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UNIDAD DE COMPETENCIA 1. PRELIMINARES 1.1 LOS NÚMEROS REALES 1.1.1 LA RECTA NUMÉRICA REAL  DEFINICIÓN DE NÚMERO REAL El cálculo se basa en el sistema de los números reales y en sus propiedades. Considérese el conjunto de todos los números (racionales e irracionales) que pueden medir longitudes, junto con sus negativos y el cero. Estos números se llaman números reales. e incluyen a todas las decimales (periódicas y no periódicas).

DEFINICIÓN DE NÚMERO REAL

Número real es aquel que se puede expresar en forma decimal (finita, periódica infinita o no periódica infinita). Existen símbolos estándar para identificar los números reales. De aquí en adelante, N designará al conjunto de los números naturales (enteros positivos), Z designará al conjunto de los enteros, Q (cociente de enteros) al de los números racionales y R al de los reales. El conjunto de todos los números reales puede clasificarse como se sugiere en el esquema siguiente,  Razones de Enteros    (positivas y negativas)     Racionales  positivos (naturales)    Enteros  Números Reales cero    negativos      Irracionales   (positivos y negativos)

El sistema numérico se puede extender aún más con los números complejos. Estos son de la forma a + bi, donde a y b son números reales e i =

− 1 se llama la unidad

imaginaria. Estos números no se usarán en este curso. En realidad, cuando se diga número sin algún adjetivo calificativo se supondrá que es un número real. Así, los números reales son los personajes principales en cálculo.

1

 LA RECTA NUMÉRICA REAL Es posible asociar el conjunto de los números reales con el conjunto de los puntos en una recta l de modo que a cada número real a le corresponda un punto y uno solo de l; y recíprocamente, que a cada punto P de la recta l le corresponda exactamente un número real. Esta asociación entre dos conjuntos se llama correspondencia uno a uno (o biyectiva). Para representar los números reales en esta recta, primeramente, se escoge un punto arbitrario llamado origen y se le asocia el número real 0. Los puntos asociados a los enteros quedan determinados al marcar segmentos de recta sucesivos de igual longitud a cada lado de 0, como se ilustra en la figura 1.1. Los puntos correspondientes a números 3 4 o − , se obtienen subdividiendo los segmentos de recta de igual racionales como 2 3 2 , se pueden longitud. Los puntos asociados a ciertos números irracionales, como localizar por construcción geométrica. Para otros números irracionales como π, no es posible hacer ninguna construcción. A todo número irracional le corresponde un punto único en l, y recíprocamente, todo punto que no está asociado a un número racional corresponde a un número irracional.

x -4 -3 -2 -1 0

1

2

3

4

Figura 1.1. La recta real

El número a que está asociado al punto A en l se llama coordenada de A. El método de asignación de coordenadas a puntos en l se llama sistema coordenado para l, y l se denomina recta numérica real. Se puede asignar una dirección a l (supuesta horizontal) considerando la dirección positiva hacia la derecha de la recta y la dirección negativa hacia la izquierda de la misma. La dirección positiva se identifica por la flecha en el extremo de l, como se muestra en la figura 1.1. Los números que corresponden a puntos del lado derecho de 0 en la figura 1.1, se llaman números reales positivos, y los que corresponden a puntos a la izquierda de 0, números reales negativos. Por número real no negativo entenderemos un número real que es positivo o cero. Análogamente, por número real no positivo se entenderá un número que es negativo o cero. El número real 0 no es ni positivo ni negativo. 1.1.2 AXIOMAS DE CUERPO Y AXIOMAS DE ORDEN Se está ahora en condición de presentar un conjunto de axiomas que caracterizan al conjunto de los números reales. Se separarán los axiomas en dos grupos. El primer grupo constituye los axiomas de cuerpo.

2

Se supone que el sistema de los números reales es un conjunto R de elementos (que forman un cuerpo). Estos elementos, los términos indefinidos, se llaman números reales. Además, existen dos operaciones fundamentales, llamadas adición y multiplicación, denotadas por a + b y a ⋅ b, definidas en forma tal que los axiomas siguientes sean válidos:

AXIOMAS DE CUERPO: 1. AXIOMAS DE CLAUSURA O CERRADURA: Para todo a, b ∈ R, a + b ∈ R y a ∙ b ∈ R 2. AXIOMAS DE CONMUTATIVIDAD:

Para todo a, b, c ∈ R, (a + b) + c = a + (b + c) y

3. AXIOMAS DE ASOCIATIVIDAD:

4. AXIOMAS DE DISTRIBUTIVIDAD: 5. AXIOMAS DE IDENTIDAD:

Para todo a, b ∈ R, a + b = b + a y a ∙ b = b ∙ a (a ∙ b) ∙ c = a ∙ (b ∙ c)

Para todo a, b, c ∈ R, a ∙ (b + c) = (a ∙ b) + (a ∙ c )

Existen dos números distintos entre sí, 0 y 1, tales que, para toda a ∈ R,

a + 0 = a y a ⋅ 1 = a. El número real 0 se llama idéntico aditivo o elemento neutro para la suma, y el número real 1 se llama idéntico multiplicativo o elemento neutro para la multiplicación. 6. AXIOMAS DE INVERSOS: Para toda a ∈ R existe otro elemento de R, designado por – a tal que satisface la expresión

a + (- a) = 0. Además, para toda a ∈ R (a ≠ 0), existe otro elemento de R, designado por a – 1 tal que satisface la expresión

a ⋅ a – 1 = 1. El elemento – a se llama inverso aditivo (o negativo) de a y el elemento a – 1 se llama inverso multiplicativo (o recíproco) de a.

Desgraciadamente los axiomas de campo no dan una norma que permita comparar números reales. Una importante propiedad de los números reales es que pueden ordenarse.

3

Los números reales distintos de cero se separan en forma adecuada en dos conjuntos ajenos —los números reales positivos y los números reales negativos. Esto permite introducir la relación de orden < (“menor que”) y > (“mayor que”).

DEFINICIÓN DE ORDEN EN LA RECTA REAL: Si a y b ϵ R, entonces

a < b ⇔ a – b < 0 (es un número negativo) a > b ⇔ a – b > 0 (es un número positivo)

Para comparar números reales se necesitan además los axiomas de orden. Si un cuerpo, como el de los números reales, satisface los cuatro axiomas siguientes, se dice que es ordenado.

AXIOMAS DE ORDEN: 1. AXIOMA DE TRICOTOMIA: Si a, b ∈ R, entonces una y sólo una de las siguientes proposiciones es válida:

a < b, a = b o a > b 2. AXIOMA DE TRANSITIVIDAD: SI a, b, c ∈ R, y son tales que a < b y b < c, entonces a < c 3. AXIOMA DE ADICIÓN:

SI a, b, c ∈ R, y son tales que a < b , entonces a + c < b + c

4. AXIOMA DE MULTIPLICACIÓN: SI a, b, c ∈ R, y son tales que a < b y c > 0, entonces a∙c o bien < se llaman signos de desigualdad, y las expresiones como a > b o a < b se llaman desigualdades. Por el modo en que se construye la recta numérica l en la figura 1.1, se puede ver que si A y B son puntos con coordenadas a y b respectivamente, entonces a > b (o bien b < a) si y sólo si A está a la derecha de B. El signo de un número real se considera positivo o negativo si el número es positivo o negativo. Dos números reales tienen el mismo signo si ambos son positivos o negativos; tienen signos opuestos si uno es positivo y el otro negativo.

4

1.2 INTERVALOS Y DESIGUALDADES 1.2.1 INTERVALOS EN LA RECTA REAL Tal y como se ha considerado el conjunto R, se trata del conjunto de los números reales no restringido. Frecuentemente es necesario considerar solamente un subconjunto de R, es decir que se tiene que restringir este conjunto, lo cual se lleva a cabo mediante los intervalos, que son subconjuntos de R linealmente ordenados.  INTERVALOS FINITOS Se llama intervalo abierto determinado por los números reales a y b tales que a < b, al conjunto de todos los números reales mayores que a y menores que b. Este intervalo se denota (a, b) en donde a y b son los extremos del intervalo y se llaman puntos terminales. (a, b) = {x : x ∈ R, a < x < b} En un intervalo abierto (a, b), los extremos a y b no forman parte del mismo. Se llama amplitud del intervalo a la diferencia b – a. Geométricamente el intervalo abierto (a, b) queda representado por el conjunto de todos los puntos de un eje numérico x comprendido entre los puntos que representan a los extremos a y b. x a

b

El intervalo cerrado determinado por los números a y b donde a < b, es el conjunto de todos los números reales x tales que a ≤ x ≤ b y se denota por [a, b]. [a, b] = {x : x ∈ R, a ≤ x ≤ b} En un intervalo cerrado [a, b], los extremos a y b sí forman parte del mismo y la diferencia b – a es la amplitud del intervalo. La representación geométrica del intervalo cerrado [a, b] está constituida por el conjunto de todos los puntos de un eje numérico comprendidos entre los puntos a y b, incluyendo a éstos.

a

b

x

Por intervalo semiabierto se entiende un intervalo abierto (a, b) junto con uno de sus puntos terminales. Hay dos tipos de intervalos semiabiertos: 

Intervalo semiabierto por la izquierda: (a, b] = {x : x ∈ R, a < x ≤ b}

5



[a, b) = {x : x ∈ R, a ≤ x < b}

Intervalo semiabierto por la derecha:

 INTERVALOS INFINITOS Para describir desigualdades como x < a o x > a, conviene utilizar intervalos infinitos. En particular, si a es un número real, definimos (- ∞, a) = {x : x < a} Esto es, (- ∞, a) denota al conjunto de todos los números reales menores que a. El símbolo ∞ (llamado infinito) es solamente un artificio de notación y no debe interpretarse como un número real. Si deseamos incluir el punto correspondiente a a escribimos (- ∞, a] = {x : x ≤ a} Otros tipos de intervalos infinitos se definen mediante (a, ∞) = {x : x > a} [a, ∞) = {x : x ≥ a} El conjunto R de los números reales se denota algunas veces mediante (- ∞, ∞). En la figura 1.2 se presentan las gráficas de los intervalos infinitos para un número real arbitrario a. La ausencia de un círculo a la izquierda de las gráficas de (- ∞, a) y (- ∞, a] y a la derecha de (a, ∞) y [a, ∞), indica que las porciones de trazo grueso es extienden indefinidamente. (- ∞, a) a (- ∞, a] a (a, ∞) [a, ∞)

x x x

a x a Figura 1.2. Intervalos infinitos

6

INTERVALOS EN LA RECTA REAL: INTERVALOS FINITOS: Intervalo abierto:

(a, b) = {x : x ∈ R, a < x < b}

Intervalo cerrado:

[a, b] = {x : x ∈ R, a ≤ x ≤ b}

Intervalo semiabierto por la izquierda:

(a, b] = {x : x ∈ R, a < x ≤ b}

Intervalo semiabierto por la derecha:

[a, b) = {x : x ∈ R, a ≤ x < b}

INTERVALOS INFINITOS:

(- ∞, a) = {x : x < a} (- ∞, a] = {x : x ≤ a} (a, ∞) = {x : x > a} [a, ∞) = {x : x ≥ a} (- ∞, ∞) = {x : x ϵ R}

1.2.2 DESIGUALDADES  DEFINICIÓN DE DESIGUALDAD Un enunciado que indique que una cantidad es mayor o menor que otra cantidad se denomina desigualdad. Existen dos tipos generales de desigualdades en matemáticas: la desigualdad condicional o inecuación y la desigualdad absoluta. Una desigualdad se llama desigualdad absoluta si es verdadera (se satisface) para todos los valores permisibles de las variables que aparecen en ella. Una desigualdad se llama desigualdad condicional o inecuación si no es verdadera para todos los valores permisibles de las variables que aparecen en ella. Por ejemplo,

a2 + b2 + 1 > 0 es una desigualdad absoluta porque para cualquier valor de a y b, a2 + b2 siempre será positiva y por tanto siempre a2 + b2 + 1 > 0. -4 0

es una desigualdad condicional o inecuación puesto que es verdadera sólo para valores de x mayores que 3.

 TEOREMAS FUNDAMENTALES SOBRE DESIGUALDADES A continuación se enuncian y demuestran algunos de los teoremas fundamentales de las desigualdades:

TEOREMA 1.2.1 Si a, b ϵ R, entonces: a) a > b si y sólo si - a < - b b) a < b si y sólo si - a > - b DEMOSTRACIÓN: Si a > b, por el axioma de orden 3 se tiene:

a + [(- a) + (- b)] > b + [(- a) + (- b)] [a + (- a)] + (- b) > [b + (- b)] + (- a) 0 + (- b) > 0 + (-a) -b>-a -a 0. entonces - a < 0

DEMOSTRACIÓN:

a>0 a + (- a) > 0 + (- a) 0>-a -a b y c < 0, entonces a ∙ c < b ∙ c DEMOSTRACIÓN:

a>byc 0)

a ∙ (- c) > b ∙ (- c) -a∙c>-b∙c a∙c b y c > d, entonces a + c > b + d

DEMOSTRACIÓN:

a>b a+c>b+c

c>d b+c>b+d

a+c>b+c>b+d a+c>b+d

∎

TEOREMA 1.2.4 Si a, b, c, d son números positivos y si a > b y c > d, entonces a ∙ c > b ∙ d DEMOSTRACIÓN:

a>b a∙c>b∙c

c>d b∙c>b∙d

a∙c>b∙c>b∙d a∙c>b∙d

∎

TEOREMA 1.2.5 Si c > 0 y a > b, entonces a + c > b

DEMOSTRACIÓN:

a>b a-b>0 a-b+c>0 a+c>b

y

c >0 ∎ 9

TEOREMA 1.2.6 a) Si a > 0 y a > 1, entonces a 2 > a 2

b) Si a > 0 y a < 1, entonces a < a c) Si m, n ∈ Z+ y si m ≥ n y a > 1, entonces a m ≥ a n d) Si a, b > 0 y a > b, entonces a 2 > b 2

e) Si m > 0 y a < b, entonces a /m < b/m f) Si m < 0 y a < b, entonces a /m > b/m

DEMOSTRACIÓN: a)

b)

c)

a>1 a - 1 > 0, (a -1) (a) > 0 a2-a>0 a2>a a 0, (1 - a) (a) > 0 a-a2>0 2 -a >-a 2 a 0, a>1

d)

a>0

n > 0, →

m≥n m-n>0

a m-n ≥ 1

a m ∙ a -n ≥ 1 a m ∙ a -n ∙ a n ≥ a n am≥an

a, b > 0 y a > b a-b>0 a (a - b) > 0 a2-ab>0 a2>ab

10

a>0

b (a - b) > 0 ab-b2>0 ab>b2

a2>ab>b2 a2>b2 e)

m>0 →

1 >0 m

∎

a 0 en donde r1 y r2 son los ceros de la función o puntos de separación.

3. Determinar el signo de la función en los intervalos: (a) para todos los valores de x menores que el menor de los ceros, (b) para todos los valores de x entre dos ceros consecutivos, (c) para todos los valores de x mayores que el mayor de los ceros. Para esto se selecciona un número k, llamado valor de prueba, perteneciente al interior de cada intervalo, se sustituye en el polinomio factorizado del paso 2 y se determina el signo de cada factor, recordando el hecho de que un factor lineal x – r es positivo sólo si x > r y negativo si x < r. 4. Seleccionar los intervalos del paso 3 que satisfagan la desigualdad dada.

Es conveniente trasladar esta información a una tabla de signos: Intervalo

Valor de prueba k

Producto (x – r1)(x – r2)

(- ∞, r1)

k1 (k1 < r1)

(k1 – r1)( k1 – r2)

(r1, r2)

k2 (r1 < k2 < r2)

(k2 – r1)( k2 – r2)

(r1, ∞)

k3 (k3 > r2)

(k3 – r1)( k3 – r2)

Signo de f (x)

Los signos en la última columna deben aparecer alternados porque, como ya se ha mencionado, los extremos de los intervalos, r1 y r2, son los ceros de la función, o sea los puntos donde f (x) pasa de ser f (x) > 0 a f (x) < 0 y viceversa.

13

Este método para resolver una desigualdad utilizando los ceros de la función también puede emplearse para resolver desigualdades de grado superior a 2. Por otra parte, también hay que considerar el caso de una desigualdad de segundo grado que no puede factorizarse en factores lineales reales.

TEOREMA 1.2.7 Si la función cuadrática

ax2 + bx + c,

a≠0

tiene su discriminante b – 4ac negativo, la función es positiva para todo valor de x si a >0 y es negativa si a < 0.

Este teorema es muy útil siempre que uno o más factores en una desigualdad sean funciones cuadráticas irreducibles. Cada uno de dichos factores puede ser suprimido sin ningún cambio en el resto, excepto en el caso de que se trate de una función negativa pues entonces hay que invertir el sentido de la desigualdad.

EJEMPLOS PARA RESOLVER EN CLASE 1. - 2x2 + 12x – 14 > 0 3. 2x2 + 1 ≤ 9x - 3 5. (x + 5)(x + 2)2 (2x – 1) < 0

2. 3x2 – 11x < 4 4. x3 – 5x2 + 4x ≥ 0

 DESIGUALDADES RACIONALES Como su nombre lo indica, este tipo de desigualdades implican el cociente de dos expresiones algebraicas que pueden ser ambas lineales o una de ellas o las dos cuadráticas. Es claro que a medida que la linealidad de los componentes de la desigualdad se altera, el proceso de resolución se vuelve más complicado. Considérese, por ejemplo, la desigualdad 3 1 > x + 2 x −1 Si el símbolo de desigualdad se reemplazara por el de igualdad, tendríamos una ecuación con fracciones cuyas soluciones se encontrarían multiplicando ambos miembros por el menor denominador común, por lo que podríamos sentirnos inclinados a proceder de la misma manera con esta desigualdad, pero si lo hacemos, encontraremos dificultades. Esto es debido a que si no conocemos el signo de un multiplicador variable, entonces no podemos decir si el sentido de la desigualdad se conserva o se altera (teorema 2). Por tanto, nunca debemos multiplicar por un factor variable ambos miembros de una

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desigualdad, a menos que dicho factor conserve el mismo signo en todo el dominio en que está definido. Así, para encontrar el conjunto solución de este tipo de desigualdad que, aunque no es cuadrática, puede resolverse también usando los puntos de separación, seguiremos el siguiente procedimiento:

PASOS PARA RESOLVER UNA DESIGUALDAD FRACCIONARIA 1. Transponer todos los términos a un solo miembro de la desigualdad. 2. Sumar ambas fracciones usando su menor denominador común. 3. Determinar los ceros (puntos de separación) tanto del numerador como del denominador y definir los intervalos. 4. Analizar los signos del numerador y del denominador para determinar el signo de la fracción. Se recomienda elaborar una tabla de signos.

Cociente Intervalo (- ∞, r1)

Valor de prueba k

f (x) =

k2 (r1 < k2 < r2)

(r1, ∞)

k3 (k3 > r2)

Signo de f (x)

𝑓2 (𝑥)

𝑓1 (𝑘1 ) 𝑓2 (𝑘1 ) 𝑓1 (𝑘2 ) 𝑓2 (𝑘2 ) 𝑓1 (𝑘3 ) 𝑓2 (𝑘3 )

k1 (k1 < r1)

(r1, r2)

𝑓1 (𝑥)

EJEMPLOS PARA RESOLVER EN CLASE x−2 ≤2 x+4 1 2 3. < x + 1 3x − 1

1.

x+5 ≥0 2x − 1 x +1 x 4. < 2− x 3+ x

2.

15

1.3 VALOR ABSOLUTO 1.3.1 DEFINICIÓN DE VALOR ABSOLUTO Para determinar la distancia entre dos puntos cualesquiera del sistema unidimensional basta restar la coordenada del punto situado a la izquierda de la del punto situado a la derecha; así, si x1 < x2, la distancia entre x1 y x2 es x2 – x1, pero si x2 < x1, la distancia debe ser x1 – x2 ya que la distancia, cuando no es dirigida, debe ser siempre positiva. El inconveniente de tener que distinguir entre las posiciones relativas de los dos puntos se evita empleando la noción de valor absoluto, el cual es útil en extremo en el cálculo y es necesario adquirir práctica en trabajar con él. El valor absoluto de un número x, denotado por |x| indica el tamaño o magnitud de x sin considerar su signo.

DEFINICIÓN DE VALOR ABSOLUTO El valor absoluto de un número real x se define como:  x si x ≥ 0 x = − x si x < 0

Por ejemplo, |3| = 3, |0| = 0 y |- 3| = - (- 3) = 3. Así pues, se usará el concepto de valor absoluto para definir la distancia entre dos puntos de una recta numérica real. Comencemos por notar que, como se mencionó antes, la distancia entre los puntos con coordenadas a y b, siendo a < b, es la diferencia b – a, que se obtiene de restar la coordenada menor de la mayor. Si empleamos valores absolutos, entonces, puesto que |b – a| = |a – b|, no es necesario que nos preocupemos por el orden de la resta. Esto motiva nuestra siguiente definición:

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Sean a y b las coordenadas de dos puntos A y B, respectivamente, en una recta numérica real l. La distancia entre A y B, denotada por d (A, B), se define como

d (A, B) = |b – a| El número d (A, B) se llama longitud del segmento de recta AB.

Obsérvese que, como d (B, A) = |a – b| y que |b – a| = |a – b|, podemos escribir

d (A, B) = d (B, A)

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Nótese también que la distancia entre el origen 0 y el punto A es

d (0, A) = |a – 0| = |a| Por lo tanto, una de las mejores formas de pensar en el valor absoluto consiste en hacerlo como distancia (no dirigida). En particular, |x| = distancia entre x y el origen |x – a| = |a – x| distancia entre x y a Además de ser útil para encontrar la distancia entre dos puntos, el concepto de valor absoluto tiene otros usos. Generalmente se emplea siempre que estemos interesados en la “magnitud” o “valor numérico” de un número real sin importar su signo. Es conveniente recordar aquí la definición del signo de raíz cuadrada, a saber: para todo número positivo a, a denota la raíz cuadrada no negativa de a, llamada raíz cuadrada

principal de a. Esto se puede recalcar mediante la definición siguiente: Para todo número real x, x2 es positiva (o cero si x = 0) y  x si x ≥ 0 x 2 =  − x si x < 0

De este modo,

(7) 2

=7y

(− 7) 2

= - (- 7) = 7 y, en general,

x 2 = |x|

1.3.2 PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO Como una consecuencia inmediata de la definición de valor absoluto, se tiene el siguiente teorema:

TEOREMA 1.3.1 Para toda a ∈ R, - |a| ≤ a ≤ |a| DEMOSTRACIÓN: Para la desigualdad de la derecha: Si a ≥ 0, entonces |a| = a y 0 ≤ |a| Si a < 0, entonces |a| = - a y 0 < - a

De modo que a < 0 ≤ |a|

17

De donde

a ≤ |a| para toda a

Para la desigualdad de la izquierda: Si a ≥ 0, entonces a = |a| - a = - |a| y - |a| ≤ 0 ≤ a

Si a < 0, entonces |a| = - a - |a| = a y - |a| ≤ 0 ≤ a De donde - |a| ≤ a para toda a De modo que para toda a, - |a| ≤ a ≤ |a|

∎

El valor absoluto se comporta en forma regular en la multiplicación y la división.

TEOREMA 1.3.2 Si a y b son dos números reales cualesquiera, el valor absoluto de su producto (o cociente) es igual al producto (o cociente) de sus valores absolutos: |a ∙ b| = |a| ⋅ |b|

a a = , b≠0 b b

DEMOSTRACIÓN: a⋅b =

(ab ) 2

= a2 b2 = a2 ⋅ b2 = a ⋅ b 2

a a =   = b b

TEOREMA 1.3.3 Si d > 0, entonces

a) |c| ≤ d si y sólo si – d ≤ c ≤ d

b) |c| ≥ d si y sólo si c ≥ d ó c ≤ - d

18

a2 = b2

a2 b2

=

a b

, b≠0

∎

DEMOSTRACIÓN: a) Primero, si |c| ≤ d entonces – d ≤ c ≤ d Por teorema 1 entonces Por teorema 1 Entonces Por lo tanto

c ≤ |c|, y como |c| ≤ d c ≤ |c| ≤ d

→

c≤d

- |c| ≤ c, y como |c| ≤ d → - d ≤ - |c|

- d ≤ - |c| ≤ c → - d ≤ c -d≤c≤d

∎

Ahora, si d > 0 y – d ≤ c ≤ d, entonces |c| ≤ d

Si c ≥ 0

|c| = c y como c ≤ d

Si c < 0

|c| = - c y como - d ≤ c

Entonces

Entonces y

|c| ≤ d

-c≤d

|c| ≤ d

b) Primero, si |c| ≥ d entonces c ≥ d ó c ≤ - d Si c ≥ 0

|c| = c y como |c| ≥ d y d > 0

Si c < 0

|c| = - c y como |c| ≥ d y d > 0

Entonces

Entonces

c≥d

-c≥d

→

c≤-d

Ahora, si c ≥ d ó c ≤ - d entonces |c| ≥ d

Si c ≥ 0

|c| = c y como c ≥ d

Si c < 0

|c| = - c → - |c| = c y como c ≤ - d

Entonces

Entonces

∎

∎

|c| ≥ d

- |c| ≤ - d, o sea |c| ≥ d

∎

Como se mencionó anteriormente, el valor absoluto se comporta en forma regular en la multiplicación y la división, pero no así en la adición. 19

TEOREMA 1.3.4 Si a y b son dos números reales cualesquiera, el valor absoluto de su suma es menor o igual que la suma de sus valores absolutos: |a + b| ≤ |a| + |b|

DEMOSTRACIÓN: Por el teorema 1

- |a| ≤ a ≤ |a| - |b| ≤ b ≤ |b|

Sumando ambas desigualdades

- [|a|+ |b|] ≤ a + b ≤ |a| + |b|

Si en el teorema 3 se hace c = a + b y d = |a| + |b| Entonces, como Se tiene que

|c| ≤ d

|a + b| ≤ |a| + |b|

Este teorema es conocido como la desigualdad del triángulo.

∎

EJEMPLOS PARA RESOLVER EN CLASE Determínense todos los valores posibles de x en las siguientes expresiones: 1. |2x + 5| > 6 4−x 3. ≥9 2 5. |2x - 5| < 3

2. |5 - 3x| < 7 x+4 4. ≤2 3 6. |7 - 4x| ≤ 9

1.3.3 RESOLUCIÓN DE DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO Como ya se ha mencionado, si x es un número real, entonces la desigualdad |x| < 1 es equivalente a – 1 < x < 1. Esto, a su vez, significa que x está en el intervalo abierto (- 1, 1). En general, ya hemos demostrado que si d es cualquier número real positivo, entonces:

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PROPIEDADES DE LOS VALORES ABSOLUTOS Si d > 0, entonces • • •

|c| < d |c| > d |c| = d

si y sólo si si y sólo si si y sólo si

–d5 x−2

3.

3x + 8 ≥4 2x − 3

4.

x−2 ≤1 3 − 2x

5. |5x - 3| ≤ |3x + 5|

6. |3x + 1| < 2 |x – 6|

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UNIDAD DE COMPETENCIA 2. FUNCIONES DE UNA VARIABLE Uno de los temas fundamentales en el cálculo es el análisis de las relaciones entre cantidades físicas o matemáticas. Es posible describir estas relaciones en términos de gráficas, fórmulas, datos numéricos o palabras. En esta unidad de competencia se desarrolla el concepto de función, que es la idea fundamental detrás de casi todas las relaciones matemáticas y físicas, independientemente de la forma en la que éstas se expresan. Se estudiarán las propiedades de algunas de las funciones básicas que se encuentran en el cálculo, incluyendo polinomios, funciones trigonométricas, trigonométricas inversas, funciones exponenciales y funciones logarítmicas. 2.1 FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL 2.1.1 DEFINICIÓN DE FUNCIÓN Uno de los aspectos más importantes de la ciencia consiste en establecer relaciones entre diversos tipos de fenómenos. Una vez que se conoce una relación, se pueden hacer predicciones. Por ejemplo, un químico puede usar una de las leyes de los gases para predecir la presión de un gas encerrado, dada su temperatura; un ingeniero puede usar una fórmula para predecir la deflexión de una viga sujeta a diversas cargas; a un economista le gustaría poder predecir las tasas de interés, dadas las tasas de cambio de la oferta de capitales, etc. Muchas leyes científicas y principios de ingeniería describen la manera en que una cantidad depende de otra. Esta idea fue formalizada en 1673 por Leibniz, quien acuñó el término función para indicar la dependencia de una cantidad respecto de otra. Estas relaciones especiales llamadas funciones representan uno de los conceptos más importantes de todas las matemáticas. Los esfuerzos que se hagan desde el principio para comprender y utilizar este concepto con exactitud, se verán recompensados muchas veces. ¿Qué tienen en común todos los ejemplos de relaciones dados aquí? Cada uno se refiere a asociaciones de elementos de un primer conjunto, llamado dominio de la relación, con elementos de un segundo conjunto, llamado rango o recorrido de la relación. Considérese la tabla siguiente, la cual muestra tres relaciones que se refieren al cubo, al cuadrado y a la raíz cuadrada. Las dos primeras relaciones son ejemplos de funciones. La tercera no lo es. Este término tan importante, función, se define a continuación.

22

RELACIÓN 1 Dominio Recorrido (número) (cubo) 0 1 2

RELACIÓN 2 Dominio Recorrido (número) (cuadrado)

0 1 8

-2 -1 0 1 2

4 1 0

RELACIÓN 3 Dominio Recorrido (número) (raíz cuadrada) 0 0 1 1 -1 2 4 -2 3 9 -3

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN: EN FORMA DE REGLA Una función f es una regla de correspondencia que asocia a cada objeto x en un conjunto de elementos llamado dominio un solo valor f (x) de un segundo conjunto. El conjunto de todos los valores así obtenidos se denomina rango o recorrido de la función. (Ver la figura 2.1)

Esto es, todas las funciones son relaciones, pero algunas relaciones no son funciones. Una función

f

● ● ● x

● ● ●f (x)

●

Dominio

Recorrido Figura 2.1. Función

En los ejemplos del cubo, cuadrado y raíz cuadrada anteriores, se observa que todas son relaciones, pero solamente las relaciones 1 y 2 también son funciones, dado que a cada valor del dominio corresponde precisamente un único valor del recorrido. Por otra parte, la relación 3 no es una función, puesto que hay al menos un valor del dominio al que corresponden más de un valor del recorrido. Dado que en una relación (o función) los elementos del recorrido forman parejas con elementos del dominio mediante alguna regla o proceso, esta correspondencia se puede ilustrar mediante parejas ordenadas de elementos en los que el primer componente representa un elemento del dominio y el segundo el elemento del recorrido que corresponde. Así, se pueden escribir las relaciones 1 a 3 en la forma: Relación 1 = {(0, 0), (1, 1), (2, 8)} Relación 2 = {(- 2, 4), (- 1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4)} Relación 3 = {(0, 0), (1, 1), (1, - 1), (4, 2), (4, - 2), (9, 3), (9, - 3)}

23

Esto sugiere una forma alternativa, pero equivalente, de definir las funciones.

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN: EN FORMA DE CONJUNTOS Una función es un conjunto de parejas ordenadas de elementos (x, f (x)), siempre que dos parejas ordenadas distintas no tengan el mismo primer componente.

El conjunto de los primeros componentes se llama dominio y el conjunto de las segundas componentes se llama recorrido de la función. De acuerdo con esta definición, se ve (como antes) que la relación 3 no es una función, dado que hay dos parejas ordenadas distintas que tienen el mismo primer componente (está asociado más de un elemento del recorrido con un elemento del dominio). La definición dada en forma de regla de una función sugiere una fórmula o una “máquina” operando sobre valores del dominio para producir valores del recorrido (un proceso dinámico). Por otro lado, la definición de este conceptos que toma como base a los conjuntos se relaciona estrechamente con las gráficas en un sistema de coordenadas cartesianas (una forma estática). Cada enfoque tiene sus ventajas en determinadas situaciones. El concepto de función constituye una base fundamental para el cálculo diferencial e integral, ya que multitud de fenómenos físicos de la vida real pueden ser representados por un modelo matemático donde figuran todas aquellas magnitudes variables que intervienen en el fenómeno. Por esta razón de aquí en adelante concentraremos nuestra atención solamente en aquellas relaciones que son funciones, siendo uno de los principales objetivos de esta sección exponer las formas más comunes en las que se especifican las funciones (incluyendo una notación especial) y proporcionar cierta experiencia para determinar si una relación dada es o no una función. 2.1.2 NOTACIÓN Y EVALUACIÓN DE FUNCIONES Se acaba de explicar que una función comprende dos conjuntos de elementos, el dominio y el recorrido, y una regla de correspondencia que permite asignar a cada elemento del dominio un elemento preciso del recorrido. Así como se usan literales diferentes para designar los nombres de los números, de la misma manera se usan literales distintas para designar las funciones, tales como f, g, φ, etc.

Ya se ha mencionado que las funciones pueden especificarse de varias maneras, pero nos concentraremos sobre todo en las dadas por una ecuación que liga a las variables dependiente e independiente. Para evaluar una de estas funciones, generalmente se aísla la variable dependiente en la parte izquierda de la ecuación. Así, si x representa un elemento del dominio de una función f, a menudo se usa el símbolo f (x) para designar el número en el recorrido de la función f asociado a x. Por ejemplo,

f (x) = 2x + 5

24

Es importante no pensar en f (x) como el producto de f por x. El símbolo f (x) se lee “f de x” o “f en x”. Esta notación funcional tiene la ventaja de identificar claramente x como la variable independiente o argumento de f, y a f (x) como la variable dependiente, a la vez que le otorga a la función un nombre, f. Con esta terminología se quiere sugerir que x tiene la libertad de variar, pero que una vez que x tiene un valor específico, se determina un valor de f (x) correspondiente. Para expresar el valor de la función cuando la variable independiente x tiene un valor particular, digamos x = a, simplemente se sustituye x por a y se denota a la función por f (a). Por ejemplo,

f (a) = 2a + 5 f (0) = 2 (0) + 5 = 5 f (- 1) = 2 (- 1) + 5 = 3, etc. Es decir, los símbolos indican en una forma concisa que son los valores del recorrido asociados a valores particulares del dominio. Nótese que el símbolo f (x) solamente tiene sentido cuando x pertenece al dominio de f ; para otros x el símbolo f (x) no está definido. Es muy importante entonces entender y recordar la definición de f (x):

EL SÍMBOLO f (x) DE UNA FUNCIÓN Para cualquier elemento x del dominio de una función f, el símbolo f (x) representa el elemento del recorrido de f que corresponde a una x del dominio de f. (Si x es un valor sustituido, f (x) es un resultado, es decir, simbólicamente, f : x → f (x). La pareja ordenada (x, f (x)) pertenece a la función f.

Aunque por lo general se usa f como símbolo para las funciones y x para la variable independiente o argumento, se pueden usar otros símbolos. Por ejemplo, F (x), f (t), g (s), φ (x), φ (θ), etc.

2 Igualmente, si una función se define como, por ejemplo f (x) = x , el símbolo que se usa 2 2 para la función y variable es irrelevante; esto es, expresiones como f (x) = x , f (s) = s , 2 2 g (t) = t y k (r) = r , todas definen la misma función. Esto es cierto porque si a define 2 cualquier número en el dominio, entonces el mismo valor a se obtiene sin importar qué expresión se emplee.

25

EJEMPLOS PARA RESOLVER EN CLASE 2 1. Si f (x) = x2 - x + 1, calcular f (3), f (- 2) y f   3

y  1 , hallar φ ( 41 ) , φ (0) , φ (x3), φ (x + 2), φ (- y) y φ  4  2 1+ y z  f ( x + h) − f ( x ) 3. Si f (x) = 2x2 + 5x - 3, hallar h 2. Si φ ( y ) =

2.1.3 DOMINIO Y RECORRIDO Como consecuencia de las definiciones anteriores, se ve que una función se puede determinar de diferentes maneras: mediante una ecuación, una tabla, un conjunto de parejas ordenadas de elementos, una gráfica, por nombrar sólo algunas de las formas más comunes. La regla de correspondencia es el corazón de una función, pero ésta no queda determinada por completo sino cuando se da su dominio; La regla de correspondencia, junto con el dominio, determina el recorrido. Es decir, lo importante es que se dé un conjunto de elementos llamado dominio y una regla (método o proceso) para obtener el correspondiente valor del recorrido para cada valor del dominio. Todos los dominios y recorridos utilizados en este curso serán conjuntos de números reales y las reglas que asocian valores del recorrido con valores del dominio serán funciones con una sola variable, por lo que se dice que f es una función real de una variable real. Por ejemplo, considérese la función

f (x) = x2 – x, x ∈ R Para cada valor de x se obtiene un solo resultado f (x). Los números considerados para x son valores del dominio y los resultados obtenidos son valores del recorrido. La ecuación (la regla de correspondencia) asocia a cada valor x del dominio un valor f (x) del recorrido. La variable x se llama variable independiente o argumento de la función y f (x) se llama la imagen de x bajo f.

DEFINICIÓN DE DOMINIO El dominio de una función está constituido por el conjunto de todos valores reales x que hagan que el valor de la función también sea real e indica para qué valores está definida la función y para cuáles no está definida.

Mientras no se indique lo contrario, se observará la siguiente convención en lo que atañe a dominios y recorridos de funciones determinadas mediante ecuaciones. 26

CONVENCIÓN SOBRE DOMINIOS Y RECORRIDOS Si una función está definida mediante una ecuación y no se indica el dominio, se supondrá que éste es el mayor conjunto de números reales para los que la regla de la función tenga sentido, es decir todos los números reales que, al reemplazar a la variable independiente produzcan valores reales de la variable dependiente. Éste se llama el dominio natural de la función. El recorrido será el conjunto de todos los resultados correspondientes a los valores sustituidos.

Los números que deben recordarse para excluirlos del dominio natural son aquellos que causarían una división entre cero o la raíz cuadrada de un número negativo. EJEMPLO a) La función f (x ) =

x no está definida para x = 1 porque este valor anula el x −1 denominador. Por tanto el dominio natural para f es Df = {x : x ∈ R, x ≠ 1}.

b) La función f (x ) =

x sólo está definida para x ≥ 0 porque se está trabajando sólo con números reales. Por lo tanto, el dominio natural de f es Df = {x : x ∈ R, x ≥ 0}.

EJEMPLOS PARA RESOLVER EN CLASE Encontrar el dominio natural de las siguientes funciones: 2

1. f (x) = 2 + x – x 3. f (x) = 5. f (x) =

(x + 1)(x + 2) x+2 3

x 5 + 4 x 3 − 2x + 3

2. f (x) =

x 4 − 3x

4. f (x) =

x2 − x − 2

6. f (x) =

x 4 − 3x

2.1.4 FUNCIONES ALGEBRAICAS La noción moderna de función es fruto de los esfuerzos de muchos matemáticos de los siglos XVII y XVIII. A finales del XVIII los matemáticos y científicos habían llegado a la conclusión de que la mayoría de los fenómenos naturales pueden representarse por modelos matemáticos tomados de una colección básica de funciones, llamadas también funciones elementales.

27

FUNCIÓN CONSTANTE Una función f es una función constante si hay algún elemento (fijo) c en el recorrido tal que

f (x) = c para todo x en el dominio.

El dominio de una función constante está constituido por el conjunto de los números reales y su recorrido consta únicamente del valor c. Esto es, si una función constante se representa mediante un diagrama del tipo que se muestra en la figura 2.2, toda flecha que parte de D termina en el mismo punto en R. D

R

x1 x2

c

x3

Figura 2.2. Función constante

La gráfica de la función constante es una recta paralela al eje de las abscisas, con ordenada c: f (x) y = f (x) = x c 0

x

D = {R} R = {c}

FUNCIÓN IDENTIDAD Es una función en la que para cada valor x del dominio le corresponde el mismo valor f (x) del recorrido. Comúnmente la función identidad se representa por I.

I (x) = f (x) = x Tanto el dominio como el recorrido de la función identidad es el conjunto de los números reales.

28

La gráfica de la función identidad es una recta que pasa por el origen y que tiene un ángulo de inclinación de 45°. f (x) = x

45°

x

0

A partir de estas funciones elementales se pueden construir muchas de las funciones importantes en cálculo.

FUNCIÓN ALGEBRAICA Una función algebraica es la formada un número finito de operaciones algebraicas en la función constante y la función identidad.

Ejemplos de funciones algebraicas son las siguientes:

f (x) = x2 – 2x + 5

f (x) =

f (x) = 5x4 - 3

5

x2 +

4x 2 − 3x + 2 x 3 + 2x 2 − 9

(x+2) x + 3

3

f (x) =

3

3x + 5

x

x −1 2

Las funciones algebraicas se pueden clasificar a su vez en:

FUNCIÓN RACIONAL ENTERA O POLINOMIAL Una función f se llama función racional entera o polinomial si f (x) es de la forma

f (x) = an x n + an – 1 x n – 1 + ... + a2 x2 + a1 x + a0 Es decir, es la que se obtiene al efectuar con las funciones constante e identidad un número finito de operaciones de adición y multiplicación. Cuando se escribe f (x) en esta forma se supone tácitamente que an ≠ 0. Los números a0, a1, …, an son números reales llamados coeficientes y los exponentes son enteros no negativos. Si an ≠ 0, se dice que f es de grado n. 29

Una función polinomial debe ser considerada como la suma de funciones cuyos valores k son de la forma cx , en donde c es un número real y k es un entero no negativo. Dichas funciones se llaman funciones potenciales. El dominio de estas funciones es R. Para polinomios de bajo grado se concretará la notación de los coeficientes así: Grado 0 Grado 1 Grado 2 Grado 3

f (x) = a f (x) = ax + b f (x) = ax2 + bx + c f (x) = ax3 + bx2 + cx + d

Función constante Función lineal Función cuadrática Función cúbica

FUNCIÓN RACIONAL Una función f es una función racional si, para toda x en su dominio, f (x ) =

g ( x) h( x)

en donde g (x) y h (x) son polinomios y h (x) ≠ 0. Es decir, es el cociente de dos funciones racionales enteras, siendo el divisor diferente de cero. Nótese que una función racional se obtiene efectuando con las funciones constante e identidad un número finito de operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división. Si g (c) = 0 entonces f (c) = 0. Sin embargo, si h (c) = 0, entonces f (c) no está definida. Por lo tanto, el dominio de f (x) es el conjunto de todos los números reales x tales que h (x) ≠ 0. El comportamiento de f (x) requiere de especial atención cuando x está cerca de una raíz del denominador h (x).

FUNCIÓN IRRACIONAL Una función f es una función irracional si tiene la forma

f (x) =

n

P (x )

en donde P(x) es un polinomio. Es decir, son aquellas en donde algún exponente no es entero e involucran, sobre todo, expresiones que poseen radicales.

Ejemplos de funciones irracionales son los siguientes:

30

f (x) =

x 2 − 16

g (x) =

5x − x + 1 3

2x − 3

h (x) =

2x 3x x − 3 5

El dominio de estas funciones son todos los números reales, excepto aquellos que hagan el radicando menor que cero cuando el índice del radical es par. Las funciones que no son algebraicas, como las funciones trigonométricas, trigonométricas inversas, exponenciales y logarítmicas (que serán presentadas más adelante) se denominan funciones trascendentes. Todas las funciones, algebraicas y trascendentes, son la materia prima básica para el cálculo.

2.1.5 GRÁFICAS DE FUNCIONES ALGEBRAICAS  CONSTRUCCIÓN DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN Lo importante de una función f es que el número f (x) esté determinado para todo número x de su dominio. Sin embargo, ni la definición intuitiva ni la formal dan la mejor manera de representar una función. La mejor manera consiste en hacer dibujos, de lo cual se hablará en la presente sección. Podemos emplear la gráfica de una función f para analizar el comportamiento de f (x) cuando los valores x del dominio varían. Puesto que una función no es más que una colección de pares de números, el trazado de una función se reduce a trazar cada uno de los pares de la misma. El dibujo así obtenido recibe el nombre de gráfica de la función. Es decir, la gráfica contiene todos los puntos correspondientes a pares (x, f (x)). Si una función se define por medio de una ecuación, entonces la gráfica de f es la gráfica de la ecuación. A continuación se verá cómo utilizar el sistema de coordenadas rectangulares para dar una representación geométrica o gráfica de una función. Este método tiene la ventaja de que proporciona visualmente un diagrama del comportamiento de una función dada de una variable.

31

CONSTRUCCIÓN DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN 1. Determinar la extensión de la curva (dominio) 2. Determinar las intersecciones con los ejes, es decir los puntos de coordenadas (x, 0) y (0, f (x)). Las intersecciones de la gráfica de una función f con el eje horizontal son las soluciones de la ecuación f (x) = 0. Estos números se conocen como ceros o raíces de la función. La intersección de la gráfica con el eje vertical es f (0), si es que existe. 3. Determinar y localizar las asíntotas verticales y horizontales, si las hay. 4. Tabular para unos cuantos valores de x. 5. Tomar cada uno de estos pares de valores reales como coordenadas (x, f (x)) de un punto en un sistema de coordenadas rectangulares y unir dichos puntos mediante una curva suave. El conjunto de todos los puntos, y sólo ellos, cuyas coordenadas satisfacen la ecuación y = f (x) se llama el lugar geométrico o gráfica de la función.

Por supuesto, se necesita usar el sentido común y hasta un poco de fe. Al unir las gráficas de los puntos mediante una curva suave, se está asegurando que la curva se comporta de manera regular, lo cual es cuestión de fe. Esta es la razón de que deban graficarse suficientes puntos para que el diseño de la curva aparezca muy claro; entre más puntos se dibujen, menos imaginación se necesita. También debe reconocerse que rara vez se puede desarrollar la curva completa, pero la gráfica debe mostrar las características esenciales.

EJEMPLOS PARA RESOLVER EN CLASE 1. Trazar la gráfica de f si f (x) = 2. Trazar la gráfica de f si f (x) =

9 − x 2 y determinar su dominio y su recorrido de 1 y determinar su dominio y su recorrido. x +1 2

 IDENTIFICACIÓN DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN Es importante hacer notar que la gráfica de una función no puede contener ni siquiera dos puntos situados sobre la misma vertical. Esta conclusión se desprende inmediatamente de la definición de función; dos puntos sobre la misma vertical corresponden a pares de la forma (a, b) y (a, c) y, por definición, una función no puede contener (a, b) y (a, c) si b ≠ c. Viceversa, si un conjunto de puntos del plano tiene la propiedad de que no hay dos puntos situados sobre la misma vertical, entonces dicho conjunto es la gráfica de una función.

32

IDENTIFICACIÓN DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN: CRITERIO DE LA RECTA VERTICAL La condición geométrica para que f (x) sea una función es que toda recta paralela al eje vertical debe cortar la gráfica en un solo punto. De otra manera, f (x) representa a una relación.

En consecuencia, la gráfica de una función no puede ser una figura del tipo de una circunferencia o de una parábola horizontal, en las que una recta vertical puede cortar a la gráfica en varios puntos.

(a) Sí es una función

(b) No es una función

Figura 2.3. Criterio de la recta vertical

 FUNCIONES DEFINIDAS PARTE POR PARTE Una función f puede implicar dos o más expresiones, cada una definida en partes distintas sobre el dominio de f. Una función definida de esta manera se denomina función definida parte por parte. Por ejemplo, x 0, o hacia abajo si a < 0. Obsérvese que puesto que (h, k) es el punto más bajo (o el más alto) de la parábola, f (x) tiene su mínimo (o máximo) valor en x = h. Este valor es f (h) = k.

INTERSECCIONES CON EL EJE HORIZONTAL DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA Las intersecciones x de la gráfica de f (x) = ax2 + bx + c son las soluciones de la ecuación 2 cuadrática ax + bx + c = 0. • • •

2

Si b – 4ac > 0, la ecuación tiene dos soluciones reales y no iguales, y la gráfica, dos intersecciones x. 2 Si b – 4ac = 0, la ecuación tiene una solución (doble) y la gráfica es tangente al eje horizontal. Si b2 – 4ac < 0, la ecuación no tiene soluciones reales y la gráfica carece de intersecciones x. n

Las funciones de la forma f (x) = x para los distintos números naturales n son, a veces, llamadas funciones potenciales. Resulta fácil comparar sus gráficas como en la figura 2.8, dibujando varias a la vez. f (x) = x3

f (x) = x2

f (x) = x4 (- 1, 1)

f (x) = x (1, 1)

(- 1, - 1)

Figura 2.8. Funciones potenciales f (x) = x

36

n

Las funciones potenciales son solamente casos especiales de las funciones polinomiales. En la figura 2.9 se han trazado dos gráficas de funciones polinomiales, es decir, funciones de la forma

f (x) = an xn + an – 1 x n – 1 + … a0 en el caso an > 0.

f (x) = x3 – 3x f (x) = x2 + x

(a)

(b) Figura 2.9. Funciones polinomiales

En cuanto a las funciones polinomiales de grado mayor que 2, se requieren métodos que más adelante se estudiarán para hacer un análisis completo de las gráficas de estas funciones. Generalmente, a medida que el grado aumenta, la gráfica es más complicada. Sin embargo, su apariencia siempre es la de una curva aislada con algunos “picos” y “valles”. Los puntos en los que se presentan los picos (o crestas) y los valles se llaman, algunas veces, puntos críticos de la gráfica de f. En un punto crítico f cambia de ser creciente a ser decreciente, o viceversa. Una forma elemental para obtener un esquema aproximado, consiste en representar muchos puntos y ajustar a una curva suave a la figura resultante. Este procedimiento es generalmente muy tedioso. La obtención de las gráficas por este método implica el uso de una propiedad de las funciones polinomiales llamada continuidad, que más adelante estudiaremos ampliamente y significa que un pequeño cambio en x produce un pequeño cambio en el valor de la función f (x). Sin embargo, es posible aproximar la gráfica de una función polinomial elaborando una tabla de análisis de signos, tal como se hizo en la sección 1.2.3.

37

EJEMPLOS PARA RESOLVER EN CLASE 1. Trazar la gráfica de f si f (x) = -

1 2 x + 4. 2

2. Trazar la gráfica de f si f (x) = 2x2 – 6x + 4 y hallar el valor mínimo de f (x). 3. Trazar la gráfica de f si f (x) = 8 – 2x - x2 y hallar el máximo valor de f (x). 4. Si f (x) = x3 + x2 – 4x – 4, determinar todos los valores de x tales que f (x) > 0, y todos los valores de x tales que f (x) < 0. Utilizar esta información para trazar la gráfica de f. 5. Sea f (x) = x4 - 4x3 + 3x2. Determinar todos los valores de x tales que f (x) > 0, y todos los valores de x tales que f (x) < 0. Trazar la gráfica de f.

 GRÁFICAS DE FUNCIONES RACIONALES Finalmente, recuérdese que una función f es una función racional si, para toda x en su dominio,

f (x) =

g ( x) h( x)

en donde g (x) y h (x) son polinomios y h (x) ≠ 0. Si existe algún número real c tal que h (c) = 0, entonces f (c) no está definida. El comportamiento de f (x) requiere de especial atención cuando x está cerca de una raíz del denominador h (x). La figura 2.10 muestra las gráficas de algunas funciones racionales.

f (x) =

1 x

+

f (x) → ∞ cuando x → 0

f (x) = f (x) =

1 x2

-

f (x) → - ∞ cuando x → 0

(a)

(b) Figura 2.10. Funciones racionales

38

1 x2

Póngase especial atención a las gráficas de la figura 2.10. Cuando se unen los puntos graficados mediante una curva suave, no se hizo en una forma mecánica que ignore las características especiales que pueden evidenciarse en la fórmula de la función. En ambos casos es claro que algo dramático debe suceder cuando x se aproxima a 0. En efecto, los valores de f (x) aumentan (o disminuyen) sin límite. Se ha indicado esto dibujando una línea punteada vertical, llamada asíntota, en x = 0. Cuando x se aproxima a 0, la gráfica se acerca más y más a esta recta, aunque ella misma no es parte de la gráfica. Más bien, es una línea guía. Nótese que, en ambos casos, la gráfica de f también tiene una asíntota horizontal, concretamente, el eje horizontal. En general, el símbolo x → a+ denotará que x se aproxima a a por la derecha, esto es, por valores mayores que a. El símbolo x → a - significará que x se aproxima a a por la izquierda, esto es, por valores menores que a. Si en una función racional f (a) no está definida, entonces f (x) se puede hacer tan grande o tan pequeña como se desee si escogemos x suficientemente cercana a a. Esto lo denotaremos simbólicamente por f (x) → ∞ o f (x) → - ∞, respectivamente, lo cual se puede leer f (x) crece (o decrece) ilimitadamente a medida que x se acerca a a (por la derecha o por la izquierda, según sea el caso), como se muestra en la figura 2.10. Es importante recordar que el símbolo ∞ no representa ningún número real, sino que únicamente se usa como símbolo del comportamiento de cierto tipo de funciones. Por lo tanto, se dice que la recta x = a es una asíntota vertical de la gráfica de la función f si

f (x) → ∞

o bien

f (x) → - ∞

cuando x tiende a a, por la derecha o por la izquierda. Las asíntotas verticales se representan mediante líneas punteadas, y son características comunes de las gráficas de funciones racionales. De hecho, si a es una raíz del denominador h (x), entonces la gráfica g ( x) tiene la asíntota vertical x = a. de f (x) = h( x) También nos interesarán los valores de f (x) cuando x es “grande”. Por ejemplo, en la figura 2.10 vemos que podemos hacer que f (x) se acerque a 0 tanto como queramos si escogemos x suficientemente grande. Esto se expresa simbólicamente por f (x) → 0 cuando x → ∞, lo cual se lee: f (x) se aproxima a cero cuando x crece ilimitadamente (o bien, f (x) tiende a cero cuando x tiende a infinito). En dicha gráfica, la recta y = 0, esto es, el eje horizontal, es la asíntota horizontal de la gráfica. En general se tiene que la recta y = b es una asíntota horizontal de la gráfica de la función f si

f (x) → b cuando x → ∞ o cuando x → - ∞

39

ASÍNTOTAS VERTICALES Y ASÍNTOTAS VERTICALES •

La recta x = a es una asíntota vertical de la gráfica de la función f si

f (x) → ∞

o bien

f (x) → - ∞

cuando x tiende a a, por la derecha o por la izquierda. •

La recta y = b es una asíntota horizontal de la gráfica de la función f si

f (x) → b cuando x → ∞ o cuando x → - ∞ Las gráficas de las funciones racionales tienen frecuentemente asíntotas horizontales. La forma en que la gráfica se “aproxima” a la recta y = b varía, dependiendo de la naturaleza de la función. El siguiente teorema es útil para localizar las asíntotas horizontales de la gráfica de una función racional.

TEOREMA 2.1.1. ASÍNTOTAS HORIZONTALES DE GRÁFICAS DE FUNCIONES RACIONALES Sea f (x ) = • • •

a n x n + a n − 1 x n − 1 +  + a 2 x 2 + a1 x + a 0 b m x m + b m − 1 x m − 1 +  + b 2 x 2 + b1 x + b 0

Si n < m, entonces el eje horizontal es una asíntota horizontal de la gráfica de f. Si n = m, entonces la recta y = an / bm es una asíntota horizontal de la gráfica de f. Si n > m, la gráfica de f no tiene asíntota horizontal

EJEMPLOS PAREA RESOLVER EN CLASE 1. Trazar la gráfica de f si: 1 (a) f (x) = x−2

(b) f (x) =

x2 x2 − x −2

(c) f (x) =

x2 − 2x − 3 x 2 −1

2. Determinar las asíntotas verticales y horizontales de la gráfica de f si: 5x2 +1 3x −1 (a) f (x) = 2 (b) = f (x) = 3x2 − 4 x − x−6

40

2.1.6 TRANSFORMACIONES DE GRÁFICAS La notación funcional sirve para describir cómodamente transformaciones de gráficas en el plano, ya que algunas familias de gráficas tienen una forma básica común.

TIPOS DE TRANSFORMACIONES (c > 0)           

f (x) f (x – c) f (x + c) f (x) – c f (x) + c - f (x) f (- x) c f (x) c f (x) f (cx) f (cx)

Gráfica original Traslación horizontal de c unidades a la derecha Traslación horizontal de c unidades a la izquierda Traslación vertical de c unidades hacia abajo Traslación vertical de c unidades hacia arriba Reflexión (en el eje horizontal) Reflexión (en el eje vertical) Estiramiento vertical Compresión vertical Compresión horizontal Estiramiento horizontal

(c > 0) (c > 0) (c > 0) (c > 0)

(c > 1) (0 < c < 1) (c > 1) (0 < c < 1)

Por ejemplo, compárense las siguientes gráficas de f (x) = x2:

Gráfica original f (x) = x

a) Traslación vertical hacia abajo 2 f (x) – 2 = x – 2

2

b) Traslación vertical hacia arriba 2 f (x) + 2 = x + 2

41

c) Traslación horizontal a la izquierda 2 f (x + 2) = (x + 2)

e) Reflexión y desplazamiento vertical 2 - f (x) + 2 = - x + 2

d) Traslación horizontal a la derecha 2 f (x – 2) = (x – 2)

f) Reflexión y desplazamiento horizontal y vertical 2 - f (x – 1) + 1= - (x – 1) + 1

Cada una de las gráficas anteriores es una transformación de la gráfica de f (x) = x2.

EJEMPLOS PARA RESOLVER EN CLASE 1. Trazar la gráfica de f si: (a) f (x) = (x – 4)2; (b) f (x) = (x + 2)2 1 2. Trazar la gráfica de: (a) f (x) = 4x2; (b) f (x) = x2 4 3. A partir de la gráfica de f (x ) = x , esbozar la de las siguientes funciones: a) f (x) =

x +2

d) f (x) = −

b) f (x) =

x−2

e) f (x) =

c) f (x) =

x−4

f) f (x) = 2 x

x

x+3

2.1.7 FUNCIONES PARES E IMPARES  SIMETRÍAS DE UNA GRÁFICA Es posible ahorrarse algún trabajo y también dibujar gráficas con mayor precisión si se pueden reconocer ciertas simetrías de ella, examinando la ecuación correspondiente.

42

Si en una función se sustituye x por – x y resulta una función equivalente, entonces la gráfica de la función es simétrica con respecto al eje vertical.

(- x, f (x))

(x, f (x)) x

Figura 2.11. Simetría con respecto al eje vertical

Si en una función se sustituye x por – x y resulta una función equivalente pero con signo contrario, entonces la gráfica de la función es simétrica con respecto al origen. En el aspecto geométrico, esto corresponde a los puntos (x, f (x)) y (- x, - f (x)) que están sobre una recta que pasa por el origen y equidistan de él. (x, f (x))

x

(- x, - f (x)) Figura 2.12. Simetría con respecto al origen

Nótese que cuando una gráfica es simétrica sólo se necesita obtener una tabla de valores para las x no negativas y después aparear puntos por simetría.  DEFINICIÓN DE FUNCIÓN PAR Y FUNCIÓN IMPAR De acuerdo con lo anterior, con frecuencia se pueden predecir las simetrías de la gráfica de una función mediante inspección de su fórmula. En la terminología de funciones, se dice que una función es par si su gráfica es simétrica con respecto al eje vertical, y se dice que es impar si su gráfica es simétrica con respecto al origen. Excepto en casos triviales, como f (x) = 0, la gráfica de una función no puede tener simetría respecto al eje horizontal, porque entonces violaría el criterio de las rectas verticales que ha de satisfacer a toda función, es decir que toda recta paralela al eje vertical debe cortar a la gráfica de una función en un solo punto.

43

FUNCIONES PARES E IMPARES •

Una función f se llama función par si f (- x) = f (x). La gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje vertical.

•

Una función f se llama función impar si f (- x) = - f (x). La gráfica de una función impar es simétrica con respecto al origen.

En ambos casos se entiende que – x está en el dominio de f siempre que x lo esté.

Algunas propiedades de las funciones pares e impares son las siguientes: • • •

El producto de dos funciones pares es par. El producto de dos funciones impares es par. El producto de una función par y una impar es impar.

EJEMPLOS PARA RESOLVER EN CLASE x 3 + 3x par, impar o ninguna de las dos? x 4 − 3x 2 + 4 4 2 2. Si f (x) = 3x – 2x + 5, demostrar que f es una función par. Posteriormente trazar su gráfica. 5 3 3. Si f (x) = 2x – 7x + 4x, demostrar que f es una función impar. Posteriormente trazar su gráfica.

1. ¿Es f (x) =

2.1.8 COMBINACIÓN DE FUNCIONES Las funciones no son números, pero así como dos números a y b pueden ser sumados para producir un nuevo número a + b, dos funciones f y g se pueden sumar para producir una nueva función f + g. Esta es sólo una de diversas operaciones con funciones que se describirán en esta sección.  COMBINACIONES ARITMÉTICAS Dos funciones, f y g, pueden sumarse, multiplicarse y dividirse de manera natural para formar las nuevas funciones f + g, f ∙ g y f / g. Por ejemplo, f + g se define por la fórmula ( f + g) (x) = f (x) + g (x)

44

que establece que para cada valor x, el valor de f + g se obtiene sumando el valor de f y el de g. Por ejemplo, si

f (x) = x

g (x) = x2

y

entonces (f + g) (x) = f (x) + g (x) = x + x2 La ecuación anterior proporciona una fórmula para f + g, pero no dice nada acerca del dominio de f + g. Sin embargo, para que el lado derecho de esta ecuación esté definido, x debe estar tanto en el dominio de f como en el de g, por lo que el dominio de f + g se define como la intersección de estos dos dominios, como se ilustra en la figura 2.12. En general, si A y B son dos conjuntos cualesquiera, entonces A ∩ B (léase “A intersección B”) designa el conjunto de los x que están a la vez en A y en B. Así, si f y g son dos funciones cualesquiera e I es la intersección de sus dominios, entonces esta notación permite escribir dominio ( f + g ) = I = dominio f ∩ dominio g

dominio de

f+g

dominio de f

dominio de g

Figura 2.13

EJEMPLO Sea f (x) = x2 y g (x) =

1 − x 2 . Entonces,

( f + g) (x) = f (x) + g (x) = x2 + Df : R;

1− x 2

Dg = {x: 1 – x2 ≥ 0} = {x: - 1 ≤ x ≤ 1}

⇒ D ( f + g) : {x: - 1 ≤ x ≤ 1}

De manera más general, se establece la siguiente definición.

45

COMBINACIONES ARITMÉTICAS Dadas las funciones f y g, y si I es la intersección de sus dominios, se define ( f + g) (x) = f (x) + g (x) (f ∙ g) (x) = f (x) ∙ g (x)

en las que x está en I.

 f  f (x)   ( x ) = g(x )  g 

en donde x está en I y g (x) ≠ 0.

Algunos hechos acerca de la suma, el producto y el cociente de funciones, son consecuencias inmediatas de hechos acerca de sumas, productos y cocientes de números. Por ejemplo, es muy fácil demostrar que

(f+g)+h=f+(g+h) ya que al interpretar la definición de cada lado se obtiene

[( f + g ) + h] (x) = ( f + g ) (x) + h (x) = [ f (x) + g (x) ] + h (x)

y

[ f + ( g + h )] (x) = f (x) + ( g + h ) (x) = f (x) + [ g (x) + h (x)]

n También se puede elevar una función a una potencia. Por f se entenderá la función que 2 n 2 asigna a x el valor [ f (x)] . Así, f (x) = [ f (x)] . La única excepción a esta regla para n en f n es el índice n = - 1, que se reservará para otro propósito (la función inversa) que se –1 no significa 1 / f. describirá más adelante. Por lo tanto, f

EJEMPLOS PARA RESOLVER EN CLASE 1. Si f (x) =

4 − x 2 y g (x) = 3x + 1, encontrar la suma, la diferencia, el producto y el

cociente de f y g, así como f

3

yg

–2

.

2. Si f (x) = x2 + 1 y g (x) = 3x - 2, encontrar la suma, la diferencia, el producto y el cociente de f y g, así como f 3 y g – 2.

46

 COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Existe otra manera de combinar funciones, formando lo que se llama función compuesta. Dicho de manera informal, la composición de funciones se efectúa sustituyendo la variable independiente de una función por otra función. Por ejemplo, supóngase que

f (x) = x2

y

g (x) = x + 1

Si sustituimos x por g (x) en la fórmula de f, se obtiene una nueva función

f (g (x)) = (g (x))2 = (x + 1)2 que denotamos por f  g. Así,

f  g = f (g (x)) = (g (x))2 = (x + 1)2 Es decir, si f y g son dos funciones cualesquiera y si g trabaja con x para producir g (x) y después f trabaja con g (x) para producir f ( g (x)), entonces se dice que se ha hecho una composición de f con g. La función resultante se llama composición de f con g y se designa mediante el símbolo f  g. En general se establece la siguiente definición.

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Dadas dos funciones f y g, la composición de f con g, denotada por f  g es la función definida por ( f  g ) (x) = f ( g (x)) El dominio de f  g se define como todas las x en el dominio de g para las que g (x) está en el dominio de f.

En otras palabras, f  g se lee f composición g y se trata de la función cuyo dominio está formado por todos los elementos x que pertenecen al dominio de g para los cuales f ( g (x)) tiene sentido:

D f  g = {x : x ∈ Dg, g (x) ∈ Df }

Esquemáticamente, si g (x) tiene dominio en A y recorrido en B, y f (x) tiene dominio en B y recorrido en C, entonces f  g tendrá su dominio en A y su recorrido en C

47

f  g A C

g

f B

El símbolo “f  g” tiene la ventaja de que existe menor probabilidad de confundir f  g con g  f ya que la composición de funciones no es conmutativa; f  g y g  f por lo general son diferentes:

f  g ≠ g f Por ejemplo, si f (x) =

x−3 y g (x) = 2

x , se pueden componer estas funciones de dos

maneras:  x−3  ( g  f ) (x) = g ( f (x)) = g  =  2 

( f  g ) (x) = f ( g (x)) = f

( x )=

x−3 2 x −3 2

Se debe tener cuidado al describir el dominio de una función compuesta. El dominio de f  g es la parte del dominio de g (es decir, los valores de x) para los que f puede aceptar a g (x) como insumo. En el ejemplo anterior, el dominio de g  f es [3, ∞), puesto que x x−3 con el debe ser igual o mayor que 3 con el objeto de dar un número no negativo 2 que pueda trabajar.

EJEMPLOS PARA RESOLVER EN CLASE 1. Si f (x) = 5x2 + 2x + 1 y g (x) = x3 , hallar ( f  g ) (x) y ( g  f ) (x) 2. Si f (x) = 5x + x , y g (x) = x – 2 hallar ( f  g ) (x) y dar el dominio de ( g  f ) (x). 3. Si f (x) = x2 – 1 y g (x) = 3x + 5, determinar ( f  g ) (x) y ( g  f ) (x). 6x 4. Sean f (x) = 2 y g ( x ) = 3 x . Primero encontrar ( f  g ) (x) y dar su dominio; x −9 después, encontrar ( f  g) (12).

48

2.2 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 2.2.1 DEFINICIÓN DE SENO Y COSENO Aun cuando ya se está familiarizado con las definiciones de las funciones trigonométricas basadas en ángulos y triángulos rectángulos, ahora estamos más interesados en las funciones trigonométricas basadas en el círculo unitario. Cuando se consideran de esta forma, sus dominios son conjuntos de números en vez de conjuntos de ángulos. El círculo unitario, denotado con C, es el círculo con radio 1 y centro en el origen, cuya circunferencia tiene ecuación x2 + y2 = 1. Sea A el punto (1, 0) y sea t un número sobre la recta numérica paralela al eje vertical (eje t) que pasa por el punto A. Si t > 0, su representación estará hacia arriba de A y si t < 0, estará por debajo de A. Definamos una función envolvente E (t). Todo punto sobre el eje t tendrá una y sólo una imagen sobre la circunferencia tal que si t > 0, el eje t envuelve a la circunferencia en sentido contrario a las manecillas del reloj y si t < 0, la envuelve en sentido horario. Existe, pues, un solo punto E (t0) = P0 (x0, y0) en el círculo C tal que la distancia, medida en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor del arco AP0, es igual a t0 (véase la figura 2.14). Recordando que la circunferencia de un círculo con radio r es 2πr, entonces la circunferencia de C es 2π. Por lo tanto, si t0 = π, entonces el punto P0 está exactamente a la mitad del camino alrededor del círculo iniciando en el punto A; en este caso P0 es el punto (- 1, 0). Si t0 = 3π / 2, entonces P0 es el punto (0, - 1) y si t0 = 2π, entonces P0 es el punto A. Si t0 > 2π, entonces le tomará más de un circuito completo del círculo para trazar el arco AP0.

E (t0) = P0 (x0, y0) C t0

y0

x0

t0 longitud (t0)

A (1 , 0 )

E (t1) = P1 (x1, y1) t1

longitud (- t1)

Figura 2.14

De la misma manera, cuando t < 0, el eje t envuelve a la circunferencia en el sentido de las manecillas del reloj. Igualmente, habrá un solo punto E (t1) = P1 (x1, y1) en el círculo C tal que la longitud del arco, medida en dirección de las manecillas del reloj a partir de A, sea t1. Así, para cada número real t, podemos asociar un único punto P (x, y) en el círculo unitario. Esto nos permite construir las definiciones clave de las funciones seno y coseno (Figura 2.15). 49

P (x, y) y

sen t

x cos t

Figura 2.15

DEFINICIÓN DE LAS FUNCIONES SENO Y COSENO Sea t un número real que determina el punto P (x, y) sobre el círculo unitario con centro en el origen. Entonces sen t = y

cos t = x

Las funciones seno y coseno se escriben como sen y cos, en lugar de una sola letra como f ó g. Por lo regular, se omiten los paréntesis alrededor de la variable independiente, a menos que exista alguna ambigüedad.

2.2.2 PROPIEDADES BÁSICAS DEL SENO Y EL COSENO Varios hechos son evidentes casi de inmediato a partir de las definiciones dadas anteriormente: En primer lugar, como t puede ser cualquier número real, el dominio de las funciones seno y coseno es (- ∞, ∞). En segundo lugar, x y y siempre están entre – 1 y 1, de modo que el recorrido para las funciones seno y coseno es el intervalo [- 1, 1]. Puesto que el círculo unitario tiene 2π de circunferencia, los valores de t y t + 2π determinan el mismo punto P (x, y). Por lo tanto, sen (t + 2π) = sen t

cos (t + 2π) = cos t

(Observe que los paréntesis son necesarios para dejar claro que queremos sen (t + 2π) en lugar de (sen t) + 2π. La expresión sen t + 2π sería ambigua). Por tal razón se dice que el seno y el coseno son funciones periódicas, con periodo 2π. En general, una función f es periódica si existe un número positivo p tal que f (t + p) = f (t) para toda t del dominio de f. El menor de dichos p se llama periodo de f. 50

Los puntos P1 y P2 que corresponden a t y – t, respectivamente, son simétricos con respecto al eje horizontal (figura 2.16) y, por lo tanto, sus abscisas son iguales y sus ordenadas difieren sólo en el signo. En consecuencia, sen (- t) = - sen t

cos (- t) = cos t

y

En otras palabras, la función seno es una función impar en tanto que el coseno es una función par. P1 (x, y) t

(1, 0) -t P2 (x, - y) Figura 2.16

Por último, una identidad importante que relaciona a las funciones seno y coseno es 2 2 sen t + cos t = 1

para todo número real t. Esta identidad se sigue del hecho de que el punto (x, y) está en la circunferencia del círculo unitario, de aquí que x y y deben satisfacer su ecuación x2 + y2 = 1.

PROPIEDADES BÁSICAS DE LAS FUNCIONES SENO Y COSENO

( - ∞, ∞)

•

Dominio:

•

Recorrido:

•

El seno y el coseno son funciones periódicas con periodo 2π:

[- 1, 1]

sen (t + 2π) = sen t,

cos (t + 2π) = cos t

•

La función seno es impar:

sen (- t) = - sen t

•

La función coseno es par:

cos (- t) = cos t

•

Para cualquier t se verifica: sen2 t + cos2 t = 1

51

2.2.3 GRÁFICAS DEL SENO Y EL COSENO Para construir la gráfica de f (t) = sen t y f (t) = cos t, se sigue el procedimiento usual: hacer una tabla de valores, graficar los puntos correspondientes y unir esos puntos mediante una curva suave. Sin embargo, hasta ahora sólo conocemos los valores de seno y coseno para pocos valores de t. Otros valores pueden determinarse a partir de argumentos geométricos. Algunos de éstos se muestran en la tabla 2 del Apéndice. Utilizando estos resultados, se obtienen las gráficas que se muestran en la figura 2.17. Con respecto a estas gráficas, seis cosas son notables: 1. Tanto sen t como cos t tienen recorridos de – 1 a 1. 2. Ambas gráficas se repiten en intervalos adyacentes de longitud 2π. 3. La gráfica de sen t es simétrica con respecto al origen y cos t con respecto al eje vertical. (Por lo tanto, la función seno es impar y la función coseno es par) 4. La gráfica de cos t es la misma que la de sen t, pero desplazada π / 2 unidades a la π  derecha: cos  x −  = sen x. 2  5. La gráfica de sen t es la misma que la de cos t, pero desplazada π / 2 unidades a la π  izquierda: sen  x +  = cos x. 2  6. La gráfica de sen t desplazada π / 2 unidades a la derecha es la gráfica de cos t π  reflejada en el eje horizontal: sen  x −  = - cos x. 2 

52

Sen t - 4π

0

- 2π

2π

4π

(a)

cos t - 4π

0

- 2π

2π

4π

(b) Figura 2.17. Gráficas de seno y coseno

Es posible obtener variaciones de las gráficas de las funciones trigonométricas por medio de transformaciones rígidas y no rígidas. Gráficas de funciones de la forma

f (x) = D + A sen (Bx + C)

o bien

f (x) = D + A cos (Bx + C)

donde A, B > 0, C y D son constantes reales, representan desplazamientos, compresiones y estiramientos de las gráficas seno y coseno básicas. Por ejemplo,

desplazamiento vertical

estiramiento/reflexión/compresión vertical

f (x) = D + A sen (Bx + C) estiramiento/reflexión/compresión horizontal al cambiar el periodo

desplazamiento horizontal

El número |A| se llama amplitud de las funciones o de sus gráficas La amplitud de las funciones básicas f (x) = sen x y f (x) = cos x es |A| = 1. El periodo de cada función en las expresiones de arriba es 2π / B, B > 0, y la porción de la gráfica de cada una de estas funciones sobre el intervalo [0, 2π / B] se llama un ciclo.

53

EJEMPLOS PARA RESOLVER EN CLASE 1. Graficar: 1 (b) f (x) = 1 + 2 sen x 2 2. Encontrar el periodo de f (x) = cos 4x y graficar la función.

(a)

f (x) = − cos x

2.2.4 OTRAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Podríamos valernos sólo de las funciones seno y coseno, pero es conveniente introducir cuatro funciones trigonométricas adicionales: tangente, cotangente, secante y cosecante. Se define:

OTRAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Tangente:

Secante:

Cosecante:

tg t =

sen t cos t

sec t =

x ≠ kπ + π / 2

1 cos t

cosec t =

k = 0, 1, 2, ⋯

1 sen t

x ≠ kπ Cotangente :

ctg t =

cos t sen t

Lo que sabemos con respecto al seno y el coseno dará automáticamente conocimientos acerca de estas cuatro nuevas funciones. Las gráficas de las funciones secante, tangente, cosecante y cotangente se han dibujado en la figura 2.18.

54

tg t

sec t

- 3π / 2

π/2

3π / 2

-π/2

π/2

3π / 2

Figura 2.18 (a)

ctg t

cosec

2π

π/2

π

2π

Figura 2.18 (b)

EJEMPLOS PARA RESOLVER EN CLASE 1. Demostrar que la tangente es una función impar. 2. Verificar las siguientes identidades: 1 + tg2 t = sec2 t y 1 + ctg2 t = csc2 t

2.2.5 RELACIÓN CON LA TRIGONOMETRÍA DEL ÁNGULO Por lo común, los ángulos se miden en grados o en radianes. Por definición, un radián es el ángulo que corresponde a un arco de longitud 1 en un círculo unitario (figura 2.19).

55

y (0, 1) Longitud del arco = 1

1 1 radián

(1, 0)

x

Figura 2.19

El ángulo que corresponde a una vuelta completa mide 360°, pero sólo 2π radianes. De manera equivalente, un ángulo llano (de lados colineales) medirá 180° o π radianes, un hecho importante para recordar. 180° = π radianes La división de una circunferencia en 360 partes es muy arbitraria (debida a los antiguos babilonios, a quienes les agradaban los múltiplos de 60). La división en 2π partes es más fundamental y yace detrás del uso casi universal de la medida radián en cálculo. Nótese, en particular, que la longitud s del arco que corta un círculo de radio r por medio de un ángulo central de t radianes satisface la expresión (figura 2.20) s 2π r

=

t 2π

Esto es, la fracción de la circunferencia total 2πr correspondiente a un ángulo t es la misma fracción del círculo unitario que corresponde al mismo ángulo t. Esto implica que

s=rt s=rt s t rad r

Figura 2.20

56

Cuando r = 1, esto da s = t, lo cual significa que la longitud del arco del círculo unitario cortado por un ángulo central de t radianes es t. Esto es correcto incluso si t es negativa, con tal que interpretemos la longitud como negativa cuando se mide en dirección de las manecillas del reloj. Ahora es posible hacer la conexión entre la trigonometría del ángulo y la del círculo unitario. Si θ es un ángulo que mide t radianes (figura 2.21), entonces sen θ° = sen t

cos θ° = cos t

(x, y) t

(1, 0)

sen θ° = sen t = y cos θ° = cos t = x Figura 2.21

En cálculo, cuando se encuentre un ángulo medido en grados, es necesario cambiarlo a radianes antes de hacer cualquier cálculo, ya que los dominios de las funciones deben ser conjuntos de números reales. Por último, también es importante mencionar que las identidades trigonométricas se usan en todo el cálculo, especialmente en el estudio del cálculo integral, por lo que para facilitar las referencias, en la tabla 1 del Apéndice se enumeran algunas identidades que revisten particular importancia. 2.3 FUNCIONES INVERSAS En el lenguaje cotidiano el término “inversión” comunica la idea de algo que cambia por su opuesto. Por ejemplo, en meteorología una inversión térmica es un cambio en el orden contrario de las propiedades térmicas normales de las capas de aire, y en música una inversión melódica cambia un intervalo ascendente por el intervalo descendente correspondiente. En matemáticas el término inversa se utiliza para describir funciones que se revierten recíprocamente, en el sentido de que cada una anula el efecto de la otra. En la presente sección se estudiará el problema general de invertir una función.

57

2.3.1 LA FUNCIÓN INVERSA Una función f toma un número x de su dominio D y le asigna un solo valor f (x) de su recorrido R. Si se tiene suerte, es posible invertir a f ; esto es, para cada valor dado de f (x) en R se puede regresar sin ambigüedades para encontrar la x de donde provino. Por ejemplo, partiendo de la función

f = {(1, 2), (3, 4), (5, 9), (13, 8)} se obtiene

g = {(2, 1), (4, 3), (9, 5), (8, 13)} Adviértase que ahora el dominio de g es R y su recorrido es D y que la colección de pares ordenados obtenida realmente representan a una función, por lo que a g se le llama la función inversa de f . Desgraciadamente, esta luminosa idea no siempre da resultado. Por ejemplo, en la 2 función f (x) = x , para una f (x) dada hay dos x que le corresponden (figura 2.22). Tal función no tiene inversa; por lo menos, no a menos de que se restrinja de alguna manera su dominio.

f (x)

x

x Figura 2.22

Está claro dónde reside la dificultad ya que, por ejemplo f (- 2) = f (2), aun cuando - 2 ≠ 2. Esto es lo único que puede ofrecer dificultad y vale la pena dar un nombre a las funciones para las cuales esto no ocurre.

2.3.2 EXISTENCIA DE LA INVERSA El procedimiento mostrado para determinar la inversa de una función f se basó en invertir las parejas ordenadas. Sin embargo este procedimiento puede fallar porque la colección de parejas ordenadas obtenidas puede no representar a una función. Incluso conociendo la regla de correspondencia de f, es posible que la función f no tenga inversa o que, aun cuando la tenga, no pueda encontrarse explícitamente una fórmula para ella. Por lo tanto, 58

es importante establecer las condiciones que aseguren la existencia de la inversa, incluso si ésta no se puede determinar de manera explícita. Si una función f tiene una inversa, es esencial que distintos números en el dominio den siempre diferentes valores de f. Se dice que una función con tales características es unouno o invertible, de modo que se sabe por la discusión anterior que si una función f tiene una inversa, entonces debe ser uno-uno. El recíproco también es verdadero, con lo que se establece el siguiente teorema.

TEOREMA 2.3.1. EXISTENCIA DE LA INVERSA Una función f tiene una inversa si y sólo si es uno-uno.

En términos algebraicos, una función f es uno-uno si y sólo si

f (x1) ≠ f (x2) siempre que x1 ≠ x2 En términos geométricos, una función es uno-uno si y sólo si la gráfica de f (x) es cortada a lo más en un punto por una recta horizontal (figura 2.23).

función uno-uno

función que no es uno-uno Figura 2.22

El último enunciado junto con el teorema 1 ofrece el siguiente criterio geométrico para determinar si una función tiene una inversa.

TEOREMA 2.3.2. CRITERIO DE LA RECTA HORIZONTAL Una función tiene una función inversa si y sólo si su gráfica es cortada a lo sumo una vez por una recta horizontal.

59

Sin embargo, en una situación dada, este criterio puede ser difícil de aplicar, puesto que exige un conocimiento completo de la gráfica de f. Un criterio más práctico es que si f es una función monótona, es decir que es o bien estrictamente creciente o bien estrictamente decreciente en su dominio, entonces f es uno-uno.

2.3.3 FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES Se dice que una función f cuya gráfica asciende al mover x hacia la derecha es una función creciente, y que una función cuya gráfica desciende al mover x hacia la derecha es una función decreciente (Figura 2.24).

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN CRECIENTE Y DECRECIENTE

Si x1 y x2 son puntos en el dominio de una función f, entonces •

f es creciente si f (x1) < f (x2) siempre que x1 < x2

•

f es decreciente si f (x1) > f (x2) siempre que x1 < x2

La función f se dice estrictamente monótona en un intervalo I si es creciente o decreciente en todo el intervalo.

Función creciente

Función decreciente

f (x2)

f (x1) f (x2)

f (x1) x1

x2

x1

f (x1) < f (x2) si x1 < x2

x2

f (x1) > f (x2) si x1 < x2

Figura 2.24

Es evidente por sus gráficas que las funciones crecientes o decrecientes cumplen con el criterio de la recta horizontal y consecuentemente son invertibles.

60

TEOREMA 2.3.3. LAS FUNCIONES MONÓTONAS SON INVERTIBLES Si f es estrictamente monótona en su dominio, entonces f es uno-uno y f tiene una inversa.

EJEMPLOS PARA RESOLVER EN CLASE 1. Si f (x) = 2x – 3x – 12x + 7, determinar si f es uno-uno. x 2. Determinar si es uno-uno la función g (x) = . 1+ x 2 3. Demostrar que f (x) = x5 + 2x + 1 tiene una inversa. 3

2

2.3.4 INVERSA DE UNA FUNCIÓN UNO-UNO  DEFINICIÓN DE FUNCIÓN INVERSA Suponga que f es una función uno-uno con dominio D y recorrido R. Si para todo número a en D corresponde exactamente un número b en R, entonces el conjunto de todos los pares (b, a) determinan realmente una función inversa g cuyo dominio es R y cuyo recorrido es D. Por lo tanto f y g satisfacen

f (a) = b

g (b) = a

y

Las ecuaciones anteriores son en realidad composiciones de las funciones f y g:

f (g (b)) = b

y

g(f (a)) = a

Al seguir la convención de que cada elemento del dominio se denota por el símbolo x, las ecuaciones anteriores se convierten en

f (g (x)) = x

y

g(f (x)) = x

La inversa de una función f suele escribirse como f -1 y se lee “f inversa”. Esta última notación, aunque es estándar, es algo desafortunada. De inmediato se señala que en el símbolo f -1 (x) el -1 no es un exponente, es decir que el símbolo f -1 no representa el recíproco de f (x):

61

f -1 (x) ≠

1 f (x )

En términos de la nueva notación, se tiene la siguiente definición.

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN INVERSA Sea f una función uno-uno. La inversa de f es la función f -1 para la cual

f(f f

–1

–1

(x)) = x

para todo x del dominio de f

( f (x)) = x

para todo x del dominio de f

–1

-1

Las anteriores ecuaciones se denominan ecuaciones de cancelación para f y f . Como ya se ha mencionado antes, la composición de funciones no es conmutativa, es decir que en general no es cierto que f ( g (x)) y g ( f (x)) sean iguales. Sin embargo, un caso especial en el que la composición es conmutativa es cuando f y g son inversas la una de la otra. –1 –1 también tiene inversa, es decir Esto significa que, si f tiene una inversa f , entonces f f. Entonces, se puede decir que f y f – 1 son un par de funciones inversas y, por lo tanto, una función deshace (o invierte) lo que hizo la otra.

 PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN INVERSA Antes de analizar un método para encontrar la inversa de una función uno-uno f, se -1 enumeran algunas propiedades importantes sobre f y su inversa f .

TEOREMA 2.3.4. PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN INVERSA • • • • •

Dominio de f -1 = recorrido de f -1 Recorrido de f = dominio de f Una función inversa f -1 es uno-uno La inversa de f -1 es f La inversa de f es única

 PROCEDIMIENTO PARA ENCONTRAR LA INVERSA DE UNA FUNCIÓN -1 Ahora bien, si f es la inversa de una función uno-uno f (x), entonces por las definición de -1 f sabemos que f ( f – 1 (x)) = x. Por tanto, basta hacer lo siguiente para encontrar f -1.

62

PROCEDIMIENTO PARA ENCONTRAR LA INVERSA DE UNA FUNCIÓN Suponga que f (x) es una función uno-uno. Entonces para encontrar f -1: –1

•

Determinar f ( f

•

Hacer f ( f

•

Resolver esta ecuación para f

–1

(x))

(x)) = x –1

(x)

Por supuesto que es importante mencionar que encontrar la inversa de una función unouno f , algunas veces es difícil y otras imposible; es decir, una cosa es saber que una función f tiene una inversa y otra muy diferente el realmente encontrarla.

EJEMPLOS PARA RESOLVER EN CLASE 1. Demostrar que f (x) = 3x - 5 tiene inversa, encontrar la fórmula de f – 1 (x) y verificar el resultado. 2. Hallar la función inversa de f si f (x) = x2 – 3, x ≥ 0 y verificar el resultado.

2.3.5 GRÁFICAS DE FUNCIONES INVERSAS – 1 . Con este El siguiente objetivo es explorar las relaciones entre las gráficas de f y f propósito, resultará deseable utilizar x como la variable independiente en ambas funciones para que puedan compararse sus gráficas.

 PROPIEDAD REFLEXIVA DE LA INVERSA Si (a, b) es un punto de la gráfica de f (x), entonces b = f (a). Esto es equivalente a afirmar –1 (b), lo que significa que (b, a) es un punto de la gráfica de f – 1. que a = f En resumen, al invertir las coordenadas de un punto de la gráfica de f se produce un – 1 . De manera similar, al invertir las coordenadas de un punto punto de la gráfica de f –1 sobre la gráfica de f se produce un punto sobre la gráfica de f.

TEOREMA 2.3.5. GRÁFICAS DE f Y f

-1

La gráfica de f contiene el punto (a, b) si y sólo si la gráfica de f (b, a).

– 1

contiene el punto

63

Este teorema sugiere que las gráficas de f y f – 1 están tan íntimamente relacionadas que –1 es posible utilizar la gráfica de f para obtener una imagen visual de la gráfica de f . –1 consiste en todos los pares (a, b) tales que (b, a) Es decir, puesto que la gráfica de f pertenece a la gráfica de f, se obtiene la gráfica de f – 1 a partir de la gráfica de f intercambiando los ejes horizontal y vertical. Sin embargo, el efecto geométrico de invertir las coordenadas de un punto es reflejar ese punto respecto de la gráfica de I (x) = x, la cual recibe el nombre de diagonal (figura 2.25), -1 y por tanto las gráficas de f y f son reflexiones una de la otra respecto de esta recta. Esto es, los puntos (a, b) y (b, a) son simétricos uno de otro con respecto la diagonal, así – 1 se halla simplemente la simétrica de la gráfica de f que para obtener la gráfica de f respecto a dicha recta (figura 2.26).

f

(a, b) diagonal

(c, d)

f

-1

(b, a) (d, c)

Figura 2.25

Figura 2.26

Obviamente, al obtener dos veces la simétrica respecto a la diagonal se vuelve al punto de partida: eso significa que (f – 1) – 1 = f, lo cual es también evidente partiendo de la definición. En resumen, se llega al siguiente resultado.

TEOREMA 2.3.6. PROPIEDAD REFLEXIVA DE LA INVERSA Si f tiene una inversa, entonces las gráficas de f y f -1 son reflexiones una de la otra respecto de la recta I (x) = x; esto es, cada gráfica es la imagen de espejo de la otra con respecto a esa recta.

64

EJEMPLOS PARA RESOLVER EN CLASE 1. Sea la función f (x) = 2x + 3, x ∈ [- 2, 2]. Investigar si f es uno-uno, y en caso afirmativo, hallar su función inversa y trazar las gráficas de ambas funciones en un mismo sistema de ejes coordenados. 2x − 1 , investigar si f es uno-uno, y en caso afirmativo, hallar su 3x − 2 función inversa y trazar las gráficas de ambas funciones en un mismo sistema de ejes coordenados.

2. Sea la función f (x) =

2.3.6 DOMINIOS RESTRINGIDOS Finalmente, existe una manera de salvar la noción de inversa para funciones que no la tienen en su dominio natural. Basta con restringir el dominio a un conjunto en el que la gráfica sea creciente o decreciente. Así, por ejemplo, para f (x) = x2 se puede restringir el dominio a x ≥ 0 (también podría ser x ≤ 0). Con ello, esta función tendría inversa (figura 2.27).

f (x) = x2

Figura 2.27

2.4 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS 2.4.1 DEFINICIÓN Y GRÁFICA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS En esta sección se introducen las funciones trigonométricas inversas para considerar el problema de recuperar un ángulo que podría producir el valor de una función trigonométrica dada. Se comenzará este tema diciendo que ninguna de las seis funciones trigonométricas básicas tiene inversa, ya que las seis funciones son periódicas y por tanto no son uno-uno. Sin embargo, imponiendo restricciones apropiadas sobre los dominios, es factible obtener funciones (sobre dominios más reducidos) con el mismo comportamiento de las funciones 65

trigonométricas pero de modo que cada una de las seis funciones trigonométricas sea uno-uno y que por tanto posea una inversa. Es decir, hay que redefinir sus dominios de tal forma que tengan inversas en los dominios restringidos. La tabla siguiente resume las propiedades básicas de las funciones trigonométricas inversas.

DEFINICIÓN DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS FUNCIÓN

FUNCIÓN INVERSA

DOMINIO

RECORRIDO

f (x) = sen x

sen – 1 x ó arcsen x

[- 1, 1]

[- π / 2, π / 2]

f (x) = cos x

cos – 1 x ó arccos x

[- 1, 1]

[0, π]

f (x) = tg x

tg – 1 x ó arctg x

(- ∞, ∞)

[- π / 2, π / 2]

f (x) = ctg x

ctg – 1 x ó arcctg x

(- ∞, ∞)

(0, π)

f (x)) = sec x

sec – 1 x ó arcsec x

(- ∞, - 1] ∪ [1, ∞)

[0, π / 2) ∪ (π / 2, π]

f (x) = csc x

csc – 1 x ó arccsc x

(- ∞, - 1] ∪ [1, ∞)

[- π / 2, 0) ∪ (0, π / 2]

Sus gráficas son las siguientes:

π/2

1

sen x

-π/2

π/2

arcsen

-1

-π/2

-1 Figura 2.28

66

1

π

1 cos x

arccos

π -1

-1

1

Figura 2.29

π/2 arctg x

Figura 2.30

La función cotangente no desempeña un papel importante en cálculo, por lo que no se dirá nada más de ella. Lo mismo sucede con la cosecante. Al calcular funciones trigonométricas inversas, recuérdese que denotan ángulos medidos en radianes.

2.4.2 PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS Recuérdese que f ( f – 1 (x)) = x y f – 1 ( f (x)) = x se cumple para cualquier función f y su inversa si hay restricciones idóneas sobre x. Por tanto, para las funciones trigonométricas inversas tenemos las siguientes propiedades.

TEOREMA 2.4.1. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS •

sen – 1 (sen x) = x

si

•

cos – 1 (cos x) = x

si

π π ≤x≤ 2 2 -0≤x≤π

•

tg – 1 (tg x) = x

si

-

-

π

2

≤x≤

π

2

sen (sen – 1 x) = x

si

-1≤x≤1

cos (cos – 1 x) = x

si

-1≤x≤1

tg (tg – 1 x) = x

para todo x ∈ R

Éstas también se pueden escribir en la forma: 67

•

arcsen (sen x) = x

y

sen (arcsen x) = x

•

arccos (cos x) = x

y

cos (arccos x) = x

•

arctan (tg x) = x

y

tg (arctg x) = x

siempre que x se restrinja adecuadamente.

EJEMPLOS PARA RESOLVER EN CLASE 1. Sin usar calculadora, encontrar el valor exacto de:  1 a) arc sen   b) sen – 1 (- 1) 2    3  c) arc cos  −  2    2 1   2. Sin usar calculadora, encontrar tg  sen − 1  y cos  arc tg  3 4   –1 3. Escribir sen (cos x) como una expresión algebraica en x. 1   3π  4. Sin usar calculadora, evaluar cos  cos − 1  y tg – 1  tg  3   4 

2.5 FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS Con la introducción de los logaritmos en el siglo XVII como herramienta para realizar cálculos, los científicos de la época contaron con un poder de cómputo antes inimaginable. Aunque las computadoras y las calculadoras han sustituido a las tablas de logaritmos en los cálculos numéricos, las funciones logarítmicas tienen aplicaciones muy amplias en matemáticas y ciencias. En esta sección revisaremos algunas propiedades de los exponentes y logaritmos y posteriormente utilizaremos la discusión previa de las funciones inversas para establecer resultados acerca de las funciones exponenciales y logarítmicas.

2.5.1 FUNCIONES EXPONENCIALES  DEFINICIÓN DE FUNCIÓN EXPONENCIAL CON BASE a En esta sección se estudiará una clase nueva de función que se define mediante exponentes variables. Para empezar, hay que observar que

f (x) = 2x 68

y

g (x) = x2

no son la misma función. La función g es potencial, la que ya se ha analizado; la función f es una nueva función llamada función exponencial.

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN EXPONENCIAL CON BASE a Si a > 0 y a ≠ 1, entonces la función exponencial f con base a se define como

f (x) = ax El número a se denomina base y x se denomina exponente.

El conjunto de sustitución del exponente, es decir el dominio de f, es el conjunto de todos los números reales (- ∞, ∞). El recorrido de f es el conjunto de los números reales positivos (0, ∞). Es necesario que la base a sea positiva para evitar números complejos 1/2 . como (- 2) Debido a que el dominio de una función exponencial es el conjunto de números reales, el exponente x puede ser un número racional o irracional. Si, por ejemplo en la función f (x) = 2x el exponente x es un número racional, se sabe lo que significa 2 5, 2 – 3, 2 2 / 3, 2 – 3 / 5, 2 1.4 y 2 – 3.15, pero ¿qué significa 2 para definir un número como este:

2

? El siguiente procedimiento ilustra una forma

Usando aproximaciones numéricas racionales de x, se puede demostrar que cuando x es irracional, ax se puede aproximar con la precisión que se desee. Así, dado que 2 = 1.414213…, podemos usar esta representación decimal infinita y suponer que la sucesión siguiente de potencias racionales de 2: 21.4,

21.41,

21.414,

21.4142, …

2

se aproxima cada vez más al valor de 2 , y cuando se toman términos de esta sucesión hacia la derecha, la precisión mejora. Esto es precisamente lo que sucede si definimos x adecuadamente a . x En esta sección se supondrá que a se puede obtener de manera similar para cualquier número real x cuando a > 0 y que por lo tanto las leyes de los exponentes se cumplen para todos los exponentes que sean números reales.

69

LEYES DE LOS EXPONENTES Si a > 0, b > 0 y si x, x1 y x2 son números reales, entonces • a

x1

⋅a

x2

=a

x1 + x 2

●

1 a

•

•

a

x1

a

x2

(a )

=a

x1 x 2

x1 − x 2

x1

=a

− x1

●

(ab) x = a x b x

●

ax a   = x b b

x

=a

x1 x 2

 GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN EXPONENCIAL x Para f (x) = a se distinguen dos tipos de gráficas, dependiendo de si la base a satisface a > 1 o 0 < a < 1.

La figura 2.31 (i) muestra la gráfica característica de la función exponencial con base a para a > 1; sin embargo, la forma exacta depende del valor de a. Si 0 < a < 1, la gráfica tiene la apariencia que se muestra en la parte (ii) de la figura. En ambos casos el dominio de f es (- ∞, ∞) y su recorrido es el conjunto de los números reales positivos (0, ∞).

f (x) = ax, a > 1

1

f (x) = ax, 0 < a < 1

1

0

0

(i)

(ii) Figura 2.31

En esta gráfica podemos ver que si a > 1 y x1, x2 son números reales tales que x1 < x2, x1

x2

entonces a < a , es decir, f (x1) < f (x2). Esto significa que si a > 1, entonces la función exponencial f con base a es creciente en todo R. También se puede observar que si 0 < a < 1, entonces f es decreciente en R. Esto significa que f es uno-uno y tiene función

70

inversa. Este hecho es muy importante para la sección siguiente, cuando se defina la función logarítmica como inversa de la función exponencial. Puesto que a0 = 1, la ordenada en el origen siempre es 1. Si a > 1, entonces al ir decreciendo x y tomando valores negativos, la gráfica se aproxima al eje horizontal sin x llegar a cortarlo, ya que a > 0 para todo x. Esto significa que el eje horizontal es una asíntota horizontal para la gráfica. Al ir creciendo x va tomando valores positivos y la gráfica crece rápidamente. Este tipo de variación es muy común en la naturaleza y es característico de la ley del crecimiento exponencial. En este caso, f es conocida como función de crecimiento. La figura 2.31 (ii) ilustra el decrecimiento exponencial.  PROPIEDADES DE UNA FUNCIÓN EXPONENCIAL La lista siguiente resume algunas de las propiedades importantes de la función exponencial f con base a.

PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL CON BASE a • •

El dominio de f es el conjunto de los números reales; es decir, (- ∞, ∞)

El recorrido de f es el conjunto de los números reales positivos; es decir, (0, ∞)

•

La intersección de f con el eje vertical es (0, 1). La gráfica no tiene intersección con el eje horizontal.

• •

La función f es creciente sobre el intervalo (- ∞, ∞) para a > 1 y decreciente sobre el intervalo (- ∞, ∞) para 0 < a < 1.

•

La función f es uno-uno.

El eje horizontal es una asíntota horizontal para la gráfica de f.

EJEMPLOS PARA RESOLVER EN CLASE 1. Graficar las funciones a) f (x) = 3x

 1 b) f (x) =   3

x

71

 DEFINICIÓN DE e Entre todas las bases posibles de las funciones exponenciales, hay una en particular que desempeña un papel especial en el cálculo diferencial e integral. Esa base, denotada por la letra e, es cierto número irracional cuyo valor es

e = 2.718281828459… desempeña un papel más importante que el número π.

La definición usual del número e es que se trata del número al que se acerca la función x

1  f (x) =  1 +  cuando se deja que x crezca sin cota en la dirección positiva. Si el x  símbolo de flecha → representa la expresión se acerca, entonces el hecho de que f (x) → e cuando x → ∞ es evidente en la tabla de valores numéricos de f. Aproximación a

1   1+  x 

x 1 10 100 1000 10 000 100 000 1 000 000 10 000 000

x

2.0000000 2.5937425 2.7048138 2.7169238 2.7181459 2.7182546 2.7182818 2.7182818 x

1  También se dice que e es el límite de f (x) =  1 +  cuando x → ∞ y se escribe x  1  e = lim  1 +  x→∞  x

x

El número irracional denotado por e (denominado así dado que Leonhard Euler fue el primero en reconocer la trascendencia de este número) se denomina base natural, ya que surge naturalmente en la investigación de muchos fenómenos físicos.  LA FUNCIÓN EXPONENCIAL NATURAL x Si en la función exponencial f (x) = a se usa como base la base natural e, entonces f se llama función exponencial natural.

72

DEFINICIÓN DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL NATURAL

f (x) = ex, e ≈ 2.71828 Esta es una de las funciones más importantes que se presentan en las matemáticas avanzadas y en las aplicaciones.  PROPIEDADES Y GRÁFICA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL NATURAL x La gráfica de la función exponencial natural f (x) = e se muestra en la figura 2.32. En x dicha gráfica podemos ver claramente que f (x) = e no cuenta con ninguna característica observable que la distinga de la función f (x) = ax para a > 1 y no tiene ninguna propiedad especial diferente a las que se proporcionaron en la lista de la sección 2.5.1

f (x) = e x

2

(- 2, 1 / e )

(1, e)

(- 1, 1 / e)

(0, 1) 0 Figura 2.32

2.5.2 FUNCIONES LOGARÍTMICAS  DEFINICIÓN DE FUNCIÓN LOGARÍTMICA CON BASE a x Si f (x) = a y a > 1, entonces f es creciente sobre todo R, mientras que si 0 < a < 1, f es decreciente (véase la figura 2.31). Por consiguiente, si a > 0 y a ≠ 1, entonces f es unouno y por lo tanto tiene una función inversa f – 1. La inversa de una función exponencial de base a se llama función logarítmica de base a y se representa por loga. Sus valores se representan como loga (x) o como loga x, que se lee “logaritmo de x en base a”. Puesto que

u = f – 1 (x)

si y sólo si

x = f (u)

la definición de loga se puede expresar de la siguiente manera:

73

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN LOGARÍTMICA CON BASE a Sea u = f (x). Si a >0, a ≠ 1) y x es un número real positivo cualquiera, entonces la función logarítmica con base a se define por u = log a x

si y sólo si

x=au

Nótese que si u = f (x), es decir u = loga x, entonces x = a u = a

log a x

En palabras, loga x es el exponente de la base a que produce x. Por ejemplo: log2 8 = 3 1 log5 =-2 25 log10 10 000 = 4

ya que

23 = 8

ya que

5 –2 =

ya que

1 25 104 = 10 000

u Para a > 0 no hay ningún número real u para el cual a sea cero o negativo. Así, a partir u de x = a se concluye que x > 0. En otras palabras, el dominio de una función logarítmica f (x) = loga x es el conjunto de números reales positivos (0, ∞).

 GRÁFICA DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA Puesto que una función logarítmica es la inversa de una función exponencial, es posible obtener la gráfica de la primera al reflejar la gráfica de la segunda en la recta I(x) = x x (figura 2.33). Recuérdese que el dominio (- ∞, ∞) y el recorrido (0, ∞) de f (x) = a se vuelven, a su vez, el recorrido (- ∞, ∞) y el dominio (0, ∞) de g (x) = loga x. Nótese que la intersección con el eje vertical (0, 1) de la función exponencial se vuelve la intersección con el eje horizontal (1, 0) de la función logarítmica. También, cuando la función x exponencial se refleja en la recta I (x) = x, la asíntota horizontal para la gráfica de f (x) = a se vuelve una asíntota vertical para la gráfica de g (x) = loga x. En la figura 2.33 se observa que para a > 1, x = 0, que es la ecuación del eje vertical, es una asíntota vertical para la gráfica de g (x) = loga x.

74

f (x) = a x

I (x) = x

g (x) = loga x (0, 1)

(1, 0)

x=0 Asíntota vertical Figura 2.33. Función logarítmica de base a

 PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA En la lista siguiente se resumen algunas de las propiedades importantes de la función f (x) = loga x.

PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA 

El dominio de f es el conjunto de números reales positivos, es decir, (0, ∞).



El recorrido de f es el conjunto de números reales, es decir, (- ∞, ∞).



La intersección con el eje horizontal de f es (1, 0). La gráfica de f no tiene intersección con el eje vertical.





La función es creciente sobre el intervalo (0, ∞) para a > 1 y decreciente sobre el intervalo (0, ∞) para 0 < a < 1.



La función f es uno-uno.

El eje vertical, es decir, x = 0, es una asíntota vertical para la gráfica de f.

Nótese que, de acuerdo con el tercer punto de la lista anterior, se tiene que loga 1 = 0

puesto que

a0 = 1

75

loga a = 1

puesto que

a1 = a

Este último resultado significa que además de (1, 0), la gráfica de cualquier función logarítmica con base a también contiene al punto (a, 1). x

Además, puesto que f (x) = loga x y g (x) = a son funciones inversas una de la otra, la composición de ambas funciones verifica: x loga a = x

a Por ejemplo, 2

log 2 10

log a x

= x para todo x > 0

= 10 y log3 37 = 7.

 LA FUNCIÓN LOGARITMO NATURAL Históricamente, la base usada con más regularidad ha sido la base a = 10, llamados logaritmos comunes. Pero en el cálculo y en todas las matemáticas avanzadas la base importante es e. Los logaritmos con base a = e se llaman logaritmos naturales. Se utiliza el símbolo ln x como abreviatura de loge x y se denomina logaritmo natural de x. Se enuncia la definición para tenerla como referencia.

DEFINICIÓN DE LOGARITMO NATURAL ln x = loge x

para todo

x>0

Esto es, la función logaritmo natural ha resultado ser un logaritmo ordinario, pero con una base más bien sorprendente, e. Entonces, para la base a = e, definimos pues a la función logaritmo natural como:

DEFINICIÓN DE LA FUNCIÓN LOGARITMO NATURAL Sea u = f (x). Si x es un número real positivo cualquiera, entonces la función logaritmo natural se define por u = ln x

si y sólo si

x=eu

Nótese que si u = f (x), es decir u = ln x, entonces x = e u = e ln x .

76

 PROPIEDADES Y GRÁFICA DE LA FUNCIÓN LOGARITMO NATURAL Las propiedades básicas de la función f (x) = ln x son las mismas enlistadas para la función logarítmica con base a. Los análogos para el tercer punto de dicha lista para el logaritmo natural son: ln 1 = 0

puesto que

e0 = 1

ln e = 1

puesto que

e1 = e

Igualmente, puesto que f (x) = ln x y g (x) = ex son funciones inversas una de la otra, la composición de ambas funciones verifica: x ln e = x

e ln x = x para todo x > 0 Estas dos propiedades son útiles al resolver ecuaciones que contienen funciones exponenciales y logarítmicas. Por ejemplo, e ln 25 = 25. Puesto que a = e > 1, la gráfica de f (x) = ln x tiene la forma logarítmica característica que se muestra en la figura 2.34.

f (x) = ln x

0

(1, 0)

Figura 2.34. Función logaritmo natural

 LEYES DE LOS LOGARITMOS Las leyes de los exponentes pueden volver a plantearse de manera equivalente como las leyes de los logaritmos. Por ejemplo, si M = 𝑎 𝑥1 y N = 𝑎 𝑥2 , entonces por la definición de función exponencial se tiene que x1 = loga M y x2 = loga N. Por las leyes de los exponentes, MN = 𝑎 𝑥1 + 𝑥2 . Esto, expresado como un logaritmo es x1 + x2 = loga MN. Al sustituir x1 y x2 se obtiene loga M + 77

loga N = loga MN. Las partes restantes del siguiente teorema pueden demostrarse de la misma manera.

TEOREMA 2.5.1. LEYES DE LOS LOGARITMOS Para cualquier base a > 0, a ≠ 1, y números enteros positivos M y N: (i) loga MN = loga M + loga N

(ii) loga (M / N) = loga M – loga N c

loga (M ) = c loga M para todo número real c

(iii)

Puesto que se sabe que ln e = 1, se pueden usar las leyes de los logaritmos para calcular los logaritmos naturales de otros números. Así, usando la propiedad (iii) ln (e n) = n ln e = n ∙ 1 = n

se puede calcular ln (en) para varios valores de la potencia n. EJEMPLOS PARA RESOLVER EN CLASE 1. Usar las propiedades de los logaritmos para expresar cada uno de ellos como suma, diferencia o múltiplo de logaritmos. 2 xy a) ln b) ln z 3 c) ln

2

3

 x 2 − 1  d) ln  3  x  

3

e) ln z (z – 1)2 2. Escribir cada expresión como un logaritmo único. a) ln (x – 2) – ln (x + 2) c)

b) 2 ln 3 -

1 ln (x2 + 1) 2

1 [2 ln (x + 3) + ln x – ln (x2 – 1)] 3

3. Simplificar las siguientes expresiones: a) e 2 ln x c) ln e sen x

b) ln (x2 e – 2x) d) e ln 2 + ln x

4. Resolver las siguientes ecuaciones: a) ln2 + ln (4x – 1) = ln (2x + 5)

b) e10k = 7

78

2.5.3 FUNCIONES HIPERBÓLICAS  DEFINICIÓN DE LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS x Combinaciones que implican las funciones exponenciales e y e en matemáticas que ameritan definiciones especiales.

–x

ocurren tan a menudo

DEFINICIÓN DE SENO Y COSENO HIPERBÓLICO Para cualquier número real x, el seno hiperbólico de x es senh x =

ex −e−x 2

cosh x =

ex + e−x 2

y el coseno hiperbólico de x es

x –x es el conjunto Puesto que el dominio de cada una de las funciones exponenciales e y e de los números reales (- ∞, ∞), el dominio de f (x) = senh x y f (x) = cosh x es (- ∞, ∞). Por las definiciones anteriores, también resulta evidente que

senh 0 = 0

y

cosh 0 = 1

En forma análoga a las funciones trigonométricas tg x, ctg x, sec x, csc x que están definidas en términos de sen x y cos x, las cuatro funciones hiperbólicas adicionales se definen en términos de senh x y cosh x.

DEFINICIÓN DE OTRAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS Para un número real x, la tangente hiperbólica de x es tgh x =

senh x e x − e − x = cosh x e x + e − x

La cotangente hiperbólica de x, x ≠ 0, es

cosh x e x + e − x = ctgh x = senh x e x − e − x

79

La secante hiperbólica de x es sech x =

1 2 = x cosh x e + e − x

La cosecante hiperbólica de x es csch x =

1 2 = x senh x e − e − x

 PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS Existen muchas analogías entre estas funciones y las correspondientes funciones trigonométricas ordinarias, y aunque las funciones hiperbólicas no son periódicas, cuentan con muchas identidades que son semejantes a las de las funciones trigonométricas. Por ejemplo, la gráfica de f (x) = senh x es simétrica con respecto al origen y la gráfica de f (x) = cosh x es simétrica con respecto al eje vertical. En otras palabras, f (x) = senh x es una función impar y f (x) = cosh x es una función par: senh (-x) = - senh x cosh (-x) = cosh x En trigonometría, una identidad fundamental es cos2 x + sen2 x = 1. Para funciones hiperbólicas, el análogo de esta identidad es cosh2 x – senh2 x = 1 Las funciones senh y tgh son uno-uno. Por tanto las funciones f (x) = senh x y f (x) = tgh x - 1 x y f (x) = tgh -1 x, definidas sobre tienen una inversa, designadas con f (x) = senh (- ∞, ∞) y (- 1, 1), respectivamente. Si se restringe el dominio de cosh a [0, ∞), entonces tiene una inversa, designada por f (x) = cosh – 1 x, la cual está definida sobre [1, ∞).

80

UNIDAD DE COMPETENCIA 3. LÍMITES Y CONTINUIDAD El desarrollo del cálculo por Newton y Leibniz en el siglo XVII dio a los científicos la primera comprensión real de lo que significa una “razón de cambio instantánea”, como la velocidad y la aceleración. Una vez que la idea se entendió conceptualmente, se establecieron métodos eficientes de cómputo y la ciencia dio un gigantesco salto hacia adelante. La piedra angular en la que se basan las razones de cambio es el concepto de límite, una idea de tal importancia que todos los demás conceptos del cálculo se desprenden ahora de ella. En esta unidad de competencia se desarrolla por etapas el concepto de límite, partiendo de una noción informal e intuitiva hasta llegar a una definición matemática precisa. También se estudiarán los teoremas y procedimientos para calcular límites, concluyendo con el uso de los límites para el estudio de las funciones continuas.

3.1 LÍMITES 3.1.1 DEFINICIÓN INTUITIVA DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN El concepto de límite es la piedra angular en que se basan todos los conceptos del cálculo y que lo distingue de otras ramas de las matemáticas, como el álgebra o la geometría. En esta sección estudiaremos los límites de manera informal, con el fin de desarrollar el entendimiento intuitivo de las ideas básicas ya que la noción de límite no es fácilmente comprensible, lo que hace necesario estudiar su definición varias veces y con varios enfoques antes de que su significado resulte claro. Sin embargo, es fácil desarrollar una idea intuitiva del límite, por lo que al principio su definición no será tan rigurosa. Supóngase que se pide dibujar la gráfica de la función f (x ) =

x3 −1 , x≠1 x −1

Para todo punto x ≠ 1 se pueden usar las técnicas estándar, pero en el punto x = 1 no hay seguridad de qué se puede esperar. Para tener una idea del comportamiento de la gráfica de f cerca de x = 1, se podrían usar dos conjuntos de valores x, uno que se aproxime a 1 por la izquierda y otro por la derecha. Al graficar (figura 3.1) se vería que se trata de una parábola con un hueco en el punto (1, 3).

81

f (x)

4 3

f (x)

2 1

x→

1

←x

Figura 3.1

Así, aunque x no puede ser igual a 1, es posible acercarse cuanto se desee al 1 y como resultado f (x) se aproxima al valor 3. Entonces, se dice que el límite de f (x) cuando x tiende a 1 es 3 y se denota como x3 −1 lim =3 x →1 x − 1 En general, en cálculo y sus aplicaciones con frecuencia interesan los valores f (x) de una cierta función f cuando x está muy cercano a un número c, pero no necesariamente igual a c. En muchas ocasiones el número c no se encuentra en el dominio de f, es decir que f (c) no está definida. Supóngase que L denota un número finito. El concepto de f (x) que tiende a L a medida que x tiende a un número c puede definirse informalmente de la siguiente manera.

DEFINICIÓN INTUITIVA DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN Si f (x) puede hacerse arbitrariamente próximo al número L, al tomar x suficientemente cerca de un número c (pero x ≠ c), por la izquierda y por la derecha de c, entonces el límite de f (x) cuando x tiende a c es L, y se denota lim f (x ) = L

x→c

Es decir, la noción de límite está asociada con el comportamiento de una función cerca de c, no en c.

82

3.1.2 LÍMITES LATERALES  DEFINICIÓN INTUITIVA DE LÍMITES LATERALES El análisis del concepto de límite se facilita al usar una notación especial. Si el símbolo de flecha → representa la palabra tiende, entonces el simbolismo

x → c - indica que x tiende al número c por la izquierda

es decir, a través de los números que son menores que c, y

x → c+ significa que x tiende a c por la derecha

es decir, a través de los números que son mayores que c. Finalmente, la notación

x → c significa que x tiende a c desde ambos lados

en otras palabras, por la izquierda y por la derecha de c sobre una recta numérica

DEFINICIÓN INTUITIVA DE LÍMITES LATERALES

Si los valores de una función f (x) pueden aproximarse tanto como se desee a un número L1 al tomar valores de x lo suficientemente próximos a un número c (pero mayores que c), entonces se dice que el número L1 es el límite lateral por la derecha de f (x) cuando x tiende a c y se escribe

f (x) → L1 cuando x → c +

o bien lim f (x ) = L1

f (x) → L2 cuando x → c +

o bien lim f (x ) = L 2

x→c+

De manera semejante, si puede hacerse que los valores de f (x) estén tan cerca como se desee de un número L2 al tomar valores de x suficientemente próximos a un número c (pero menores que c), entonces se dice que L2 es el límite lateral por la izquierda de f (x) cuando x tiende a c y se escribe x→c+

Si tanto el límite lateral por la izquierda lim f (x ) como el límite lateral por la derecha x→c−

lim f (x ) existen y tienen un valor común L,

x→c+

lim f (x ) = L

x→c−

y

lim f (x ) = L

x→c+

entonces se dice que L es el límite de f (x) cuando x tiende a c y se escribe

lim f (x ) = L

x→c

83

Se puede ahora llamar al lim f (x ) = L , límite bilateral o no dirigido, para distinguirlo de x→c

los límites laterales (figura 3.2).

f (x)

L1 = L2

0

+ x

x→c- c x→c+ lim f (x ) = L

x→c

Figura 3.2

En general, no hay garantía de que una función f tiene un límite bilateral en un punto dado c; esto es, es posible que los valores de f (x) no se acerquen cada vez más a ningún número real único L, cuando x → c (figura 3.3). En este caso se dice que

lim f (x ) no existe

x→c

L2 L1 0

x→c- c x→c+

x

Figura 3.3

 EXISTENCIA Y UNICIDAD DE UN LÍMITE Para que exista el límite bilateral de una función f (x) en un punto c, los valores de f (x) deben tender a un único número real L cuando x tiende a c, es decir que este número debe ser el mismo sin importar si x tiende a c por la izquierda o desde la derecha. De lo anterior, se deduce el siguiente teorema: 84

TEOREMA 3.1.1. EXISTENCIA Y UNICIDAD DE UN LIMITE El límite bilateral de una función f (x) existe en c si y sólo si ambos límites laterales existen en c y tienen el mismo valor; esto es

lim f (x ) = L

x→c

si y sólo si

lim f (x ) = L

x→c+

y

lim f (x ) = L

x→c−

y si lim f (x ) existe, entonces es único. x→c

EJEMPLOS PARA RESOLVER EN CLASE Trazar la gráfica de las siguientes funciones para calcular los siguientes límites. 1. lim f (x ) donde x→2

3. lim f (x ) donde t →5

 x2, f (x ) =  − x + 6 ,  x + 2, f (x ) =  − x + 10 ,

x2

2. lim

x≤5 x>5

4. lim

x →0

x →0

1 x

x x

3.1.3 TEOREMAS SOBRE LÍMITES La intención del análisis informal de las secciones anteriores fue proporcionar una comprensión intuitiva de cuándo un límite existe o no. Sin embargo, no es aconsejable ni práctico, en ninguna instancia, llegar a una conclusión respecto a la existencia de un límite con base en una gráfica o tabla de valores numéricos. Debe ser posible evaluar un límite, o concluir su no existencia, de alguna forma mecánica. Los teoremas que se considerarán en esta sección establecen tales mecanismos. El primer teorema proporciona dos resultados básicos que se usarán en todo el análisis de esta unidad.

TEOREMA 3.1.2. DOS LÍMITES FUNDAMENTALES 1. lim k = k x→c

donde k es una constante

2. lim x = c x→c

85

Con esto y lo que sigue se podrá calcular el límite de muchas funciones algebraicas.

TEOREMA 3.1.3. PROPIEDADES DE LOS LÍMITES Sea n un entero positivo, k una constante y f, g funciones que tienen límite cuando x tiende a c, L1 y L2, respectivamente. Entonces son ciertas las siguientes propiedades:

lim [k f (x )] = k lim f (x )

• Múltiplo escalar

x→c

x→c

• Suma o diferencia lim [ f (x ) ± g (x )] = lim f (x ) ± lim g (x ) = L1 ± L2 x→c

x→c

x→c

lim [ f (x ) ⋅ g (x )] = lim f (x ) ⋅ lim g (x ) = L1 ∙ L2

• Producto

x→c

• Cociente

lim

x→c

x→c

x→c

lim f (x ) L f (x ) x → c 1 = = , si L 2 ≠ 0 g (x ) lim g (x ) L 2 x→c

n

n n lim [ f (x )] =  lim f (x ) = L x→c x c →  

• Potencia • Radical

lim

x→c

n

f (x ) = n lim f (x ) = L , siempre que L ≥ 0 si n es par n

x→c

EJEMPLOS PARA RESOLVER EN CLASE x→4

x→3

3. Encontrar lim

)

x2 + 9

x→4

x 4. Si lim f ( x ) = 4 y lim g ( x ) = 8 , encuentre lim f x→3

(

2. Encontrar lim 3 x 2 − 2 x

1. Encontrar lim 2 x 4

x→3

x→3

(

2

( x )⋅ 3

g(x )

)

Ya se ha dicho que el límite de f (x) cuando x tiende a c no depende del valor de f en x = c. Sin embargo, si sucede que el límite es precisamente f (c), se dice que el límite puede evaluarse por sustitución directa. La propiedad de la sustitución directa es válida para toda función polinomial o racional, siempre que, en este último caso el valor del denominador para c no sea cero.

86

TEOREMA 3.1.4. TEOREMA DE SUSTITUCIÓN •

Si f es una función polinomial, entonces

lim f (x ) = f (c )

x→c

•

Si f es una función racional

p (x ) q (x )

f (x ) =

entonces, a) Si q (c) ≠ 0, entonces lim f (x ) = f (c ) x→c

b) Si q (c) = 0, entonces lim f (x ) no existe x→c

Por último, para funciones definidas parte por parte, la mejor estrategia para obtener el límite bilateral en un punto donde la regla de correspondencia cambia, consiste en encontrar primero los límites laterales en ese punto.

EJEMPLOS PARA RESOLVER EN CLASE 1. lim

7 x 5 − 10 x 4 − 13 x + 6 3x 2 − 6x − 8

3. lim

t 2 + 3t − 10 t2 +t −6

x→2

t→2

4. lim f (r ) r →1

5. lim h (x ) x →3

 r+2  donde f ( r ) =   1r2 −3 2  2 x + 1 si  donde h (x ) =   10 − x si 

2. lim

x →1

x 3 + 3x + 7 x 2 − 2x + 1

si − 3 < r ≤ 1 si

1< r ≤ 4

x 0 y considérese el 0

diagrama ya conocido de la figura 3.5

91

P (cos t, sen t) t t A (1, 0)

0

Figura 3.5

Nótese que cuando t → 0, el punto P se mueve hacia (1, 0) y por lo tanto

lim cos t = 1

lim sen t = 0

t →0

t →0

Prolónguese el segmento OP hasta que intersecte la línea vertical que pasa por A, que será en el punto T de coordenadas (1, tg t), como se muestra en la figura 3.6. T (1, tg t) P (cos t, sen t)

t 0

A (1, 0)

Figura 3.6

Ahora bien, las áreas de las tres figuras verifican área ∆ 0AP ≤ área (sector 0AP) ≤ área ∆ 0AT Donde área ∆ 0AP =

área (sector 0AP) =

1 1 1 base ⋅ altura = ⋅ 1 ⋅ sen t = sen t 2 2 2

1 1 1 (radio)2 ⋅ (ángulo en radianes) = ⋅ 12 ⋅ t = t 2 2 2

área ∆ 0AT =

1 1 sen t 1 base ⋅ altura = ⋅ 1 ⋅ tg t = ⋅ 2 2 cos t 2

Como resultado, la doble desigualdad toma la forma 92

1 1 1 sen t sen t ≤ t≤ ⋅ 2 2 2 cos t

Multiplicando todo por

2 , número positivo, se obtiene sen t

1≤

t 1 ≤ sen t cos t

Cuando se toman los recíprocos, con lo que se invierten las desigualdades, resulta cos t ≤

sen t ≤1 t

Hasta aquí hemos estado suponiendo que 0 < t < 0 0

x→c

lim

x→c

f (x ) L =0 = g (x ) ∞

Propiedades similares valen si lim f (x ) = − ∞ x→c

EJEMPLOS PARA RESOLVER EN CLASE 1. Determinar los límites cuando x tiende a -3 por la izquierda y por la derecha. x2 πx a) lim 2 b) lim sec x→−3 x − 9 x→−3 6 2. Hallar los límites indicados. x2 a) lim 2 x → 4 x − 16 1  c) lim 1 +  x→0  x +

−

b) d)

lim

x → 1+

lim

x2 + x +1 x3 −1

x→π 2

+

 −2     cosx 

97

3.1.7 LÍMITES EN EL INFINITO  DEFINICIÓN INTUITIVA DE LÍMITE EN EL INFINITO Ya se han usado los símbolos ∞ y - ∞ en la notación para ciertos intervalos. Así, (3, ∞) es la manera de designar al conjunto de todos los números reales mayores que 3. Nótese que nunca nos hemos referido a ∞ o - ∞ como un número. Por ejemplo, nunca lo hemos sumado o dividido con números. Ahora se usarán los símbolos ∞ y - ∞ en una nueva forma, pero seguirán sin representar números. Por ejemplo, considérese la función f (x) = 1 / x2, cuya gráfica aparece en la figura 3.10.

f (x) =

1 x2

Figura 3.10

Haremos esta pregunta: ¿qué le sucede a f (x) cuando x llega a ser más y más “grande”? En símbolos, lo que preguntamos es el valor de lim f (x ) . x→∞

Cuando se escribe x → ∞, no se quiere dar a entender que muy lejos a la derecha del eje horizontal, exista un número —mayor que todos los demás números— al que x se aproxima. Más bien, se usa x → ∞ como una manera breve de decir que x crece sin límite. Calculando una serie de valores de f (x) = 1 / x2 para diversos valores de x, se puede observar que f (x) se hace muy pequeño cuando x aumenta y escribimos 1 =0 x2

lim

x→∞

Experimentos con números negativos conducirían a escribir lim

x→−∞

1 =0 x2

En general, si una función f tiende a un valor constante L cuando la variable independiente x crece sin límite (x → ∞) o cuando x decrece (x → - ∞) sin límite, entonces se escribe

lim f (x ) = L

x→∞

98

o

lim f (x ) = L

x→−∞

y se dice que f posee un límite en el infinito.

DEFINICIÓN INTUITIVA DE LÍMITE EN EL INFINITO Si los valores de f (x) se aproximan a la larga tanto como se desee a un número L, cuando x se incrementa ilimitadamente, entonces se escribe

lim f (x ) = L

x→∞

o f (x) → L cuando x → ∞

De manera similar, si los valores de f (x) se aproximan a la larga tanto como se desee a un número L cuando x disminuye ilimitadamente, entonces se escribe lim f (x ) = L o f (x) → L cuando x → - ∞.

x→−∞

Al comportamiento de una función f (x) cuando x se incrementa o disminuye ilimitadamente se le llama en ocasiones comportamiento final de la función. Las posibilidades para límites en el infinito son: • •

Un límite existe pero el otro no. Tanto lim f (x ) = L como lim f (x ) = L existen y son iguales al mismo número

•

Tanto lim f (x ) = L como lim f (x ) = L existen pero son números diferentes

•

Ni lim f (x ) = L ni lim f (x ) = L existen.

x→−∞

x→∞

x→−∞

x→∞

x→−∞

x→∞

 ASÍNTOTAS HORIZONTALES PARA LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN Si por lo menos uno de los límites existe, por ejemplo, lim f (x ) = L , entonces la gráfica x→∞

de f puede hacerse arbitrariamente próxima a la recta y = L cuando x crece en la dirección positiva.

DEFINICIÓN DE ASÍNTOTA HORIZONTAL Se dice que la recta y = L es una asíntota horizontal para la gráfica de una función f si por lo menos se verifica una de las dos declaraciones

lim f (x ) = L

x→∞

o

lim f (x ) = L

x→−∞

En las figura 3.11 se ilustran algunas asíntotas horizontales típicas.

99

f (x)

y=L

x

0

lim f (x ) = L

x→∞

Figura 3.11 (a)

y=L x lim f (x ) = L

0

x→−∞

Figura 3.11 (b)

 PROPIEDADES DE LOS LÍMITES EN EL INFINITO Los límites en el infinito, como los límites en un número real c, pueden no existir por varias razones. Una posibilidad es que los valores de f (x) se incrementen o disminuyan ilimitadamente cuando x → ∞ o x → - ∞. Se utilizará la siguiente notación para describir esta situación, según corresponda: lim f (x ) = ± ∞

x→∞

o

lim f (x ) = ± ∞

x→−∞

Los límites de esta forma se llaman límites infinitos en el infinito. Las propiedades de los límites dadas en el teorema 3.1.3 se cumplen también para los límites en el infinito, en el supuesto de que los límites existen. Obviamente en el caso del límite de un cociente también debe tenerse lim f (x ) ≠ 0 x→∞

100

 EVALUACIÓN DE LÍMITES EN EL INFINITO Por otra parte, algunas veces el aplicar las propiedades de los límites conducen a la forma indeterminada ∞ / ∞. Para solventar esta dificultad se puede reexpresar en una forma equivalente el cociente, en concreto, dividiendo numerador y denominador por la mayor potencia de x que aparezca en el denominador, después de lo cual se puede determinar el comportamiento del límite. El siguiente resultado suele ser útil para evaluar límites en el infinito:

EVALUACIÓN DE LÍMITES EN EL INFINITO Si r es positivo y racional, y k cualquier número real, entonces

lim

x→∞

k =0 xr

Si xr está definido cuando r < 0, entonces lim

x→−∞

k =0 xr

En general las funciones trigonométricas no tienen límites en el infinito debido a su carácter periódico y no hay una notación específica para denotar este tipo de comportamiento. Sin embargo, para calcular límites en el infinito que contienen funciones trigonométricas, puede ser útil utilizar el teorema de compresión. En cuanto a los límites en el infinito para funciones logarítmicas y exponenciales, ya se vio en las sección 2.5 que las funciones ex y ln x se incrementan ilimitadamente cuando x → ∞ (ver las figuras 2.32 y 2.34). Así, en notación de límites se tiene: LÍMITES EN EL INFINITO DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

lim e x = 0

x→−∞

lim e − x = ∞

x→−∞

lim ln x = − ∞

x → 0+

lim e x = ∞

x→∞

lim e − x = 0

x→∞

lim ln x = ∞

x→∞

Por último, es importante recordar lo siguiente:

101

Cuando se escribe

lim f (x ) = L

o

x→∞

lim f (x ) = L

x→−∞

quiere decir que el límite existe y es igual a L, en contraposición a cuando se escribe

lim f (x ) = ∞

o

x→c

lim f (x ) = − ∞

x→c

que significa que la función f (x) crece o decrece sin cota, en cuyo caso el límite no existe.

EJEMPLOS PARA RESOLVER EN CLASE Hallar el límite indicado: 1. lim

2x 3 - 3 x 2 + 1 7 - 4x + 5x 3

2. lim

3. lim

3x − 7x + 2 2x 2 + 1

4. lim

x→∞

4

x→∞

x→∞

5 − x + 2x 2 5x3 + 3x − 6

2

x→∞ 3

5. lim  3 x + 9 x 2 − x  x→− ∞   x − cos x 7. lim x→∞ x 8. Determinar si la gráfica de f (x) =

9. Determinar si la gráfica de f (x) =

x 3x 3 − x 2 + 5x − 2

6. lim sen x x→∞

5x x2 + 4

tiene asíntotas horizontales.

6 tiene asíntotas horizontales. 1+ e − x

3.1.8 DEFINICIÓN FORMAL DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN En el análisis que se presenta a continuación se considerará un enfoque alterno a la idea de límite, que se basa en conceptos analíticos más que en conceptos intuitivos. Una demostración de la existencia de un límite jamás debe estar basada en la habilidad para elaborar gráficas o en tablas de valores numéricos. Aunque una buena comprensión intuitiva de lim f (x ) es x→c

suficiente para continuar con el estudio del cálculo en este curso, en general una comprensión intuitiva es algo muy vago como para usarlo en la demostración de teoremas. Para presentar una demostración rigurosa de la existencia de un límite o para demostrar los importantes teoremas de la sección 3.1.3 es necesario empezar con una definición precisa de límite.

102

 DEFINICIÓN FORMAL DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN Se intentará demostrar que lim (2 x + 6 ) = 10 al trabajar la siguiente idea: “Si f (x) = 2x + x→2

6 puede hacerse arbitrariamente próximo a 10 al tomar x suficientemente próximo a 2 por ambos lados pero diferente de 2, entonces lim (2 x + 6 ) = 10 ”. x→2

Es necesario precisar los conceptos arbitrariamente próximo y suficientemente próximo. Para establecer una norma de proximidad arbitraria se pedirá que la distancia entre los números f (x) y 10 sea menor que 0.1; es decir, | f (x) – 10| < 0.1

9.9 < f (x) < 10.1

o sea

Así, ¿cuán próximo a 2 debe estar x para satisfacer la desigualdad anterior? Para averiguarlo, es posible usar álgebra normal para volver a escribir la desigualdad 9.9 < 2x + 6 < 10.1 cuando 1.95 < x < 2.05. Al sumar – 2 a ambos miembros de esta desigualdad simultánea se obtiene - 0.05 < x – 2 < 0.05 Al usar valores absolutos y recordar que x ≠ 2, la última desigualdad puede escribirse como 0 < | x – 2| < 0.05 Así, para una cercanía arbitrariamente próxima a 10 de 0.1, suficientemente próximo a 2 significa a menos de 0.05. En otras palabras, si x es un número diferente de 2 tal que su distancia a 2 satisface |x – 2| < 0.05, entonces se garantiza que la distancia de f (x) a 10 satisface | f (x) – 10| < 0.1. Al expresarlo de otra manera, cuando x es un número diferente de 2 pero que está en el intervalo abierto (1.95, 2.05) sobre el eje horizontal, entonces f (x) está en el intervalo (9.9, 10.1) sobre el eje vertical. Se intentará generalizar usando el mismo ejemplo. Suponga que ε (épsilon) denota un

número positivo arbitrario que constituye la medida de la proximidad arbitraria al número 10. Se pide que

| f (x) – 10| < ε

10 - ε < f (x) < 10 + ε

o sea

Entonces, por 10 – ε < 2x + 6 < 10 + ε y por álgebra, se encuentra que 2-

ε ε M •

siempre que

0 < |x – c| < δ

lim f (x ) = − ∞ significa que para todo M < 0 existe un δ > 0 tal que

x→c

f (x) < M

siempre que

0 < |x – c| < δ

La primera definición se ilustra en la figura 3.16.

f (x)

f (x) está aquí M

0

c-δ

x c

c+δ

para todo x ≠ c que está aquí

lim f (x ) = ∞

x→c

Figura 3.16

Recuérdese que si f (x) → ∞ (o - ∞) cuando x → c, entonces x = c es una asíntota vertical para la gráfica de f. En el caso en que f (x) → ∞ cuando x → c, entonces f (x) puede hacerse más grande que cualquier número positivo arbitrario (es decir, f (x) > M) al tomar x suficientemente próximo a c (es decir, 0 < | x – c| < δ). 109

Los límites infinitos unilaterales se definen de forma análoga a la proporcionada en la definición de límites laterales.

DEFINICIÓN FORMAL DE LÍMITE EN EL INFINITO •

Sea f una función definida para toda x en un intervalo abierto infinito que se extiende en la dirección positiva de x. Se dice que

lim f (x ) = L

x→∞

si para todo ε > 0 existe un N > 0 tal que | f (x) – L | < ε •

siempre que

x>N

Sea f una función definida para toda x en un intervalo abierto infinito que se extiende en la dirección negativa de x. Se dice que

lim f (x ) = L

x→−∞

si para todo ε > 0 existe un N < 0 tal que | f (x) – L | < ε

siempre que

x N).

Por último, es importante mencionar que la definición formal de límite es útil para demostrar teoremas relativos a límites y para establecer la existencia de tipos particulares de límites, pero no es útil para calcular límites. Para esto es más conveniente utilizar las técnicas estudiadas anteriormente.

EJEMPLO PARA RESOLVER EN CLASE 1. Establecer la validez del siguiente límite usando la definición.

lim

x→∞

3x =3 x +1

2.2 CONTINUIDAD DE FUNCIONES En el análisis de la sección 2.1 sobre funciones y gráficas se usó la frase “estos puntos se unen con una curva suave”. Esta frase invoca la imagen que es una curva continua agradable; en otras palabras, una curva sin rupturas, saltos o huecos. En efecto, una función continua a menudo se describe como una cuya gráfica puede trazarse sin levantar el lápiz del papel. En la sección 3.1 vimos que el valor funcional f (c) no desempeñaba ningún papel en la determinación de la existencia de lim f (x ) . Pero también observamos que los límites x→c

cuando x → c de funciones polinomiales y ciertas funciones racionales pueden 111

encontrarse simplemente al evaluar la función en x = c. La razón por la que puede hacerse lo anterior en algunas instancias es el hecho de que la función es continua en un número c. En esta sección veremos que tanto el valor de f (c) como el límite de f cuando x tiende a un número c desempeñan papeles primordiales al definir el concepto de continuidad. 3.2.1 CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Antes de proporcionar la definición de continuidad en un punto, en las figuras siguientes se ilustran algunos ejemplos intuitivos de funciones que no son continuas en c.

f (x)

x

0

c

Figura 3.19

lim f (x ) no existe y f (c) no está definida

x→c

f (x)

f (x)

f (c)

0

x c

Figura 3.20

lim f (x ) no existe pero f (c) está definida

x→c

112

Figura 3.21

lim f (x ) existe pero f (c) no está definida

x→c

f (x) f (x) f (c) l

0

x c

Figura 3.22

lim f (x ) existe, f (c) está definida pero lim f (x ) ≠ f (c)

x→c

x→c

Las figuras anteriores sugieren la siguiente condición tripartita de continuidad de una función f en un número c.

DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Se dice que una función f es continua en x = c si se satisfacen las siguientes condiciones: • • •

f (c) esté definida lim f (x ) existe

x→c

lim f (x ) = f (c)

x→c

113

Si alguna de las tres condiciones anteriores no se cumple, entonces se dice que f es discontinua en c.

EJEMPLOS PARA RESOLVER EN CLASE 1. Investigar si existe algún punto de discontinuidad para la función

f (x) =

x +3 x +x−6 2

2. Trazar la gráfica e investigar si es continua en el punto x = - 2. la función f definida por  x2 + x −2   x + 2 f (x ) =   5  

si x ≠ − 2 si x = − 2

3. Establecer si la función f es continua o no en t = 2:

 4t − 8  f (t ) =  t − 2  2

si t ≠ 2 si t = 2

4. Determinar si la función definida parte por parte es continua en 2.  x2  f (x) =  5 6 − x 

si si si

x2

3.2.2 CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO La definición de continuidad dada anteriormente se refiere a la continuidad de una función en un punto, pero el concepto de continuidad no empieza a ser interesante sino hasta que dirigimos nuestra atención a funciones que son continuas en todos los puntos de algún intervalo.

114

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO Una función f es continua •

Sobre un intervalo abierto (a, b) si es continua en todos los puntos de ese intervalo.

•

Sobre un intervalo cerrado [a, b], si es continua para todo x de (a, b) y, además,

lim f (x ) = f (a )

x→a+

y

lim f (x ) = f (b )

x →b−

Si se cumple la condición lim f (x ) = f (a ) , se dice que f es continua por la derecha en a; x→a+

si lim f (x ) = f (b ) , entonces f es continua por la izquierda en b. x →b−

EJEMPLOS PARA RESOLVER EN CLASE  x 2 − 3 si − 1 < x < 1    1. Investigar para qué valores de x es continua la función f (x ) =  2 x − 4 si 1 ≤ x < 2    5 − x 2 si 2 ≤ x < 3  2x − 3  2. Investigar para qué valores de x es continua la función h (x) =  x − 5  3−x 

si si si

x < −2 −2 ≤ x ≤1 x >1

si x ≤ −1  2   3. Hallar a y b de modo que hagan continua a la función f (x ) =  a x + b si − 1 < x < 3    − 2 si x≥3

Una revisión de las gráficas de la figura 2.16 muestra que f (x) = sen x y f (x) = cos x son continuas en (- ∞, ∞). La figura 2.17 (a) muestra que f (x) = tg x y f (x) = sec x son discontinuas en x = (2n + 1)π/2, n = 0, ± 1, ± 2, …, mientras la figura 2.17 (b) muestra que f (x) = ctg x y f (x) = csc x son discontinuas en x = nπ, n = 0, ± 1, ± 2, …. 115

Las funciones trigonométricas inversas f (x) = sen – 1 x y f (x) = cos sobre el intervalo cerrado [- 1, 1] (ver las figuras 2.28 y 2.29).

– 1

x son continuas

x

La función exponencial natural f (x) = e es continua sobre el intervalo (- ∞, ∞), mientras que la función logaritmo natural f (x) = ln x es continua sobre (0, ∞). Véanse las figuras 2.32 y 2.34. 3.2.3 CONTINUIDAD EN LA COMBINACIÓN DE FUNCIONES Cuando dos funciones f y g son continuas en x = c, entonces la combinación de las funciones formadas por suma, multiplicación y división también es continua en c. En el caso de la división f / g es necesario, por supuesto, requerir que g (c) ≠ 0. TEOREMA 3.2.1. CONTINUIDAD EN OPERACIONES CON FUNCIONES Si las funciones f y g son continuas en c, k es una constante y n un entero positivo, entonces también son continuas en c las funciones

k⋅f f±g f⋅g f / g (siempre que sea g (c) ≠ 0) fn • n f (siempre que sea f (c) ≥ 0 cuando n es par) • • • • •

Puesto que la definición de continuidad muestra que las funciones f (x) = k y f (x) = x son continuas en todo número real c, a partir de diversas aplicaciones del teorema anterior se n observa que las funciones potenciales x también son continuas para cualquier x en el intervalo (- ∞, ∞). Debido a que una función polinomial es justo una suma de potencias de x, se puede concluir que una función polinomial

f (x) = an xn + an – 1 x n – 1 + … + a1 x + a0 es continua en (- ∞, ∞).

En general, si f es continua para todos los números reales, es decir, sobre el intervalo (- ∞, ∞), se dice simplemente que es una función continua. Por lo tanto, si p (x) y q (x) son funciones polinomiales, por el teorema 3.2.1 también se concluye directamente que una función racional

f

116

( x ) = p (x ) q (x )

es continua para todo número real c de su dominio, es decir, con la excepción de los puntos en los que su denominador q (x) es cero.

FUNCIONES CONTINUAS •

Las funciones polinomiales son continuas en (- ∞, ∞).

•

Las funciones racionales son continuas en (- ∞, ∞), excepto en los puntos donde el denominador es cero.

•

La función f (x) = |x| es continua en (- ∞, ∞).

• •

La función f (x ) = n x es continua en (- ∞, ∞) si n es impar y en [0, ∞) si n es par. Las funciones f (x) = sen x y f (x) = cos x son continuas en (- ∞, ∞).

•

Las funciones f (x) = tg x y f (x) = sec x son discontinuas en x = (2n + 1)π/2, n = 0, ± 1, …

•

Las funciones f (x) = ctg x y f (x) = csc x son discontinuas en x = nπ, n = 0, ± 1, ….. –1

x y f (x) = cos – 1 x son continuas sobre el intervalo cerrado

•

Las funciones f (x) = sen [- 1, 1].

•

La función f (x) = e es continua sobre el intervalo (- ∞, ∞).

•

x

La función f (x) = ln x es continua sobre (0, ∞)

Combinando estas funciones con las propiedades precedentes, puede verse que una gran variedad de funciones son continuas.

EJEMPLO PARA RESOLVER EN CLASE 1. ¿Para cuáles números es continua f (x) =

3 x − x2 x+

3

?

x

3.2.4 CLASES DE DISCONTINUIDADES Una discontinuidad de una función f a menudo se denomina de manera especial. •

Si x = c es una asíntota vertical para la gráfica de f (x), entonces se dice que f tiene una discontinuidad infinita en c (figura 3.23).

117

f (x)

f (x)

x

0

c

Figura 3.23

•

Si

lim f (x ) = L1

x→c−

y

lim f (x ) = L 2 y L1 ≠ L2, entonces se dice que f tiene una

x→c+

discontinuidad finita o una discontinuidad por salto en c (figura 3.24). f (x)

f (x)

f (c)

0

x c

Figura 3.24

•

Si lim f (x ) existe pero f no está definida en x = c o f (c) ≠ lim f (x ) , entonces se x→c

x→c

dice que f tiene una discontinuidad removible o evitable en c (figuras 3.25 y 3.26).

Figura 3.25 lim f (x ) existe pero f (c) no está definida x→c

118

f (x) f (x) f (c) l

0

c

Figura 3.26

x

lim f (x ) ≠ f (c)

x→c

En este caso, f puede hacerse continua redefiniéndola en x = c, de tal manera que lim f (x ) = f (c), con lo que entonces f sería continua en c (Figura 3.27). x→c

f (x)

f (c) = L

x

0

c

Figura 3.26

lim f (x ) = f (c)

x→c

Si la discontinuidad en c es infinita o por salto, es decir si lim f (x ) no existe, entonces la x→c

discontinuidad es inevitable o esencial.

119

EJEMPLOS PARA RESOLVER EN CLASE Hallar las discontinuidades (si las hay) y decir cuáles son evitables. 1.

g (x ) =

2.

f (x ) =

x+3 x + x−6 2

3.

f (x ) =

x−3 x−3

x x −1 2

Determinar si las funciones dadas tienen asíntotas verticales o discontinuidad evitable en x = - 1. 4. f (x ) =

x2 −1 x +1

5. f (x ) =

sen (x − 1) x +1

3.2.5 CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN INVERSA Recordando que cuando se grafican en un mismo plano coordenado dos funciones inversas, al obtener dos veces la simétrica respecto a la diagonal se vuelve al punto de partida, eso significa que ( f – 1) – 1 = f, lo cual es también evidente partiendo de la definición de función inversa. En conjunción con el teorema 2.3.1 para funciones inversas, esta ecuación tiene una consecuencia importante:

TEOREMA 3.2.2. CONTINUIDAD DE LA FUNCIÓN INVERSA Si f es una función continua y uno-uno sobre [a. b], entonces también la función f continua y uno-uno ya sea sobre [ f (a), f (b)] o sobre [ f (b), f (a)].

–1

es

Por ejemplo, la función seno, f (x) = sen x, es continua sobre [- π/2, π/2], y como ya se – 1 x, es continua sobre el intervalo cerrado observó, la inversa de f, g (x) = sen [f (- π/2, f (π/2)] = [- 1, 1]. 3.2.6 CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA Ya se ha visto que hay otra combinación con funciones que es de gran importancia, en concreto, la composición de funciones. Ésta también preserva la continuidad. El siguiente teorema establece que si una función es continua, entonces el límite de esa función es la función del límite.

120

TEOREMA 3.2.3. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA Si lim g ( x ) = L y si f es continua en L, entonces x→c

lim f ( g ( x ) ) = f  lim g ( x )  = f (L )  x→c 

x→c

Este teorema es útil en la demostración de otros teoremas. Si la función g es continua en c, y f es continua en g (c), entonces vemos que lim f ( g ( x ) ) = f  lim g ( x )  = f (g (c ))  x→c 

x→c

con lo que acabamos de demostrar que la composición de dos funciones continuas f  g también es continua.

TEOREMA 3.2.4. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA Si g es continua en c y f es continua en g (c), entonces la función compuesta (f  g) (x) = f (g (x)) es continua en c.

EJEMPLO PARA RESOLVER EN CLASE Discutir la continuidad de la función compuesta h (x) = f (g (x)) 2

1. f (x) = x , g (x) = x – 1 2. f (x) =

x , g (x) = x2 + 2

3. f (x) = sen x ,

g (x) = x2

3.2.7 TEOREMAS SOBRE FUNCIONES CONTINUAS Si una función f es continua sobre un intervalo cerrado [a, b], entonces, como se ilustra en la figura 3.27, f asume todos los valores entre f (a) y f (b). Dicho de otra manera, una función continua f no omite ningún valor.

121

f (b) N

f (a)

a

c

b

x

Figura 3.27

TEOREMA DE LOS VALORES INTERMEDIOS Si f es continua en un intervalo cerrado [a, b] para el cual f (a) ≠ f (b), y si N es cualquier número entre f (a) y f (b), inclusive, entonces existe por lo menos un número c en [a, b] tal que f (c) = N.

El siguiente teorema se usa a menudo para localizar ceros reales de una función continua f.

TEOREMA DE BOLZANO Si f es continua en [a, b] y f (a) y f (b) tienen signos algebraicos opuestos, entonces existe al menos un número x en (a, b) para el que f (x) = 0.

Este teorema en realidad es un corolario al teorema del valor intermedio, ya que si los valores f (a) y f (b) tienen signos opuestos, entonces al identificar N = 0 en dicho teorema, podemos afirmar que hay por lo menos un número c en (a, b) para el cual f (c) = 0. En otras palabras, si f (a) > 0 y f (b) < 0 o viceversa, entonces f (x) tiene por lo menos un cero c en el intervalo (a, b). La validez de esta conclusión se ilustra en la figura 3.28.

a x c

Figura 3.28 122

b

Geométricamente, esto significa que la gráfica de una función continua que empieza por debajo del eje horizontal y termina por encima del mismo (o viceversa) debe cruzar a este eje en algún punto, como en la figura 3.28.

TEOREMA DE LA COTA SUPERIOR Si f es continua en [a, b], entonces f está acotada superiormente en [a, b], es decir, existe algún número M tal que f (x) ≤ M para todo x en [a, b].

Geométricamente, este teorema significa que la gráfica de f queda por debajo de alguna línea paralela al eje horizontal, como en la figura 3.29. M

a

Figura 3.29

TEOREMA DEL MÁXIMO Si f es continua en [a, b], entonces existe algún número y en [a, b] tal que f (y) ≥ f (x) para todo x en [a, b] (figura 3.30).

a y

b

Figura 3.30 123

TEOREMA DE LA COTA INFERIOR Si f es continua en [a, b], entonces f está acotada inferiormente en [a, b], es decir, existe algún número N tal que f (x) ≥ N para todo x de [a, b].

TEOREMA DEL MÍNIMO Si f es continua en [a, b], entonces existe algún y en [a, b] tal que f (y) ≤ f (x) para todo x de [a, b]. Es decir, una función continua en un intervalo cerrado alcanza su mínimo en dicho intervalo.

124

UNIDAD DE COMPETENCIA 4. LA DERIVADA Muchos fenómenos del mundo real incluyen cantidades que varían: la velocidad de un cohete, la inflación monetaria, el número de bacterias en un cultivo, la intensidad de la sacudida de un terremoto, el voltaje de una señal eléctrica, etc. En esta unidad de competencia se desarrolla el concepto de derivada, que es la herramienta matemática para estudiar la razón a la que cambia una cantidad con respecto de otra y que, unido a los conceptos de función y límite, constituyen la parte medular del Cálculo Diferencial. El estudio de las razones de cambio guarda una estrecha relación con el concepto geométrico de recta tangente a una curva, por lo que también se discute la definición general de recta tangente y los métodos para determinar su pendiente y ecuación.

4.1 LA DERIVADA 4.1.1 EL PROBLEMA DE LA RECTA TANGENTE En un curso de cálculo se estudian muchas cosas diferentes, pero el tema “cálculo” por lo regular se divide en dos amplias áreas —relacionadas entre sí— denominadas cálculo diferencial y cálculo integral. El análisis de cada uno de estos temas suele comenzar con un problema de motivación que implica la gráfica de una función. El estudio del cálculo diferencial se motiva con el problema de encontrar la recta tangente a la gráfica de una función f, mientras que el estudio del cálculo integral se motiva con el problema de encontrar el área bajo la gráfica de una función f. El primer problema se abordará en esta sección, mientras que el segundo se analizará en la unidad didáctica Cálculo Integral.  RECTA TANGENTE A UNA GRÁFICA La palabra tangente surge del verbo tangere, que significa “tocar”. Quizás se recuerde del estudio de geometría plana que una tangente a un círculo es una recta L que corta, o toca, al círculo exactamente en un punto P. Sin embargo, no resulta tan fácil definir una recta tangente a la gráfica de una función f, ya que la idea de tocar traslada del concepto de recta tangente a la gráfica de una función, pero la idea de cortar la gráfica en un punto no lo hace. El conjunto de todas las funciones presenta una diversidad tal que es casi imposible descubrir propiedades generales interesantes que convengan a todas ellas. Sin embargo, los resultados más interesantes y más penetrantes acerca de las funciones sólo se obtendrán cuando se limite más aún la atención a funciones con un comportamiento aún más regular que la mayor parte de las funciones continuas.

125

2

f (x)= |x|

(a)

f (x)= x , x ≤ 0

f (x)= |x|, x ≥ 0

(b)

f (x)=

x

(c)

Figura 4.1

La figura 4.1 ilustra ciertos tipos de comportamiento irregular que pueden presentar las funciones continuas. Las gráficas de estas funciones están “quebradas” en (0, 0), a diferencia de la figura 4.2, donde es posible trazar una “tangente” en cada punto.

Figura 4.2

Por lo tanto, la tangente no se puede definir como una línea que corta la gráfica solamente una vez, ya que con una tal definición, la recta de la figura 4.3 no sería tangente a la gráfica de la figura, mientras que la parábola tendría dos tangentes en cada uno de sus puntos (figura 4.4), y las tres funciones de la figura 4.5 tendrían más de una tangente en los puntos en que están “quebradas”. f (x) = x2

Figura 4.3

126

Figura 4.4

(a)

(b)

(c)

Figura 4.5

Una manera más prometedora para abordar la definición de tangente podría ser empezando con “secantes” y utilizando la notación de límites. Para ello considérese una curva C que sea la gráfica de una función continua f. Si, como se muestra en la figura 4.6, f posee una recta tangente L a su gráfica en un punto P, entonces ¿cuál es la ecuación de esta recta? Para contestar esta pregunta requerimos las coordenadas de P y la pendiente mtan de L. Las coordenadas de P no presentan ninguna dificultad, puesto que un punto sobre la gráfica de una función f se obtiene al especificar un valor de x en el dominio de f. Así, las coordenadas del punto de tangencia en x = c son (c, f (c)). En consecuencia, el problema de encontrar una recta tangente se vuelve en el problema de encontrar la pendiente mtan de la recta.

L P(c, f (c))

c Figura 4.6

Como medio para aproximar mtan es fácil encontrar las pendientes msec de rectas secantes (del verbo latino secare, que significa “cortar”) que pasan por el punto P y cualquier otro punto Q sobre la gráfica (ver la figura 4.7)

127

L

Q P(c, f (c))

Figura 4.7

Si las coordenadas de P son (c, f (c)) y las coordenadas de Q son (c + h, f (c + h)), entonces, como se muestra en la figura 4.8, la pendiente de la recta secante que pasa por P y Q es f (c + h )− f (c ) h

m sec =

Q(c + h, f (c + h))

L f (c + h) – f (c) P(c, f (c))

h c

c+h Figura 4.8

La expresión en el lado derecho de la igualdad anterior se llama cociente diferencial (o cociente de Newton). Cuando se hace que h asuma valores que cada vez son más próximos a cero, es decir, cuando h → 0, entonces los puntos Q(c + h, f (c + h)) se mueven en la curva cada vez más cerca del punto P (c, f (c)). Intuitivamente, es de esperar que las rectas secantes tiendan a la recta tangente L, y que msec → mtan cuando h → 0. Es decir,

m tan = lim m sec h→0

en el supuesto de que el límite existe. Esta conclusión se resume en una forma equivalente del límite usando el cociente diferencial.

128

DEFINICIÓN DE RECTA TANGENTE Sea f una función continua en c. Si el límite

m tan = lim

h→0

f (c + h )− f (c ) h

existe, entonces la recta tangente a la gráfica de f en (c, f (c)) es la recta que pasa por el punto (c, f (c)) con pendiente mtan.

Es decir, una recta será tangente a la gráfica de una función f en el punto (c, f (c)) si y sólo si su pendiente tiene un valor igual al límite cuando h → 0 del cociente diferencial. Sin embargo, el límite

lim

h→0

f (c + h )− f (c ) h

puede no existir para una función f en x = c y aún así ser una tangente en el punto (c, f (c)). La recta tangente a una gráfica puede ser vertical, en cuyo caso su pendiente está indefinida. El concepto de tangente vertical se abordará en la siguiente sección Por otra parte, la gráfica de una función f que es continua en un número c no tiene por qué poseer una recta tangente en el punto (c, f (c)). Una recta tangente no existirá cuando la gráfica de f tenga un pico pronunciado en (c, f (c)). En la figura 4.9 se indica qué puede ser erróneo cuando la gráfica de la función tiene un “pico”. En este caso f es continua en c, pero las rectas secantes que pasan por P y Q tienden a L2 cuando Q → P, y las rectas secantes que pasan por P y Q ’ tienden a una recta diferente L1 cuando Q ’ → P. En otras palabras, el límite lim

h→0

f (c + h )− f (c ) h

no existe porque los límites laterales del cociente diferencial son diferentes (cuando

h → 0+ y cuando h → 0-).

L2 L1 Q‘ P

f Q x

Figura 4.9 129

4.1.2 DEFINICIÓN DE DERIVADA DE UNA FUNCIÓN En la sección anterior vimos que la recta tangente a una gráfica de una función f es la recta que pasa por el punto (c, f (c)) con pendiente dada por

m tan = lim

h→0

f (c + h )− f (c ) h

siempre que el límite exista. Para muchas funciones suele ser posible obtener una fórmula general que proporcione el valor de la pendiente de la recta tangente. Esto se lleva a cabo al calcular lim

f

( x + h )− f ( x )

h→0

h

para cualquier x (para la que existe el límite). Luego sustituimos el valor de x después que se ha encontrado el límite. El límite cuando h → 0 del cociente diferencial define una función: una función que se deriva de la función original f (x). Esta nueva función se denomina función derivada, o simplemente la derivada de f y se denota por f ‘.

DEFINICIÓN DE DERIVADA DE UNA FUNCIÓN La derivada de una función f es otra función f ‘ cuya regla de correspondencia está dada por

f ‘ (x) = lim

h→0

f

( x + h )− f ( x ) h

siendo su dominio el conjunto de valores x del dominio de f en donde este límite existe. Por tanto, el dominio de f ‘ necesariamente es un subconjunto del dominio de f.

EJEMPLOS PARA RESOLVER EN CLASE 1. Encontrar la derivada de f (x) = x 2 + 2 y encontrar f ‘ (- 2), f ‘ (0), f ‘ (1 / 2) y f ‘ (1). Interpretar. 2. Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f (x) = x2 + 2 en x = 2. Dibujar la gráfica de f y de la recta obtenida. 1 3. Encontrar la derivada de f (x) = x 3, f (x) = y f (x) = x x

130

 NOTACIÓN Para una función dada f, la derivada f ‘ también se designa a menudo por d f (x) , dx

y’,

dy dx

No hace falta decir que las distintas partes de estas expresiones carecen de todo significado cuando se consideran separadamente; las d no son números, no pueden simplificarse, y la expresión completa no es el cociente de otros dos números “d f (x)” y “dx”. Esta notación se debe a Leibniz. Por último, el proceso de encontrar o calcular una derivada se denomina derivación o diferenciación. Así, la derivación es una operación que se lleva a cabo sobre una función f (x). La operación de derivación de una función con respecto a la variable x se representa por los símbolos d / dx y Dx. Estos símbolos se denominan operadores diferenciales. El símbolo d f (x) dx

d f (x) dx

entonces significa

4.1.3 DERIVABILIDAD Si el límite lim

h→0

f

( x + h )− f ( x ) h

existe para un número x dado en el dominio de f, se dice que la función es derivable en x. En general, se dice simplemente que f es derivable si el límite anterior existe para todo x del dominio de f.

DERIVABILIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO Si una función f es derivable en todo número x de un intervalo abierto (a, b), (- ∞, b) y (a, ∞), entonces f es derivable sobre el intervalo abierto. Si una función f es derivable sobre (- ∞, ∞), entonces se dice que f es derivable en todas partes.

131

Una función f es derivable sobre un intervalo cerrado [a, b] cuando f es derivable sobre el intervalo abierto (a, b) y f +' (a ) = lim

h →0+

f −' (b ) = lim h→0

−

f (a + h )− f (a ) h

f (b + h )− f (b ) h

ambos existen. Estos límites se denominan derivadas laterales por la derecha y por la izquierda, respectivamente. Una función es derivable sobre [a, ∞) cuando es derivable sobre (a, ∞) y tiene derivada por la derecha en a. Una función es derivable sobre (- ∞, b] si es derivable sobre (- ∞, b) y tiene derivada por la izquierda en b. Cuando la derivada f ’ no existe en uno o más puntos de un intervalo, entonces f no es derivable en dicho intervalo.

Las causas que destruyen la derivabilidad de una función en x = c son:   

Si la función es discontinua en x = c. Si la gráfica de f presenta desvíos bruscos (tiene un pico) en (c, f (c)). Si la gráfica de f tiene una recta tangente vertical en el punto (c, f (c)).

TANGENTES VERTICALES Sea f continua en un número c. Si lim f ' (x ) = ∞

x→c

entonces se dice que la gráfica de f tiene una tangente vertical en (c, f (c)).

Las gráficas de muchas funciones con exponentes radicales tienen tangentes verticales. La gráfica de una función f también puede tener una tangente vertical en un punto (c, f (c)) si f es derivable sólo por un lado de c, es continua por la izquierda (derecha) en c, y se + cumple | f ‘ (x)| → ∞ cuando x → c o | f ‘ (x)| → ∞ cuando x → c .

132

EJEMPLOS PARA RESOLVER EN CLASE 1. Dada la función f (x) = 3x2 + 1, investigar si es derivable en el intervalo (- 2, 5). 2. Investigar si f (x) =

1

𝑥

es derivable en el intervalo (- 1, 3).

3. Dada la función f (x ) =

x − 2 , decir si es derivable en el intervalo (1, 4).

4. Graficar la función dada y encontrar sus derivadas laterales y determinar si la función es derivable en x = - 4  x + 2 si x ≤ − 4 f ( x) =   − x − 6 si x > − 4

5. Calcular las derivadas laterales (si existen) de f (x ) = 1 − x 2 . ¿Es derivable en x = 1?

4.1.4 DERIVABILIDAD Y CONTINUIDAD El hecho de tener una función continua en un punto implica que la función cumple con ciertas condiciones en ese punto y si es derivable en el mismo punto, significa que tiene ciertas propiedades en el punto. Por lo tanto, es lógico preguntarse si hay alguna conexión entre el concepto de continuidad y el de derivabilidad de una función en un punto. Las funciones examinadas hasta ahora han sido todas derivables. Para apreciar completamente el significado de la derivada es igualmente importante conocer algunos ejemplos de funciones que no son derivables. Considérense la función f (x) = |x|; esta función es continua en todas partes; en particular, es continua en 0 pero no es derivable en ese número. En este caso, h f (c + h )− f (c ) f (0 + h )− f (0 ) = = h h h

Ahora bien,

|ℎ| ℎ

= 1 para h > 0, y

|ℎ| ℎ

= - 1 para h < 0. Esto demuestra que

f ‘ (0) = lim

h→0

f (h )− f (0 ) no existe h

ya que

f +' (0 ) =

lim

h→0

+

f (h )− f (0 ) =1 h

133

f −' (0 ) =

lim

h →0−

f (h )− f (0 ) = −1 h

Si c ≠ 0, entonces existe f ‘ (c). En efecto,

f ‘ (x) = 1

si

x>0

f ‘ (x) = - 1 si

x f (x2)

Los teoremas siguientes establecen una relación creciente/decreciente y la existencia de una función inversa.

entre

el

concepto

de

TEOREMA 4.2.14. EXISTENCIA DE UNA FUNCIÓN INVERSA Sea f una función continua y creciente sobre un intervalo [a, b]. Entonces f continua y creciente sobre [f (a), f (b)].

–1

existe y es

Análogamente, si f es una función continua y decreciente sobre un intervalo [a, b]. –1 Entonces f existe y es continua y decreciente sobre [f (b), f (a)].

 DERIVABILIDAD DE UNA FUNCIÓN INVERSA – 1

, parece razonable abordar su Una vez investigada con éxito la continuidad de f derivabilidad. La figura 4.13 muestra la gráfica de una función uno-uno continua y creciente.

153

f

I (x)

( f (b), b)

-1

f (b, f (b))

( f (a), a) a f (a)

f (b)

b

l1

Figura 4.13

Al analizar esta figura observamos que si f en el teorema 4.2.14 es una función derivable sobre (a, b), entonces • •

f es creciente sobre el intervalo [a, b] si f ‘ (x) > 0 sobre (a, b) f es decreciente sobre el intervalo [a, b] si f ‘ (x) < 0 sobre (a, b)

TEOREMA 4.2.15. DERIVABILIDAD DE UNA FUNCIÓN INVERSA Sea f una función derivable sobre un intervalo abierto (a, b). Si f ‘ (x) > 0 sobre el intervalo o f ‘ (x) < 0 sobre el intervalo, entonces f es uno-uno. Además, f – 1 es derivable para toda x en el recorrido de f.

 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN INVERSA Si f es derivable sobre un intervalo I y es uno-uno sobre ese intervalo, entonces para c en I el punto (c, f (c)) sobre la gráfica de f y el punto (f (c), c) sobre la gráfica de f – 1 son imágenes especulares entre sí en la recta I (x) = x. Como veremos a continuación, las pendientes de las rectas tangentes en (c, f (c)) y (c, f (c)) también están relacionadas. I (x)

( f (c), c)

f ( b, a) l2

f

(c, f (c))

-1

( a, b) l1

Figura 4.14 154

Considérese lo que sucede a una recta l1 cuando se refleja sobre la recta I (x). Como es claro en esta figura, l1 se refleja para dar la recta l2; además, sus respectivas pendientes m1 y m2 están relacionadas mediante la expresión m2 = 1 / m1, siempre que sea m1 ≠ 0.

m2 =

1 m1

Si sucede que l1 es la tangente a la gráfica de f en el punto (c, f (c)), entonces l2 será la –1 en el punto (f (c), c). Se llega a la conclusión de que tangente a la gráfica de f

m1 = f ‘ (c)

y

m2 = ( f – 1) ‘ ( f (c))

de donde ( f – 1)’ ( f (c)) = m2 =

1 1 = m1 f '( c )

Es decir, parece ser que ( f – 1)’ ( f (c)) =

1 f '( c )

Esta fórmula puede escribirse igualmente de manera que exprese (f para cada d del dominio de f – 1: (f

–1

) ‘ (d) =

(

f' f

1 −1

–1

) ‘ (d) directamente,

(d ))

Contrariamente al razonamiento usado para la continuidad, esta “demostración” en imágenes se hace algo más complicada al formularla analíticamente. Hay otro procedimiento que podría intentarse. Puesto que se sabe que

f ( f – 1 (x)) = x resulta tentador demostrar la fórmula deseada mediante una aplicación de la regla de la cadena:

f ‘ ( f – 1 (x)) ⋅ ( f – 1) ‘ (x) = 1 de modo que

( f ) ( x )= f '( f 1 −1 '

−1

( x ))

Desgraciadamente, esto no es una demostración de que f – 1 es derivable, puesto que la regla de la cadena no puede aplicarse a no ser que se sepa ya que f – 1 es derivable. Pero

155

este razonamiento indica cómo tendrá que ser ( f – 1) ‘ (x) si f – 1 es derivable, y puede también utilizarse para obtener alguna importante información preliminar.

TEOREMA 4.2.16. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN INVERSA Sea f una función derivable sobre un intervalo I y sea f ‘ (x) ≠ 0 para todo x de I. Si f tiene una inversa sobre I, entonces f – 1 es derivable en un número x y

( f ) ( x )= f '( f 1 −1

'

−1

( x ))

Si f es una función uno-uno continua definida sobre un intervalo I y f ‘ (f –1 no es derivable en c. algún número x, entonces f

– 1

(x)) = 0 en

3 Un ejemplo sencillo al que esto último es aplicable lo constituye la función f (x) = x . Al ser –1 –1 f ‘ (0) = 0 y 0 = f (0), la función f no es derivable en 0 (figura 4.15).

f (x) = x3

f – 1 (x) =

(a)

3

x

(b)

Figura 4.15

Una vez visto dónde no puede ser derivable una función inversa, ya se está en condiciones de afirmar que en todos los demás casos la derivada viene dada por la fórmula que ya se ha “deducido” de dos maneras diferentes. Por último, si (c, d) es un punto conocido sobre la gráfica de f, la relación (f permite evaluar la derivada de f f – 1 (x).

156

– 1

–1

)’ (d) =

1 f '( c )

en (d, c) sin contar con una ecuación que defina

EJEMPLOS PARA RESOLVER EN CLASE 1. Sea f (x) = x 5 + 2x + 1. Encontrar ( f – 1)’ (4). 5 –1 2. Sea f (x) = 3x + x – 2. Encontrar ( f )’ (2).

4.2.7 DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS Las derivadas de las funciones trigonométricas inversas son sorprendentemente sencillas, y no encierran en absoluto funciones trigonométricas. Hallar las derivadas es cosa sencilla, pero para expresarlas en forma conveniente se necesitarán expresiones tales como cos (arc sen x) =

1− x 2

tg (arc sec x) = ±

x2 −1

sec (arc tg x) =

•

1+ x 2

Para demostrar la primera expresión, recuérdese que sen2 t + cos2 t = 1. Haciendo t = arc sen x y usando el hecho de que sen (arc sen x ) = x se obtiene: [sen (arc sen x)]2 + [cos (arc sen x)]2 = 1 es decir,

x 2 + [cos (arc sen x)]2 = 1

por lo tanto, cos (arc sen x) =

1− x 2

∎

(La raíz cuadrada positiva debe tomarse porque arc sen x está en (- π / 2, π / 2), de modo que cos (arc sen x) > 0. •

2 Para demostrar la segunda expresión, recuérdese que tg2 t + 1 = sec t.

Haciendo t = arc tg x y usando el hecho de que tg (arc tg x ) = x se obtiene: 2 2 [tg (arc tg x)] + 1 = sec (arc tg x)

Es decir

x 2 + 1 = sec2 (arc tg x)

De donde

157

tg (arc sec x) = ±

•

x2 −1

∎

Nótese que no se puede eliminar el signo ±. Si x ≥ 1, se debe usar el signo (+); si x ≤ 1, se debe usar el signo (-).

Para demostrar la tercera expresión, recuérdese que tg2 t + 1 = sec2 t

Haciendo t = arc tg x y usando el hecho de que tg (arc tg x ) = x se obtiene: 2 2 [tg (arc tg x)] + 1 = [sec (arc tg x)]

Es decir

x2 + 1 = [sec (arc tg x)]2

De donde sec (arc tg x) =

x2 +1

TEOREMA 4.2.17. DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS Si – 1 < x < 1, entonces arc sen’ (x) = arc cos’ (x) = -

1 1− x 2 1 1− x 2

Además, para todo x se tiene arc tg’ (x) =

1 1+ x 2

y para |x| > 1 se tiene 1

arc sec’ (x) =

x 2 −1

x

DEMOSTRACIÓN: arc sen’ (x) = (f – 1)’ (x) 1 = f ' f −1( x ) 1 = sen ' ( arcsen x )

(

158

)

∎

= =

1 cos ( arcsen x ) 1

1− x 2

∎

Esto demuestra la primera fórmula. La demostración de la tercera fórmula es como sigue: arc tg’ (x) = (f – 1)’ (x) 1 = f ' f −1 ( x ) 1 = tg ' ( arctg x ) 1 = 2 sec ( arctg x ) 1 = 1+ x 2

(

)

con lo cual queda demostrada la tercera fórmula.

∎

La segunda fórmula se demuestra de manera semejante a la primera, pero tiene un leve giro, por lo que a continuación se demuestra: arc sec’ (x) = (f – 1)’ (x) 1 = f ' f −1 ( x ) 1 = sec ' ( arcsec x ) 1 = sec ( arcsec x ) tg (arcsec x ) 1 1 = = x  ± x 2 − 1  ± x  x 2 − 1      1 = x x 2 −1

(

)

Nótese que en estas demostraciones se han usado las identidades dadas al principio.

∎

En resumen, las derivadas de las funciones trigonométricas inversas son:

159

1

1. arc sen’ (x) =

1− x

3. arc tg’ (x) =

1− x

x2 −1

x

1

2. arc cos’ (x) = -

1

4. arc sec’ (x) =

2

1

5. arc csc’ (x) = -

2

x2 −1

x

1 1+ x 2

1

6. arc ctg’ (x) = -

1+ x 2

Combinando las reglas anteriores con la regla de la cadena se tiene:

TEOREMA 4.2.18. DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS Si u = g (x) es una función derivable, entonces 1

1. arc sen’ (u), = 2. arc cos’ (u), = 3. arc tg’ (u) =

1− u 2 1

⋅u'

1− u 2

1 1+ u 2

⋅u'

⋅u'

4. arc ctg’ (u) = -

1 1+ u 2

⋅u'

1

5. arc sec’ (u) = u

u 2 −1 1

u

u 2 −1

6. arc csc (u) = -

⋅u' ⋅u'

EJEMPLOS PARA RESOLVER EN CLASE Obtener la derivada de las siguientes funciones. x 2 x +1

1. f (x) = arc sen (3 x – 1)

2. f (x) = 3 arc cos

3. f (x) = arcsec 2x

4. f (x) = arc tg

5. f (x) = x arc tg x  1− x 7. f (x) = arc tg   1+ x

6. f (x) = arc sen x + arc cos x   

9. h (t) = sen (arc cos t )

160

8. f (x) = x arc sen x + 10. f (x) =

1− x2

1 2  x 1 − x + arc sen x   2

4.2.8 DERIVADAS DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS  DERIVADAS DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES x

En la sección 2.5 vimos que la función exponencial f (x) = a , a > 0, a ≠ 1, está definida para todos los números reales; es decir, el dominio de f es (- ∞, ∞). Al revisar la gráfica de f observamos que es una función continua en todas partes y ahora demostraremos que una función exponencial también es derivable en todas partes. x Comenzaremos por encontrar la derivada de f (x) = e usando la definición de derivada:

f ‘ (x) =

lim

h→0

(

)

ex+h − ex ex ⋅eh − ex ex eh −1 = lim = lim h→0 h→0 h h h

x como e no depende de la variable h, podemos escribir

f ‘ (x) =

eh −1 h

e x ⋅ lim

h→0

Volviendo a las definiciones proporcionadas en la sección 2.5, en concreto a la definición de e



1  x

e = lim  1 + x→∞



x

Sabemos que, a nivel intuitivo, esta igualdad significa que cuando x → ∞, entonces h =

→ 0; es decir, que cuando h se aproxima cada vez más a 0, entonces (1 + h) hacerse arbitrariamente próximo al número e:

e = lim ( 1 + h )1

1/h

1

𝑥

puede

h

h→0

Así, para valores de h cercanos a 0, tenemos la aproximación (1 + h)

1/h

=e

y así se concluye que h

1+h=e de donde Por lo tanto,

eh – 1 = h f ‘ (x) = e x ⋅ lim

h→0

eh −1 h = e x ⋅ lim = e x ⋅ lim 1 = e x h→0 h h→0 h 161

ln a

Por otra parte, a partir de la identidad e = a, a > 0, podemos escribir cualquier función x exponencial f (x) = a en términos de la base e:

f (x) = ax = ( e ln a) x = e x ln a x Por la regla de la cadena, la derivada de f (x) = a es

f ‘ (x) = e x ln a ∙ (x ln a)’ = e x ln a (ln a)

x x ln a , se muestra que Volviendo a a = e

f ‘ (x) = ax (ln a)

TEOREMA 4.2.19. DERIVADAS DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES Sea a > 0 (a ≠ 1) y sea u = g (x) una función derivable. Entonces: • • • •

(a x)‘ = (ln a) a x (a u)’ = a u ln a ⋅ u’ (e x)‘ = e x u u (e )’ = e ⋅ u’

(a > 0)

 DERIVADAS DE LAS FUNCIONES LOGARÍTMICAS x Puesto que la inversa de la función exponencial f (x) = a es la función logarítmica f (x) = loga x, la derivada de esta última función la podemos encontrar a partir del teorema 4.2.16.

( f ) ( x )= f '( f 1 −1

'

−1

( f ) ( x ) = (a ) (1log x ) = a −1

'

x '

a

( x )) 1

log a x

(ln a )

=

1 x ln a

De la misma manera, ya que la inversa de la función exponencial natural f (x) = ex es la función logaritmo natural f (x) = ln x, la derivada de esta última función está dada por

( f ) ( x ) = (e ) 1( ln x ) = e 1 −1

'

x '

162

ln x

=

1 x

TEOREMA 4.2.20. DERIVADAS DE LA FUNCIONES LOGARÍTMICAS •

(loga x)’ =

•

(ln x)’ =

1 x ln a

1 , x

x>0

Además, si u = g (x) es una función derivable, entonces: •

(loga u)’ =

•

ln’ (u) =

1 ⋅ u’ u ln a

1 ⋅u' u

Es de mucha utilidad el uso de las propiedades de los logaritmos para simplificar funciones logarítmicas en que aparecen productos cocientes y potencias. Estas propiedades se aplican antes de la derivación.

EJEMPLOS PARA RESOLVER EN CLASE Encontrar las derivadas de las siguientes funciones 1. f (x) = x (e – 3x) 4. f (x) = ln

x

 x  7. f (x) = ln  2  x 

x 2 −1

10. f (x) = ln 13. f (x) = e x

2

ln x

2. f (x) = e x (sen x + cos x)  x   5. f (x) = ln  2  + 1 x   8. f (x) = ln 11. f (x) = ln 14. f (x) = ln

x +1 x −1

x x −1 2

3. f (x) = ln (x 2 – x – 2) 6. f (x) = (ln x)

4

2

9. f (x) = ln (ln x )  1 + ex   12. f (x) = ln  x  1− e 

e x + e−x 2

4.2.9 DERIVACIÓN LOGARÍTMICA La derivación de una función complicada f (x) que contiene productos, cocientes y potencias puede simplificarse por medio de una técnica denominada derivación logarítmica. El procedimiento es el siguiente.

163

DERIVACIÓN LOGARÍTMICA 1. Tomar el logaritmo natural de ambos miembros de f (x). Usar las propiedades generales de los logaritmos para simplificar tanto como sea posible el miembro derecho de ln f (x). 2. Derivar ambos miembros de la ecuación. El miembro izquierdo, ln f (x), se deriva implícitamente. f ' (x ) 3. Puesto que la derivada del miembro izquierdo es ln’ f (x) = (esta expresión se f (x ) denomina derivada logarítmica de f ), se multiplican ambos miembros por f (x) y se sustituye f (x) (la función dada originalmente)

Esta técnica de derivación es muy útil ya que resulta muchas veces más fácil de calcular que f ‘, ya que los productos, cocientes y potencias de la expresión de f al pasar a ln f (x) se convierten en sumas, restas y productos. Además, también hay funciones donde tanto x la base como el exponente son variables, por ejemplo f (x) = x ; es decir funciones de la forma

f (x) g (x) Aunque existe una fórmula para derivar funciones de esta forma, esto es, si f (x) = g (x) h (x), entonces: 

f ‘ (x) = g (x) h (x) ⋅  h ' ( x ) ln g ( x ) + h ( x ) 

g'(x )  g(x) 

no hace falta recordar esta fórmula; por el contrario, se sugiere encontrarla por medio de la derivación logarítmica.

EJEMPLOS PARA RESOLVER EN CLASE Calcular f ‘ (x) usando la derivación logarítmica: 1. f (x) = x x 2 − 1 3. f (x) =

x

2

3x − 2

(x − 1)

5. f (x) = (x - 2 )

164

2

x+1

2. f (x) =

x (x − 1)

x +1

4. f (x) = x 2 / x 6. f (x) = x

3 2

x–1

4.2.10 DERIVADAS DE LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS Las derivadas de las funciones hiperbólicas se concluyen a partir de la derivada de la función exponencial natural y las reglas de derivación: por ejemplo: '

ex −e−x  ex +e−x  = senh' x =  = cosh x  2 2   en forma semejante, a partir de la definición del coseno hiperbólico debe resultar

ex + e−x cosh' x =  2 

'

 ex − e−x  = = senh x  2 

para derivar la tangente hiperbólica se usa la regla del cociente y la definición de esta función: '

 senh x  cosh 2 x − senh 2 x 1  = = = sech 2 x tgh' x =  2 2 x cosh x x cosh cosh   Las derivadas de las seis funciones hiperbólicas en el caso más general se concluyen con la regla de la cadena.

TEOREMA 4.2.21. DERIVADAS DE LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS Si u = g (x) es una función derivable, entonces senh’ u = cosh u ∙ u’ 2 tgh’ u = sech u ∙ u’ sech’ u = - sech u tgh u ∙ u’

cosh’ u = senh u ∙ u’ 2 ctgh’ u = - csch u ∙ u’ csch’ u = - csch u ctgh u ∙ u’

165

UNIDAD DE COMPETENCIA 5. APLICACIONES DE LA DERIVADA En esta unidad de competencia se estudiarán varias aplicaciones de la derivada y se mostrará cómo el cálculo puede proporcionar la mayor parte de la información importante acerca del comportamiento de las funciones. También se mostrará otra aplicación relevante de la derivada como lo es la solución de problemas de optimización.

5.1 EXTREMOS DE FUNCIONES El propósito de esta sección es desarrollar herramientas matemáticas que puedan utilizarse para determinar la forma exacta de una gráfica y la localización precisa de sus características principales. Comenzaremos por abordar el problema de encontrar los valores máximo y mínimo de una función f sobre un intervalo I y veremos que al encontrar estos extremos de f (en caso de haber alguno) en muchos casos es posible trazar fácilmente su gráfica y que al encontrar los extremos de una función también es posible resolver ciertos tipos de problemas de optimización. En esta sección estableceremos algunas definiciones importantes y se mostrará cómo encontrar los valores máximo y mínimo de una función f que es continua sobre un intervalo cerrado I.

5.1.1 EXTREMOS ABSOLUTOS  DEFINICIÓN DE EXTREMOS ABSOLUTOS El mínimo y el máximo de una función en un intervalo se llaman valores extremos o simplemente extremos de la función en ese intervalo.

DEFINICIÓN DE EXTREMOS ABSOLUTOS Sea c un punto del dominio de f . Se dice que: Un número f (c) es un máximo absoluto de f si f (x) ≤ f (c) para todo x en el dominio de f. • Un número f (c) es un mínimo absoluto de f si f (x) ≤ f (c) para todo x en el dominio de f. •

f (x)

Df Figura 5.1

166

En general, una función cuadrática f (x) = ax2 + bx + c tiene un máximo absoluto o un mínimo absoluto. Una función lineal f (x) = ax + b, a ≠ 0, no tiene extremos absolutos. Las 3 x gráficas de las funciones conocidas f (x) = 1 / x, f (x) = x , f (x) = tg x, f (x) = e , f (x) =) ln x muestran que éstas no tienen extremos absolutos. Las funciones trigonométricas f (x) = sen x y f (x) = cos x tienen un máximo absoluto y un mínimo absoluto. Una función puede no tener extremos absolutos en un intervalo. De hecho, puede carecer de ambos. El intervalo sobre el que la función está definida es muy importante en la consideración de extremos. El siguiente teorema identifica condiciones que garantizan la existencia de extremos.

TEOREMA 5.1.1. TEOREMA DEL VALOR EXTREMO Si f es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f siempre tiene un máximo absoluto y un mínimo absoluto sobre el intervalo.

En otras palabras, cuando f es continua sobre [a, b], hay números f (c1) y f (c2) tales que los valores f (c2) y f (c1) son el máximo absoluto y el mínimo absoluto, respectivamente, sobre el intervalo cerrado [a, b] (ver la figura 5.2). f (c2) f (c1) ≤ f (x) ≤ f (c2) para a ≤ x ≤ b

f (c1) a

c1

c2

b

Figura 5.2

 EXTREMOS DE UN PUNTO FRONTERA Los extremos absolutos pueden ocurrir en puntos interiores o terminales de un intervalo. Estos últimos se llaman puntos frontera. Los extremos absolutos de las funciones, definidas en intervalos cerrados, a menudo se presentan en puntos frontera. Cuando un extremo absoluto de una función ocurre en un punto frontera de un intervalo I, se dice que se trata de un extremo de un punto frontera. Cuando I no es un intervalo cerrado, es decir cuando I es un intervalo como (a, b), (- ∞, b] o [a, ∞), entonces aunque f sea continua no hay garantía de que exista un extremo absoluto. 5.1.2 EXTREMOS RELATIVOS Los valores extremos que ocurren en puntos interiores de un intervalo se llaman extremos relativos o locales. 167

DEFINICIÓN DE EXTREMOS RELATIVOS Un número f (c) es un máximo relativo de una función f si f (x) ≤ f (c) para toda x en algún intervalo abierto (a, b) que contiene a c. Un número f (c) es un mínimo relativo de una función f si f (x) ≥ f (c) para toda x en algún intervalo abierto (a, b) que contiene a c. Como consecuencia de la definición anterior podemos concluir que

Todo extremo absoluto, con excepción de un extremo de un punto frontera, también es un extremo relativo. Un extremo absoluto de un punto frontera se excluye de ser un extremo relativo con base en el tecnicismo de que alrededor de un punto frontera del intervalo no puede encontrarse un intervalo abierto contenido en el dominio de la función. 5.1.3 PUNTOS CRÍTICOS Si c es un número en el que la función f tiene un extremo relativo, entonces la tangente es horizontal en el punto correspondiente a x = c o no es derivable en x = c. Es decir, una de las dos: f ‘ (c) = 0 o f ‘ (c) no existe. Estos números c se llaman números críticos.

DEFINICIÓN DE NÚMERO CRÍTICO Un número crítico de una función f es un número c en su dominio para el cual f ‘ (c) = 0 o f ‘ (c) no existe.

Si c es un punto para el cual f ‘ (c) = 0, entonces se le llama punto estacionario (debido a que en dicho punto la gráfica de f se nivela, dado que la tangente es horizontal). Los extremos relativos con frecuencia se presentan en puntos estacionarios. Los números c interiores de un intervalo en los que f ‘ (c) no existe, se llaman puntos singulares; es decir, son puntos en los que la gráfica de f tiene un vértice agudo, una tangente vertical, o tal vez da un salto (o cerca del cual oscila abruptamente). Los extremos relativos también pueden darse en puntos singulares, aunque en los problemas prácticos son muy raros.

168

TEOREMA 5.1.2. TEOREMA DEL NÚMERO CRÍTICO Si una función f tiene un extremo relativo en x = c, entonces c es un número crítico; es decir, tendrá que ser: • •

Un punto estacionario de f en el que f ‘ (c) = 0; Un punto singular de f en el que f ‘ (c) no existe.

NOTA: El número crítico x = 0 no da máximo ni mínimo relativo, lo cual significa que el recíproco del teorema anterior no es válido. Por otra parte, ya vimos que una función f que es continua sobre un intervalo cerrado tiene tanto un máximo absoluto como un mínimo absoluto. El siguiente teorema indica dónde ocurren esos extremos.

TEOREMA 5.1.3. DETERMINACIÓN DE EXTREMOS ABSOLUTOS Si f es continua sobre un intervalo cerrado [a, b]. entonces un extremo absoluto ocurre ya sea en un punto frontera del intervalo o en un número crítico c en el intervalo abierto (a, b).

Estas tres clases de puntos (frontera, estacionarios y singulares) son la clave de la teoría de máximos y mínimos. En base al teorema 5.1.3 se puede establecer ahora un procedimiento muy simple para encontrar los valores extremos de una función continua f en un intervalo cerrado [a, b].

PROCEDIMIENTO PARA HALLAR EXTREMOS EN UN INTERVALO CERRADO 1. 2. 3. 4.

Evaluar f en los puntos frontera a y b del intervalo [a, b] Encontrar todos los números críticos de f en el intervalo abierto (a, b) Evaluar f en cada número crítico que tenga en (a, b) El menor de tales valores es el mínimo absoluto y el mayor es el máximo absoluto, respectivamente, de f sobre el intervalo [a, b].

5.1.4 FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES Supóngase que una función f (x) está definida sobre un intervalo I y que x1 y x2 son dos números cualesquiera en el intervalo tales que x1 < x2. En la sección 2.3.3 vimos que f es creciente sobre I si f (x1) < f (x2), y decreciente sobre I si f (x1) > f (x2). Intuitivamente, la gráfica de una función creciente sube cuando x crece (es decir, la gráfica asciende cuando x se lee de izquierda a derecha) y la gráfica de una función decreciente baja cuando x 169

crece. Por supuesto, una función f puede ser creciente sobre ciertos intervalos y decreciente sobre intervalos diferentes. La derivada va a determinar cuándo una función es creciente o decreciente, pues una derivada positiva implica que la pendiente de la gráfica asciende; análogamente, una derivada negativa produce pendiente en descenso y una derivada nula en todo un intervalo implica que la función es constante en él. El siguiente teorema es una prueba de la derivada para crecimiento/decrecimiento

TEOREMA 5.1.4. PRUEBA PARA CRECIMIENTO / DECRECIMIENTO Sea f una función continua en un intervalo [a, b] y derivable en todo punto interior de (a, b). •

Si f ‘ (x) > 0 para todo x en (a, b), entonces f es creciente sobre [a, b].

•

Si f ‘ (x) < 0 para todo x en (a, b), entonces f es decreciente en [a, b].

Si una función f es discontinua en uno o en ambos puntos extremos de [a, b], entonces f ‘ (x) > 0 (o f ‘ (x) < 0) sobre (a, b) implica que f es creciente (o decreciente) sobre el intervalo abierto (a, b). Este teorema aporta información suficiente para adquirir una buena idea de la gráfica de una función trazando el menor número posible de puntos, ya que permite determinar con precisión dónde crece y dónde decrece una función derivable (figura 5.3). f ‘ (c) = 0

f ‘ (x) < 0

f ‘ (x) > 0

f ‘ (x) < 0

f ‘ (x) > 0 creciente

decreciente

decreciente

c

creciente

c f ‘ (c) no está definida Figura 5.3

Para ver cómo aplicar el teorema 5.1.4, nótese que para f continuas, f ' (x) sólo cambia de signo en los números críticos. Luego, para determinar los intervalos en que f es creciente o decreciente se seguirán los siguientes pasos:

170

PROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR LOS INTERVALOS DONDE UNA FUNCIÓN ES CRECIENTE O DECRECIENTE

1. Localizar los números críticos de f. 2. Mirar el signo de f ' (x) en un punto de cada intervalo determinado por dos números críticos consecutivos. Aquí se puede hacer una tabla de signos como la utilizada en la sección 1.2.3. 3. Decidir, mediante el teorema 5.1.4, si f es creciente o decreciente en cada uno de esos intervalos prueba.

NOTA: Si el intervalo [a, b] incluye puntos de discontinuidad, estos puntos han de usarse junto con los puntos críticos para determinar los intervalos prueba.

EJEMPLOS PARA RESOLVER EN CLASE 3

2

1. Si f (x) = 2x – 3x – 12x + 7, encontrar dónde es creciente y dónde es decreciente la función f. x 2. Determinar dónde es creciente y dónde decreciente la función g (x) = 2 . x +1

5.1.5 CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA PARA EXTREMOS RELATIVOS Saber que una función tiene, o no, extremos relativos es de gran ayuda al trazar su gráfica. En el teorema 5.1.2 vimos que cuando una función tiene un extremo relativo debe ocurrir en un úmero critico. Al encontrar los números críticos de una función, tenemos una lista de candidatos para las coordenadas x de los puntos que corresponden a extremos relativos. A continuación se combinarán las ideas de esta sección para establecer dos pruebas para determinar cuándo un punto crítico es en realidad la coordenada x de un extremo relativo. En primer lugar, ya hemos visto que la derivada es útil para determinar los intervalos en que f es creciente o decreciente y también para localizar extremos relativos. Ahora veremos que también puede ser utilizada para clasificarlos como máximos o mínimos relativos. Suponga que f es continua sobre el intervalo cerrado [a, b] y derivable sobre un intervalo abierto (a, b), excepto tal vez en un número crítico c dentro del intervalo. Si f ' (x) > 0 para toda x en (a, c) y f ' (x) < 0 para toda x en (c, b), entonces la gráfica de f sobre el intervalo (a, b) puede ser como se muestra en la figura 5.4 (b); es decir, f (c) es un máximo relativo. Por otra parte, cuando f ' (x) < 0 para toda x en (a, c) y f ' (x) > 0 para toda x en (c, b)

171

entonces, como se muestra en la figura 5.4 (a), f (c) es un mínimo relativo. Se han demostrado dos casos especiales del siguiente teorema.

TEOREMA 5.1.5. CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA PARA EXTREMOS RELATIVOS Sea f continua sobre [a, b] y derivable sobre (a, b) excepto tal vez en el número crítico c. •

Si f ' (x) cambia de positiva a negativa en c, entonces f (c) es un máximo relativo. Si f ' (x) cambia de negativa a positiva en c, entonces f (c) es un mínimo relativo. • Si f ' (x) no cambia de signo a cada lado de c, entonces f (c) no es un extremo relativo. •

(+)

(-)

(+)

(-) f ‘ (x) < 0

a

f ‘ (x) > 0

f ‘ (x) > 0

c

b

a

(a) Mínimo relativo

f ‘ (x) < 0

c

b

(b) Máximo relativo

(+ (-) (+)

(-) f ‘ (x) > 0

a

f ‘ (x) < 0

f ‘ (x) > 0 c

b

a

f ‘ (x) < 0

c

b

(c) Ni máximo ni mínimo relativos Figura 5.4

En varios problemas de esta sección se pide trazar la gráfica de funciones. En cada caso se debe determinar:

172

• • • • •

Los números críticos de f. El valor de f en los números críticos. El signo de f ‘ en las regiones entre puntos singulares. Los números x tales que f (x) = 0 (si esto es posible). El comportamiento de f (x) cuando x se hace grande o grande negativo (si es posible).

Recuérdese también que una comprobación rápida para ver si la función es par o impar, puede ahorrar mucho trabajo. Este tipo de análisis, si se hace con cuidado, revelará por lo general los rasgos principales de la gráfica, pero a veces existen algunas características especiales que hacen necesario discurrir más. Si f no está definida en ciertos puntos (por ejemplo, si f es una función racional cuyo denominador se anula en algunos puntos), entonces el comportamiento de f cerca de estos puntos debe determinarse.

EJEMPLOS PARA RESOLVER EN CLASE En los problemas 1 a 5 determinar los números críticos de f (si los hay), los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y localizar los extremos relativos. Utilizar esta información para trazar la gráfica de f. 1. f (x) = - 2x 2 + 4x + 3 3. f (x) = (x - 1)2 (x + 2) 5. f (x) =

2. f (x) = sen x cos x, 0 ≤ x < 2π cos x 4. f (x) = , 0 ≤ x < 2π 1 + sen 2 x

x+3

x2 6. La altura (en pies) de una bola en el instante t (en segundos) viene dada por la función 2 posición s (t) = 96t – 16t . Hallar el intervalo de tiempo en que la bola sube y el intervalo en que baja. ¿Cuál es la máxima altura alcanzada? 7. La concentración C de un fármaco en la sangre t horas después de ser inyectado por 3t vía muscular viene dada por C = . ¿Cuándo es máxima? 27 + t 3 8. Un autoservicio vende x hamburguesas con un beneficio P dado por x2 P = 2.44x – 5 000, 0 ≤ x ≤ 35 000 20 000 Hallar los intervalos en que P crece o decrece. 9. El costo de pedido y transporte (en miles de dólares) de x cientos de unidades es 1 x   , C = 10  + 1≤x  x x + 3

Hallar los intervalos en que C es creciente o decreciente.

10. Hallar a, b, c y d tales que f (x) = ax3 + bx2 + cx + d tenga un mínimo relativo en (0, 0) y un máximo relativo en (2, 2)

173

5.2 TEOREMA DE ROLLE Y TEOREMA DEL VALOR MEDIO 5.2.1 TEOREMA DE ROLLE Suponga que una función f es continua y derivable sobre un intervalo cerrado [a, b] y que f (a) = f (b) = 0. Estas condiciones significan que los números a y b son las coordenadas x de las intersecciones de la gráfica de f con el eje horizontal. En la figura 5.5 se muestra una gráfica típica de una función f que satisface estas condiciones. A partir de la figura 5.6 parece válido que debe haber por lo menos un número c en el intervalo abierto (a, b) correspondiente a un punto sobre la gráfica de f donde la tangente es horizontal. Esta observación conduce a un resultado denominado teorema de Rolle, el cual garantiza la existencia de extremos en el interior de un intervalo cerrado.

x

a

b Figura 5.5

tangente horizontal

c1 a

c2

b

tangente horizontal Figura 5.6

TEOREMA 5.1.6. TEOREMA DE ROLLE Sea f una función continua sobre [a, b] y derivable sobre (a, b). Si

f (a) = f (b) = 0 entonces existe al menos un número c en (a, b) tal que f ‘ (c) = 0

174

DEMOSTRACIÓN: De la continuidad de f sobre [a, b] se deduce que f tiene un valor máximo y uno mínimo sobre [a, b]. Supóngase en primer lugar que el valor máximo se presenta en un punto c de (a, b). Entonces, según el teorema 5.1.2, f ‘ (x) = 0 (figura 5.7).

f ‘ (c) = 0

c

a

x b

Figura 5.7

Supóngase ahora que el valor mínimo de f se presenta en algún punto c de (a, b). Entonces, otra vez, f ‘ (c) = 0 según el teorema 5.12 (figura 5.8).

f ‘ (c) = 0 x a

b Figura 5.8

Supóngase, finalmente, que los valores máximo y mínimo se presentan ambos en los extremos. Puesto que f (a) = f (b), los valores máximo y mínimo de f son iguales, de modo que f es una función constante (figura 5.9), y para una función constante se puede elegir cualquier c de (a, b).

a

b

175

Figura 5.9

Si se suprime el requisito de derivabilidad en el teorema de Rolle, f tendrá todavía un punto crítico en (a, b), pero no tendrá necesariamente tangente horizontal. Por tanto:

COROLARIO 1 AL TEOREMA DE ROLLE Si f es continua en [a, b] y si f (a) = f (b), entonces f tiene un punto crítico en (a, b)

COROLARIO 2 AL TEOREMA DE ROLLE Sea f continua en [a, b] tal que f (a) = d = f (b): •

Si f (x) > d en algún x de (a, b), f tiene un máximo relativo en (a, b)

•

Si f (x) < d en algún x de (a, b), f tiene un mínimo relativo en (a, b)

Según el teorema de Rolle, si f satisface sus condiciones, debe haber al menos un punto entre a y b donde f ’ es nula. Sin embargo, puede haber más de uno.

EJEMPLOS PARA RESOLVER EN CLASE En los problemas 1 a 5 hallar los intervalos [a , b] en los que f (a) = f (b) = 0 y el teorema de Rolle es aplicable. Para cada uno de ellos hallar los c en los que f ' (c) = 0. 1. f (x) = x

2

- 2x

3. f (x) = |x| - 1

x 2 − 2x − 3 x+2 πx x 4. f (x) = - sen 2 6

2. f (x) =

5. f (x) = 4x – tg πx

6. La altura de una bola t segundos después de ser lanzada viene dada por

f (t) = - 16t2 + 48t + 32 a) Comprobar que f (1) = f (2) b) Según el teorema de Rolle, ¿qué velocidad ha llevado en algún momento del intervalo [1. 2]?

176

5.2.2 TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA DERIVADAS El teorema de Rolle sirve para demostrar el resultado más importante de esta sección: el teorema del valor medio para derivadas. Este teorema afirma que una función continua en un intervalo cerrado tiene necesariamente un máximo y un mínimo en ese intervalo, pero pueden producirse en los puntos terminales. En el lenguaje geométrico, el teorema del valor medio es fácil de establecer y de comprender. Dice que si la gráfica de una función continua sobre [a, b] y derivable sobre (a, b) tiene una tangente no vertical en todo punto comprendido entre A (a, f (a)) y B (b, f (b)), entonces hay por lo menos un punto C de la gráfica comprendida entre A y B en el que la tangente es paralela a la recta secante AB. En la figura 5.10, hay precisamente un punto C; en la figura 5.11 hay varios. C3 C

B

C1

B A

C2

A

Figura 5.11

Figura 5.10

TEOREMA 5.1.7. TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA DERIVADAS Sea f una función continua sobre [a, b] y derivable sobre (a, b), entonces existe al menos un número c en (a, b) tal que

f ‘ (c) =

a

f (b )− f (a ) b−a

c

b

Figura 5.12 177

A este teorema hay quien lo considera el teorema más importante del cálculo y está relacionado estrechamente con el Teorema Fundamental del Cálculo. Además, tiene implicaciones en todas las interpretaciones de la derivada. En términos de razones de cambio, el teorema del valor medio afirma que existe algún punto c en (a, b) tal que f ‘ (c), la razón instantánea de cambio, es exactamente igual a la razón promedio de cambio en [a, b] siendo esta variación media

f (b) – f (a) = f ‘ (c) (b – a) Nótese que el teorema del valor medio es todavía de aquellos teoremas en los que se obtiene información acerca de f ‘ a partir de información acerca de f. Esta información es, sin embargo, tan fuerte que se puede ir ahora en la dirección opuesta.

COROLARIO 1 Si se define f sobre un intervalo [a, b] y f ‘ (x) = 0 para todo x del intervalo, entonces f es constante en el intervalo.

Naturalmente, este corolario no se cumple para funciones definidas en dos o más intervalos.

COROLARIO 2 Si f y g están definidas en el mismo intervalo y f ‘ (x) = g ‘ (x) para todo x del intervalo, entonces existe algún número c tal que f + g = c.

EJEMPLOS PARA RESOLVER EN CLASE En los problemas 1 a 5 encontrar todos los números c que satisfacen la conclusión del teorema del valor medio para las siguientes funciones en el intervalo indicado. 1. f (x) = x

2

3. f (x) = x 3 5. f (x) = x 2 / 3

en [- 2, 1] en [0, 1] en [0, 1]

x  1  en − , 2 x +1  2  4. f (x) = x – 2 sen x en [ - π, π]

2. f (x) =

6. Una compañía introduce un nuevo producto para el que las ventas se estiman en

178



s (t) = 200  5 − 

9   2 + t 

con el tiempo t medido en meses. a) Hallar el valor medio de s’ (t) en el primer año. b) ¿En qué mes iguala s’ (t) a ese valor medio?

5.3 CONCAVIDAD En el siguiente análisis el objetivo es relacionar el concepto de concavidad con la segunda derivada de una función. Así, la segunda derivada constituye otra manera para probar si un extremo relativo de una función f ocurre en un punto crítico.

5.3.1 CONCAVIDAD Ya vimos que la localización de los intervalos en los que f crece o decrece es útil para hallar su gráfica. Ahora se verá que localizando los intervalos en que f ' crece o decrece, se puede determinar dónde se curva hacia arriba o hacia abajo la gráfica de f, es decir su concavidad.

DEFINICIÓN DE CONCAVIDAD Sea f una función derivable sobre un intervalo abierto (a, b). • •

Si f ' es una función creciente sobre (a, b), entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba sobre el intervalo. Si f ' es una función decreciente sobre (a, b), entonces la gráfica de f es cóncava hacia abajo sobre el intervalo.

179

Cóncava hacia arriba f ' creciente

Cóncava hacia abajo f ' decreciente Figura 5.13

De la figura 5.13 se puede obtener la siguiente interpretación gráfica de la concavidad: • •

Si una curva está por encima de sus rectas tangentes, es cóncava hacia arriba. Si una curva está por debajo de sus rectas tangentes, es cóncava hacia abajo.

Para determinar la concavidad sin ver la gráfica de f, se puede usar la segunda derivada para saber dónde crece o decrece f '.

TEOREMA 5.1.8. TEOREMA DE CONCAVIDAD Sea f una función cuya segunda derivada f '' existe sobre un intervalo abierto (a, b). •

Si f '' (x) > 0 para toda x de (a, b), entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba en (a, b). • Si f '' (x) < 0 para toda x de (a, b), entonces la gráfica de f es cóncava hacia abajo en (a, b). • Si f '' (x) = 0 para toda x de (a, b), entonces f es lineal (es decir, una recta nunca es cóncava hacia arriba ni hacia abajo).

Entonces, para una f continua, se pueden hallar los intervalos de concavidad hacia arriba o hacia abajo, así:

180

PROCEDIMIENTO PARA HALLAR LOS INTERVALOS DE CONCAVIDAD EN FUNCIONES CONTINUAS 1. Localizar los valores de x en que f '' = 0 o f '' no está definida. 2. Usarlos para delimitar los intervalos prueba. 3. Hallar el signo de f '' (x) en esos intervalos.

Para funciones discontinuas los intervalos prueba han de formarse usando los puntos de discontinuidad junto con los puntos en que f '' es cero o indefinida.

5.3.2 PUNTOS DE INFLEXIÓN

Cóncava hacia arriba

La figura 5.14 muestra los puntos en los que la concavidad cambia de sentido. Si en tales puntos existe la tangente, los llamamos puntos de inflexión

Cóncava hacia abajo

Cóncava hacia arriba

Cóncava hacia abajo

Figura 5.14 (a)

Cóncava hacia abajo

Cóncava hacia arriba

La gráfica cruza a su recta tangente en un punto de inflexión Figura 5.14 (b) 181

DEFINICIÓN DE PUNTO DE INFLEXIÓN Sea f continua sobre un intervalo (a, b) que contiene al número c. Un punto (c, f (c) es un punto de inflexión de la gráfica de f si en (c, f (c)) hay una recta tangente y la gráfica cambia de concavidad en ese punto.

Como los puntos de inflexión ocurren donde la concavidad cambia de sentido, debe suceder que en ellos f '' cambia de signo. Así que para localizar posibles puntos de inflexión, sólo se necesita determinar los c en que f '' (c) = 0 o en los que f '' no está definida.

TEOREMA 5.1.9. PUNTO DE INFLEXIÓN Sea f una función continua en c. Si f '' (c) = 0 o f '' (c) no está definida entonces se dice que [c, f (c)] es un punto de inflexión de la gráfica de f.

Sin embargo, es posible que f '' sea cero en un punto que no es de inflexión. Antes de concluir que hay un punto de inflexión en algún x donde f '' (x) = 0, hay que asegurarse de que la concavidad cambia de sentido.

EJEMPLOS PARA RESOLVER EN CLASE Hallar los intervalos en los que la función dada es cóncava hacia arriba y en los que es cóncava hacia abajo, y bosquejar sus gráficas. 1. f (x) = x 2 - x– 2

2. f (x) =

x2 − 1 2x + 1

3. f (x) =

x2 + 1 x2 − 1

Encontrar todos los puntos de inflexión de las siguientes funciones 4. f (x) =

1 3 x – 2x 3

5. F (x) = x 1 / 3 + 2

5.3.3 CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA EXTREMOS RELATIVOS Si existe la segunda derivada, ésta sirve como criterio sencillo de valores extremos. El criterio se basa en que si f (c) es un máximo relativo de una f derivable, entonces su gráfica es cóncava hacia abajo en algún intervalo que contiene a c y f '' (c) < 0 Análogamente, si f (c) es un mínimo relativo, entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba en un intervalo que contiene a c y f '' (c) > 0.

182

f ‘’ (c) > 0

f ‘’ (c) < 0

Cóncava hacia abajo

Cóncava hacia arriba

c

c

Máximo relativo

Mínimo relativo Figura 5.15

TEOREMA 5.1.10. CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA EXTREMOS RELATIVOS Sea f una función tal que f ' (c) = 0 y tal que la segunda derivada de f existe en un intervalo abierto (a, b) que contiene al punto crítico c. •

Si f '' (c) > 0, entonces f (c) es un mínimo relativo. • Si f '' (c) < 0, entonces f (c) es un máximo relativo. • Si f '' (c) = 0, entonces el criterio no decide y f (c) puede ser o no un extremo relativo. En este caso hay que recurrir al criterio de la primera derivada.

Sin embargo, aunque el teorema 5.1.10 resulta muy útil para funciones polinómicas, la segunda derivada de muchas funciones es tan complicada que resulta más fácil considerar el signo de la primera derivada. Además, si c es un punto singular de f puede ocurrir que f ‘’ (c) = 0. En este caso, el teorema 5.1.10 no suministra ninguna información: es posible que c sea un punto máximo local, un punto mínimo local o ninguna de las dos cosas, según se ve (figura 5.16) en las funciones

f (x) = - x 4,

f (x) = x 4,

f (x) = x 5

En los tres casos, f ‘ (0) = f ‘’ (0) = 0, pero 0 es un punto máximo local para la primera, un punto mínimo local para la segunda y no es ni máximo ni mínimo local para la tercera.

183

4

5

f (x) = x

f (x) = x

4

f (x) = - x

(a)

(b)

(c)

Figura 5.16

Los teoremas siguientes son consecuencias del teorema del valor medio.

TEOREMA 5.1.11 Supóngase que existe f ‘’ (c). Si f tiene un mínimo local en c, entonces f ‘’ (c) ≥ 0; si f tiene un máximo local en c, entonces f ‘’ (c) ≤ 0.

TEOREMA 5.1.12 Supóngase que f es continua en c, y que existe f ‘ (x) para todos los x de algún intervalo que contiene c, excepto posiblemente para x = c. Supóngase, además, que existe lim f ' ( x ) . Entonces existe también f ‘ (c), y x→c

f ‘ (c) = lim f ' ( x ) x→c

184

EJEMPLOS PARA RESOLVER EN CLASE En los problemas 1-10, identificar los extremos relativos de las siguientes funciones. Usar, cuando sea aplicable, el criterio de la segunda derivada. 1. f (x) = 6x – x 2 3. f (x) = (x - 5)

2

5. f (x) = 2 sen x + sen 2 x, 0 ≤ x ≤ 2π 7. f (x) = x2 ln x 9. f (x) = x2 e - x

2. f (x) =

x2 + 1

x x −1 x 6. f (x) = ln x

4. f (x) =

ex +e−x 2 10. f (x) = arc sen x

8. f (x) =

11. Hallar los extremos relativos y los puntos de inflexión. Dibujar la gráfica de f 1 x−2 a) f (x) = x 2 + 2 b) f (x) = 2 x x − 4x + 3 c) f (x) = x x + 1

π  d) f (x) = sec  x −  , 0 ≤ x ≤ 4π 2 

12. Hallar un polinomio cúbico con un máximo relativo en (3, 3), un mínimo relativo en (5, 1) y un punto de inflexión en (4, 2).

5.4 OPTIMIZACIÓN En ciencia, ingeniería y negocios a menudo se tiene interés en los valores máximos y mínimos de una función. Por ejemplo, a menudo se oyen o leen términos como máximo beneficio, mínimo coste, mínimo tiempo, voltaje máximo, tamaño óptimo, área mínima, máxima intensidad o distancia máxima. En esta sección se muestra cómo pueden utilizarse los métodos analizados hasta ahora en esta unidad de competencia para resolver diversos problemas prácticos de optimización. En general, la función que describe la cantidad que se quiere optimizar, al encontrar su valor máximo o mínimo, se denomina función objetivo. Una relación entre las variables en un problema de optimización se denomina restricción. La restricción permite eliminar una de las variables en la construcción de la función objetivo, así como impone una limitación sobre la forma en que variables como x y y pueden variar en realidad. Téngase en cuenta que el tipo de problemas enunciados con palabras en esta sección pueden o pueden no tener una restricción. A continuación se enuncia el proceso para resolver problemas de optimización en siete pasos, aunque la recomendación es no usarlo ciegamente; más bien, úsese el sentido común, que muchas veces sugiere un tratamiento alternativo o la omisión de algunos 185

pasos. Recuérdese siempre que uno no está en posición de comenzar a resolver un problema hasta que no se haya identificado con claridad cuál es el problema.

PROCEDIMIENTO PARA RESOLVER PROBLEMAS APLICADOS DE OPTIMIZACIÓN 1. Leer el problema con atención; luego leerlo de nuevo. 2. Dibujar un esquema sencillo del problema cuando sea posible 3. Introducir variables (en el dibujo, en caso de haber alguna) y observar cualquier restricción entre las variables. 4. Usar todas las variables necesarias para establecer la función objetivo. Si se usa más de una variable, aplicar la restricción para reducir la función a una variable. 5. Notar el intervalo en qué está definida la función. Determinar todos los números críticos. 6. Si la función objetivo es continua y está definida la función sobre un intervalo cerrado [a, b], entonces comprobar los extremos en puntos frontera. Si el extremo deseado no ocurre en un punto frontera, debe ocurrir en un número crítico en el intervalo abierto (a, b). 7. Si la función objetivo está definida sobre un intervalo que no es cerrado, entonces es necesario aplicar una prueba de la derivada en cada número crítico en ese intervalo.

En los ejemplos siguientes se proporciona una función objetivo y es necesario traducir el lenguaje coloquial a símbolos matemáticos y construir una función objetivo. Éstos son los tipos de problemas coloquiales que muestran el poder del cálculo y constituyen una de muchas respuestas posibles a la vieja pregunta: ¿para qué es bueno? Mientras no se garantice nada, hay algunas sugerencias que es necesario tomar en cuenta al resolver un problema de optimización. Primero y lo más importante:

DESARROLLAR UNA ACTITUD POSITIVA Y ANALÍTICA. TRATAR DE SER CLARO Y ORGANIZADO.

EJEMPLOS PARA RESOLVER EN CLASE 1. ¿Qué longitud y anchura debe tener un rectángulo de 100 pies de perímetro para que su área sea máxima? 2. La suma de un número más el doble de otro es 24. ¿Qué números han de elegirse para que su producto sea lo mayor posible? 3. Hallar dos números positivos cuyo producto sea 192 y cuya suma sea mínima. 4. Un granjero dispone de 200 pies de valla para delimitar dos corrales adyacentes rectangulares. ¿Qué dimensiones debe elegir para que el área encerrada sea máxima?

186

5. Un fabricante ha estimado que el coste total de la fabricación de x unidades de cierto producto es C = 0.5x2 + 15x + 5 000. ¿Qué nivel de producción minimiza el costo por unidad (C / x)? 6. Se forman triángulos rectángulos en el primer cuadrante, limitados por los ejes y por una recta que pasa por el punto (2, 3). Hallar los vértices del triángulo de área mínima. 7. La suma de perímetros de un cuadrado y un triángulo equilátero es 10. Hallar las dimensiones de ambos para que el área total sea mínima.

5.5 REGLA DE L’HÔPITAL 5.5.1 REGLA DE L´HÔPITAL En esta sección se discute un método general para encontrar límites con formas indeterminadas usando derivadas. Este método permitirá establecer con certeza los límites que anteriormente sólo pudieron conjeturarse a partir de evidencias gráficas o numéricas. El método que se analiza en esta sección es una herramienta en extremo poderosa que se emplea internamente en muchos programas de computadora para calcular límites de varios tipos. En la unidad 3 se describieron las formas 0 / 0, ∞ / ∞ y ∞ - ∞ como indeterminadas, ya que no garantizan que exista un límite, y tampoco indican cuál es ese límite, en caso de existir. Cuando se encontraba una de estas formas indeterminadas, se intentaba rescribir la expresión usando diferentes técnicas algebraicas, las cuales a veces se pueden extender para calcular límites de funciones trascendentes. Sin embargo, no todas las indeterminaciones pueden resolverse mediante manipulaciones algebraicas. Esto es particularmente cierto cuando se hallan implicados ambos tipos de funciones, algebraicas y trascendentes, por ejemplo:

lim

x→0

e2 x − 1 x

En este caso no es aplicable la sustitución directa. Toda derivada es un límite de esta forma y el cálculo de derivadas requiere con frecuencia bastante trabajo. Sin embargo, si ya se conocen algunas derivadas, se podrán calcular con facilidad muchos límites de esta forma, ya que para salvar este tipo de situaciones se puede utilizar un teorema conocido como regla de L'Hôpital, el cual establece que bajo ciertas condiciones el límite del cociente f (x) / g (x) se halla determinado por el límite f ' (x) / g ' (x). Sin embargo, en primer lugar es importante mencionar el siguiente teorema, el cual es de utilidad cuando se demuestra esta regla de suma importancia en la evaluación de muchos límites que tienen una forma indeterminada.

187

TEOREMA 5.1.13. TEOREMA DEL VALOR MEDIO DE CAUCHY Sean f y g continuas sobre [a, b] y derivables en (a, b) y g ‘ (x) ≠ 0 para toda x en (a, b). Entonces existe un número c en (a, b) tal que f (b )− f (a ) f '(c ) = g (b )− g (a ) g ' (c )

Nótese que si g (x) = x para todo x, entonces g ‘ (x) = 1 y entonces el teorema anterior se reduce al teorema del valor medio.

TEOREMA 5.1.14. REGLA DE L’HÔPITAL PARA LA FORMA INDETERMINADA 0/0 Supóngase que f y g son derivables sobre un intervalo abierto que contiene al número c, excepto posiblemente en c mismo, y que g ‘ (x) ≠ 0 para toda x en el intervalo salvo posiblemente en c. Si lim f ( x ) = 0

x→c

y lim

x→c

entonces lim

x→c

y

lim g ( x ) = 0

x→c

f '(x) =L g'(x)

f '(x) f (x) = lim =L x→c g ' ( x ) g(x)

DEMOSTRACIÓN El teorema del valor medio de Cauchy es el instrumento básico que se necesita para demostrar este teorema. Sea (a, b) el intervalo abierto. Como se supone que

lim f ( x ) = 0

x→c

y

lim g ( x ) = 0

x→c

también puede asumirse que f (c) = 0 y g (c) = 0. Concluimos que f y g son continuas en c. Además, puesto que f y g son derivables, éstas son continuas sobre los intervalos abiertos (a, c) y (c, b). En consecuencia, f y g son continuas en el intervalo (a, b). Luego, para cualquier x ≠ c en el intervalo, el teorema del valor medio de Cauchy es aplicable a [x, c] o [c, x]. En cualquier caso, entre x y c existe un número d tal que f ( x ) − f ( c ) f (x ) f ' ( d = = g ( x ) − g ( c ) g (x ) g ' ( d

188

) )

Al hacer x → c implica d → c y entonces lim

x→c

f (x) f '(d = lim x → c g(x) g'(d

) )

= lim

d →c

f '(d g'(d

) )

= lim

x→c

f '(x) g'(x)

∎

El resultado proporcionado en el teorema 5.1.14 sigue siendo válido cuando x → c se sustituye por límites unilaterales o por x → ∞ o x → - ∞. TEOREMA 5.1.15. REGLA DE L’HÔPITAL PARA LA FORMA INDETERMINADA ∞/∞ Si

( x ) = xlim →∞

lim f

x→∞

y

g ( x )= ∞

lim

f '(x) =L g'(x)

lim

f (x) =L g(x)

x→∞

entonces x→∞

La demostración para el caso x → ∞ puede obtenerse al usar la sustitución x = 1 / t en f (x) y al observar que x → ∞ es equivalente a t → 0+. lim x→∞ g ( x ) En algunas ocasiones es necesario aplicar la regla de L'Hôpital más de una vez para lograr que la indeterminación desaparezca. Además, en aplicaciones sucesivas de la regla de L´Hôpital, algunas veces es posible cambiar un límite de una forma indeterminada a otra; por ejemplo, ∞/∞ a 0/0. 5.5.2 OTRAS FORMAS INDETERMINADAS Además de las formas indeterminadas 0/0, ∞/∞, hay otras cinco formas adicionales de indeterminación: ∞ - ∞,

0 ∙ ∞,

00,

∞0

y

1∞,

0 0 Los tipos de indeterminación 1∞, ∞ y 0 provienen del límite de funciones que tienen una base variable y un exponente variable. Cuando se encontraron este tipo de funciones en la unidad de competencia 4, se empleó la derivación logarítmica para calcular la derivada. Se utilizará un procedimiento similar para límites. De cualquier manera, por medio de una combinación de álgebra y un poco de astucia a menudo es posible convertir una de estas nuevas formas de límites ya sea a 0/0 u a ∞/∞, ya que la regla de L'Hôpital solamente puede aplicarse a cocientes que llevan a indeterminaciones de la forma 0/0 o ∞/∞ . Por ejemplo, la aplicación siguiente de la regla de L'Hôpital es incorrecta:

189

lim

x →0

ex ex = lim = lim e x = e 0 = 1 x 0 → x 1 x→0

La razón por la que esta aplicación es incorrecta reside en que, aunque el límite del denominador es 0, el límite del numerador es 1, lo cual significa que las hipótesis de aplicación de la regla de L'Hôpital no se han satisfecho. Por otra parte, aunque se han identificado los tipos 0/0, ∞/∞, ∞ - ∞, 0 ∙ ∞, 1∞, ∞0 y 00 como indeterminados, hay formas similares que se debe saber reconocer como determinadas, tales como ∞+∞→∞

0 -∞ → ∞

0∞ → 0

-∞-∞→-∞

Por último, se ha dicho que la regla de L'Hôpital se usa para calcular un límite que existe. La regla de L'Hôpital también puede emplearse para concluir que un límite es infinito.

EJEMPLOS PARA RESOLVER EN CLASE Calcúlese cada límite usando la regla de L ' Hôpital.

1. lim

x2 − x − 2 x−2

2. lim

e x − (1 − x ) x

3. lim

ln x x

4.

3 x 2 − 2x + 1 2x 2 + 3

x→2

x→∞

5. 7.

lim

x→∞

lim x 2 ln x

 1 x − 1  6. lim  2 − 2 x→2 x − 4 x − 4  

lim x 1

8.

x → 0+

x

x → 0+

9. lim ( 1 + x )

1 x

x→∞

11. lim x csc x x→0

13. lim

x→0

190

x→0

arc sen x x

(

)

10. lim

sen 2 x sen 3 x

lim e x + x

x → 0+

x→∞

1 x

1  12. lim  x sen  x → ∞ x