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DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES FACULTAD DE E.P. : INGENIERÍA DE SISTEMAS E INFORMÁTICA CIENCIAS E E.P.: INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y INGENIERÍA TELECOMUNICACIONES MATEMÁTICA APLICADA A LA INGENIERÍA III CICLO: III

ÁREA: MATEMÁTICA

TEMA: OPERACIONES CON FUNCIONES VECTORIALES TURNO: NOCHE

PABELLÓN: B

AULA: 503 B

SEMANA: 04 SEMESTETRE: 2017 - II

OPERACIONES CON FUNCIONES VECTORIALES Operaciones vectoriales

Algebraicas

con

funciones

6. El producto cruz o vectorial de las funciones vectoriales F y G , denotada por F x G es la función definida por (𝐹 × 𝐺)(𝑡) = 𝐹(𝑡) × 𝐺(𝑡) 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑛 = 3

Sean 𝐹 𝑦 𝐺 funciones vectoriales en 𝑅 𝑛 y f una función real, las cuales tienen el mismo dominio 𝑰. Entonces, para todo t en 𝑰 se definen las siguientes funciones:

7. Si el dominio de 𝐹 contiene la imagen de una función real g entonces se define la función compuesta 𝐹𝑜𝑔 como (𝐹𝑜𝑔)(𝑡) = 𝐹(𝑔(𝑡)) para todo t en el dominio de g.

1. La suma de las funciones vectoriales 𝐹 𝑦 𝐺 , denotada por 𝐹 + 𝐺 es la función definida por (𝐹 + 𝐺)(𝑡) = 𝐹(𝑡) + 𝐺(𝑡)

Todas las funciones en esta definición son funciones vectoriales en 𝑅 𝑛 , excepto la definida en 5 que representa una función real. La función vectorial definida en 6 representa una función vectorial en el espacio 𝑅 𝑛 .

2. La Resta de las funciones vectoriales 𝐹 𝑦 𝐺 , denotada por 𝐹 − 𝐺 es la función definida por (𝐹 − 𝐺)(𝑡) = 𝐹(𝑡) − 𝐺(𝑡)

Ejemplo 01: dadas las funciones vectoriales 𝐹(𝑡) = 3𝑡𝑖 + (2𝑡 + 2)𝑗 + 4𝑡𝑘 𝐺(𝑡) = (3𝑡 − 1)𝑖 + (𝑡 + 1) + 2𝑘 Y la función real: 𝑓(𝑡) = 𝑡 2 Encontrar: a) (𝐹 + 𝐺)(𝑡) (𝐹 + 𝐺)(𝑡) = 𝐹(𝑡) + 𝐺(𝑡)

3. (𝑐𝐹)(𝑡) = 𝑐𝐹(𝑡) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑐 4. El producto de la función f(t) por la función vectorial F , denotada por 𝑓𝐹 es la función definida por (𝑓𝐹)(𝑡) = 𝑓(𝑡)𝐹(𝑡) 5. El producto punto de las funciones vectoriales F y G , denotada por F · G es la función definida por (𝐹 · 𝐺)(𝑡) = 𝐹(𝑡) · 𝐺(𝑡)

i FxG  Fx Gx

F G y

z

j Fy Gy

(𝐹 + 𝐺)(𝑡) = (3𝑡𝑖 + (2𝑡 + 2)𝑗 + 4𝑡𝑘) + ((3𝑡 − 1)𝑖 + (𝑡 + 1)𝑗 + 2𝑘) (𝐹 + 𝐺)(𝑡) = (6𝑡 − 1)𝑖 + (3𝑡 + 3)𝑗 + (4𝑡 + 2)𝑘

k Fz = Gz

b) (𝐹 − 𝐺)(𝑡) (𝐹 − 𝐺)(𝑡) = 𝐹(𝑡) − 𝐺(𝑡)

 G y Fz  i  ( FxGz  Gx Fz ) j ( FxG y  Gx Fy )

(𝐹 − 𝐺)(𝑡) = (3𝑡𝑖 + (2𝑡 + 2)𝑗 + 4𝑡𝑘) − ((3𝑡 − 1)𝑖 + (𝑡 + 1)𝑗 + 2𝑘) (𝐹 − 𝐺)(𝑡) = 𝑖 + (𝑡 + 1)𝑗 + (4𝑡 − 2)𝑘

Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo Web: http://migueltarazonagiraldo.com/

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ÁREA: MATEMÁTICA c) (𝐹 ∙ 𝐺)(𝑡)

Ejemplo 02: Dadas las funciones vectoriales f (t)  (t, t, t 2 ) y g(t)  (t, t 2 , t 3 )

(𝐹 ∙ 𝐺)(𝑡) = 𝐹(𝑡) ∙ 𝐺(𝑡)

Halle a)  f  g  (1)

(𝐹 ∙ 𝐺)(𝑡) = (3𝑡𝑖 + (2𝑡 + 2)𝑗 + 4𝑡𝑘) ∙ ((3𝑡 − 1)𝑖 + (𝑡 + 1)𝑗 + 2𝑘)

 f g  (1) c)  fxg  (2) b)

(𝐹 ∙ 𝐺)(𝑡) = 3𝑡(3𝑡 − 1) + (2𝑡 + 2)(𝑡 + 1) + (4𝑡)(2) (𝐹 ∙ 𝐺)(𝑡) = 9𝑡 2 − 3𝑡 + 4𝑡 2 + 4𝑡 + 2 + 8𝑡

Solución a) Se tiene, 𝑓(1) = (−1, −1, 1) y 𝑔(−1) = (−1, 1 − 1). Luego (𝑓 + 𝑔)(−1) = 𝑓(−1) + 𝑔(−1) = = (−1, −1,1) + (−1,1, −1) = (−2,0,0)

(𝐹 ∙ 𝐺)(𝑡) = 13𝑡 2 + 9𝑡 + 2

d) (𝐹𝑥𝐺)(𝑡) (𝐹𝑥𝐺)(𝑡) = 𝐹(𝑡)𝑥𝐺(𝑡)

i FxG  Fx Gx

j Fy Gy

b) Como 𝑓(1) = (1,1,1) y 𝑔(1) = (1,1,1), entonces (𝑓. 𝑔)(1) = 𝑓(1). 𝑔(1) = (1,1,1). (1,1,1) = 3

k Fz Gz

  Fy Gz  G y Fz  i  ( FxGz  Gx Fz ) j ( FxG y  Gx Fy )

c) Dado que 𝑓(2) = (2,2,4) y 𝑔(2) = (2,4,8), entonces ( fxg )(2)

i j k f (2) xg(2)  2 2 4  (0, 8, 4) 2 4 8

i j k FxG  3t 2t  2 4t 3t  1 t  1 2

Ejercicios

  2(2 t  2)  4 t(t  1) i   2(3t)  4 t()3t  1 j  3t (t  1)  (3t  1)(2 t  2) k 

1. Si

 4(t 2  1)i  2(6 t 2  5 t) j  (3t 2  t  2) k

( f g )(1) y ( fxg )(1) .

e) (𝐹𝑜𝑓)(𝑡)

2. En las siguientes Funciones Vectoriales de Variable Escalar, hallar el Vector para t. indicado: b)

(𝐹𝑜𝑓)(𝑡) = 𝐹(𝑡 2 ) (𝐹𝑜𝑓)(𝑡) = 3𝑡 𝑖 +

(2𝑡 2

3

y

t2 t3 g (t )  (t , , ). Hallar 4 9

2 a) F (t )  5t i  3t j ;

(𝐹𝑜𝑓)(𝑡) = 𝐹(𝑓(𝑡))

2

f (t )  (t , t , t ) 2

t2

F (t )  et i  Cos t j  t 3k ;

2 3 4 c) F (t )  (3t , t , t  1);

2

+ 2)𝑗 + 4𝑡 𝑘

t 0

t 3

3. Efectuar las operaciones con:

f) (𝐺𝑜𝑓)(𝑡) (𝐺𝑜𝑓)(𝑡) = 𝐺(𝑓(𝑡))

f (t )  2t  1

G(t )  (2, t , t ) , en t = 3 a) f F b) F  G c) ( F f ) 2

(𝐺𝑜𝑓)(𝑡) = 𝐺(𝑡 2 ) (𝐺𝑜𝑓)(𝑡) = (3𝑡 2 − 1)𝑖 + (𝑡 2 + 1)𝑗 + 2𝑘 Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo Web: http://migueltarazonagiraldo.com/

F (t )  (3t , t 2 , t  1)

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ÁREA: MATEMÁTICA d) F  G

e) F  G

f) F  G

2 3 4. Sean f (t )  (t  1, 0, t ) y g (t )  ( sent ,  cos t , 0) hallar

a) f (m  n) b) g (t  3) 2 c) f ( sent ) xg (t  1)

2 t

2 5. sean f (t )  ( , 4  t ),

aprender el lenguaje de los números. Las novedades matemáticas de Leibniz sobre el cálculo infinitesimal cautivaron a ambos hermanos. En 1691 viaja a París para guiar a los matemáticos franceses en el uso del cálculo entre los cuales se hallaba el marqués de Guillaume de l´Hopital. En Francia se convirtió en defensor de Leibniz en la polémica que mantenía con Isaac Newton por quien había sido el primero en enunciar los principios del cálculo infinitesimal. Se centró en el cálculo infinitesimal y resolvió la ecuación diferencial de Bernoulli, propuesta por su hermano. Sus hijos Nicolau, Daniel y Johann Bernoulli fueron grandes matemáticos.

g (t )  (ln(t  1), t 2  2t  8) Calcular: a) f (t )  g (t ) b) f (t ) g (t ) c) f (t ) xg (t ) d) 4 f (t )  2 g (t ) , y sus dominios de definición. JOHANN BERNOULLI (Lectura) Johann Bernoulli (Basilea, Suiza 27 de julio de 1667 misma ciudad, 11 de enero de 1748), también conocido como Jean o John, fue un matemático, médico y filósofo suizo. Su padre de religión calvinista deseaba que su hijo se convirtiera en comerciante y aceptó entrar como aprendiz en el negocio familiar de especias y medicinas, pero terminó por hacerlo tan mal que su contrariado padre se vio obligado a rectificar su orientación originaria, entonces su padre decidió que se convirtiera en médico, profesión también relacionada con el negocio familiar. En 1683 ingresa en la Universidad de Basilea y saca el título de médico, sin embargo, durante este tiempo junto a su hermano Jakob también se dedicó a

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Bibliografía LARSON. HOSTETLER. Cálculo y geometría analítica. Tercera edición. McGRAW-WILL Referencias https://ingejoel.jimdo .com/c%C3%A1lculo vectorial/ http://www.vitutor.net/1/vectores_espacio.html https://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-028902/ed99-0289-02.html www.migueltarazonagiraldo.com

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