2 − 2 2), participan P1 y P2 1) Para P1

√ entonces L1 : (2 − 2 2 − 2)(y − 2) = 2(1)[(2 − 0) + (x − 0)] √ −2 2(y − 2) = 2(x + 2) √ y = − √12 x − 2 + 2, donde m1 = − √12 (pendiente)

2) Para P2

√ entonces L2 : (2 − 2 2 − 2)(y − 2) = 2(−2)[(2 − 3) + (x − 3)] √ −2 2(y − 2) = −4(x − 4) √ y = √22 x − 4 2 + 2, donde m2 = √22 (pendiente) Como m1 .m2 = √ (2, 2 − 2 2)

−1 √2 √ ( 2) 2

= −1, entonces P1 es ortogonal a P2 en Q2 =

41. En cualquier punto P de la parabola , no tiende al vertice, la tangente y la normal cortan al eje de la parabola en los puntos A y B respectivamente. Demuestre que los puntos A,B y P equidistan del foco Sea la par´abola y 2 = 4px y T (x0 , y0 ) punto de tangencia Y

T(x0,y0)

Lt

A(x2,0) V

D(x1,0)

x



Serie de Ejercicios de Par´abola LT : y − y0 = m(x − x0 ); Si y=0 →

−y02

m=

= 2px − 2px0

Como T (x0 , y0 ) ∈ P →

y02



P´ agina: 30  2p y0

LT : y − y0 =

2p (x y0

− x0 )

(α)

= 4px0

y entonces en (α) se tiene −4px0 = 2px − 2px0 → x = −x0 → x1 = −x2 esto es V B = −V A o sea V es pto medio de AB 42. Demuestre que toda circuferencia que tiene como di´ametro una cuerda focal de una par´abola, es tangente a la par´abola. Supongamos que la ecuacion de la par´abola es x2 = 4py,

p>0

Y

F(0,p)

L=y=−p

Cualquier recta que pase por el foco tendra por ecuaci´on: y = mx + p Luego: x2 − 4p(mx + p) = 0 2 x2 − 4pmx √ − 4p = 0

x=

48m±

x1 = 2pm

16p2 m2 +16p2 2 √ − 2p m2 +

√

1 = 2p[m −

x2 = 2pm + 2p m2 + 1 = 2p[m + Como

x2 4p

√ √

m2 + 1]

m2 + 1]

=y

√ √ entonces y1 = p[m − 1 + m2 ]2 = p[2m2 − 2m m2 + 1 + 1] √ √ y2 = p[m + 1 + m2 ]2 = p[2m2 + 2m m2 + 1 + 1] donde P1 = (x1 , y1 ),

P2 = (x2 , y2 ) puntos de corte.

Ademas la circuferencia que tiene por diametro dicha cuerda es la que tiene como centro en el punto medio de P1 ,

P2 y radio a la distancia del centro a uno de sus

puntos ie: d(P1 , P2 ) = 2a donde C = punto medio=(2pm, p(2m2 + 1)) √ √ entonces 2r = d(P1 , P2 ) = ∥(4p m2 + 1, 4pm m2 + 1)∥



Serie de Ejercicios de Par´abola



P´ agina: 31 

√ √ = 4p m2 + 1 m2 + 1 = 4p(m2 + 1) entonces r = 2p(m2 + 1) Adem´as dichas circuferencias sera tangentes a la directriz y + p = 0 ⇔ d(c, L) = r entonces |p(2m2 + 1) + p| = r entonces r = 2p(m2 + 1) Luego queda demostrado que es tangente. 43. Si desde un punto exyerior P se trazan rectas tangentes a una parabola, el segmento de rectas que une a los puntos de contacto se llama cuerda de contacto. Si Q = (x1 , y1 ) en un punto exteriro a la parabola y 2 = 4px demuestre que la ecuacion de la cuerda de conctacto de Q es y ⊥ y = 2p(x + x1 ) P : y 2 = 4px,

Q = (x1 , y1 ) ∈ P entonces y12 = 4px1 ademas L : y−y1 = m(x−x1 )

y = mx − mx1 + y1 , luego reemplazamos en la ecuacion de la parabola: (mx − mx1 + y1 )2 = 4px m2 x2 + m2 x21 + y12 − 2m2 x1 + 2my1 + 2mxy1 = 4px m2 x2 + x(−2m2 x1 + 2my1 − 4p) + (m2 x21 + y12 − 2mx1 y1 ) = 0 a = 0 entonces (2my1 − 2m2 x1 − 4p)2 − 4m2 (m2 x21 + y12 − 2mx1 y1 ) = 0 16m2 x1 p − 16my1 p + 16p2 = 0 16m2 x1 − 16my1 p + 16p = 0 m2 x1 − my √ 1+p

y12 −4x1 p , pero y12 = 4px1 2x1 √ 1 −4x1 p →m entonces m = y1 ± 4px 2x1 y1 LT : y − y1 = 2x (x − x1 ) 1

m=

y1 ±

=

y1 2x1

2x1 y − 2x1 y1 = xy1 − x1 y1 2x1 y = 2x1 y1 + xy1 y1 [2x1 y − y1 (x1 + x)] 2x 1 y12 (x1 + x) 2x1 1 yy1 = 4px (x + 2x1

yy1 = LT :

x1 ) LT : yy1 = 2p(x + x1 )

44. Demuestre que la cuerda de contacto de cualquier punto de la directriz de una par´abola pasa por su foco Considere y 2 = 4px Sea P0 (x0 , y0 ) el punto desde el cual se traza las tangentes a la parabola.



Serie de Ejercicios de Par´abola



P´ agina: 32  Y

p>0

P1

p

p

F

X

P0

P2

L

Sean P1 (x1 , y1 ) y P2 (x2 , y2 ) las correspondientes pintos de contacto . La ecuacion de las tangentes en P1 y P2 son y1 : y = 2p(x + x1 ) y y2 : y = 2p(x + x2 ), esto es por teorema como estas tanhentas pasan por el punto P0 , entonces y1 : y0 = 2p(x0 + x1 ) y y2 : y0 = 2p(x0 + x2 ) Ahora bien , la recta y0 : y = 2p(x + x0 ) que pasa por P1 y P2 es l cuerda de contacto Sea P (−p, y) un punto de la directriz L, la ecuacion de la uerda de contacto que pasa por P tiene de ecuacion: −py = 2p(x − p) y como se puede coprobar , pasa por el foco correspondiente F (p, 0) ie.- F (p, 0) ∈ {−py = 2p(x − p)} ya que −p(0) = 2p(p − p) 0 = 0, se satisface lo cual completa la prueba. 45. Demuestre que el lugar geometrico de los puntos medios de un sistema de cuerdas paralelas de una par´abola es una recta paralela al eje focal. Esta recta se llama Diametro de la Par´abola. Considere P : y 2 = 4px,

p>0

Sea {Lα : y = mx + bα } familia de cuerdas paralelas ahora , intersectando Lα ∩ P y 2 = 4px (mx + bα )2 = 4px √ ⇒ m2 x2 + (2mb α − 4p)x + b2α = 0 ⇒x=

−2mcbα+4p±

(2mbα −4p)2 −4m2 b2α 2m2



Serie de Ejercicios de Par´abola



P´ agina: 33  Y

P>0

P2 P1 L M1

eje focal

M2 F

X

P1 P2

L

√

de ⇒

2p−mbα ±4 p(p−mbα ) , donde : x = m2 √ 2p±4 p(p−mbα ) y= m

esto en la familia.

lo cual : √ √ √ √ 2p−mb1 +4 p(p−mb1 ) 2p+4 p(p−mb1 ) 2p−mb1 −4 p(p−mb1 ) 2p−4 p(p−mb1 ) P1 = ( , ) ; P1 = ( , ) m m √2 √m √2 √m 2p−mb2 +4 p(p−mb2 ) 2p+4 p(p−mb2 ) 2p−mb2 −4 p(p−mb2 ) 2p−4 p(p−mb2 ) P2 = ( , ) ; P2 = ( , ) m2 m m2 m .. .. . . Como

1 2p 1 M1 es punto medio de P1 y P 1 ⇒ M1 = ( P1 +P ) = ( 2p−mb , m) 2 m2

2 2p 2 M2 es punto medio de P2 y P 2 ⇒ M2 = ( P2 +P ) = ( 2p−mb , m) 2 m2 La ecuaci´on de L que pasa por M1 , M2 , . . . , es :

L:y−

2p m

L:y=

2p , m

=

p − 2p 2m m 2p−mb2 2p−mb1 − m2 m2

(x −

2p−mb1 ) m2

=0

lo cual es paralela al eje focal: y = 0

46. Halle la ecuaci´on del diametro de la parabola x2 = 16y para un sistema de cuerdas paralelas de pendiente 1/2 por propiedad: x2 = 4py entonces el diametro sera : x = 2pm → x = 2(4)( 12 ) x=4 50. Por los puntos extremos de una cuerda de 24 unidades de longitud, perpendicular al eje focal de la par´abola y 2 − 12x − 8y + 52 = 0, pasan dos rectas tangentes que se intersecan en un punto Q. Hallar el per´ımetro del tri´angulo formado por los extremos de la cuerda y Q R = (6, 10),

R′ = (6, −2)

L1 : y − 10 = m(x − 6)



Serie de Ejercicios de Par´abola



P´ agina: 34  L1 Y

R

(y − 4)2 = 12x − 52 + 16

6

(y − 4)2 = 12(x − 3) . . . (α) V = (3, 4),

V(3,4)

Q

F = (6, 4)

F(6,4)

6

′

|RR | = 4p = 4(3) = 12 d(F, R) = 2p = d(F, R′ ) = 6

R’ X

L2

y = mx − 6m + 10, esto en α: (mx − 6m + 6)2 = 12(x − 3) m2 x2 + 3m2 + 36 − 12m2 x + 12mx − 72m − 12x + 36 = 0 x2 m2 + x(−12m2 + 12m − 12) + (36m2 − 72m + 72) = 0 a = 0 → 144m4 + 144m + 144 − 288m3 + 288m2 − 288m − 144m4 + 288m3 − 288m2 = 0 144m2 − 288m + 144 = 0 m2 − 2m + 1 = 0 → m = 1 → LT : y = x − 6 + 10 LT1 : y = x + 4 L2 : y + 2 = m(x − 6) y = mx − 6m − 2, esto en α (mx − 6m − 6)2 = 12(x − 3) m2 x2 + 36m2 + 36 − 12m2 x − 12mx + 72m − 12x + 36 = 0 m2 x2 + x(−12m2 − 12m − 12) + (36m2 + 72m + 72) = 0 a = 0 → 144m4 + 144m2 + 144 + 288m3 + 288m2 − 288m − 144m4 + 288m3 − 288m2 = 0 144m2 + 288m + 144 = 0 m2 + 2m + 1 = 0 → m = −1 LT2 : y = −x − 6 − 2 LT2 : y = −x − 2 Luego LT1 ∩ LT2 : x + 4 = −x − 8 x = −6, d(Q, R) =

y = −2, → Q = (−6, −2) È √ 2 2 (−12) + (−12) =

144 + 144 =

√

√ 288 = 12 2



Serie de Ejercicios de Par´abola d(Q, R′ ) =

È

(−12)2 + 02 =



P´ agina: 35  √

144 = 12

entonces el perimetro es d(Q, R) + d(R, R′ ) + d(Q, R′ ) √ √ √ = 12 2 + 12 + 12 = 24 + 12 2 Perimetro =12(2 + 2) 62. En cierta parabola la distancia del v´ertice al foco F es 1, P es un punto de la p´arabola que dista 5 unidades del foco. Q es la proyecci´on de P sobre la directriz, R es la intersecci´on de la directriz con el eje focal. calcular el ´area del cuadril´atero PQRF. V(vertice), F(foco), l(directriz), h(eje focal) sabemos que : *d(F, r) = d(V, R) 1 = d(V, R) *d(p, F ) = d(p, l) 5 = d(p, l) Nos piden area de PQRF Por pitagoras: x2 + 32 = 52 → x = 4 → SP QRF = SAQRF + S△P AF = 8 +

4,3 2

L

P 5 3 F

1

2 V 1

R

Q

SP QRE = 14u2 63. El cable de un puente colgante est´a soportado por dos torres de 15m, de alto y situado a 120m. Una de la otra. Si el punto m´as bajo del cable est´a a 3m sobre el piso del puente, hallar la longitud de una barra que esta a 30m a la derecha del punto m´as bajo del cable y que va, en forma vertical, del cable al piso del puente. V(vertice)= punto m´as bajo, F(foco) vemos que es una parabola que pasa por el origen de coordenadas cuya ecuacion , tiene la forma x2 = 4py . . . (1)



Serie de Ejercicios de Par´abola



P´ agina: 36  y

A(−60,12)

B(60,12)

F 12m

y1 15m 60m

V

30m

30m

X

3m

piso 120

Como B(60,12), pertenece a la parabola , entonces en (1) (60)2 = 4p(12) 3600 = 48p → p = 75, esto en (1) x2 = 4(75)y = 300y . . . (2) Ademas p(30, y1 ) pertenece a la parabola , entonces en (2) (60)2 = 300y1 900 = 300y1 → y1 = 3 me piden : d(p, piso) = y1 + 3 = 3 + 3 = 6m 64. Hallar el punto de la parabola y = 2 + 5x − x2 en el que la inclinaci´on de la recta tangente es de 45. Y

L V(5/2,33/4) punto de tangencia

P(x,y)

y

45° A(−x0,0)

x0

x

X

P : y = 2 + 5x − x2 y = −[x2 − 5x − 2] = −[(x − 5/2)2 − 25/4 − 2] y = −[(x − 5/2)2 − 33/4] y − 33/4 = −(x − 5/2)2 → (x − 5/2)2 = −(y − 33/4) . . . (*) de acuerdo a la ecuaci´on de la parabola (x − h)2 = 4p(y − k) y comparando con (*)

h=5/2, k=33/4 → v = (5/2, 33/4) 4p=-1→ p = −1/4 → |p = |1/4



Serie de Ejercicios de Par´abola



P´ agina: 37 

L tiene por ecuaci´on: L : y − 0 = m(x − (−x0 )) y = m(x + x0 ), como tan 45 = −1 = m → L : y = x + x0 ademas P = P ∩ L → y = 2 + 5x − x2 y y = x + x0 → x + x0 = 2 + 5x − x2 → x2 − 4x + (x0 − 2) = 0 . . . (α) por condici´on de tangencia: a discriminante= = (−4)2 − 4(1)(x − 2) = 0 → x0 = 6 . . . β → L : y = x + x0 = x + 6 . . . θ β en α : x2 − 4x + (x0 − 2) = x2 − 4x + (6 − 2) = x2 − 4x + 4 = 0 entonces x = 2, esto en θ ⇒ y = 2 + 6 = 8 ∴ el punto pedido es P (x, y) = (2, 8) 65. Hallar los puntos de la parabola y = x2 + 2x + 25 en los que las rectas tangentes pasen por el origen. L2

L1

A

B

V(−1,24)

P : y = x2 + 2x + 25 y = (x + 1)2 + 24 → y − 24 = (x + 1)2 A y B puntos de tangencia hallemos las ecuaciones de L1 y L2 L1 pasa por el origen → L1 : y = m1 x . . . α L2 2 pasa por el origen → L2 : y = m2 x . . . β Se observa del grafico : A = L1 ∩ P entonces reemplazando L1 en P y = m1 x = x2 + 2x + 25 entonces x2 + (2 − m1 )x + 25 = 0 . . . θ por condici´on de tangencia a discriminante= = (2 − m1 )2 − 4(1)(25) = 0



Serie de Ejercicios de Par´abola



P´ agina: 38 

(m1 − 2)2 = (2,5)2 m1 − 2 = ±10 → m1 = 12 o m1 = −8 Si m1 = −8 → L1 : y = −8x . . . α m1 = −8 en θ → x2 + 10x + 25 = 0 → x = −5 esto en α : y = −8x = −8(−5) = 40 → A = (−5, 40) considere m1 = 12 = m2 → L2 : y = 12x . . . β m2 = 12 en θ → x2 − 10x + 25 = 0 → x = 5 esto en β : y = 12x = 12(5) = 60 → B = (5, 60) 66. Dada la par´abola y 2 = 20x, hallar la ecuaci´on de la cuerda que pasa por el punto (2,5) y se divide en el por la mitad. Sean P1 (x1 , y1 ) y P2 (x2 , y2 ) los extremos de la cuerda Y

p1

p

p2

0

F

X

Si P1 (x1 , y1 ) ∈ P → y12 = 20x1 P1 (x2 , y2 ) ∈ P → y22 = 20x2 Restando miembro a miembro ambas ecuaciones de tiene: y12 −y22 = 20(x1 −x2 ) → (y1 +y2 )(y1 −y2 ) = 20(x1 −x2 ) entonces Recuerde que

y1 −y2 x1 −x2

y1 −y2 x1 −x2

=

20 y1 +y2

. . .(*)

= m es la pendiente de la cuerda

Ademas , como P (2, 5) busca el segmento P1 P2 →p= → →

p1 +p2 2 2 ,y2 ) (2, 5) = (x1 ,y1 )+(x = 2 2 2 2 = x1 +x y 5 = y1 +y 2 2

2 y1 +y2 ( x1 +x , 2 ) 2

→ x1 + x2 = 4 y y1 + y2 = 10 Luego, en (*): m =

20 y1 +y2

=

20 10

=2

por tanto, la ecuacion de la cuerda es: y − 5 = m(x − 2) ↔ y − 5 = 2(x − 2) ↔ y = 2x + 1 67. Sean y = x2 − 8x + 21,

x = 1, las ecuaciones de una parabola y una recta.



Serie de Ejercicios de Par´abola



P´ agina: 39 

Hallar el ´area del trapecio formado por la tangente a la parabola en el punto de intersecci´on de la recta, los ejes coordenados y la recta dada. Y

C(0,y1) P:y=x2−8x+21

B(1,y0)

V(4,5)

A(1,0) X

x=1 L

y = x2 − 8x + 21 → y = (x − 4)2 + 5 → y − 5 = (x − 4)2 → V = (4, 5) B(1, y0 ) ∈ P → y0 = 1 − 8 + 21 → y0 = 14 → B(1, 14) L tiene por ecuacion : L : y − 14 = m(x − 1) ↔ L : y = mx + (14 − m) Como L es taangente a P → y = mx + (14 − m) = x2 − 8x + 21 x2 + (−8 − m)x + (7 + m) = 0 Por condicion de tangencia a descriminante = = (−8 − m)2 − 4(1)(7 + m) = 0 64 + 16m + m2 − 28 − 4m = 0 m2 + 12m + 36 = 0 (m + 6)2 = 0 → m = −6 → L : y = −6x + 20 c(0, y1 ) ∈ L → y1 = 20 → c(0, 20) nos piden Strapecio = ( B+b )h = ( |OC|+|AG| )|OA| = 2 2

20+14 ,1 2

= 17u2

68. La directriz L de una par´abola es 3x − 4y + 5 = 0 y su foco f=(6,2). Hallar la distancia del v´ertice a la directriz y las coordenadas del v´ertice. La pendiente de L es m1 = 3/4 Como L ⊥ L entonces m1 .m2 = −1, donde m2 pendiente de L 3 m 4 2

= −1 → m2 =

−4 3

Entonces , la ecuacion de L esta dad por L : y − 6 = m2 (x − 2) = − 43 (x − 2) L : 3y + 4x − 30 = 0



Serie de Ejercicios de Par´abola



P´ agina: 40 

Como p = L ∩ L L:3x−4y+5=0

Y

V(x0,y0)

F(6,2)

L

X

entonces resolviendo: L : 3x − 4y + 5 = 0 . . . α L : 3y + 4y − 30 = 0 Resolviendo estas dos ecuaciones tenemos que : y = 22/5 esto en α → x = 21/5 → p(x, y) = (21/5, 22/5) Sabemos que : V es punto medio de P F → V (x0 , y0 )( 21/5+6,22/5+2 = ( 51 , 16 )) 2 10 5 √2 d[v, L] = |3(51/10)−4(16/5)15| = |75/10| = 5 2 entonces

3 +(−4) d[V, L] = 32

75 50

=

3 2

69. Una circuferencia tiene su centro en el foco de la par´abola de ecuacion y 2 − 12x − 36 = 0 y pasa por el v´ertice de ´esta. Hallar su ecuaci´on. P : y 2 − 12x − 36 = 0 y 2 = 12(x + 3) Y

P

C

p V(−3,0)

F(0,0)

X

Comparando, esto con y 2 = 4p(x − h) sale que V (h, k) = V (−3, 0) 40 = 12 → p = 3 F = (h + p, k) = (−3 + 3, 0) = (0, 0) Como la ecuacion de la circuferencia C esta dada pot : (x − h)2 + (y − k)2 = r2 . . . α donde:



Serie de Ejercicios de Par´abola



P´ agina: 41 

C(h1 , k1 ) coincide con el foco ie: C(h1 , k1 ) = (0, 0)

r=p=3 esto en α (x − 0)2 + (y − 0)2 = 32 C : x2 + y 2 = 9 70. Dada la par´abola y 2 − 2y − 4x + 7 = 0, hallar la ecuaci´on de la circuferencia cuyos centros est´a en el v´ertice de la par´abola y que pasa por los puntos de intersecci´on de la par´abola con una recta perpendicular al eje de la par´abola y que pasa por el foco. L

Y

C

P1

V

F

X P2

P : y 2 − 2y − 4x + 7 = 0 (y − 1)2 − 4x + 6 = 0 → (y − 1)2 = 4(x − 6/4) = 4(x − 3/2) Comparando con : (y − h)2 = 4p(x − h) V (h, k) = (3/2, 1),

p = 1,

F = (h + p, k) = (3/2 + 1, 1) = (5/2, 1)

Como p1 ∈ P entonces y02 − 2y0 − 4(5/2) + 7 = 0 → (y0 − 1)2 − 10 + 6 = 0 → (y0 − 1)2 = 22 → y0 − 1 = ±2 ⇒ p1 = (5/2, 3) y p2 = (5/2, −1) la ecuacion de la circuferencia esta dado por: (x − h1 )2 + (y − k1 )2 = r2 donde: C(h1 , k1 ) = V (h, k) = (3/2, 1) → C : (x − 3/2)2 + (y − 1)2 = r2 p1 ∈ C → (5/2 − 3/2)2 + (3 − 1)2 = r2 → r2 = 5 ∴ C : (x − 3/2)2 + (y − 1)2 = 5 71. Cu´al es el valor de k ̸= 0 para que las coordenadas del v´ertice de la par´abola



Serie de Ejercicios de Par´abola x2 − 2kx − 2y = 0 sumen cero? Y

P

X F(2,−3/2)

V(2,−2)

x2 − 2kx − 2y = 0 . . .(*) Completando cuadrados: (x2 − 2kx + k 2 ) − k 2 − 2y = 0 (x − k)2 = k 2 + 2y = 2(y +

k2 ) 2

el v´ertice de la par´abola est´a dadp por 2

V = (k, − k2 ) como me piden que: 2

k + (− k2 ) = 0 k2 −k =0 2 k2 −2k =0 2

k(k − 2) = 0 como K ̸= 0 → k = 2 esto en (*): P : x2 − 4x − 2y = 0 (x − 2)2 = 2(y + 2) 72. Hallar la ecuacion de la recta tangente a la P : y 2 = 10x de pendiente 2. y 2 = 10x,

y = mx + 6

y = 2x + b . . . (I) y 2 = 10x (2x + b)2 = 10x 4x2 + 4xb + b2 − 10x = 0 4x2 + x(4b − 10) + b2 = 0 Luego ∆ = 0 (4b − 10)2 − 4(4)(b)2 = 0 16b2 − 80b + 100 − 16b2 = 0



P´ agina: 42 



Serie de Ejercicios de Par´abola



P´ agina: 43 

−80b = −100 entonces b =

5 4

Luego: y = mx + b y = 2x +

5 4

73. Hallar las tangentes a las P : (y + 2)2 = 4(x − 1) que pasa por (−5, −1) Y

L1

X V

P(.5,−1)

P

L2

V=(1,-2) I) L : y = mx + b −1 = −5m + b x=

y−5m+1 m

II) Reemplazamos en P y 2 + 4y + 16 = 4[ y−5m+1 − 1] m my 2 + y(4m − 4) + 28m − 4 = 0 △=0 (4m − 4)2 − 4(28m − 4)m = 0 6m2 + m − 1 = 0 m = 1/3

∧ m = −1/2

∴ x + 2y = −7

∧

3y − x = 2

74. Hallar las ecuaciones de la recta tangente y 2 = 16x que son perpendiculares a 5x − 2y = 6 75. Probar que las parabolas y 2 = 4(x + 1);

y 2 = 9 − 6x se intersecan en angulos

rectos. y 2 = −4( 32 )(x − 32 ) ∴ El lado recto intersecan en las dos parabolas hacen que formen angulos rectos. 76. Las rectas tangentes en los puntos P = (x1 , y1 ), 2

Q = (x2 , y2 ) de la par´abola

y = 4px se intersectan en un punto T. Demuestre que:



Serie de Ejercicios de Par´abola



P´ agina: 44 

I) m1 .m = −1 5 .m 2

m=

= −1

L:5x−2y=6

−2 5

Y

II) Si L ∈ P

III)

P

y = −2 x+b 5 x = 5b−5y 2 2 y = 16 (5b−5y) 2 2

X

y = 40y − 40b = 0 △=0 1600 = −80b L1

b = −10 ∴ 2x + 5y + 50 = 0 1 y2 y1 +y2 a) T = ( y4p , 2 )

b) el X.intersecto de PQ es : −y1 y2 /(4p). Hallando las rectas tangentes : Y P(x1,y1)

T F(p,0) X

Q(x,y)

L1 : y − y1 = m(x − x1 ) y = mx − mx1 + y1 Luego: (mx − mx1 + y1 )2 − 4px = 0 m2 x2 + (2my1 − 2m2 x1 − 4p)x + (y12 + m2 x21 − 2mx1 y1 ) = 0 condicion de tangencia: ∆ = 0 (2my1 − 2m2 x1 − 4p)2 − 4m2 (y12 + m2 x21 − 2mx1 y1 ) = 0 p2 − my1 p + m2 x1 p = 0 m2 x1 − my √ 1+p=0 m=

y1 ±

y12 −4x1 p 2x1

=

√ y1 ± 0 , 2x1

pues y12 = 4x1 p



Serie de Ejercicios de Par´abola

m=

y1 2x1

L1 : y − y1 = L1 : y − y1 =



P´ agina: 45 

y12 y1 (x − x ); pero 1 2k1 2p y1 (2p)(x − x ) 1 y12

= 2x1

L1 : yy1 − y2 = 2px − 2px1

L1 : yy1 = 2px − 2px1 + 4px1 , pues y12 = 4px1 L1 : yy1 = 2px + 2px1 L1 : 2p(x + x1 ) entonces y =

2p(x+x1 ) y1

analogamente : para L2 en Q(x2 , y2 ) 2) L2 : yy2 = 2p(x + x2 ) entonces y = 2p (x+x y2

2p(x+x1 ) 2) = 2p(x+x y1 y2 1 y2 1 y2 x = x2 yy12 −x entonces x = y4p −y1 2 Luego: y = y1 +y 2 1 y2 y1 +y2 , 2 ) entonces T = ( y4p

entonces

77. En el punto P=(r,s) de la par´abola y 2 = 4px, se traza la recta tangente y normal PN. Demuestre que: −−→ a) P N = (2p, −s) −→ −−→ b) ∥F P ∥ = ∥F N ∥ c) el ´angulo LEP es recto, donde L es la intersecci´on de la recta tangente con la recta directriz. −−→ −→ d) F K ⊥ LP , donde K es el Y- intercepto de la recta tangente (Haciendo x=0) LT en el punto P (r, s) es: donde mLT =

r 2s

D

Y

P(r,s)

K

L

F(p,0)

V

y−s=

s (x 2r

− r)

entonces LN ⊥ LT entonces mLN =

−2s r

N

X



Serie de Ejercicios de Par´abola



P´ agina: 46 

(x − r) entonces LN : y − s = − 2s r pero N ∈ LN entonces −s = − 2s (Q − r) r r = 2a − 2r a=

3r 2

s ademas : mLN = − a−r = − 3rs−r = − sr = − 2s r 2 2 −−→ 3r entonces P N = N − P = ( 2 , 0) − (r, s)

P N = ( 2r , −s) ademas: (− 2s )( 2rs ) = −1 r s2 = r 2 4pr = r2 4p = r a = 32 (4p) a = 6p entonces P N = ( 4p , −s) 2 P N = (2p, −s) d) Como P (r, s) es un punto de contacto entre L y P entonces por teorema: L : sy = 2p(x + 5) L : 2px − sy + 2pr = 0 −−→ entonces P N = (2p, −s) Como K(0, k1 ) ∈ L entonces −sk1 = −2pr entonces k1 =

2pr s

k = (0, 2pr ) s

−−→ ademas F = (p, 0) entonces F K = K − F = (−P, 2pr ) s Pero P (r, s) ∈ P entonces s2 = 4pr entonces 2pr = s2 −→ ⇒ F u = (−p, s2 ) = (−p, 2s )

s2 2

Se observa que: (−p, s/2) = − 12 (2p, −s), − 12 ∈ R. −→ −→ F k = rP U , con r = −1/2 ∈ R −−→ −→ ⇒ F K//P U . . . (∗) −→ −→ pero, por hipotesis P U ⊥ LP de esto y * −−→ −→ sale que F K ⊥ LP 78. Hallar A y B para que la recta y = λx + B sea tangente : a)y 2 = 4px;

b)x2 =



Serie de Ejercicios de Par´abola



P´ agina: 47 

4py a) y 2 = 4px,

y = λx + β

entonces λ2 x2 + β 2 + 2βxλ − 4px = 0 λ2 x2 + x(2βλ − 4p) + β 2 = 0 ∆=0 4β 2 λ2 − 16βλP + 16p2 − 4β 2 λ2 = 0 p = λβ b) x2 = 4py,

y = λx + β

x2 − 4pλx − 4pβ = 0 ∆=0 16p2 λ2 + 16pβ = 0 p=

−β λ2

79. A=(-9,3) y B=(-1,-5) los extremos del lado recto de una parabola . Hallar la ecuacion de la parabola , su vertice V, Su foco y la ecuaci´on de la directriz L2

Q2

V2

A

2 L1 F(.5,−1) 2

Q1

u⊥ = u= 4|p|

(−1,1) √ 2 (1,1) √ 2 √ = 82 ,2

√ |p| = 2 2 √ 1,1 ) V F = 2 2( √ 2 V = (−7, −3) √ P : y ′ = 8 2x′ L: diectriz. √ √ N B = 4 2 (1,1) 2 N = (−5, −9) ∴ L : (−5, −9) + t(−1, 1)

V1 B



Serie de Ejercicios de Par´abola



P´ agina: 48 

80. Para que valor de la pendiente m , la recta y = mx + 3 es tangente a la parabola y 2 = 12x? m2 x2 + 6mx + 9 − 12x = 0 . . . (α),

y = mx + 3

m2 x2 + x(6m − 12) + 9 = 0 ∆=0 36m2 − 144m + 144 − 36m2 = 0 m=1⇒y =x+3 Luego en (α) : x2 + 6x + 9 − 12x = 0 x2 − 6x + 9 = 0 (x − 3)2 = 0 x = 3 entonces y = 6 ∴ el punto de tangencia seria P0 = (3, 6) 81. P es la parabola cuyo vertice y Foco son (1,1) y (17/5, 21/5) respectivamente? √ a) Hallar los puntos de P si la distancia al vertice es 4 5 u=

( 12 , 16 ) 5 5 , 4

F A = ( −16 , 12 ) 8 entonces 5 5 4

A(−3, 9) B(49/5, −3/5) b) Si C es la circufrencia cuyo centro es el vertice de P y cuyo radio mide 6u . Hallar los puntos de interseccion A y B de P y C 82. El vertice de la parabola P(−3, 1), su directriz es paralela a la recta 3x + 4y = 6 y uno de los extremos de su lado recto es (8, −1) encontrar. a) Ecucion vectorial de P Y R

LF

u L:3x+4y+k=0 F

V(−3,1)

u=(4/5,−3/5)

X

P0

R’(8,−1)

P : y ′2 = 4px′ . . . (α) x′ = [(x + 3, y − 1)]( 53 , 54 ) x′ =

3x+4y+5 5



Serie de Ejercicios de Par´abola



P´ agina: 49 

y ′ = [(x + 3, y − 1)]( 45 , − 53 ) y′ =

4x−3y+15 5

Luego reemplazando x′ , y ′ en (α) (4x−3y+15)2 25 2

=

4p(3x+4y+5) 5 2

P : 16x + 9y + 225 − 24xy + 120x − 90y = 20p(3x + 4y + 5) Como: (8, −1) ∈ P ⇒ 2500 = 500P ⇒ P = 5 ⇒ P : 16x2 + 9y 2 − 24xy − 180x − 440y − 275 = 0 b) Las coordendas del foco y el punto de intersecci´on del eje Focal con la Directriz D F = v + pu⊥ F = (−3, 1) + 5( 35 , 54 ) d(V, L) = 5 |3(−3)+4(1)+k| 5

=5

k = 30 ⇒ L : 3x + 4y + 30 = 0 Eje Focal: (−3, 1) + t(3, 4) LF : 4x − 3y + 5 = 0 LF ∩ L = P0 3x + 4y + 30 = 0 4x − 3y + 15 = 0 25y = −75

8 < (3x + 4y ⇒: 4x − 3y

=

−30)(4)

= −15(−3)

y = −3 ⇒ x = −6 → P0 = (−6, −3) c) Las Ecuaciones vectoriales y cartesianas del eje focal y Directriz de P La Directriz Eje Focal L : (−6, −3) + r(−4, 3) y=

−3 (x 4

+ 6) − 3

L1 : (−3, 1) + t(3, 4) m=

4 3

4y = −3x − 18 − 12

y = 43 (x + 3) + 1

4y + 3x + 30 = 0

3y = 4x + 12 + 3 3y − 4x − 15 = 0

d ) Las coordenadas del otro extremo del Lado recto. RL = 20 (−4,3) 5 RL = (−16, 12) L = (−16, 12) + (8, −1)



Serie de Ejercicios de Par´abola



P´ agina: 50 

L = (−8, 11) 83. P es la par´abola cuyo foco es (7,8) y la intersecci´on dele je focal con la directriz de P es (-1,2). a) Encuentre las ecuaciones vectorial y cartesiana de la recta tangente a la par´abola, en el punto P0 cuya prdenada es 16 y cuta abscisa es menor de 10. b)¿ En qu´e punto corta a la directriz de la par´abola, la recta tangente en P0 ? c) ¿ C´ ual es la longitud de la cuerda focal contenida en la recta que forma un ´angulo de 45◦ con el eje focal?. LT

P0 Y

L

F

u

V P(−1,2)

X

d[F, L] = 2p √ 64 + 36 = 2p p=5 − → u = (4, 3) ′2

5 5 ′

y = 20x . . . (α) L : (−1, 2) + t(−3, 4) L : 4x + 3y − 2 = 0 ⇒ V = F − pu = (7, 8) − 5( 4,3 ) = (3, 5) entonces V = (3, 5) 5 x′ = (x − 3, y − 5)( 45 , 25 ) → x′ = y ′ = (x − 3, y − 5)(− 35 , 45 ) →

4x+3y−27 5 y ′ = −3x+4y−11 5

9x2 + 16y 2 + 121 − 24xy + 66x − 88y = 100(4x + 3y − 27) P : 9x2 − 24xy + 16y 2 − 334x − 388y + 2821 = 0 Como P0 (x, 16) ∈ P ⇒ 9x2 − 384x + 4096 − 334x − 6208 + 2821 = 0 9x2 − 718x + 709 = 0 → x = 1 entonces P0 = (1, 16)



Serie de Ejercicios de Par´abola

adem´as: mLT =

2p y0

=

2(5) 16

LT : y − y0 =



P´ agina: 51  =

5 8

mLT (x − x0 )

y − 16

5 (x 8

− 1)

LT

:

5x − 8y + 123 = 0

Ec. general

LT

:

(1, 16) + t(8, 5)

Ec. vectorial

84. Los extremos del lado recto de una parabola P son (-9,12) y (7,0) y las componentes del vector V F (V: vertice , F: foco) son positivos. Encontrar las ecuaciones vectoriales de la parabola P y de su directriz L. R(−9,12)

Y

F 5 L 5

V

R’(7,0)

X

Q0

− → u = − → u =

R−R′ , ∥RR′ ∥ (−16,12) 20

− → u =

(−4,3) 5 (3,4) ⊥ u = 5

F = R + R′ F = (−1, 6) 4p = D|RR′ | =

È

(−16)2 + 122

4p = 20 ∴p=5 V + pu⊥ = F V + 5 (3,4) = (−1, 6) 5 V = (−4, 2) Q0 + pu⊥ = V Q0 + 5 (3,4) = (−4, 2) 5 Q0 = (−7, −2) → L : Q0 + t− v L : (−7, −2) + t(−4, 3),

t∈R

85. Hallar la ecuacion de la parabola cuyo vertice (-2,-3) y un extremo del lado recto es B = (−2, 7). Hallar ademas el foco y la ecuaci´on vectorial de la recta directriz.



Serie de Ejercicios de Par´abola

R(−2,7)

2p

p

L

V (−2,−3)

R’

√ d[V, R] = 5p2 √ 10 = 5p2 √ p=2 5 √ y ′2 = 8 5x′ a) 1era soluci´ on: V R = P u + 2pu⊥ = (0, 10) √ √ √ √ (2 5u1 , 2 5u2 ) + (−4 5u2 , 4 5u1 ) = (0, 10) √ √ 2 5u1 = 4 5u2 u1 = 2u2 √ √ 2 5u2 + 4 5u1 = 10 → 2,1 u2 = √25 ⇒ − u = (√ ) √5 2,1 F = (−2, −3) + 2 5( √5 ) F = (2, −1) D : (x, y) = (−6, −5) + t(−1, 2) b) 2da soluci´ on

→ V R = pu − 2p− u ⊥ = (0, 10) √ √ √ √ (2 5u1 , 2 5u2 ) − (−4 5u2 , 4 5u1 ) = (0, 10) √ √ 2 5u1 = −4 5u2

u1 = −2u2 √ √ 2 5u2 − 4 5u1 = 10 ⇒ u1 = → f = V + p− u u2 =

√1 5

−2 √ 5



P´ agina: 52 

→ √ ) ⇒− u = ( −2,1 5

√ √ ) F = (−2, −3) + 2 5( −2,−1 5 F = (−6, −1) D : (x, y) = (2, −5) + t(−2, 1)



Serie de Ejercicios de Par´abola

86. ... d[V, F ] = 5

u= u⊥ =

|p| = 5

(4,3) 5 (−3,4) 5



P´ agina: 53 

si a¡10

a) * x′ = ((x, y) − v)u x′ = (a − 3, 11) (4,3) 5 x′ =

4a+21 5

*y ′ = ((x, y) − v)u⊥ y ′ = (a − 3, 11) (−3,4) 5 −3a+53 5

y′ =

* y ′2 = 20x′ (−3a + 53)2 = 100(4a + 21) 9a2 + 709 = 718a entonces a = 1 ∴ x′ = 5

∧

y ′ = 10

y ′ = x′ + b entonces b = 5 entonces y ′ = x′ + 5

87. Sea la parabola P : x2 − 6x + 5y − 11 = 0. N es una recta normal a P en el punto (−2, −1). Hallar la ecuacion de otra parabola P1 cuyo eje es N y que pasa por el foco de P y por el punto de intersecci´on de los ejes Focales de P y P1 . Sea L tangente y = mx + 2m − 1 △=0 m1 = −1/2

m = 2, −1/2 =

a+1 5

a = −7/2 ∴ V ′ (3, −7/2) u=

(1,2) √ 5

entonces u⊥ =

√ *x′ = (0, 25/4) (2,1) 5

x′ =

√ 5 5 4

√ *y ′ = (0, 25 ) (1,2) 4 5 √ 5 ′ y =2 5

y ′2 = 4px √ |p| = 54 5

(−2,1) √ 5



Serie de Ejercicios de Par´abola



P´ agina: 54 

√ y ′2 = 5 5x′ 88. F=(9,8) es el Foco de una parabola P,

Q = (11, 22) ∈ P y Cpu ⊥ F Q = 10, sien-

do u el vector direccional del eje Focal con ambas componentes positivo. Si la recta √ Lt tangente a P en Q intersecta al eje Focal en el punto A tal que d[A, Q] = 10 17. Hallar la ecuacion de P (el vector u es unitario). LT

Y

Q

10

10 F(9,8) V

A

X

Cpu⊥ F Q = |F H| = 10 ⇒ |F H| = 10 ademas : |V F | = 10 ⇒ p = 10 F Q = 10u + 10u⊥ (2, 14) = 10u + 10u⊥ ⇒ u = ( 45 , 35 ) V = F − 10( 45 , 35 ) = (9, 8) − (8, 6) V = (1, 2) y ′2 = 4(10)x′ P : y ′ 2 = 40x′ 90. Sea P una parabola con vertice V = (4, −12) y sea la recta T : p0 +t(1, 2) tangente a P. Si una recta L que pasa por V y es perpendicular al eje focal se intersecta con T en (−2, −4), Hallar la ecuacion de P T : P0 + t(1, 2) T : (−2, −4) + t(1, 2) entonces m = 2 u⊥ = u=

(−6,8) 10 (4,3) 5

=

(−3,4) 5

y = 2x

I) Transformacion: x′ = (x − 4, y + 12) (4,3) ∧ y ′ = (x − 4, y + 12) (−3,4) 5 5 x′ = ( 4x−16 + 5

3y+36 ) 5

∧ y′ =

−3x+12 5

+

4y+48 5



Serie de Ejercicios de Par´abola x′ =

4x−16+3y+36 5 ′2

∧ y′ =



P´ agina: 55  4y−3x+60 5

entonces y = 4px′ ( 4y−3x+60 )2 = 4p( 4x−16+3y+36 ) 5 5 determinante cero: p2 − p − 6 = 0 entonces p=3 a) Ecuacion P: y ′2 = 12x′ 91. Dada la Parabola (x − 3)2 = 12(y − 2) encontrar la ecuacion de la recta tangeente de la forma y = 21 x + b. P : (x − 3)2 = 4(3)(y − 2) L:y=

1 x 2

v(3, 2),

|p| = 3

+b

entonces: (x − 3)2 = 12( 12 x + b − 2) x2 + 9 − 6x = 6x + 12b − 24 x2 − 12x + 33 − 12b = 0 Determinante igual a cero 144 − 4(33 − 12b) = 0 36 = 33 − 12b entonces b = −1/4 LT : y =

x 2

−

1 4

LT : 4y = 2x − 1 92. Una parabola cuyo v´ertice esta en el eje y y su eje focal est´a contenido en la recta y = 3x + 4, pasa por el punto p = (2, 20), Halle la ecuacion de la parabola y de su recta directriz D. y 2 = 4px . . . (α) − → u = ( √1 , √3 ) 10

10

′

x = [(x, y) − (0, 4)]( √110 , √310 ) x′ =

x+3y−12 √ 10

y ′ = [(x, y) − (0, 4)]( √−3 , √110 ) 10 ⇒ y′ =

y−3x−4 √ 10 2 2 √ = 4p(x+3y−12) ⇒ en (α) : y +9x +16−6xy−8y+24x 10 10 √ Como Q(2, 20) ∈ P ⇒ 400+36+16−240+48−160 = 4p(2+60−12) 10 10 √ 10 = 4p(50) √ 10 p = 2010



Serie de Ejercicios de Par´abola ⇒ y ′2 =



P´ agina: 56 

√ 10 ′ x 5 2

⇒ y 2 + 9x − 6xy − 8y + 24x + 16 =

√

10 x+3y−12 ( √10 ) 5

P : 45x2 + 5y 2 − 25xy − 43y + 112x + 92 = 0 D : (x, y) = (0, 4) −

√ 10 √1 ( 10 , √310 ) 20

+ t(− √310 , √110 )

1 27 D : (− 20 , 20 ) + t(−3, 1) Q(2,20) Y

L:y=3x+4

V(0,4)

u

X

94. La circuferencia C : (x − 3)2 + (y − 8)2 = 25 es tangente a una parabola P en P0 = (x0 , y0 ), y0 > 7. La recta L : 4x − 3y + 12 = 0 es normal a P y c en P0 y corta al eje focal de P en el punto R (foco de P). Si |C0 p0 | = |P0 R| y si la distancia d[p0 , eje Focal] = 4, Hallar la ecuacion de la parabola P. C0 es el centro de la circuferencia, y la abscisa del vertice es menor que 6. c(3, 8),

r = 5,

C : (x − 3)2 + (y − 8)2 = 25 LN : 4x − 3y + 12 = 0 con vertice

V = (3, 4) p0 ∈ C

p 0 ∈ LN : y0 =

4x0 +12 3

→ (x0 − 3)2 + (y0 − 8)2 = 25 (x0 − 3)2 + ( 4x03−12 )2 = 25 25x20 − 150x0 =80

< x0 = 0

x0 (x0 − 6) = 0 :

→

y0 = 4

x0 = 6 → y0 = 12 pero y0 > 7 → P0 = (6, 12) adem´as: P0 R = 4v − 3v ⊥

P0 R = (3, 4) ⇒ R = (3, 4) + P0 R = (9, 16) Luego : Q = P0 + 4v Q = (6, 12) + 4(0, 1)



Serie de Ejercicios de Par´abola



P´ agina: 57 

Q = (6, 16) ∈ eje focal tenemos u//QR ⇒ u = (1, 0) entonces la recta directriz L = 1, V = (5, 16) con P = 4 P : (y − 16)2 = 16(x − 5) 95. Los puntos A = (60, 13) y B=(-4,61) pertenecen a una parabola P y son simetricos respecto al eje Focal. Desde un punto Q que se encuentra sobre el eje focal con abscisa 20 , se traza un recta tangente a P que pasa por B. Hallar: a) la ecuacion de P, b) las ecuaciones de las rectas tangentes trazadas desde Q. Lt1 LF B

H u

V

a

Lt2 A

Q

a⊥ = |a⊥ | = A+B 2

u= H

( 35 , 45 )

H = (28, 37), entonces y ′2 = 4px′ . . . (α) LF : (28, 37) + t(3, 4) LF : 4x − 3y = 1 Q ∈ LF entonces 4(−20) − 3m = 1 m = −27 entonces Q = (−20, −27) donde V =

Q+H 2

V = (4, 5) x′ = [(x − 4, y − 5)]( 35 , 45 ) entonces x′ = y ′ = [(x − 4, y − 5)]( −4 , 3 ) entonces 5 5

3x+4y−32 5 −4x+3y+1 ′ y = 5

entonces en (α), se tiene : (−4x+3y+1)2 25 2

= 4p (3x+4y−32) 5

P : 16x + 9y 2 − 24xy − 8x + 6y + 1 = 20p(3x + 4y − 32) B ∈ P : 40000 = 20p(200) entonces p = 10 y ′2 = 40px′ a) P : 16x2 − 24xy + 9y 2 − 608x − 794y + 6401 = 0

Serie de Ejercicios de Par´abola

b) LT1 : (x, y) = (−4, 61) + t(5, 22) LT2 = (−20, −27) + t(2, 1)





P´ agina: 58