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• Juan Carrasco A

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MATEMÁTICA II Ingeniería Mecánica

INTEGRAL INDEFINIDA Integrar es el proceso recíproco del de derivar, es decir, dada una función f(x), busca aquellas funciones F(x) que al ser derivadas conducen a f(x). En el estudio del cálculo diferencial se ha tratado esencialmente: Dada una función hallar su derivada, muchas aplicaciones importantes del cálculo, guardan relación con el problema inverso. INTEGRAL INDEFINIDA Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función. Se representa por Notación:



G  x    f  x  dx  F  x   c, x  I (Intervalo) f (x) : integrando

: signo de la integral

f ( x)dx : elemento de integración

PROPIEDADES ELEMENTALES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA: Consideremos

f y g funciones derivables y k , C constantes:

a.-  dx  x  C d.-

n  x dx 

b.-  k f ( x)dx  k  f ( x)dx

x n 1  C , n  1 n 1

c.-  d ( f ( x))  f ( x)  C

e.-  [ f ( x)  g ( x)] dx   f ( x)dx   g ( x)dx TABLA DE INTEGRALES BASICAS

Sea u  f (x) función diferenciable 1.-  u n du 

u n 1  C , n  1 n 1

du

 u  ln u  C 3.-  e du  e  C 2.-

u

u

4.-  a u du 

au C ln a

5.-  senu du   cos u  C 6.-  cos u du  senu  C 7.-  tan u du  ln sec u  C 8.-  ctg u du  ln senu  C 9.-  sec u du  ln sec u  tan u  C 10.-  csc u du  ln csc u  ctgu  C 21.-



11.-  sec2 udu  tan u  C

 csc u du  ctgu  C 13.-  sec u tan u du  sec u  C 2

12.-

14.-  csc u ctgu du   csc u  C

du 1 u  arctg ( )  C 2 a a a du 1 ua  ln C 16.-  2 2 u a 2a u  a du u  arcsen( )  C 17.-  2 2 a a u du  ln(u  u 2  a 2 )  C 18.-  2 2 u a du  ln(u  u 2  a 2 )  C 19.-  2 2 u a du 1 ua  ln C 20.-  2 2 a u 2a u  a 15.-

u

2

1 1 u 2  a 2 du  u u 2  a 2  a 2 ln u  u 2  a 2  C 2 2

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Pág. 1

MATEMÁTICA II Ingeniería Mecánica 1 1 u 2  a 2 du  u u 2  a 2  a 2 ln u 2  a 2  C 2 2 1 1 u 23.-  a 2  u 2 du  u a 2  u 2  a 2 arcsen  C 2 2 a du 1 u 24.-   arc sec   C 2 2 a a u u a 22.-



Ejemplos explicativos: Haciendo uso de las propiedades básicas y la regla de integrales, resolver:

1.-

x

2.-



6

6

senx  cos x  tgx dx cos x 4 dx 7.-  x  13 1 x 8.-  (  4 )dx x x 3 8 9.-  ( 2   z )dz z z ( x  2)dx 10.-  2 x  4 x  20

dx

6.-

z dz

3.-  (1  y  y 2 ) y dy 4.-

x

2

dx  4 x  20

5.-  (1  t 3 )2 t 2 dt



Ejercicios para el aula: Haciendo uso de las propiedades básicas y la regla de integrales, resolver: dx 1.-  22 6.-  ( z 2  ax ln z  2b)dx x x 5 2.-  (2 x 4  5 x3  3) dx 7.-  2 dx x  10 x dx 3.-  (3s  4)24 ds 8.-  2 x  10 x3  6 x 2  14 dx 4.-  9.-  (sen2 x  cos 2 x)dx 2 x 4 5.-  x (1  2 x 2 )dx 10.-  e x dx MÉTODOS DE INTEGRACIÓN I.- Integración por Cambio de Variable. Sea    (u ) una función diferenciable, se cumple:

 f  (u) ' (u)du   f ( )d

Ejemplos explicativos: Resolver: 1)  cos  5 x  1dx

x

x

7

 2  dx

dx  16 x  1 2 3)  x 4 x  5dx 2)

8

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 

6)  3x10 sen x11 dx

 x x  5dx 8)  x ( x  5) dx 7)

3

2

4

3

15

Pág. 2

MATEMÁTICA II Ingeniería Mecánica 4)

 sec x  e

5)

1 x

2

x

2

tgx

dx

 cos

9)

2

sen3x dx 3x  2 cos 3x  1

10)  e8 x sec2 (11  2e8 x )dx

dx

Ejercicios para el aula: Resolver: 1)

x e

7 3 x8 1

dx

6)

 3sec  tan  d 2

1 2  7)   x  7 5  x 2 dx 5 5 

2x )dx 3 8x2 dx 3)  4  3x3 6 x2 4)  dx 1  2 x3 2)  sec(

1

8)

7 6   x  2 2 x dx

9)



x5 x  10 x  24 2

dx

II.- Integral por Partes u  f ( x) y v  g ( x) , dos funciones diferenciables:

Sea

Entonces:

 udv  uv   vdu  C ……. Fórmula de Integración por Partes Ejemplos explicativos: Integrar: 1.-  e3 x ( x 2  1) dx 2.-  ( x 2  x  1) sen3xdx 5.-  xln x dx 9.-



x arctgx 1  x2

 xsen4 x 7.-  e sen3xdx

6.-  arctgxdx

dx

4.-  ( x  5) cos xdx

3-

8.-  xsenx cos x dx

x

10.-  arctg x dx

Ejercicios para el aula: Resolver las siguientes integrales: 1.-  ( x 2  4) ln(3x)dx

2.-

5.-  ( x 2  5x  1)e2 x dx

6-

13.-  e cos 5 x dx 17.-

x

 sen x dx 2

14.-

18.-

x

21-

2  x e 3 dx



2

x dx

ln(1  x) dx x2

10.-  x 2 cos x dx

9.-  e x cos 3xdx x

 x csc

22.-



x



x2 (4  x ) dx 2

2

9x

5 2

dx

2

x 2  2x  2 dx ( x  1) 2

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3.-  ( x 2  3x  8) sen4 xdx

4.-  xe 3 x dx

7-  ln xdx

8.-

11.-  (3x  2) ln 5 xdx 15.-

x

2

ln x dx

20.-

23.-  arcsenx dx

24.-

3

 (1  2 x)



x 

16.-

 x arctgxdx

19-

12.-

 xarctgx dx dx 2

16  9 x 2

x2  9 dx x6 dx

4

4x 2  4x  4

dx x 2  4 x  13 Pág. 3

MATEMÁTICA II Ingeniería Mecánica III.-Aplicación de la Integral indefinida 1. EJEMPLO: Si el ingreso marginal es R '  x   15  9 x  3x 2 , evalúe las funciones de ingreso y de demanda. (Considere

R  xy  x .f  x 

donde “ R” ingreso total, “ R ' ” ingreso Marginal, “x” numero de unidades a

vender, “ y ” es el precio por unidad, “

y'

” es el costo marginal, “

y  y/x

” es el costo promedio )

Solución

R  x    R '  x dx  k   15  9 x  3x 2 dx  k  15x 

9x2  x3 2

 R  x   15 x  Como

R  x   x. f  x   y  f  x  

9 x2  x3  k , para R  0   0  k 2

R  x 9x , de donde y  15   x 2 x 2

es la función demanda

2. EJEMPLO: La empresa KIA

fabrica pisas de repuesto para auto. La función de costo marginales diarios asociados con la producción de estas pisas es

C '  x   0.000005x2  0.0003x  4 , donde C '  x 

se

mide en dólares por unidad y “x” denota el numero de unidades producidas. la gerencia administrada por un ingeniero mecánico ha determinado que los costos fijos diarios por la producción de estas piezas asciende a 920 dólares dada su resistencia . Indique los costos relativos de producción de las primeras 500 piezas de repuesto para autos KIA por día..

Solución C '  x   0.000005x2  0.0003x  4 Como el costo fijo quiere decir que Luego Como

función costo marginal

x  0, C  0   920

x3 3x 2 C  x     0.000005x  0.0003x  4 dx  k    4x  k 600000 20000 x  0, C  0   920 , se tiene que 920  0  0  0  k  k  920

Por tanto

2

C  x 

x3 3x 2   4 x  920 600000 20000

Calculando el costo total para la producción de la piezas KIA :

 500 

3  500  C  500     4  500   920  3090.83 600000 20000 3

2

Por tanto el costo total de por 500 piezas KIA es de

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C  500   3090.83

dólares

Pág. 4

MATEMÁTICA II Ingeniería Mecánica

Ejercicios para el aula: Resuelve

I.-El

ingeniero mecánico luego de un análisis de materiales presenta a la empresa VOLVO la función de costo marginal para la producción de “x” piezas de repuesto la cual está dada por y '  5x 2  60 x  2 . Si los costos fijos son de 1200 dólares, hallar la función de costo total que demandara para la producción de piezas de repuesto de la marca VOLVO.

II.-Un

ingeniero mecánico ha encontrado que el costo marginal para armar sistemas de potencias en autos es de y '  3x2  60 x  400 dólares por “x” unidades producidas. El costo total de producción de los dos primeros sistemas de potencia es de 900 dólares. ¿Cuál es el costo de producción de los cinco sistemas de potencia producidos?

III.-En cierta

fábrica, el costo marginal es de x .e x dólares por “x” unidades producidas. Exprese el costo total de de producción en términos de los gastos generales ( el costo sin producir ninguna unidad)

IV.-El beneficio

marginal de ensamblar un motor, su transmisión y ruedas es de 100  2x dólares por cada “x” ensamblada del sistema mostrado en la figura . Si el beneficio de la compañía es de 700 dólares cuando se ensamblan 10 prototipos similares a la figura ¿Cuál es el mayor beneficio posible de la empresa?

V.-El ingreso marginal

es R  x   4 x 2  11x  28 dólares por “x” unidades producidas. ¿Cuál

es la función demanda?

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INTEGRAL DEFINIDA Definición 1 ( Suma de Riemann ) Sea f una función continua en [a,b]. Considere una partición P de [a,b] en n subintervalos (no necesariamente del mismo tamaño) por medio de los puntos

a  x0  x1  x2    xn1  xn  b y sea xi  xi  xi 1 . En cada subintervalo xi 1 , xi  , seleccione un punto cual le llamamos punto

ci (que puede ser punto frontera), al

muestra para el i-ésimo subintervalo.

punto muestra n

RP   f (ci )xi

A la suma

se le llama una Suma

de Riemann para f correspondiente a la partición P.

i 1

Su interpretación geométrica se muestra en la Fig.1

A A

A

A

2

A

1

a=x0

x3

x1

A A

An-1

7

6

xn=b

5

4

3

Una suma de Riemamm interpretada como una suma algebraica de áreas 9

Rp   f (ci )xi i 1

1.1 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA 1. Si f, g son integrables en [a,b] entonces: b

b

b

a

a

a

 k1 f  x   k2 g  x dx  k1  f  x  dx  k2  g  x dx 2. Si f es acotada en [a,b] y si f es continua, excepto en un número finito de puntos, entonces f es integrable en [a,b]. En particular, si f es continua en todos [a,b], es integrable en [a,b]. 3. Si f es integrable en un intervalo que contenga a los puntos a, b y c, entonces c

b

c

a

a

b

 f  x dx   f  x dx   f  x dx , no importa el orden de a, b y c. MA T . C E S A R V A L DI V IA G.

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MATEMÁTICA II Ingeniería Mecánica

a

4.

 f  x dx  0 a

b

5.

a

 f  x dx   f  x dx, a

a b

b

TEOREMA 1. ( PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO)(TFC) Si f es continua en [a,b] y sea “x” un punto variable en < a,b >, entonces. x

d f  t dt  F ( x) dx a TEOREMA 2. (TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO) Si f es continua en [a,b] y F(x) es una antiderivada de f, entonces b

 f  x dx  F b   F  a  a

Ejemplo :Evalúe la integral definida

 x 2

3



 x 2 dx

1

Solución

f(x)= x3-x2 es continua en [1,2] y por tanto se puede aplicar el teorema fundamental. Primero hallamos su antiderivada

 2

1



2

x 4 x3  8 1 1 17 x  x dx =    (4  )(  )  4 3  3 4 3 12 1 3

2

Ejemplo: Evalúe la integral definida

4



  1

x

1  dx x2 

Solución

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1.2 APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINICIÓN (AREA DE REGIÓN ACOTADA)

Si f es continua y f(x) ≥0 en [a,b] , entonces el área dela región acotada por las graficas de y=f(x), x=a, x=b . b

A   f  x dx a

1. Ejemplo: Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 9 − x2 y el eje OX. Solución:

En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje OX para representar la curva y conocer los límites de integración.

0  9  x2 11

x3

x  3

y

10 9 8 7

f(x)=9-x^2 Relleno 1

6 5 4 3 2 1

x

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

-1 -2 -3

Como la parábola es simétrica respecto al eje OY, el área será igual al doble del área comprendida entre x = 0 y x = 3. 3

A

3



3



x  9  x dx  2 9  x d  2 9 x  3   36u 2

3

2

0

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

2



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MATEMÁTICA II Ingeniería Mecánica 2. Ejemplo: Calcular el área limitada por la curva xy = 36, el eje OX y las rectas: x = 6, x = 12. Solución: 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -7

-6

-5

-4

-3

-2

12

A

 6

y

-1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11 -12

x

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15 16

·

36 12 dx  36ln x 6  36ln 2 u 2 x

DEFINICIÓN (AREA DE REGIÓN ACOTADA)

Si f es continua y f(x) ≤ 0 en [a,b] , entonces el área dela región acotada por las graficas de y=f(x), x=a, x=b . b

A

 f  x dx a

3. Ejemplo: Calcular el área del recinto limitado por la curva y = x2 − 4x y el eje OX.

0  x2  4 x

x0

x4

y

1 x

1

2

3

4

5

6

7

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7

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MATEMÁTICA II Ingeniería Mecánica 4

 x3  32 2 A    x  4 x dx    2 x 2    u 3 3 0 0 4

luego A 

2

32 2 u 3

DEFINICIÓN

Si f y g son continuas y f(x) ≤ g(x) en [a,b] , entonces el área dela región acotada por las graficas de f(x), g(x) , x=a y x=b está dado por: b

A    g  x   f  x  dx a

4. Ejemplo: Calcular el área del recinto limitado por la parábola

y = x2 + 2

y la recta que

pasa por los puntos (−1, 0) y (1, 4). x 1 y  11 4

4  x  1  2 y

7

y  2x  2

luego

 y  2x  2  2 y  x  2

 x1  0  x2  2

y

6

5

4

3

2

1 x

-2

-1

1

2

3

4

-1

2

2

   x3 x3  16 2 A    2 x  2    x 2  2 dx   x 2  2 x   2 x    x 2   = u 3 3 0 3  0  0 2

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MATEMÁTICA II Ingeniería Mecánica Ejercicios para el aula: Resolver las siguientes integrales: I.- Resolver las siguientes integrales: 4 dx 1.-  1 x 1



20.-

 (x

5



1

1

e2x

dx 1  e2x 2 dx 5.-  2 0 x  3x  4 2



3

x 2



9.-



10.-

4

 



6

2

1

0



3

23.-



a

x dx x 1

24.-

e

dx sen2x

25.-

x2 dx 11.-  2 0 x 1 e 2 dx 12.-  e x ln x e sen(ln x) dx 13.-  1 x

x3 1 x 3  x 2 dx 1 dx 15.-  3x 0 e 2

26.-

1

 4 x) x 3  6 x 2  1dx

x 2  4dx

5

0

2

dx 2x  1

22.-

1

14.-

dx 2 x  4 1 1 x dx 19.-  0 1 x2 2



  cos d

9

1

5

3 41 y 8.-  dy 2 1 y 0

x( x 2  1) 2 dx

21.-

e dx

2



3

18.-



7.-



2

( x 2  1) 2 dx

1

( x 3  3x 2  2 x  6)dx

3.-

6.-

3

17.-



4.-



xdx x2 1

2.-

0

16.-

( a  x ) 2 dx

1

dx  e x

0

x

ex

ln t dt t



2





4 0

e 3 x sen4 xdx

x2

27.-



28.-

 ( x  2)( x

senx

1

0

(cos t  t 2 )dx

5x

2

 1)

dx

4x 2  2x 0 ( x 2  1)( x  1) 2 dx e2 dx 30.-  1 x (1  ln x ) 2 29.-

1

II.- Hallar el área de las regiones acotadas por las siguientes curvas: 1.- x  4  y 2 , eje " y" 3.- y  4 x  x 2 , y  0, x  1, x  3 5.- x  3 y 2  9, x  0, y  0, y  1 7.- y  9  x 2 , y  x  3 9.- y  x 2  4, y  8  2 x 2 MA T . C E S A R V A L DI V IA G.

2.- y  x 3 , y  0, x  1, x  3 4.- x  1  y 2 , x  10 6.- x  y 2  4 y, x  0 8.- y  2  x 2 , y   x 10.- y  x 2 , y  x Pág. 11

MATEMÁTICA II Ingeniería Mecánica 11.- x  y 2 , x 2  8 y 13.- y  x 2  1, y  4 x  4 15.- y  x 2  x  2, y  2 x

12.- y   x 2  2 x, x  1, x  4 14.- y  x 2 , y  x  2

III. En los ejercicios 1-11, hallar el área de la región limitada por las ecuaciones dadas: 1. y = x – x2

, x=0

4

2. y = 1 – x , x = 0 3. y = 5x - x2, y = 0, entre x = 1, x = 3 4. y = x  10 , y = 0 entre x = 0, x = 9 5. y = x2 - 2x,

y = -x2

6. y =(x-3)(x-1), y = x 7. y =(x-2)(x-3)(x-4), y = 0 8. x = 8y - y2, x = 0 9. x =(1-y)(y-6)(y+6), x = 0 10. y = x3, x = 3 y por el eje X. 11. y = Senx , y el eje x, pasa 0  x  .

VOLUMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN METODO DEL DISCO CIRCULAR (I)

Sea f(x) ≥0, f continua en . observe queal girarla curva y=f(x), para a≤x≤b, sobre el eje X, genera un sólido, llamado sólido de revolución.

Área de la sección circular ala altura de x, es

A  x     f ( x) dx 2

b

El volumen del sólido de revolución es

2

V     f ( x) dx a

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MATEMÁTICA II Ingeniería Mecánica 5. Ejemplo: Hallar el volumen del tronco de cono engendrado por la rotación alrededor OX del área f(x)=6-x

limitada por y = 6 − x, y = 0, x = 0, x = 4.

Relleno 1

y 6 5 4 3 2 1

x -5

-4 -3 -2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14

4

 x3  208 2 V     6  x  dx   36 x  6 x 2    u 3 0 3  0 4

2

6. Ejemplo: Calcular el volumen engendrado por una semionda de la sinusoide y = sen x, al girar alrededor del eje OX.







1  cos 2 x  1  2 2  V    sen xdx    dx   x  sen2 x     0   u 2 2 2 2 2 0 0 0 2

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MATEMÁTICA II Ingeniería Mecánica METODO DEL ANILLO CIRCULAR (II) Sólidos de revolución engendrado al rotar,la región comprendida entre dos gráficas de funciones,alrededor del eje X: b

El volumen de revolución es :

2 2 V     f  x   g  x  dx   a

7. Ejemplo: Hallar elvolumen del

solido que se obtiene girando la región bajo la curva

y  x , y  x2

sobre

el eje X,de 0 a 1 y

2

1.5

1 f(x)=x^2 f(x)=x^(1/2)

0.5

Relleno 1

x -2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

-0.5

-1

-1.5

-2

2   y  x  x2  x    x  0, x  1 y  x  

1

V   0

 x x  2

2 2

1 5 1  2 dx    x  x 4 dx    x  x      1  1   (0)   3     2 5   10 0      2 5 0   

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MATEMÁTICA II Ingeniería Mecánica METODO DE LA CORTESA CILINDRICA (III) Sólidos de revolución engendrado al rotar,la región comprendida entre dos gráficas de funciones,alrededor del eje Y: b

El volumen de revolución es :

V  2  x f  x dx a

y  f  x

R 0

a

b

(IV) Sólidos de revolución engendrado al rotar alrededor de la recta x = c,,la región comprendida por las curvas

y  f  x  , y  g  x  donde f  x   g  x  y las rectas verticales x = a , x = b, donde a ≥ c entre se expresa por la formula: b

El volumen de revolución es :

V  2   x  c   f  x   g  x  dx a

X

y  f  x

x=c

y  f  x

R a

b

0

y  g  x

(V) Cuando la región R esta a la izquierda del eje de revolución, el volumen del solido generado está dado por la formula. b

El volumen de revolución es :

V  2   c  x   f  x   g  x  dx a

X x=c y  f  x

R a

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y  g  x

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MATEMÁTICA II Ingeniería Mecánica METODO DE LAS SECCIONES PLANAS PARALELAS CONOCIDAD (VI) Si las secciones son perpendiculares al eje X, el volumne del solido S es dado por la formula : b

El volumen de revolución es :

V   A  x dx , donde A  x 

es el área de la sección en X.

a

(VII) Si las secciones son perpendiculares al eje Y, el volumne del solido S es dado por la formula : b

El volumen de revolución es :

V   A  y dy , donde A  y 

es el área de la sección en Y

a

Ejercicios para el aula: Resuelve I.-Encontrar por integración el volumen de un cono circular recto de altura 5 cm y de radio de la base 3cm. II.- Determinar el volumen de del sólido de revolución generado al girar alrededor del eje X, la región limitada por el eje X, y la curva y   x2  4 x  7 III.- Encontrar el volumen de del sólido de generado por la rotación de la región entre las curvas y  x 2  9 e y  4 x 2 alrededor del eje X. IV.- Hallar el volumen del paraboloide de revolución, si el radio de su base es 2 y su altura es 4. v.- Encontrar el volumen cuando el área encerrada por y   x2  3x  6 , y y   x  3 gira alrededor de y = 0. VI.- Encontrar el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje X la región acotada por la curva y  x3 y las rectas x = 0 , x = 2. VII.- Encontrar el volumen del sólido generado al rotar la curva y  x3 y las rectas x = 0 , x = 2, alrededor del eje Y. VIII.- Hallar el volumen del sólido engendrado haciendo girar alrededor del eje X, la superficie limitada por la curva x  y  3 y las rectas x = 0 , y = 0 IX.- Halar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor de la recta x = 9, la parte de la parábola y 2  4 x X.- Hallar el volumen del sólido que se obtiene al girar alrededor del eje Y, la región encerrada por las curvas x 2  2 y e y  x3  3x  4 y las rectas x = 0 , x = 2. XI.- Hallar el volumen del tronco del cono generado al girar el área limitada por 2 y  6  x , y = 0, x = 0, x = 4 alrededor del eje X.

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MATEMÁTICA II Ingeniería Mecánica XII.- Hallar el volumen del sólido generado por la rotación de la región R limitada por la curva   y  e x sen  e x  , x = 0, x  ln   alrededor del eje X. 4 XIII.- Hallar el volumen del sólido generado por la rotación de la región plana definida por x 2  y 2  20 , y 2  8 x , y  0 , alrededor del eje X. XIV.-Hallar el volumen del sólido de revolución obtenido al rotar alrededor del de la recta y =-1, la región comprendida entre las curvas y  x 2 y y  x XV.- hallar el volumen que genera la superficie limitada por las curvas y  4  x 2 , y = 0, alrededor del eje X. XVI.- Hallar el volumen del sólido generado al gira sobre el eje X, la región limitada por las curvas y   x 2  1 , y   x 2  4 XVII.-Calcular el volumen del sólido engendrado al rotar alrededor del eje Y la figura acotada 2

3/ 2

x  y por la curva       1 a b XVIII.- Hallar el volumen del sólido obtenido al rotar la región limitada por el primer lazo de la curva y  e x senx , y el eje X positivo, alrededor de la recta y = 0.

XIX.- Hallar el volumen que genera la superficie limitada por y 2  x3 , y = 0, x = 0 y x = 4 al girar alrededor del eje X.

XX. La empresa GLORIA adquirir una cisterna especial para transportar leche de Cajamarca a Chiclayo. Un Ingeniero acepta el reto de resolverles el problema, el se da cuenta que las paredes de la cisterna, estan generadas por un solido de revolución obtenido al girar un arco de y  senx alrededor del eje X. ¿Qué volumen de leche pude transportar el camión?.

XXI. NESCAFE desea fabricar un nuevo modelo de taza para ofrecer a sus consumidores el cual debe estar diseñado por la rotación del la región limitada por la curva y  x y el eje X en el intervalo  2; 4 . ¿Qué volumen de café (preparado) se podrá echar en esta nueva tasa?

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