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• Jefferson Quevedo

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OBJETIVO

Analizar y comprender el estudio del movimiento curvilíneo de partículas mediante el diseño y resolución de un ejercicio de aplicación para entender las teorías fundamentales como velocidad y aceleración. INTRODUCCIÓN El estudio de la dinámica abarca muchas temáticas de relevancia en el estudio de partículas en movimiento. Una partícula o cuerpo ejecuta un movimiento curvilíneo, cuando dicha partícula describe una trayectoria que no es recta. En la naturaleza, así como en la técnica es muy corriente encontrarse con movimientos cuyas trayectorias no son líneas rectas, sino curvas. Estos movimientos son llamados curvilíneos, y se encuentran con más frecuencia que los rectilíneos. Por trayectorias curvas se mueven en el espacio cósmico los planetas, los satélites y en la Tierra se mueven así todos los medios de transporte, las partes de las máquinas, el agua de los ríos, el aire de la atmósfera. Durante este movimiento no se puede decir que varía solamente una coordenada del cuerpo. DESARROLLO Movimiento curvilíneo Un cuerpo describe un movimiento circular cuando su trayectoria es una circunferencia. En este movimiento el vector velocidad varia constantemente de dirección, y su magnitud puede variar o permanecer constante. Por tanto en un movimiento circular un cuerpo se puede mover con rapidez constante o no, pero su aceleración formara siempre un ángulo de 90 °, es decir, un ángulo recto con su velocidad y se desplazara formando un círculo. La aceleración que recibe el cuerpo está dirigida al centro del círculo y recibe el nombre de aceleración normal, radial o centrípeta. El movimiento circular se efectúa en un mismo plano y es el movimiento más sencillo en dos direcciones. A continuación podemos observar en las figuras el movimiento circular de las hélices del helicóptero que describen un movimiento circular, al vaciar la leche el movimiento es curvilíneo o movimiento parabólico, y al vaciar de una banda transportadora de arena describe un movimiento parabólico o curvilíneo. Vector posición en un instante t. Como la posición del móvil cambia con el tiempo. En el instante t el móvil se encuentra en el punto P, o en otras palabras, su vector posición es ṝ y en el instante t' se encuentra en el punto P', su posición viene dada por el vector ṝ'. Diremos que el móvil se ha desplazado Δṝ = ṝ'-ṝ en el intervalo de tiempo Dt=t'-t. Dicho vector tiene la dirección de la secante que une los puntos P y P'.

Velocidad

La velocidad del cuerpo en cualquier punto de una trayectoria curvilínea está dirigida tangencialmente a la trayectoria en este punto y su sentido coincide con el del movimiento del cuerpo en este punto. La velocidad en un punto de un movimiento curvilíneo es realmente tangencial, si observamos el trabajo sobre una piedra de amolar, al apretar sobre ella el extremo de un cuchillo de acero, saltarán de la misma pequeñas partículas en forma de chispa. Estas partículas volarán con una velocidad tangencial en el momento de saltar de la piedra, se ve muy bien que la dirección del vuelo de las chispas concuerda siempre con la tangente a la circunferencia en este punto, y que el sentido de su movimiento coincide con el de la periferia de la piedra. Igualmente las gomas de una bicicleta al rodar salpican el fango en una dirección tangente a la circunferencia (ruedas), los guardafrenos evitan que el ciclista se salpique. Velocidad instantánea La velocidad instantánea del cuerpo en diferentes puntos de la trayectoria curvilínea tiene direcciones diferentes. El módulo de esta velocidad puede ser el mismo en todos los puntos de la trayectoria o variar de punto a punto, de un instante a otro. Vector velocidad El vector velocidad media, se define como el cociente entre el vector desplazamiento Δ ṝ entre el tiempo que ha empleado en desplazarse Dt.

v´ =

r´´ −´r ∆ r = t ´ −t ∆ t

El vector velocidad media tiene la misma dirección que el vector desplazamiento, la secante que une los puntos P y P' de la figura. El vector velocidad en un instante, es el límite del vector velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero.

v´ = lim

∆t→0

∆ r dr = ∆ t dt

Como podemos ver en la figura, a medida que hacemos tender el intervalo de tiempo a cero, la dirección del vector velocidad media, la recta secante que une sucesivamente los puntos P, con los puntos P1, P2....., tiende hacia la tangente a la trayectoria en el punto P.

En el instante t, el móvil se encuentra en P y tiene una velocidad cuya dirección es tangente a la trayectoria en dicho punto.

Aceleración Durante el movimiento curvilíneo del cuerpo puntual, la dirección de la velocidad varía constantemente, aunque su módulo puede variar o no. Pero aunque esta no cambie modularmente nunca se podrá considerar constante, pues la velocidad es una magnitud vectorial y para las magnitudes vectoriales el módulo, la dirección y el sentido son igualmente importantes. Por esto el movimiento curvilíneo es un movimiento acelerado. Durante el movimiento rectilíneo con aceleración constante es justamente el módulo de la velocidad que varía. Además se conoce, que en este caso el vector aceleración está dirigido en el sentido del vector velocidad o contrario a este y que el módulo de la aceleración se determina por la variación del módulo de la velocidad en la unidad de tiempo. Así también se puede observar el movimiento curvilíneo, en el cual el módulo de la velocidad se mantiene constante, pero: ¿Cómo relacionar solamente la aceleración con la variación de la dirección del vector velocidad? ¿Cómo estará dirigida y a que será igual la aceleración? Está claro que el módulo, la dirección y el sentido de la aceleración están relacionados con la forma de la trayectoria curvilínea, pero no se puede observar cada una de las innumerables formas de las trayectorias curvas. El movimiento por cualquier trayectoria curvilínea se puede considerar como un movimiento por arcos de circunferencias de diferentes radios. Por esto, el problema de encontrar la aceleración de un movimiento curvilíneo radica en hallar la aceleración durante el movimiento uniforme del cuerpo por una circunferencia. Vector aceleración

En el instante t el móvil se encuentra en P y tiene una velocidad

→v

cuya dirección es tangente a la trayectoria en dicho

punto. En el instante t' el móvil se encuentra en el punto P' y tiene una velocidad

→v' .

El móvil ha cambiado, en general, su velocidad tanto en módulo como en dirección, en la cantidad dada por el vector diferencia

Δ→ v=→ v ' −→ v .

Se define la aceleración media como el cociente entre el vector cambio de velocidad y el intervalo de tiempo Dt=t'-t, en el que tiene lugar dicho cambio.

v´ =

r´´ −´r ∆ r = t ´ −t ∆ t

Y la aceleración en un instante

a´ = lim

∆t →0

∆ r dr = ∆ t dt EJERCICIO DE APLICACIÓN

Si se sabe que la velocidad del bloque B con respecto al bloque A es B.

v B/ A =5.6 m/s a70°, determine las velocidades de A y

Diagrama de cuerpo libre

Resolución

2 x A + 3 x B =Constante 2 v A +3 v B=0 2

|v B|= 3 v A v B=v A +v B A

Observando que

vA

y

vB

deben ser paralelas a las superficies A y B, respectivamente, la

representación gráfica de esta ecuación es la representada. Nota: asumiendo que

vA

es dirigido

hacia arriba por que lleva a las pistas de inclinación a un diagrama de velocidad que no "cierra"

a=180° −(40 °+30 ° +θ B )

a=(180 °−40 °−30 °−θ B) a=110 °−θ B Aplicamos ley de senos

2 v vA 3 A 5.6 = = sen ( 110 ° −θB ) sen 40 ° sen ( 30 ° +θ B ) 2 v A sen 40 °= v A sen ( 110 °−θ B ) 3 sen ( 110 °−θ B )=0.96418 θB =35.3817 ° θB =4.6183 ° 2 5.6 sen 40° v B= v A= 3 sen ( 30° +35.3817 ° )

v A =5.94

m s

Reemplazamos elresultado para sacar nuestro v A 5.6 sen 40 ° sen ( 30 °+ 35.3817° ) v A= 2 3 v B=3.96

m s

Paraθ B=4.6183 ° 2 5.6 sen 40 ° v B= v A= 3 sen ( 30° + 4.6183° )

v B=6.34

m s

Reemplazamos elresultado para sacar nuestro v A

5.6 sen 40 ° sen ( 30 °+ 4.6183 ° ) v A= 2 3 v A =9.50

m s

CONCLUSIONES Se logró analizar que una partícula o cuerpo ejecuta un movimiento curvilíneo, cuando dicha partícula describe una trayectoria que no es recta. Se pudo observar y determinar que un cuerpo describe un movimiento curvilíneo cuando su trayectoria es una circunferencia Las componentes bases que rigen el movimiento curvilíneo de una partícula son en vector Velocidad o velocidad y el vector aceleración o aceleración REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS [1] Puentes Mónica, 2015. Mecánica vectorial “Dinámica: Movimiento curvilíneo de una partícula”. Recuperado 30 de Noviembre de 2016. Disponible en: https://www.ecured.cu/Movimiento_curvil%C3%ADneo

[2] Robles Sánchez, Alfonso. 2015. Ingeniera Mecatrónica. “Dinámica: Movimiento curvilíneo de una partícula”. Recuperado 30 de Noviembre de 2016. Disponible en: https://sites.google.com/site/dinamicavectorial/home/cinematica-de-una-particula/movimiento-curvilineo