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DOCUMENTO DE TRABAJO

TRIGONOMETRÍA

Prof. Juan Gutiérrez Céspedes

2009

DOCUMENTO DE TRABAJO

2009

TRIGONOMETRÍA

ANGULO TRIGONOMÉTRICO *

ANGULO TRIGONOMETRICO Es aquel que se genera por la rotación de un rayo desde una posición inicial hasta otra posición final, siempre alrededor de un punto fijo llamado vértice. En el gráfico podemos distinguir dos tipos de rotación: :

Debemos aclarar que la medida de un ángulo trigonométrico no puede ser limitada, ya que la rotación puede efectuarse indefinidamente en cualquiera de los dos sentidos. Además para operar ángulos trigonométricos, estos deben obedecer a un sentido común. Por ello las siguientes consideraciones:

*

SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR Son las diferentes formas en que se pueden medir los ángulos; destacando los siguientes; con sus respectivas sub-unidades:

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2009

TRIGONOMETRÍA Unidad

∠1 vuelta

Sexagesimal

1°

Centesimal

1

Sistema

Radial

g

1rad

Sexagesimal

Centesimal

360°

1° = 60'

1 = 100

g

1' = 60''

1 = 100

1° = 3600''

1 = 10000

400

2 πrad

g

m

m

s

g

s

A partir de estas definiciones, se pueden establecer : 1. 1 rad. > 1º > 1g 3. 9º < > 10g 27' < > 50m 81"< > 250s *

2.

180º < > 200g < > πrad 4. aºb'c'' = aº+b'+c'' xgymzs = xg + ym + zs

CONVERSIÓN ENTRE SISTEMAS Es el proceso mediante el cual la medida de un ángulo pasa de un sistema a otro. Para ello se puede aplicar el método del factor de conversión que consiste en lo siguiente: Convertir 40g → radianes Convertir π/3 rad → sexagesimal

•

*

FORMULA GENERAL DE CONVERSIÓN Es otro criterio para convertir de un sistema a otro. La fórmula general de conversión es la relación entre los números que representan la medida de un ángulo en los tres sistemas conocidos. Dado el ángulo "α ", se cumple:

•

Por ejemplo, si queremos convertir 30° → radianes: tenemos: S = 30 y R = ??

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TRIGONOMETRÍA

Luego: S R 30 R π = ⇒ = ⇒R = 180 π 180 π 6

∴ 30° < > π rad 6

Pero el uso de la fórmula es mayor en otro tipo de problemas en los cuales se requiere tener además, lo siguiente :

*

1.

S C S C S 9 = ⇒ = ó = 180 200 9 10 C 10

2.

S R R = ⇒ S = 180 180 π π

3.

C R R = ⇒ C = 200 200 π π

Una aplicación sería: "Hallar la medida de un ángulo en radianes sabiendo que sus números de grados sexagesimales y centesimales, suman 19" Aquí por ejemplo, planteamos el problema así: Si: S  " α" C R 

⇒

# grados + # grados = 19 sexag. centes.

S + C = 19

como piden "R", entonces: 180R 200R 380R π + = 19 ⇒ = 19 ⇒ R = π π π 20

∴el ángulo mide

π rad 20

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TRIGONOMETRÍA

PROBLEMAS NIVEL 1 4. A qué es igual 320'' 1. En el gráfico, señale lo que es a) 3º40' c) 3º20'' e) 5'20''

correcto respecto a " α " y " β ":

b) 3'40'' d) 5º 40'

5. A qué es igual: 1º 20' a) 1500'' c) 4000'' e) 6000''

b) 3620'' d) 4800''

6. A qué es igual: a) α + β =90º

b) α - β = 90º

c) β - α = 90º

d) α + β = 0º

E=

e) α + β = -90º

a) 2 d) 4 1

2. En el gráfico, señale lo que es correcto respecto a los ángulos mostrados:

a) α + β = 90º

b) α - β = 90º

c) β - α =90º

d) α + β = 0º

2°3' 3' b) 1 2 e) 5 2

c) 4 0

7. Convierta a radianes: 45º

a)

π rad 3

b)

π rad 4

d)

π rad 2

e)

π rad 9

c)

π rad 8

c)

π rad 4

8. Convierta a radianes: 36º

e) α + β = -90º 3. Exprese "x" en función de "α" y "β"; a partir del gráfico mostrado:

a)

π rad 2

b)

π rad 3

d)

π rad 5

e)

π rad 6

9. Convierta a radianes: 60g

a) 2π − α − β

b) 2π − α + β

c) 2π + α − β

d) β − α − 2π

e) β + α − 2π

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4

a)

π rad 20

b)

3π rad 10

c)

3π rad 20

d)

π rad 5

e)

π rad 4

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TRIGONOMETRÍA 10. Convierta a centesimales: 72º a) 70g d) 60g

b) 80g e) 72g

6. La suma y diferencia de dos ángulos son 1° y 1g. ¿Cuánto mide el menor?

c) 90g

a) 1' d) 4'

NIVEL II 1. Convierta al sistema sexagesimal : "

πx 160x g rad . y 3 9 ¿Cuál es el valor de "x"? 14x°;

b) 6º 37' 30'' d) 5º 32' 30''

a) 1 d) 4

2. Convierta al sistema centesimal:

a) 1g 30 m c) 1g 60 m

b) 1g 50 m d) 1g 40 m

e) 1g 70 m 3. Convierta al sistema centesimal: π rad" 125

a) 1g 30 m c) 1g 60 m e) 1g 70 m

b) 2 e) 5

a)

π rad 2

b)

π 3

d)

π 5

e)

π 6

b) 1g 50 m d) 1g 40 m

a)

π rad 4

b)

π 5

Calcular: E = (b + c)a-1

d)

π 20

e)

π 40

d)

1 3

b) 2 e)

c) 3

a) 85 d) 98

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c)

π 10

b) 78 e) 100

c) 95

NIVEL III

b) 28° d) 28°30'

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π 4

10. Sabiendo que: (S + C)π = 4nR donde "S", "C" y "R" son lo conocido para un mismo ángulo. ¿Cuánto vale "n"?

1 2

5. La suma de dos ángulos es 40° y su diferencia es 30 g . ¿Cuánto mide el mayor? a) 27° c) 27°50' e) 18°30'

c)

9. Sabiendo que el doble del número de grados sexagesimales que contiene un ángulo disminuido en su número de grados centesimales es igual a 8. ¿Cuánto mide el ángulo en radianes?

π rad a° bc' 48

a) 1

c) 3

8. Señale la medida de un ángulo en radianes sabiendo que la diferencia de sus números de grados centesimales y sexagesimales es 5.

π rad " " 125

4. Si:

c) 3'

7. En un triángulo sus ángulos miden:

π rad " 7

a) 25º 42' 51'' c) 5º 37' 20'' e) N.A

"

b) 2' e) 5'

1. Halle la medida circular de un ángulo que cumple:

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TRIGONOMETRÍA S C R + + =6 180 200 π siendo: "S", "C" y "R" lo conocido a) πrad d) 4π

b) 2π e) 5π

4. La diferencia de medidas de dos ángulos consecutivos de un paralelogramo es 30°. ¿Cuánto mide el ángulo mayor en radianes?

c) 3π

2. La diferencia de las recíprocas que representan la medida sexagesimal y centesimal de un ángulo, es igual a su número de radianes entre 2π. ¿Cuánto mide el ángulo en el sistema sexagesimal? a) 6° d) 12°

b) 8° e) 15°

c) 10°

b)

7π 12

d)

4π 3

e)

5π 6

c)

2π 3

S 1 C 1 = x + ; = 2x − 9 x 10 x calcular la medida radial del ángulo.

22 , halle la radianes en 79. Si: π= 7 medida sexagesimal del ángulo. b) 90° e) 45°

5π rad 12

5. Siendo "S" y "C" lo conocido para un mismo ángulo, tales que:

3. Se tiene un ángulo que al medirlo en grados sexagesimales dicho número excede a 7 veces su número de

a) 75° d) 120°

a)

a)

π 2 rad 40

b)

π 2 15

d)

π 2 20

e) N.A.

c)

π 2 5

c) 60°

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TRIGONOMETRÍA

R.T. DE ÁNGULOS AGUDOS I *

Definición: Son los resultados que se obtienen al dividir entre si, los lados de un triángulo rectángulo. Estos resultados carecen de unidades y su nombre dependerá de la posición que guarden los lados que se dividen respecto a uno de los ángulos agudos del triángulo. En el gráfico; para el ángulo agudo "α" se define:

Donde para "α": "a" es cateto opuesto "c" es cateto adyacente "b" es hipotenusa Los problemas de este capítulo son de diversos tipos; y eso que estamos en la aplicación solo de las definiciones ; ya que aún falta complementar la teoría. Módulo de Estudios Prof. Juan Gutiérrez Céspedes

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TRIGONOMETRÍA

Pero no se preocupe, el detalle está en captar el criterío de solución aplicado en los problemas tipo. PROBLEMAS NIVEL I 5. En un triángulo rectángulo los catetos están en la proporción de 2 a 3. Calcular el producto de los senos de los ángulos agudos de dicho triángulo.

1. En un triángulo rectángulo, los lados menores miden 2 y 3. Calcular el seno del menor ángulo agudo de dicho triángulo.

a)

d)

2 5 3 13

b)

e)

3 5

c)

2

2 11

b) 3,2 e) 2,8

d)

5 2

_ b) √5

e)

6 13

d)

6 5

e)

5 6

a)

c) 2,6

c)

b)

5 13

5 2

b)

3 2

e)

c)

3 2

7 2

7. Si: "α" es_ un ángulo agudo tal que: cosα = √2/3. Calcular "tg2α". a) 1,5 d) 3

b) 2 e) 3,5

c) 2,5

8. Si "α" es un ángulo agudo tal que: tgα = 3. Calcular el valor de: E = secα tgα

5 3

a)

10

d) 4 10

4. En un triángulo rectángulo la hipotenusa es el triple de un cateto. Calcular la cotangente del menor ángulo agudo del triángulo. _ _ a) √3 b) 2 _ c) 3 d) √2 e) 2√ 2

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1 2

d)

3 2

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c)

6. Si: "α" es un ángulo agudo tal que: secα = 1,5. Calcular "tgα".

3. En un triángulo rectángulo un cateto es el doble del otro. Calcular la secante del mayor ángulo agudo de dicho triángulo. _ a) √3

2 13

13

2. En un triángulo rectángulo, los lados mayores miden 13 y 12. Calcular la tangente del mayor ángulo agudo del triángulo. a) 1,2 d) 2,4

a)

b) 2 10

c) 3 10

e) 6 10

9. Si: "α" es un ángulo agudo tal que: _ Calcular _ el valor de: senα = 0,3. P = √2cotα - 2√2secα a) 1 d) 4

8

b) 2 e) 0

c) 3

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TRIGONOMETRÍA igual al doble de la media geométrica de los catetos. Calcular la suma de las tangentes de los ángulos agudos del triángulo.

10. Siendo "θ" un ángulo agudo tal que: cosθ = 0,96; obtener: E = cscθ + cotθ a) 3 d) 1,5

b) 5 e) 3,5

c) 7

a) 2 d) 8

NIVEL II

d)

b) a c

a c

e)

a)

c) a 2c 2

a2

d) c2 - a2

e) 1

b) 2_ e) √ 5

c) 4

4. En un triángulo rectángulo ABC ^ (B=90º); se sabe que: tgA = 2tgC. Calcular: P = senAsenC

a)

d)

2 3 6 3

b)

2 3

e)

3 6

e)

7 17

c)

11 17

c)

7 24

11 15

c) a2 - c2

3. En un triángulo rectángulo ABC (^ B=90º); se sabe que: senA = 2senC calcular "secA" a) 1_ d) √ 3

9 17

b) −

7. Del gráfico mostrado; calcular "tgθ".

2. En un triángulo rectángulo ABC (^ B=90º); simplificar: P = sec2A - tg2A b) b2 - c2

7 17

d) −

c2

a) b2 - a2

c) 6

6. Sea "α" uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo. Si "senα" es al "cosα" como 8 es a 15; calcular: E = senα - cosα

1. En un triángulo rectángulo ABC (^ B=90º); reducir: E = tgA tgC a) 1

b) 4 e) 1 0

c)

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3 4

b)

4 3

d)

7 25

e)

9 41

^ 8. En un triángulo rectángulo ABC (B=90º) se sabe que: tgC = 5/12; a - c = 21. Calcular el perímetro del triángulo. a) 3 0 d) 9 0

6 6

b) 120 e) 100

c) 6 0

9. En un triángulo isósceles ABC (AB=AC) se sabe que cosA = 0,6. Calcular "tgB" a) 1

5. En un triángulo rectángulo ABC (^ B=90º); se sabe que la hipotenusa es

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a)

d)

9

1 2

b) 2 e)

c) 3

1 3

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TRIGONOMETRÍA 10. En el gráfico; calcular "tgθ".

d) 2

e)

3 2

3. Del gráfico, calcular "tgθ"

a) 1 d) 1/4

b) 2 e) 1/2

c) 4

NIVEL III

_ a) √ 2

1. Del gráfico, calcular: P = cotα - tgβ

2 4

d)

_ b) 2√ 2

c)

2 2

_ e) 3√ 2

4. Si: BCDE es un cuadrado; calcular: L = ctgα - tgθ

a) 3 d) 1

b) -1 e) 2

c) -2

2. Del gráfico, obtener "cotα" si: AD es bisectriz. a) 1 d)

1 2

b) 2 e)

c) 3

1 3

5. En un triángulo rectángulo los lados miden a + b; a - b y

a)

3 2

b)

5 2

c)

la secante del mayor ángulo agudo del triángulo. _ _ _ a) √ 2_ b) √ 3 c) √ 6 d) 2√ 2 e) N.A.

7 2

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a2 + b2 . Calcular

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TRIGONOMETRÍA

R.T. DE ÁNGULOS AGUDOS II *

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES Son aquellos triángulos en los cuales se puede precisar o aproximar la relación existente entre sus lados, conociendo para ello sus ángulos agudos, destacan:

45°

a √2 45°

60°

2a

a

30º

37º 45º 53º 60º

sen 1/2

3/5 √2/2 4/5 √3/2

a 30°

a

a √3

cos √3/2 4/5 √2/2 3/5 1/2 tg

53°

5a

3a

37°

√3/3 3/4

1

4/3

3/4 √3/3

√3

ctg

√3

4/3

1

sec

2√3/3

5/4

√2

5/3

2

csc

2

5/3

√2

5/4

2 √3/3

4a

*

PROPIEDADES: A. R.T. Recíprocas Se cumple que: senx cscx = 1 cosx secx = 1 tgx ctgx = 1

B. R.T. de Ángulos Complementarios si: x + y = 90° se cumple: senx = cosy tgx = ctgy secx = cscy

Note que el ángulo agudo debe ser el mismo

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Note la relaciòn entre las R.T. y que los ángulos deben ser complementarios 11

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TRIGONOMETRÍA

Ej.: sen40° . csc40° = 1 tg10° . ctg10° = 1

Ej.: sen40° = cos50° tg10° = ctg80°

PROBLEMAS NIVEL I 7. Hallar "x" si: cos(2x + 10º) sec(3x - 40º) = 1

1. Halle el valor de:

E = 2sen30° + sec245° + 1

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

a) 10º d) 40º

c) 3

b) 2 e) 5

a) 10º d) 25º

c) 3

7 4

d) −

b) − 11 4

7 4

c)

a) 10º d) 13º

11 4

a) 1 d)

4. Hallar "x" en: xsec260º + xcsc260º=sec230º csc230º

a) 1 d)

16 3

b)

c)

c) 20º

b) 11º e) 14º

c) 12º

10. Hallar: E = tg10º . tg80º

e) N.A.

1 4

b) 15º e) 35º

9. Hallar "x" si: tg3x = ctg57º

3. Hallar "x" en: _ 2xtg45º + √3tg60º = 2xsen30º + cos260º

a)

c) 30º

8. Hallar "x" si: sen2x = cos20º

2. Hallar: _ P = tg260º + √3tg30º + tg45º a) 1 d) 4

b) 20º e) 50º

b) 2 e) F.D.

c) 4

NIVEL II En los siguientes gràficos, calcular "tgθ"

4 3

1.

e) N.A.

5. Halle "x" si: sen2x csc40º = 1 a) 10º d) 40º

b) 20º e) 50º

c) 30º

6. Halle "x" si: tg3x ctg42º = 1 a) 8º d) 17º

b) 16º e) 21º

a) 1 d) 4

c) 14º

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12

b) 2 e) 6

c) 3

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TRIGONOMETRÍA 2. Si el triángulo ABC es equilátero B 1

a)

1 7

b)

d)

5 7

e) N.A.

D

3 7

c)

4 7

5. 2 A

C

a)

3 2

b)

3 3

d)

3 5

e)

3 6

3 4

c)

3. CD = 2AD

a)

3 −1

b)

3 +1

c)

3 +1 2

d)

3 −1 2

e) 2 3 − 1 6. CD = 3AD

a)

1 8

b)

1 4

d)

1 2

e)

5 8

c)

3 8

4.

a)

1 16

b)

1 8

d)

3 16

e)

1 4

c)

3 8

7. Hallar "x" si: sen2x tg10º - cosx ctg80º = 0 a) 10º d) 4 0

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13

b) 20º e) 50º

c) 30º

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TRIGONOMETRÍA 8. Hallar "x" si: sen(10º + x) sec(40º + x) = 1 a) 10º d) 40º

b) 20º e) 50º

2. Del gráfico calcular "tgφ" si el área del triàngulo PMC es igual a la del triángulo ABC c) 30º

9. Hallar "x" si: tg10º tg20º tg30º ....... tg80º = tg3x a) 5º d) 20º

b) 10º e) 25º

c) 15º

10. Siendo: 89

∑ senk° = n

k =1

Hallar: 89

E=

∑ cosk°

1 3

b)

2 5

d)

2 15

e)

4 15

4 9

c)

1 15

c)

1 3

3. Hallar "tgα"

k =1

a) n d) 2n-1

a)

b) 2n e) n - 1

c) n-1

NIVEL III 1. Del gráfico; calcular "tgθ" si ABCD es un cuadrado.

a)

2 9

b)

d)

2 3

e) N.A.

4. Hallar "x" si: sen(50º - x) tg(10º + y) = cos2x ctg(80º - y)

a) 4 d)

3 2

b)

1 4

e)

2 3

c)

a) 10º d) 40º

1 2

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b) 20º e) 50º

c) 30º

5. Calcular: E = sen21º + sen22º + sen23º + .... + sen289º a) 4 4 d) 45,5

14

b) 44,5 e) 4 6

c) 43,5

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2009

TRIGONOMETRÍA

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS •

DEFINICIÓN Son aquellas relaciones que se establecen entre las funciones trigonométricas de una variable. Estas relaciones de igualdad se verifican para todo valor admisible de la variable presente y se clasifican de la siguiente manera: I.

I.T. Recíprocas •

senx cscx = 1 cscx =

•

1 senx

•

cosx secx = 1 secx =

1 cosx

•

ctgx =

cosx senx

•

sec2x - tg2x = 1 sec2x = 1 + tg2x tg2x = sec2x - 1

tgx ctgx = 1 ctgx =

1 tgx

II. I.T. por División •

tgx =

senx cosx

III. I.T. Pitagóricas •

sen2x + cos2x = 1 sen2x = 1 - cos2x cos2x = 1 - sen2x •

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csc2x - ctg2x = 1 csc2x = 1 + ctg2x ctg2x = csc2x - 1 15

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TRIGONOMETRÍA

PROBLEMAS NIVEL I

9. E = (secx - cosx) ctgx

Simplificar:

a) secx d) ctgx

1. J = tg2x cosx(secx)-1cscx a) senx d) 2

b) 1 e) csc2 x

c) cosx

a) 1 c) secx cscx e) 2senx cosx

b) senx cosx d) 2

NIVEL II

senx cosx senx - cosx senx + cosx 2senx

1. Si: tgx + ctgx = 3; calcular: E = senx cosx

3. S = tg2x(ctgx + 1) - tgx a) 1 d) tg2x

c) tgx

10. A=(cscx-senx) (secx-cosx) (tgx+ctgx)

2. E = senx(1 + senx) + cosx(1 + cosx) - 1 a) b) c) d) e)

b) cscx e) senx

b) 2 e) ctg2 x

a)

1 2

b)

2 3

c)

1 3

c) tgx 3 3

d)

e)

3 6

4. A = (1 - senx) (1 + senx) secx a) senx d) 2cosx

b) 2senx e) 1

2. Si: senx ctgx + cosx tgx = n; hallar: E = senx + cosx

c) cosx

5. L = (1 + cosx) (1 - cosx) ctgx cscx a) 1 d) cosx

b) tgx e) 2cosx

a) n_ d) √n

c) senx

c) 4 e) 2senx cosx

a) 1 d)

7. A = (tgx + ctgx) senx cos2x a) 1 d) cos2 x

b) senx e) sen 2 x

c) cosx

b) 1 e) 2cos2 x

1 2

a) n2 + 1 c) sen 2 x

2009 Prof. Juan Gutiérrez Céspedes

b) 0

c) -1

e) 2

4. Si: senx + cosx = n; hallar: E = senx cosx

8. N = sen4x - cos4x + cos2x a) senx d) 2sen 2 x

c) 2n

3. Si: cos2x + cosx = 1; hallar: E = ctgx - senx

6. I = (senx + cosx)2 + (senx - cosx)2 a) 1 b) 2 d) 4senx cosx

b) n-1 e) n2

c)

n2 + 1 2

b) n2 - 1 d)

n2 − 1 2

e) 2n2 - 1

16

Módulo de Estudios

DOCUMENTO DE TRABAJO

2009

TRIGONOMETRÍA 5. Si: tgx + ctgx = 3; calcular: E = tg2x + ctg2x a) 1 d) 7

b) 3 e) 9

c) 5

d) m2 + n2 = 4

P=

b) 3 e) 1 8

c) 2 7

a) 1 d) 0,25

7 2

b)

d)

7 9

e) N.A.

7 3

c)

7 5

^

a b

d) a + b

b) a - b e) 2

c)

b a

a b

b) sec2 x d) sec8 x

a) secx c) sec4 x e) sec16 x

9. Eliminar "x" si: tgx = a, ctgx = b b) ab = 1 d) ab = 2

5. Si: tgx + ctgx = 2; calcular: P = tg7x + ctg7x

10. Eliminar "x" si: tgx + ctgx = m; tgx - ctgx = n

Prof. Juan Gutiérrez Céspedes

c) 0,5

4. Reducir: P = (sec2x + tg2x) (sec4x + tg4x) (sec8x + tg8x) + tg10x

b) a + b = 1 d) a - b = 0

Módulo de Estudios

b) 2 e) 0,75

3. Si: asenx + bcosx = b; hallar: P = cscx + ctgx

a)

a) a + b = 1 c) a - b = 1 e) a - b = 2

b) 2 c) 3 e) secx cscx

2. Siendo: secx + tgx = 4; calcular: P = secx - tgx

a)

a) a2 + b2 = 1 c) a2 - b2 = 1 e) a2 + b2 = 2

tg2 x + c tg2 x − 2 tg2 x + c tg2 x + 1 − tg x + c tg x − 2 tg x + c tg x + 1

a) 1 d) secx

tg x + c tg x tg x − c tg x

8. Si: senx = a cosx = b; eliminar "x"

c) m2 - n2 = 2 e) m2 - n2 = 4

1. Reducir:

7. Si: tg2x + ctg2x = 5; calcular: E=

b) m2 + n2 = 2

NIVEL III

6. Si: tgx + ctgx = 3; calcular: E = tg3x + ctg3x a) 1 d) 1 9

a) m2 + n2 = 1

a) F.D. d) 6

17

b) 2 e) 1 6

c) 4

2009

DOCUMENTO DE TRABAJO

2009

TRIGONOMETRÍA

F.T. DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE ÁNGULOS •

FORMULAS 1. sen(x ± y) = senx cosy ± seny cosx 2. cos(x ± y) = cosx cosy m senx seny 3.

•

tg(x ± y) =

tgx ± tgy 1 m tgx tgy

PROPIEDADES 1. Si: E = asenx ± bcosx ⇒

E máx = a 2 + b2

⇒

E mín = −

a 2 + b2

es decir: − a 2 + b2 ≤ asenx ± bcosx ≤ a 2 + b2

Por ejemplo: E = 3senx + 4cosx ⇒ − 32 + 4 2 ≤ 3senx + 4cosx ≤ 3 2 + 4 2 ⇒ -5 ≤ 3senx + 4cosx ≤ 5 2. tgx + tgy + tgx tgy tg(x + y) = tg(x + y) Por ejemplo: tg12º + tg14º + tg12º tg14º tg26º = tgx + tg2x + tgx tg2x tg3x = Los problemas son de diferente tipo y nivel; motivo por el cual se le recomienda seguir en orden la resolución de los ejercicios.

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18

Módulo de Estudios

DOCUMENTO DE TRABAJO

2009

TRIGONOMETRÍA

PROBLEMAS NIVEL I a) tgx c) tgx tgy e) 2tgx tgy

1. Reducir: P=

sen( x + y) + sen( x − y) cos x cos y

a) tgx d) 2tgy

b) tgy e) 2ctgx

7. Reducir: V=

c) 2tgx

sen( x + y) − sen( x − y) sen x sen y

a) tgx d) ctgy

b) tgy e) 2ctgx

tg 70º− tg 20º tg 50º

a) 1 d) 4

2. Reducir: Q=

b) tgy d) ctgx ctgy

b) 2 e) 5

c) 3

8. Reducir: W = tgx - tgy - tgx tgy tg(x - y) c) ctgx a) tgx d) tgx - tgy

b) tgy e) tgx + tgy

c) tg(x-y)

3. Reducir: R=

cos( x + y) + cos( x − y) sen x cos y

a) 2ctgy d) 2ctgx

9. Si: sen x + cos x =

calcular: E = sen(x + 45º)

b) ctgy c) ctgx e) 2ctgx tgy

4. Reducir: S=

cos(x − y) − cos( x + y) sen x cos y

a) tgx d) 2tgy

b) 2ctgx e) 2ctgy

c) ctgy

sen( 45 º+ x) + sen( 45º −x) cos x

a) 2_ d) √2tgx

b) 2tgx _ e) √2ctgx

_ c) √2

6. Reducir:  tg(x − y)  U=    tg x − tg y 

a)

2 3

b)

2 2

d)

2 12

e)

2 16

c)

2 6

c)

3 11

10. Si: tg(x + y) = 5 tgx = 2 calcular: "tgy"

5. Reducir: T=

1 ; 3

a)

1 11

b)

2 11

d)

4 11

e)

5 11

NIVEL II 1. Si: sen(x + y) = 3sen(x - y); calcular: A = tgx ctgy

−1

−1

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19

2009

DOCUMENTO DE TRABAJO

2009

TRIGONOMETRÍA a) 1 d) 4

b) 2 e) 6

c) 3

d)

cos(x - y) = 4cos(x + y); calcular: B = tgx tgy b) 0,3 e) 0,6

e) N.A.

7. Del gráfico, calcular "tgθ" si: AB = BC

2. Si:

a) 0,2 d) 0,5

51 53

C

c) 0,4 3

3. Si:

E

3senx + 4cosx = ksen(x + θ); hallar: "k y θ"

a) 5 y 30º c) 5 y 53º e) 10 y 53º

2 A

b) 5 y 37º d) 10 y 37º

4. Si:

_ √3cosx - senx = kcos(x + θ); hallar: "k y θ"

a) 2 y 30º c) 2 y 45º e) 4 y 60º

b) 2 y 60º d) 4 y 30º

B

D

a)

1 9

b)

1 3

d)

2 9

e)

8 9

c)

2 3

8. Señale el valor máximo de: E = 5senx + 12(cosx - 1) a) 1 d) 3 2

5. Si:

senx + cosx = kcos(x - θ) hallar: "k y θ" _ _ a) √2 _y 30º b) √2 _y 45º c) 2√ d) 2√2 y 30º _2 y 45º e) √2 y 60º

b) 2 6 e) 3 7

c) 2 5

9. Señale el valor mínimo de: E = senx + cosx _ a) √2 b) 2 _ c) -1 d) -2 e) -√2

6. Del gráfico, calcular: "tgθ"

10. Señale la variación de: E = 3(senx + 1) + 4(cosx - 1) a) [-5;5] d) [-4;6]

b) [-6;6] e) N.A.

c) [-6;4]

NIVEL III 1. Señale el valor de: E = tg15º + tg22º + tg15º tg22º tg37º

a)

20 53

b)

21 53

c)

a) 0,75 d) 0,6

31 53

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20

b) e) 0,8

c) 0,25

Módulo de Estudios

DOCUMENTO DE TRABAJO

2009

TRIGONOMETRÍA 2. Señale el valor de: E = tg20º + tg25º + tg20º tg25º a) 1 d) 4

b) 2 e) F.D.

5. Del gráfico, calcular el máximo valor de: "tgθ"

c) 3

3. Señale el valor de: E = (1 + tgx) (1 + tgy); si: x + y = 45º a) 1 d) 4

b) 2 e) 6

c) 3

4. Reducir: E = (ctgθ + tgx) (ctgθ + tgy); si: x + y = θ a) ctgθ d) csc2θ

b) ctg2θ e) 1

a) c) cscθ

c)

a 2 a+b a 2 (a + b)b

b)

d)

a 2 (a + b)a b 2 (a + b)a

e) N.A.

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21

2009

DOCUMENTO DE TRABAJO

2009

TRIGONOMETRÍA

F.T. DEL ÁNGULO DOBLE FÓRMULAS: (x → 2x)

•

1.

2. • (senx + cosx)2 = 1 + sen2x

• 1 - cos2x = 2sen2x

• (senx - cosx)2 = 1 - sen2x

• 1 + cos2x = 2cos2x

3.

•

PROPIEDADES 1.

2.

Ahora, complete las siguientes expresiones: • 2sen4x cos4x = ...................... • 2sen3x cos3x = ......................

• cos23x - sen23x =............... • 1 - cos6x = .........................

x x • 2sen 2 cos 2 = ............................

• 1 + cos4x = ........................

También: • ctg2x + tg2x = .......................... • ctg10º + tg10º = .......................

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22

• ctg40º - tg40º = .................. • ctg5º - tg5º ......................... Módulo de Estudios

DOCUMENTO DE TRABAJO

2009

TRIGONOMETRÍA

PROBLEMAS NIVEL I

E = senx cos3x - sen3 x cosx

1. Reducir: E = 4senx cosx cos2x

a) sen4x

b) 2sen4x

c) 4sen4x

d)

a) sen2x c) sen8x e) senx

b) sen4x d) sen16x

e)

2. Reducir: E = (tgx + ctgx) sen2x a) 1 d)

1 2

b) 2 e)

c) 4

a) cos2 2x c) cos2x e) 2cos4x

1 4

b) 2 e) 8

c) 3

a)

sen 8x 8

b)

sen 16x 8

c)

sen 4x 8

d)

sen 8x 4

e)

cos 8x 4

a) cos2x b) 2cos2x c) 4cos2x

c)

sen 16x 8 sen x

e)

sen 8x 16 sen x

d)

1 cos 2x 2

e)

1 cos 2x 4

9. Reducir: E = tg2x(1 - tg2x) - tgx a) 1 d) 2tgx

5. Reducir: E = cosx cos2x cos4x cos8x sen 8x sen x

b)

sen 16x sen x

d)

sen 16x 16 sen x

Prof. Juan Gutiérrez Céspedes

b) tgx e) 2ctgx

c) ctgx

10. Reducir: E = tg4x(1 - tg22x) (1 - tg2x) a) 2tgx d)

1 tg x 2

b) 4tgx e)

c) 8tgx

1 tg x 4

NIVEL II 1. Si: senx + cosx = n; hallar: "sen2x"

6. Reducir:

Módulo de Estudios

b) cos4x d) 2cos2x

8. Reducir: E = (ctgx - tgx)sen2x

4. Reducir: E = senx cosx cos2x cos4x

a)

1 sen 4x 4

7. Reducir: E = cos4x - sen4x

3. Reducir: E = (sen2x secx)2 + (sen2x cscx)2 a) 1 d) 4

1 sen 4x 2

23

2009

DOCUMENTO DE TRABAJO

2009

TRIGONOMETRÍA a) n2

b) 2n 2

d) 2n 2 -1

e) 2n 2 +1

c) n 2-1

8. Reducir: E = (sec2x - 1) csc2x a) 2sen2x c) 2sec2x e) 2

2. Si: sen4x + cos4x = n; hallar: "sen2x" a)

2(1 + n)

b)

2(n − 1)

c)

2(1 − n)

d)

1− n

e)

n−1

9. Reducir: E = ctgx - tgx - 2tg2x a) 2ctg2x c) 4ctg4x e) N.A.

3. Si: tgx + ctgx = n; hallar: "sen2x"

a) 2n

d)

n− 1 2

b) 2ctg4x d) 4tg4x

10. Reducir:

b)

n 2

e)

n− 1 4

E= c) 2n-1

c tg x − tg x csc 4 x + c tg 4x

a) 1 d) 2ctg2x

b) 2 e) 4

c) 2tg2x

NIVEL III

4. Reducir: E=

b) 2cos2x d) 2csc2x

1. Del gráfico, calcular "tgθ"

1 − cos 2x 1+ cos 2x

a) tgx d) ctg2x

C

b) ctgx e) 1

c) tg2x

5. Reducir: E = csc2x - ctg2x a) 1 d) secx

b) tgx e) cscx

A

c) ctgx

6. Reducir: E = csc2x + ctg2x a) tgx d) -ctgx

b) ctgx e) secx

3

D

a)

3 3

b) 2

d)

6 6

e)

c) -tgx

B

2

c)

5 5

7 7

7. Reducir: E=

1 − cos 2x + sen 2x 1 + cos 2x + sen 2x

a) tgx d) ctg2 x

b) ctgx e) 1

2. Calcular: E=cos2x + cos2(60º + x) + cos2(60º - x) c) tg2x

2009 Prof. Juan Gutiérrez Céspedes

a) 1 d) 1,5

24

b) 2 e) 2,5

c) 3

Módulo de Estudios

DOCUMENTO DE TRABAJO

2009

TRIGONOMETRÍA a) 1

3. Si: cos2x + cos22x + cos32x = 1; calcular: E = tgx + tg2x + tg3x a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

d)

4. Sabiendo que: tg2x + tgx = 1; calcular: "tg2x"

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e) −

c) -2 1 2

5. Siendo: senα + cosα = senβ senθ + cosθ = cosβ calcular: J = sen2α + sen2θ

c) 3

Módulo de Estudios

1 2

b) 2

a) 1 d) -cos2β

25

b) -1 c) cos2β e) 1 - cos2β

2009

DOCUMENTO DE TRABAJO

2009

TRIGONOMETRÍA

TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS CASO l: De suma ó diferencia a producto Objetivo Escribir sumatorias de senos ó cosenos en forma de producto; para agilizar su simplificación. En general se pueden transformar cualquier tipo de expresiones; más las fórmulas que vamos a detallar, solo operan senos y cosenos. Fórmulas:

•

1.

sen x + se ny = 2 sen (

x+y x−y )cos( ) 2 2

2.

se n x − sen y = 2sen (

x−y x+y )cos( ) 2 2

3.

c osx + co sy = 2 co s(

x+y x−y )co s( ) 2 2

4.

cosx − cosy = 2sen(

y+x y−x ) )csen os( 2 2

Por ejemplo: 5x + 3x 5x − 3x a. sen5x + sen3x = 2sen( 2 )cos( 2 ) = 2sen4xcosx

b. sen7x - sen3x = c. cos4x + cos2x = d. cos5x - cos7x = e. cos9x - cos3x =

2009 Prof. Juan Gutiérrez Céspedes

26

Módulo de Estudios

DOCUMENTO DE TRABAJO

2009

TRIGONOMETRÍA

Propiedades: sen2 x − sen2 y = sen (x + y)sen(x − y)

c o s 2 x − c o s 2 y = − s e n (x + y )s e n ( x − y )

•

Por ejemplo: a. sen23x - sen2x = sen(3x + x) sen(3x - x) = sen4x sen2x b. cos23x - cos2x =

PROBLEMAS NIVEL I

5. D = cos7x - cos17x

Reducir cada una de las siguientes expresiones:

a) 2sen12x sen3x b) 2sen5x sen12x c) 2sen6x sen12x

1. C = sen12º + sen4º 6. I = cos20º + sen10º a) 2sen4º cos8º b) 2sen8º cos4º c) 2sen6º cos12º

a) 2sen40º cos30º b) 2sen15º cos10º c) 2sen10º cos5º

2. L = sen10º20' + sen2º10' 7. A = sen20º + cos20º a) 2sen6º10' cos4º10' b) 2sen6º15' cos4º15' c) 2sen6º15' cos4º5' 3. A = sen21º - sen11º a) 2sen5º cos12º b) 2sen5º cos16º c) 2sen6º cos16º

8.

a) 2cos7x cosx b) 2cos4x cos3x c) 2cos3x cos4x

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2 cos 10o

c)

2 cos 25 o

C=

9. L =

27

b)

2 sen 10o

sen 5x + sen x sen 3x

a) 2senx c) 2cos2x

4. U = cosx + cos7x

Módulo de Estudios

a)

b) 2cosx

cos 3x + cos x cos 2x

2009

DOCUMENTO DE TRABAJO

2009

TRIGONOMETRÍA a) 2cosx c) cosx 10. L =

b) 2senx

6. Reducir: F=

sen 6x + sen 2x cos 6x + cos 2x

a) 2tg4x c) ctg4x

a) senx c) cos2x

b) tg4x

R=

1. Reducir: sen 5x + sen x cos 5x + cos x

a) tg6x c) tg3x

b) tg3x

a) cos5x cosx c) sen5x senx

b) cos5x a) mn

sen 3x + sen x sen x

a) cosx c) 4cos2 x

m n

c)

n m

1. Escriba _ en _ forma de producto: P = √3 + √2

b) 2cos2 x

a) 2sen52º30' cos7º30' b) 4sen52º30' cos7º30' c) sen52º30' cos7º30'

sen(2α − 3β) + sen 3β cos(2α − 3β ) + cos 3β

a) tgα c) ctg3β

b)

NIVEL III

5. Reducir: S=

b) -cos5x cosx

10. Si: sen3x + senx = m; cos3x + cosx = n. Halle: ''tg2x''

4. Reducir: A=

b) cos9x cosx

9. Reducir: M = sen22x - cos23x

cos 7x + cos 5x + cos 3x 2 cos 2x + 1

a) cos7x c) 2cos5x

b) 2cos4x

a) sen9x senx c) -cos9x cosx

3. Reducir: C=

sen2 3x − sen2 x

8. Reducir: O = cos25x - sen24x

b) tg2x

sen 5x + sen 3x + sen x cos 5x + cos 3x + cos x

a) tg5x c) tgx

sen2 5x − sen2 3x

a) cos4x c) 4cos4x

2. Reducir: A=

b) sen2x

7. Reducir:

NIVEL ll

J=

sen2 3x − sen2 x sen 4x

2. En un ∆ABC; reducir: Q=

b) tg3β

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28

sen2 A − sen2 B sen 2A − sen 2B

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DOCUMENTO DE TRABAJO

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TRIGONOMETRÍA a) tgC c) −

b)

4. En un ∆ABC; pase a producto: S = 1 + cos2A + cos2B + cos2C

1 tg C 2

a) 4cosA cosB cosC b) -4cosA cosB cosC c) -4senA senB senC

1 tg C 2

3. En un ∆ABC; pase a producto: R = sen2A + sen2B + sen2C

5. Calcular: T = cos

a) 2senA senB senC b) 4senA senB senC c) 4cosA cosB cosC

a)

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29

1 2

π π π + cos 3 + cos 5 7 7 7

b) −

1 2

c) -1

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2009

TRIGONOMETRÍA

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30

Módulo de Estudios